专题5.6 诱导公式-重难点题型检测
【人教A版2019】
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2022·黑龙江·高三开学考试）平面直角坐标系中，角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）（2022·黑龙江·高三阶段练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）（2022·江苏南通·高一期末）若，的终边（均不在y轴上）关于x轴对称，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）（2022·全国·高三专题练习）若，则（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）（2022·广东·高二阶段练习）如果，那么等于（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）（2022·河北·高一开学考试）在中，下列关系一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（3分）（2022·辽宁·高三阶段练习）已知点是单位圆与轴正半轴的交点，点在第二象限.记且.则（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）（2021·全国·高一专题练习）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022·全国·高一单元测试）已知，则下列等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（4分）（2022·山东东营·高一期中）在平面直角坐标系中，角的始边为 的正半轴，终边经过点，则下列式子正确的是（ ）
A． B．
C． D．若为钝角，则
11．（4分）（2022·全国·高一课时练习）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
12．（4分）（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，下列关系式恒成立的有（ ）
A． B．
C． D．
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2022·全国·高一） ．
14．（4分）（2022·湖北·高一阶段练习）若，则 ．
15．（4分）（2022·全国·高一课时练习）化简： ．
16．（4分）（2022·上海市高三阶段练习（理））已知，若存在，满足，则称是的一个“友好”三角形．在满足下述条件的三角形中，存在“友好”三角形的是 ：（请写出符合要求的条件的序号）
①，，；②，，；③，，．
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2021·全国·高一专题练习）求证：=.
18．（6分）（2022·福建省高三阶段练习）已知角是第二象限角，其终边与以原点为圆心的单位圆交于点.
(1)写出三角函数，的值；
(2)求的值．
19．（8分）（2022·安徽·高三阶段练习）已知.
(1)求的值；
(2)求的值.
20．（8分）（2022·全国·高一课时练习）已知、、为的三个内角，求证：
21．（8分）（2022·全国·高三专题练习）已知
(1)化简
(2)若，α为第三象限角，求的值.
22．（2022·山东·高二阶段练习）求值：
(1)；
(2)设，求．专题5.6 诱导公式-重难点题型检测
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2022·黑龙江·高三开学考试）平面直角坐标系中，角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据给定条件，利用三角函数定义结合诱导公式计算作答.
【解答过程】依题意，点到原点距离，
所以.
故选：A.
2．（3分）（2022·黑龙江·高三阶段练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用三角函数诱导公式化简可得，继而将化为，根据三角函数齐次式法求值，可得答案.
【解答过程】由题意得
，
故选：B.
3．（3分）（2022·江苏南通·高一期末）若，的终边（均不在y轴上）关于x轴对称，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】因为，的终边（均不在轴上）关于轴对称，则，，然后利用诱导公式对应各个选项逐个判断即可求解．
【解答过程】因为，的终边（均不在轴上）关于轴对称，
则，，
选项，故正确，
选项，故错误，
选项，故错误，
选项，故错误，
故选：．
4．（3分）（2022·全国·高三专题练习）若，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用诱导公式即可得到结果.
【解答过程】∵，∴，
∴.
故选：A.
5．（3分）（2022·广东·高二阶段练习）如果，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据诱导公式化简即可得解.
【解答过程】，
.
故选：B.
6．（3分）（2022·河北·高一开学考试）在中，下列关系一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】利用三角形的内角和定理和诱导公式依次判断各个选项即可.
【解答过程】对于A，若，则，A错误；
对于B，，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，，D错误.
故选：C.
7．（3分）（2022·辽宁·高三阶段练习）已知点是单位圆与轴正半轴的交点，点在第二象限.记且.则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用同角三角函数平方和商数关系可求得，利用诱导公式化简所求式子，代入已知三角函数值即可求得结果.
【解答过程】由题意知：，，，
.
故选：D.
8．（3分）（2021·全国·高一专题练习）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由诱导公式化简后计算
【解答过程】由诱导公式化简原式得，
当时，，
，
故选：A.
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022·全国·高一单元测试）已知，则下列等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由三角函数的诱导公式化简可得.
【解答过程】∵，故A不成立；∵，故B不成立；∵，故C成立；∵，故D成立.
故选：CD.
10．（4分）（2022·山东东营·高一期中）在平面直角坐标系中，角的始边为 的正半轴，终边经过点，则下列式子正确的是（ ）
A． B．
C． D．若为钝角，则
【解题思路】根据终边上的点求出三角函数值进行计算，诱导公式，余弦函数在第二象限单调递减即可解决.
【解答过程】解：因为角终边经过点，
则
对于 ：，故错误；
对于：，故错误；
对于：，故正确；
对于：因为当，单调递减，而，即，所以，故正确.
故选：CD.
11．（4分）（2022·全国·高一课时练习）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】依题意，可得，再结合，利用同角三角函数间的关系及诱导公式，对四个选项逐一判断可得答案．
【解答过程】解：，
又，
，故A正确；
，故B错误；
又，故C正确；
，故D错误，
故选：AC．
12．（4分）（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，下列关系式恒成立的有（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】结合三角形的内角和定理和诱导公式，准确运算，即可求解.
【解答过程】对于A中，由，所以A正确；
对于B中由，所以B正确；
对于C中，由
，所以C正确；
对于D中，
，所以D错误．
故选：ABC.
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2022·全国·高一） ．
【解题思路】根据诱导公式及特殊角三角函数值，即可求解.
【解答过程】
.
故答案为：.
14．（4分）（2022·湖北·高一阶段练习）若，则 0 ．
【解题思路】根据诱导公式计算．
【解答过程】，
故答案为：0.
15．（4分）（2022·全国·高一课时练习）化简： ．
【解题思路】利用诱导公式进行化简即得.
【解答过程】原式.
故答案为：.
16．（4分）（2022·上海市高三阶段练习（理））已知，若存在，满足，则称是的一个“友好”三角形．在满足下述条件的三角形中，存在“友好”三角形的是 ② ：（请写出符合要求的条件的序号）
①，，；②，，；③，，．
【解题思路】满足,根据诱导公式，则有,,.逐一验证选项即可．
【解答过程】满足,
则有,,．
对于①,,显然不成立．
对于②，可取,,满足题意．
对于③，由,，则,可取的角为
或,若有一个角为,另一个角,此时
大于,不合题意,故==,
或,不合题意.所以③不满足．
故答案为②．
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2021·全国·高一专题练习）求证：=.
【解题思路】左边由诱导公式平方关系化简变形，右边用诱导公式，商数关系化简变形可证．
【解答过程】左边===，
右边===，
所以等式成立.
18．（6分）（2022·福建省高三阶段练习）已知角是第二象限角，其终边与以原点为圆心的单位圆交于点.
(1)写出三角函数，的值；
(2)求的值．
【解题思路】（1）先利用单位圆解出的坐标，然后根据三角函数定义求解;
（2）先根据诱导公式化简解析式，即可得到答案
【解答过程】（1）
因为角的终边与以原点为圆心的单位圆交于点，
所以，解得，
因为角是第二象限角，所以，
所以角的终边与以原点为圆心的单位圆交于点，
，；
（2）
.
19．（8分）（2022·安徽·高三阶段练习）已知.
(1)求的值；
(2)求的值.
【解题思路】（1）根据平方关系及商数关系化弦为切，即可得解；
（2）利用诱导公式化简，再根据平方关系化弦为切即可得解.
【解答过程】（1）
解：
；
（2）
解：
.
20．（8分）（2022·全国·高一课时练习）已知、、为的三个内角，求证：
【解题思路】利用三角形的内角和定理可得出，再结合诱导公式可证得原等式成立.
【解答过程】证明：在中，，则.
所以，
，
故原等式得证.
21．（8分）（2022·全国·高三专题练习）已知
(1)化简
(2)若，α为第三象限角，求的值.
【解题思路】（1）由诱导公式即可化简；
（2）先求得，再根据同角三角函数关系即可求得.
【解答过程】（1）原式
即.
（2）由，得，即.
为第三象限角，所以，
.
22．（2022·山东·高二阶段练习）求值：
(1)；
(2)设，求．
【解题思路】利用三角函数的诱导公式化简求值即可.
【解答过程】（1）
原式
；
（2）
，
，
又，，
.
