专题5.8 三角函数的图象与性质-重难点题型检测
【人教A版2019】
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2022·新疆·高三阶段练习（理））函数在区间上的简图是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）（2023·陕西西安·高三期末（理））下列区间中，是函数单调递减的区间是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）（2022·山东东营·高一期中）下列关于函数说法正确的是（ ）
A．函数的定义域为R B．函数为奇函数
C．函数的最小值为0 D．函数的最小正周期为
4．（3分）（2022·云南·高三阶段练习）函数在区间上恰有三个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）（2022·湖北·高三期中）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）（2022·浙江金华·高三阶段练习）已知函数在上单调递增，且当时，恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）（2022·安徽亳州·高一期末）已知函数，对于任意的，方程恰有一个实数根，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）（2022·江苏泰州·高三期中）已知函数（，），直线和点分别是图象相邻的对称轴和对称中心，则下列说法正确的是（ ）
A．函数为奇函数
B．函数的图象关于点对称
C．函数在区间上为单调函数
D．函数在区间上有12个零点
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022·黑龙江·高三阶段练习）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．最小正周期为 B．图象关于点对称
C．图象关于直线对称 D．在区间的值域为
10．（4分）（2022·云南高三阶段练习）已知函数，则（ ）．
A． B．最小正周期为
C．为的一个对称中心 D．在上单调递增
11．（4分）（2022·湖北·高一阶段练习）已知函数，，，在上单调，则的取值可以是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
12．（4分）（2022·山东德州·高三期中）已知函数同时满足下列三个条件：
①该函数的最大值为；
②该函数图象的两条对称轴之间的距离的最小值为；
③该函数图象关于对称.
那么下列说法正确的是（ ）
A．的值可唯一确定
B．函数是奇函数
C．当时，函数取得最小值
D．函数在区间上单调递增
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2022·江苏·模拟预测）函数的最小正周期为 .
14．（4分）（2022·四川·高三期中）函数 的图像中两个相邻的最高点和最低点的坐标分别为，则函数 在区间 上的值域为 .
15．（4分）（2022·四川·高三阶段练习（理））函数在区间上单调递增，且存在唯一，使得，则的取值范围为 ．
16．（4分）（2023·全国·高三专题练习）对于函数，下列5个结论正确的是 .
①任取，都有；
②函数在区间上单调递增；
③对一切恒成立；
④函数有3个零点；
⑤若关于的方程有且只有两个不同实根，则.
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2022·陕西·高一阶段练习）已知函数．
(1)求函数取得最大、最小值时自变量的集合；
(2)判断函数的奇偶性并证明；
18．（6分）（2022·福建高一期末）某同学作函数f (x) = Asin(x +)在一个周期内的简图时，列表并填入了部分数据，如下表：
0
-3
(1)请将上表数据补充完整，并求出f (x)的解析式；
(2)若f (x)在区间(m，0)内是单调函数，求实数m的最小值.
19．（8分）（2022·海南高一期末）已知函数.
(1)用“五点法”做出函数在上的简图；
(2)若方程在上有两个实根，求a的取值范围.
20．（8分）（2022·全国·高三专题练习）设函数．
(1)求函数的定义域和单调区间;
(2)求不等式的解集．
21．（8分）（2022·江西省高一期中）已知函数，，
(1)求函数的单调递减区间；
(2)求函数的最大值、最小值及对应的x值的集合；
(3)若对任意，存在，使得，求实数m的取值范围.
22．（8分）（2022·西藏拉萨·高一期末）已知函数（，），再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使的解析式唯一确定．
条件①：的最小正周期为；
条件②：为奇函数；
条件③：图象的一条对称轴为．
(1)求的解析式；
(2)设函数，求在区间上的最大值．
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．专题5.8 三角函数的图象与性质-重难点题型检测
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2022·新疆·高三阶段练习（理））函数在区间上的简图是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】代入特殊值排除不合题意的选项，即得解.
【解答过程】将代入到函数解析式中求出函数值为，可排除C，D;
将代入到函数解析式中求出函数值为负数，可排除B.
故选：A.
2．（3分）（2023·陕西西安·高三期末（理））下列区间中，是函数单调递减的区间是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由，求出函数的单调减区间，从而可求得答案.
【解答过程】由，得，
则的减区间为，
因为，
所以是函数的一个单调减区间，
故选：B.
3．（3分）（2022·山东东营·高一期中）下列关于函数说法正确的是（ ）
A．函数的定义域为R B．函数为奇函数
C．函数的最小值为0 D．函数的最小正周期为
【解题思路】由解析式有意义列不等式求函数的定义域，判断A；根据偶函数的定义判断B；根据正切函数的性质作函数的图象，利用图象判断C，D.
【解答过程】对于选项A，函数的定义域为，故选项A错误;
对于选项B，函数的定义域为关于原点对称，
又，则函数为偶函数，故选项B错误;
对于选项C，根据函数的奇偶性结合正切函数的相关性质，
根据图象变换作出函数草图如下：
由图可知，函数没有最小值，最大值为0，故选项C错误;
对于选项D，同样由图可知函数的最小正周期为，故选项D正确.
故选：D.
4．（3分）（2022·云南·高三阶段练习）函数在区间上恰有三个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据题意，将原问题转化为函数在区间上恰有三个零点，根据正弦函数的性质，即可求出结果.
【解答过程】因为，所以，
又函数在上恰有三个零点，等价于函数在区间上恰有三个零点，
由正弦函数的性质可知，，
所以，
故选：C.
5．（3分）（2022·湖北·高三期中）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】结合已知条件，利用中间值法即可比较大小.
【解答过程】由于，由三角函数的性质可知，，
则，
由，则，
故．
故选：D.
6．（3分）（2022·浙江金华·高三阶段练习）已知函数在上单调递增，且当时，恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由已知，分别根据函数在区间上单调递增，在时，恒成立，列出不等关系，通过赋值，并结合的本身范围进行求解.
【解答过程】由已知，函数在上单调递增，
所以，解得：，
由于，所以，解得：①
又因为函数在上恒成立，
所以，解得：，
由于，所以，解得：②
又因为，当时，由①②可知：，解得；
当时，由①②可知：，解得.
所以的取值范围为.
故选：B.
7．（3分）（2022·安徽亳州·高一期末）已知函数，对于任意的，方程恰有一个实数根，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】将方程的根的问题转化为函数的图象与直线有且仅有1个交点，画出图象，数形结合得到不等式组，求出m的取值范围.
【解答过程】方程恰有一个实数根，等价于函数的图象与直线有且仅有1个交点．
当得：，
结合函数的图象可知，，
解得：.
故选：D.
8．（3分）（2022·江苏泰州·高三期中）已知函数（，），直线和点分别是图象相邻的对称轴和对称中心，则下列说法正确的是（ ）
A．函数为奇函数
B．函数的图象关于点对称
C．函数在区间上为单调函数
D．函数在区间上有12个零点
【解题思路】根据已知条件求得，代入法以及正余弦函数性质判断奇偶性、对称中心，由整体法，结合正弦函数的单调性、周期性判断区间单调性和区间零点个数.
【解答过程】由题设，，故，
所以，故且，
所以，，又，故，
综上，，
为偶函数，A错误；
，图象不关于对称，B错误；
在上，，根据正弦函数的性质在该区间上不单调，C错误；
在上，在区间内有6个周期长度，每个周期有2个零点，所以该区间内有12个零点，D正确.
故选：D.
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022·黑龙江·高三阶段练习）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．最小正周期为 B．图象关于点对称
C．图象关于直线对称 D．在区间的值域为
【解题思路】根据正弦函数的性质，分别求出函数的周期，对称轴，对称中心和在上的值域即可求解.
【解答过程】因为，所以最小正周期为，故A选项错误；
令，解得：，令，
所以图象不关于点对称，故选项B错误；
令，解得：，所以图象关于直线对称，故选项C正确；
当时，，所以，故选项D正确，
故选：CD.
10．（4分）（2022·云南高三阶段练习）已知函数，则（ ）．
A． B．最小正周期为
C．为的一个对称中心 D．在上单调递增
【解题思路】对A选项代入计算即可，对B选项利用结论正切函数最小正周期为，对B选项代入检验即可，对D选项利用整体代换法，求出的范围，再利用正切函数的单调性即可判断.
【解答过程】解：，A错误；
的最小正周期为，B正确；
当时，，所以为的一个对称中心，C正确；
当时，，因为在上单调递增，D正确．
故选：BCD．
11．（4分）（2022·湖北·高一阶段练习）已知函数，，，在上单调，则的取值可以是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【解题思路】根据，可确定，即可确定的取值情况，然后结合在上单调递增，进行验证即可确定答案.
【解答过程】函数，,
则①,
又 ，则是函数的一个对称中心，
故②,
两式相减得： ，
在上单调递增， 则 ,则 ，
故的取值在1,3,5,7,9,11之中；
当时， ，，故 ，
此时在单调递增，符合题意；
当时， ，，不符合题意；
当时， ，，故 ，
此时，因为，则 ，
在单调递减，符合题意；
当时， ，，故 ，
此时，，
故在上不单调，不符合题意；
故选：AC.
12．（4分）（2022·山东德州·高三期中）已知函数同时满足下列三个条件：
①该函数的最大值为；
②该函数图象的两条对称轴之间的距离的最小值为；
③该函数图象关于对称.
那么下列说法正确的是（ ）
A．的值可唯一确定
B．函数是奇函数
C．当时，函数取得最小值
D．函数在区间上单调递增
【解题思路】根据题目条件求出函数解析式，进一步根据函数的性质，求出各选项.
【解答过程】由题可知：，,即，
∴，
又∵该函数图象关于对称，
∴，即，
又∵，
∴当时，，
∴，
A选项：此时的值可唯一确定，A正确；
B选项：，
当时，，
∴此时函数不是奇函数，故B错误；
C选项：，
此时函数取得最小值，故C正确；
D选项：已知，
∴，
∴在函数在区间上单调递减，故D错误.
故选：AC.
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2022·江苏·模拟预测）函数的最小正周期为 .
【解题思路】根据函数的周期等于，得出结论.
【解答过程】函数的最小正周期为，
故答案为：.
14．（4分）（2022·四川·高三期中）函数 的图像中两个相邻的最高点和最低点的坐标分别为，则函数 在区间 上的值域为 .
【解题思路】由已知条件先求出函数的解析式，在根据所给自变量的范围求函数的值域
【解答过程】由题意可得: ，
所以，
又，
又，
即，
又 ，所以 ，
即，
又，则，
则，
则
故答案为：.
15．（4分）（2022·四川·高三阶段练习（理））函数在区间上单调递增，且存在唯一，使得，则的取值范围为 ．
【解题思路】根据函数得单调性可得，根据后一个条件可得，解之即可得解.
【解答过程】解：由，得，
因为函数在区间上单调递增，且，
所以，解得，
由，得，
因为存在唯一，使得
所以，解得，
综上所述的取值范围为.
故答案为：.
16．（4分）（2023·全国·高三专题练习）对于函数，下列5个结论正确的是 ①④⑤ .
①任取，都有；
②函数在区间上单调递增；
③对一切恒成立；
④函数有3个零点；
⑤若关于的方程有且只有两个不同实根，则.
【解题思路】根据函数解析式可求出当，时，据此可判断①，根据函数解析式利用特殊值可判断②③，由数形结合可判断④⑤.
【解答过程】对于①，由，当，时，，此时，所以任取，都有，故①正确；
对于②，当时，，，所以非单调递增，故②错误；
对于③，，，所以，故③错误；
对于④，如图，
由数形结合可知有3个零点，故④正确；
对于⑤，如图，
由图可知，有且只有两个不同实根时，两个根关于对称，所以，故⑤正确.
综上所述，正确的结论是①④⑤.
故答案为：①④⑤.
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2022·陕西·高一阶段练习）已知函数．
(1)求函数取得最大、最小值时自变量的集合；
(2)判断函数的奇偶性并证明；
【解题思路】（1）先用诱导公式化简，再用整体法可得函数取最值时自变量的取值范围；
（2）利用函数奇偶性定义进行判断.
【解答过程】（1）因为，
令，，即，时，函数取得最大值；
令，，即，时，函数取得最小值，
所以函数取得最大值时自变量的集合是，函数取得最小值时自变量的集合是；
（2）函数为奇函数；
因为函数定义域为R，且，
故函数为奇函数.
18．（6分）（2022·福建高一期末）某同学作函数f (x) = Asin(x +)在一个周期内的简图时，列表并填入了部分数据，如下表：
0
-3
(1)请将上表数据补充完整，并求出f (x)的解析式；
(2)若f (x)在区间(m，0)内是单调函数，求实数m的最小值.
【解题思路】（1）由题意，根据五点法作图，利用正弦函数的性质，补充表格，并求出函数的解析式．
（2）由题意利用正弦函数的单调性，求出实数的最小值．
【解答过程】(1)
解：作函数，，的简图时，
根据表格可得，，，．
结合五点法作图，，，故函数的解析式为．
列表如下：
0
0 3 0 0
(2)
解：因为，所以，若在区间内是单调函数，
则，且，解得，
故实数的最小值为．
19．（8分）（2022·海南高一期末）已知函数.
(1)用“五点法”做出函数在上的简图；
(2)若方程在上有两个实根，求a的取值范围.
【解题思路】（1）根据“五点法”作图法，列表、描点、作图，即可得到结果；
（2）将原问题转化为与在上有两个不同的交点，作出函数在的图象，由数形结合即可得到结果.
【解答过程】(1)
解：列表：
x 0
1 1 3 1
作图：
(2)
解：若方程在上有两个实根，
则与在上有两个不同的交点，
因为，所以
作出函数在的图象，如下图所示：
又，，，，
由图象可得，或，
故a的取值范围是.
20．（8分）（2022·全国·高三专题练习）设函数．
(1)求函数的定义域和单调区间;
(2)求不等式的解集．
【解题思路】（1）由可求得定义域；令可解得的单调递增区间；
（2）将看作一个整体，可得，解不等式即可求得不等式的解集.
【解答过程】（1）由题意得：，解得：，
的定义域为；
令，解得：，
的单调递增区间为，无单调递减区间.
（2）由得：，解得：，
则的解集为.
21．（8分）（2022·江西省高一期中）已知函数，，
(1)求函数的单调递减区间；
(2)求函数的最大值、最小值及对应的x值的集合；
(3)若对任意，存在，使得，求实数m的取值范围.
【解题思路】(1)根据复合函数单调性的求法，使即可；
(2)根据余弦函使其交集不为空集
(3)求两个函数在对应区间上的值域，根据包含关系求解即可.
【解答过程】（1）
，解不等式得： ，
所以函数的单调递减区间为.
（2）
，即时， ，
，即 时，；
（3）
时，，，
时， ， ，
要使得，只需， .
22．（8分）（2022·西藏拉萨·高一期末）已知函数（，），再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使的解析式唯一确定．
条件①：的最小正周期为；
条件②：为奇函数；
条件③：图象的一条对称轴为．
(1)求的解析式；
(2)设函数，求在区间上的最大值．
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．
【解题思路】（1）分别选择条件①②和①③，求得周期，在计算的值，即可求解；
（2）由（1）中，化简得到，结合三角函数的图象与性质，即可求解.
【解答过程】（1）
解：选择①②：
由条件①即已知，可得，所以，
由条件②得，所以，即，解得，
因为，所以，所以，
经验证，符合题意；
选择条件①③：
由条件①即已知，可得，所以，
由条件③得，解得，
因为，所以，所以，
选择条件：②③：
由条件②得，所以，即，解得，
因为，所以，所以，
由条件③得，解得，此时不唯一，不符合题意.
（2）
解：由函数
，
因为，所以，
所以当，即时，函数取得最大值，最大值为.
