天津市部分区 2023～2024 学年度第一学期期末练习
高三数学参考答案
一、选择题：本大题共 9小题，每小题 5分，共 45 分。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 D A C C D B D A B
二、填空题：本大题共 6小题，每小题 5分，共 30 分。试题中包含两个空的，
答对 1个的给 3分，全部答对的给 5分。
1 2i
（10） （11）135 （12）0.42 0.88
5
5
（13） (x 7)2 (y 2 3)2 64 （14） （15） 3,4 ， , 2 ．
2
三、解答题：本大题共 5小题，共 75 分．解答应写出文字说明，证明过程或演
算步骤．
（16）（本小题满分 14分）
解(Ⅰ)由正弦定理及已知 sin A sinC 2sin B ,有a c 2b, …………1分
已知 a 4,可得 c 2b 4 ;
b2 c2 a2 3
由余弦定理 cosA 3 2 2,可得b c 16 bc ………3分
2bc 4 2
将 c 2b 4代入,整理得b2 5b 0, ………………4分
解得b 5或b 0（舍），所以b 5. ………………5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得b 5,所以 c 2b 4 6. ………………6分
2
cosC a b
2 c2 16 25 36 1
由余弦定理 ; …………9分
2ab 40 8
(Ⅲ)又因为 cosC
1
63，所以
8 sinC 1 cos
2 C ， ………………10分
8
所以 tanC
sinC
63 ………………11分
cosC
tan(C ) tanC 1 63 1 32 63所以 . …………14分
4 1 tanC 63 1 31
高三数学期末练习参考答案 第 1 页（共 7 页）
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（17）（本小题满分 15分）
解(Ⅰ)证明：因为DG 平面 ABCD， AD CD
因此以D为坐标原点，分别以 DA、DC、DD x1 的方向为 轴，y轴，
z轴的正方向建立空间直角坐标系，
由题意可得D 0,0,0 ，A 2,0,0 ，B 1,2,0 ，C 0,2,0 ，A1 2, 0,1 ，C1 0, 2,1 ，D1 0, 0, 2 ，
……………1分
所以CD1 0, 2,2 · ………………2分
设m (x, y, z)为平面 A1BC1的法向量，
A1B ( 1,2, 1)， A1C1 ( 2,2,0)，
m A1B x 2y z 0
则 ，不妨令 x 1，可得m (1,1,1)；
m BC 2x 2y 0
………………4分
所以CD1 m 0，得CD1 m，
又 直线CD1 平面 A1BC1，所以CD1 //平面 A1BC1． …………5分
高三数学期末练习参考答案 第 2 页（共 7 页）
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(Ⅱ)由题意知平面 A1ADD1的法向量为 n (0,1,0) ………………6分
设平面 A1ADD1与平面 A1BC1的夹角为 ，
则 cos
|
m n | 1 3
3 ………………9分|m | | n | 3
所以平面 A1ADD1与平面 A1BC
3
1的夹角的余弦值为 . …………10分3
(Ⅲ)因为 A1B ( 1,2, 1)，设直线 A1B的单位方向向量为u，
A B u 1 6 , 6 6
则 ………………12分A1B 6 3 6
设点C到直线 A1B的距离为 d，
2 2 1 30则 d BC BC u 1 ………………14分6 6
所以点C A 30到直线 1B的距离为 . …………15分
6
（18）（本小题满分 15分）
解：(Ⅰ)设点M 的坐标为 (x, y)，因为点 A的坐标是 ( 4,0)，
y
所以直线 AM 的斜率 kAM (x 4) . …………1分x 4
y
同理，直线 BM 的斜率 kBM (x 4) . ………………2分x 4
高三数学期末练习参考答案 第 3 页（共 7 页）
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y y 3
由已知，有 (x 4) ………………3分
x 4 x 4 4
2 2
化简，得C x y的方程为 1 (x 4) ………………5分
16 12
x2 y2
(Ⅱ)将 x 2代入方程 1 (x 4) ,可得 y 3
16 12
由图形的对称性，不妨取 E(2,3)， F (2, 3) . ………………6分
设 AEF的外接圆的圆心坐标为D(t, 0)，由 | DA | | DE |，得
1 1
(t 4)2 (t 2)2 9，求得 t ，所以D( , 0) ……………7分
4 4
k 4DE ， ………………8分3
3
所以切线 EP斜率为： kEP ， ………………9分4
所以直线 EP的方程为 y 3
3
(x 2)，即3x 4y 18 0…………10分
4
x2 y2
1，
由方程组 16 12 消去 y，整理得7x2 36x 44 0 ………11分
3x 4y 18 0，
x 22P , y
15
P ， ………………12分7 7
22 2 15 2| EP | x x 2 y y 2 10 E P E P 2
3 ，……13分
7 7 7
|12 18 | 6
点B到直线 EP的距离 d ， ………………14分
5 5
1
BPE的面积为 S | EP | d，
2
S 1 10 6 6所以有 BPE . ………………15分2 7 5 7
高三数学期末练习参考答案 第 4 页（共 7 页）
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（19）（本小题满分 15分）
解(Ⅰ)设等差数列 an 的首项和公差分别为 a1，d ，
2d 4
由题意可知
2a1 7d 0
， ………………1分
d 2
解得 ， ………………2分
a1 7
所以 an 7 2 n 1 2n 9． ………………3分
易知当 n 5,n N*时， an 0；当1 n 4,n N*时， an 0，…4分
30
所以 ak a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a30
k 1
a1 a2 a30 2 a1 a2 a3 a4
30 7 30 29 2 2 4 7 4 3 2
6922 2
………………7分
(Ⅱ)由m an 11，即m 2n 2，即m 2n 1， ………………8分
所以bn 2n 1， ………………9分
n b1 bS n 所以 n n 2 2n n n 2 ………………10分2
3n 2 2n 3n 2 2n n 2c c 2 2
n
n n 1 ， ……………12分Sn n n 2 n 2 n
T2n 1 c1 c2 c3 c4 c5 c6 c7 c2n 2 c2n 1 c2n c2n 1
24 22 26 24 28 26 22n 22n 2 22n 2 22n
1 4 2 6 4
8 6 2n 2n 2 2n 2 2n
22n 2
1. ………………15分
2n 2
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（20）（本小题满分 16分）
解(Ⅰ) f x ln x 1 ， f (x) 1 ， ………………1分
x 1
所以 f (0) 1，而 f (0) ln1 0， ………………2分
所以，切线方程为 y x . ………………3分
(Ⅱ)设 p x g x f x 1 ex ln x 1 1 x 1 ，
p x ex 1 ， ………………4分
x 1
令 q(x) p x 1 ex ， q (x) ex 1 0
x 1 (x 1)2
所以 q x 在 1, 单调递增， ………………5分
又因为 q(0) 0
所以，当 x 0时，q x 0，得 p x 0，
当 1 x 0时， q x 0，得 p x 0，
所以 p x 在 1,0 单调递减， 0, 单调递增， ………………7分
所以 p x p 0 ，而 p 0 0，∴ p x 0，即
g x f x 1． ………………8分
(Ⅲ)令m x ax f x g x x 1 x 0 ，
则m x a ln x 1
1
1 1 e
x x 0 ，且m 0 0， ………9分
x 1
令 h x m x ，则h x 1 1 a ex， ………………10分
x 1
2 x 1
y 1因为 2 , y
1
x 1 x 1在 0, 上单调递减，
d (x) 1 1令 x 1 2 x 1，则 d (x)在 0, 上单调递减，
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且 h 0 2a 1， ………………………………11分
1
①当 2a 1 0，即 a 时，因为 x 0，
2
则 d x 0, 1 ,ex 1 h x 1 d x ex 1 3 ，可得 1 02 2 4 4 ，
则 h x 在 0, 上是减函数，可得 h x h 0 0，即m x 0，
所以m x 在 0, 上是减函数，则m x m 0 0恒成立，
即 ax f x g x x 1恒成立，符合题意； ………………13分
1 1 1
②当 2a 1 0 x，即 a 时，h x a 2 e 在 0, 2 x 1 上是减函数， x 1
且 h 0 2a 1 0，当 x趋近于 时， h x 趋近于 ，
则存在 x0 0, ，使得h x0 0，
当 x 0, x0 时， h x 0，h x 在 0, x0 上是增函数，此时h x h 0 0，
所以当 x 0, x0 时，m x 0，此时m x 在 0, x0 上是增函数，
所以m x m 0 0，即ax f x g x x 1，不符合题意；……15分
1
综上所述：实数 a的取值范围为 , 2 ． ……………16分
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（4)已知函数f(x)在[4,4上的大致图象如图所示，则
高三数学
∫(x)的解析式可能为
本试卷分为第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，
A.f(x)=cos
2
B.-o受
考试用时120分钟。祝各位考生考试顺利1
c.f(x-sin受
D.f(s)-x.sin
第1卷（共45分）
(5)已知等比数列{a,}的前n项和是S.,且4=24=6a2-18,则S,-
注意事项：
A.30
B.80
C.240
D.242
1,每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需
(6)从4名女生、6名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取5名学生组成
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
课外小组，则不问的抽取方法种数为
A.1440
B.120
C.60
D.24
2.本卷共9小题，每小题5分，共45分。
参考公式：
(7)将函数了()-s血2的图象向左平移名个单位长度，得到函数g()的图象。
·如果事件A,B互斥，那么P(AUB)=P(A)+P(B)
则g(x)所具有的性质是
·如果事件A,B相互独立，那么P(AB)=P()P(B,
A.图象关于直线x=严对称
6
·棱锥的体积公式V-写S弘，其中S表示棱锥的底面面积，h表示棱锥的高。
B图象关于点（经0成中心对称
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合盟目要求的.
C.(因的一个单调递增区问为[受引
(1)已知全集U={0,l2,3,4,5},集合A={L,2,4,B={2,5},则(CUB=
D.曲线y=g()与直线y=5的所有交点中，相邻交点距离的最小值为君
2
A.{1,2,4,5}B.{2}
C.{03}D.{0,2,35}
4
（8)已知三棱维S-ABC中，∠SAB=∠ABC=交，SB=2,SC=5,AB=1,
(2)设x∈R,则“x>0”是“x2+x>0”的
BC=3,则三棱S一ABC的体积是
A,充分不必要条件
B.必要不充分条件
A.5
B.5
C.2
D.25
D.既不充分也不必要条件
2
C。充要条件
3)已知a=44,b=日）
言-若=1(@>0b>0)的离心率为号，实轴长为4，C的两个
(9)双曲线c:-上
(2
,c=log,3,则a,b,c的大小关系为
焦点为，5设O为坐标原点，若点P在C上，且c0s∠RP5-寻，则
A.c
B.alOPH
C.cD.bA.2
B.万
C.22
D.25
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