2024年单招数学复习精选题（二）（含解析）

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2024年单招数学复习精选题（二）
一、单选题
1．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 “第一枚硬币正面朝上”，事件 “第二枚硬币反面朝上”，则下列结论中正确的是（　　）
A． 与 相互独立 B． 与 互斥
C． 与 相等 D．
2．某工厂为研究某种产品产量 （吨）与所需原材料 （吨）的相关性，在生产过程中收集了4组对应数据 ，如表所示：
3 4 5 6
2.5 3 4
根据表中数据，得出 关于 的经验回归方程为 ，据此计算出样本点 的残差为0.2，则表中 的值为（　　）
A．4.3 B．1.5 C．4.8 D．5
3．在等差数列 中， ， ，则 （　　）
A．19 B．-19 C．15 D．-15
4． （ ）
A． B． C． D．
5．圆与圆的位置关系是（　　）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
6．圆的一条直径的两个端点是，则此圆的方程是（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，在平行六面体 中， 为 与 的交点，若 ， ， ，则下列向量中与 相等的向量是（　　）
A． B．
C． D．
8．在等比数列 中， ，则 （　　）
A．64 B．32 C．16 D．8
9．直线的倾斜角为（　　）
A．75° B．105° C．165° D．15°
10．已知集合，，则（　　）
A． B．
C． D．
二、多选题
11．已知等差数列 的前 项和为 ， ， ，则下列选项正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．当且仅当 时， 取得最大值
三、填空题
12．命题“”的否定是　 　．
13．若不等式 的解集为 ，则 　 　.
14．同时掷两枚骰子，则点数和为7的概率是　 　.
15．对一个物理量做次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果，已知测量结果服从正态分布，为使测量结果在的概率不小于，则至少测量　 　次.（参考数据：若，则.
16．已知向量 ， ，若 ，则实数 等于　 　
四、解答题
17．在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 .
（1）证明： ；
（2）若 ， ，求 的面积.
18．已知 、 、 是 的内角， 、 、 分别是其对边长，向量 ， ，且 .
（1）求角 的大小；
（2）若 ，求 面积的最大值.
19．将7名应届师范大学毕业生分配到3所中学任教.（最后结果用数字表示）
（1）4个人分到甲学校，2个人分到乙学校，1个人分到丙学校，有多少种不同的分配方案？
（2）一所学校安排4个人，一所学校安排2个人，一所学校1个人，有多少种不同的分配方案？
（3）其中有两所学校都各安排3个人，另一所学校安排1个人，有多少种不同的分配方案？
20．某科技公司2019年实现利润8千万元，为提高产品竞争力，公司决定在2020年增加科研投入．假设2020年利润增加值 （千万元）与科研经费投入 （千万元）之间的关系满足：① 与 成正比，其中 为常数，且 ；②当 时， ；③2020年科研经费投入 不低于上一年利润的25%且不高于上一年利润的75%．
（1）求 关于 的函数表达式；
（2）求2020年利润增加值 的最大值以及相应的 的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】事件 “第一枚硬币正面朝上”，事件 “第二枚硬币反面朝上”，
可知两事件互不影响，即 与 相互独立，A符合题意；
由于事件 与事件 能同时发生，所以不为互斥事件，B不符合题意；
显然事件 和事件 不相等，C不符合题意；
由 ， ，所以 ，D不符合题意.
故答案为：A
【分析】 先求出抛掷两枚质地均匀的硬币，所得的总的.基本事件数，再对应各个选项逐个判断即可.
2．【答案】B
【解析】【解答】根据样本 出的残差为 ，即 ，可得 ，
即回归直线的方程为 ，
又由样本数据的平均数为 ， ，
所以 ，解得 .
故答案为：B
【分析】 先由残差求出a的值，然后确定线性回归方程，再利用线性回归方程必过样本中心，即可求出m的值.
3．【答案】A
【解析】【解答】设等差数列的公差为 ，
由 ， ，
可得：，
.
故答案为：A
【分析】根据等差数列的通项公式，结合已知可得方程组，解方程组求出首项和公差，再利用等差数列的通项公式进行求解即可.
4．【答案】A
【解析】【解答】解：由题意得，，则z=1-3i.
故答案为：A
【分析】先化简求出 ，然后可得复数z .
5．【答案】C
【解析】【解答】解：由圆C1：x2+y2-6x-7=0得：圆心C1(3，0)，半径r1=4，
由圆C2：得：圆心C2，半径r2=1，
所以，所以，
所以两圆相交，故选：C.
【分析】由两圆的方程分别求得两圆的圆心坐标和半径，再求圆心距，与两圆半径之和、之差比较大小，进而得到两圆的位置关系.
6．【答案】D
【解析】【解答】解：设所求圆方程为，因为 圆的一条直径的两个端点是，所以所以所求圆方程为.
故答案为：D.
【分析】根据已知直径两端点，求得AB中点为圆心，AB距离的一半为半径.
7．【答案】D
【解析】【解答】解：因为平行六面体 中， 为 与 的交点
所以 为 的中点，
因为 ， ， ，
所以
故答案为：D
【分析】根据题意由向量的加减运算法则，整理化简计算出结果即可。
8．【答案】C
【解析】【解答】
故答案为：C
【分析】由已知条件利用等比数列的性质，求得答案即可。
9．【答案】C
【解析】【解答】解：由，，
故答案为：C
【分析】由，得斜率，根据诱导公式化简即可.
10．【答案】B
【解析】【解答】，，.
故答案为：B.
【分析】利用交集的定义可求得集合 即可.
11．【答案】A,C
【解析】【解答】解：设等差数列 的公差为 ，
则 ，解得 .
所以 ， ， ，
所以当且仅当 或 时， 取得最大值.
故答案为：AC
【分析】根据题意由等差数列的通项公式整理已知条件，由此计算出公差的值，然后由等差数列的前n项和公式结合二次函数的性质即可得出答案。
12．【答案】
【解析】【解答】命题“”是全称量词命题，其否定是“”.
故答案为：
【分析】利用含有一个量词的命题的否定直接求解作答.
13．【答案】
【解析】【解答】由不等式 的解集为 ，所以 是方程 的根，由韦达定理得 .
【分析】利用一元二次不等式求解集的方法结合韦达定理求出a的值。
14．【答案】
【解析】【解答】依题意，记抛掷两颗骰子向上的点数分别为，，则可得到数组共有组，其中满足的组数共有6组，分别为，，，，，，
因此所求的概率等于。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合古典概型求概率公式，进而求出同时掷两枚骰子，则点数和为7的概率。
15．【答案】32
【解析】【解答】根据正态曲线的对称性知：要使误差在的概率不小于0.9545，
则且，，
所以，解得，所以至少要测量32次.
故答案为：32
【分析】因为，得到，，要使误差在的概率不小于0.9545，则，得到不等式计算即可.
16．【答案】
【解析】【解答】由题意，向量 ， ，因为 ，所以 ，解得 .
【分析】根据向量的共线的条件，得到 ，即可求解，得到答案.
17．【答案】（1）证明：因为
所以
所以
所以
因为 ，
所以
（2）由（1）可知 ，则
由余弦定理可得
则
即
解得
因为
所以
则 的面积为 .
【解析】【分析】 （1）首先利用正弦定理边角互化，再结合两角差的正弦公式证明；
（2）根据（1）再结合余弦定理，求出a与sinC的值，然后代入面积公式求解出答案即可。
18．【答案】（1） ， ， ，
，
由正弦定理得 ，整理得 ，
，
， ；
（2）在 中， ， ，
由余弦定理知 ，
由基本不等式得 ，当且仅当 时等号成立， ，
，因此， 面积的最大值为 .
【解析】【分析】(1)由向量的坐标公式整理得出，然后由正弦定理整理得出，再由余弦定理计算出cosA的值，由此即可求出角A的大小。
(2)根据题意由三角形中的几何关系，计算出a的值然后由余弦定理代入数值，整理得出然后由基本不等式计算出，代入三角形的面积公式计算出最大值。
19．【答案】（1）解： （种）
（2）解： （种）
（3）解： （种）
【解析】【分析】(1)利用组合的知识求解；（2）先不均匀分组，再分配到学校即可求解；（3）先不均匀分组，再分配即可.
20．【答案】（1）解：设 ，
当 时， ，可得 ，
所以 ，
因为 不低于上一年利润的25%且不高于上一年利润的75%；
所以定义域为 ，
所以 关于 的函数表达式为 ， ．
（2）解：令 ， ， ．
则 ．
当 时， 恒成立， 在 上单调递增，
此时， ．
当 时， ，
在 单调递减，在 单调递增，
此时， ．
又 ， ，
所以 ，
当 时， ， ， ．
当 时， ， ， ．
综上：当 时，科研经费投入6千万元，利润增加值 的最大值为 千万元；
当 时，科研经费投入2千万元，利润增加值 的最大值为 千万元．
【解析】【分析】(1)根据题意设出函数 结合当x=2时，y=4+t列式求得k值，可得函数解析式，再由题意求出x的范围可得函数定义域；
(2) 由已知条件求得函数的导函数，然后对t分类可得 在[2，6]上的单调性，然后求解最值，并求得相应的x值.
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