人教版小学数学五年级下册8.《数学广角-找次品》寒假预习（含答案解析）
文档属性
| 名称 | 人教版小学数学五年级下册8.《数学广角-找次品》寒假预习（含答案解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 174.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-23 13:11:45 | ||
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文档简介
寒假预习-数学广角-找次品
人教版数学 五年级下册
一、填空题
1．有5个外形完全一样的零件，其中有一个是次品，根据下图可以推断出( )号一定是正品。
2．有20颗外形完全相同的珠子，其中有1颗是次品。次品会比正品轻。如果用天平称，至少称( )次保证能把次品找出来。
3．用尽可能少的次数找出次品，你会对待测物品进行分组吗？
待测物品个数 首次分成
6 （2，2，2）
14 （ ， ， ）
25 （ ， ， ）
4．妈妈买了7瓶质量相同的水果糖，其中一瓶被妹妹吃了几颗，用天平至少称( )次能保证找出这瓶水果糖。
5．闽侯橄榄是福建珍果，营养丰富。林奶奶有5袋包装一样的橄榄，其中4袋质量都是1kg，另1袋质量不是1kg，但不知道比1kg重还是轻。如果用天平称，至少称( )次就可以保证找出这袋橄榄。
6．有若干瓶同样的巧克力豆，其中1瓶开盖吃了几颗。如果现在用天平称了3次就找到了开盖的那一瓶，那么这些巧克力豆最多有( )瓶。
7．称一称。
有8支牙膏（编号分别为①②③④⑤⑥⑦⑧），其中7支质量相同，1支是次品（轻一些）。用天平找出这支牙膏，至少要称（ ）次。试着在下图中表示出称的过程。
8．用一架无砝码的天平从24盒饼干中找出一盒稍轻的次品，至少需要称( )次才能保证找到；第一次可以把饼干这样分：( )。
二、判断题
9．有7瓶钙片，其中有一瓶少了5片，用天平至少称2次能保证把它找出来。( )
10．81瓶口香糖中混有1瓶略轻的口香糖，用天平称，至少称5次一定可以找到那瓶略轻的口香糖。( )
11．用天平找次品（次品为1个，轻一些），要辨别的物品数量是10~20个，保证能找出次品需要测的次数最少是4次。( )
12．24个玻璃球中有一个质量偏重的，用天平称至少3次就一定能找出这个玻璃球。( )
13．有①、②、③、④、⑤5个零件，其中有1个质量稍轻的次品。根据下图可以推断出②③④⑤号零件一定不是次品。( )
三、选择题
14．有23个零件，其中22个质量相等，有1个是次品，次品质量轻一些，用天平秤，至少称（ ）次就能找出这个次品。
A．1 B．2 C．3 D．4
15．下列说法中正确的是（ ）。
①用天平找次品，最好把所称的物品分成相等的3份，就能保证用最快的速度找出次品。
②一把钥匙开一把锁。现在有4把钥匙、4把锁，但不知哪把钥匙开哪把锁，最多试6次就一定能配好全部的钥匙和锁。
③用天平找次品时，所称物品的数目与称的次数成倍数关系。
④有3个零件，其中1个是次品，但是不知道是轻还是重。用天平称，至少称1次就能够找到。
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
16．有4颗外表一模一样的玻璃珠，其中有1颗玻璃珠是次品（质量轻一些）。根据下面小华找次品的过程，可以知道（ ）号玻璃珠是次品。
A．④ B．③ C．② D．①
17．百味盐为先，福建“闽盐”牌生态海盐是有名的老字号海盐。有4袋海盐，其中3袋质量都是500g，另有1袋质量不是500g，但不知道是比500g轻还是比500g重。如果用天平称，至少需要称（ ）次才能知道这袋海盐是比500g重还是轻。
A．1 B．2 C．3 D．4
18．有8瓶同样的钙片，其中1瓶被吃了3片。要找出这瓶比较轻的钙片，如果用天平称，下面（ ）种分法比较合理。
A． B． C． D．
四、解答题
19．8个零件里有1个次品（次品重一些）。假如用天平称，至少称2次能保证找出次品。下面是找次品的流程图。
26个零件里有1个次品（次品重一些）。假如用天平称，至少称几次能保证找出次品？仿照上面的流程图，在下面的方框里画出能保证找出次品的需要最少次数的流程图。
20．1箱糖果有15袋，其中有14袋质量相同，另有1袋质量不足，轻一些。至少称几次能保证找出这袋糖果来？你会用下面的图表示出来吗？
21．黄阿姨买了9盒饼干，其中1盒少了6块。
（1）如果用天平称，至少称几次可以把它找出来？
（2）如果天平两边各放4盒，称一次有可能找出来吗？
22．有61盒维生素C，其中1盒稍微轻一些，如果用天平称，至少称多少次就能保证找出这盒稍微轻一些的维生素C？（请用合适的方式简要表示出你的思考过程）
参考答案：
1．⑤
【分析】次品的质量可能比正品轻，也可能比正品重，此时天平不平衡，说明次品在天平上，那么剩下的一个一定是正品，据此解答。
【详解】分析可知，次品一定在①②③④中，可以推断出⑤号一定是正品。
【点睛】掌握找次品问题的解题方法是解答题目的关键。
2．3
【分析】每次称重，将物品尽可能平均分成三部分，两个数目相等的部分放在天平的两边，第三部分放在手里。如果天平不平衡，则次品在天平的某一个托盘中，如果天平平衡，则次品在手里；接下来，继续对含有次品的部分再尽可能平均分成三部分，重复上述的操作即可找到次品。分了几次三部分，则就至少需要称重几次。3×3＝9，3×3×3＝27，因为20＞9，20＜27，所以至少需要称重3次。
【详解】3×3＝9；
3×3×3＝27；
因为20＞9，20＜27；
所以至少需要称重3次。
【点睛】考查找次品的问题，分3份操作找到最优方法。
3． 5 5 4 8 8 9
【分析】根据找次品的方法，一般把零件分成3份，尽量平均分，不平均时可以让第三份少一些，然后进行称量，这样可以尽量少的次数找到次品。
【详解】由分析可知，要把待测物品尽量平均分成三份，若不能平均分，则个数相差1即可。
待测物品个数14个，首次可分为5、5、4；
待测物品个数25个，首次可分为8、8、9。
【点睛】本题考查找次品问题，明确分成三份的方法是解题的关键。
4．2
【分析】将7瓶水果糖分组，考虑最不利的情况，利用天平的平衡性称出质量轻的一瓶。
【详解】将质量轻的一瓶当作次品。
第一次，将7瓶水果糖分成（3，3，1）三份，将（3，3）两份放在天平的两端，若天平平衡，则次品是未称的那份；若天平不平衡，次品在天平较高的一端；
第二次，将含有次品的3瓶，分成（1，1，1）三份，将其中两份放在天平的两端，若天平平衡，则次品是未称的那份；若天平不平衡，次品在天平较高的一端；
由此可找到轻的一瓶。
所以用天平至少称2次能保证找出这瓶水果糖。
【点睛】利用天平的平衡原理解决问题，解答时注意，分组时是从中任意取3瓶，体现公平性。
5．3
【分析】天平是用来称量物体质量的工具，此题并不是称量物体的质量，而是使用天平来比较物体质量的大小。所以，在调好的天平两盘中分别放上物体，当哪边的托盘上升，则说明这边托盘中的物体质量偏小。
【详解】把5袋橄榄分成2、2、1三组，分别表示为ab、cd、e。
先用ab和cd称，有以下可能：①一样重，则次品就是e，仅用了1次；
②不一样重，则次品就在ab、cd中。
假设ab轻，可以把a和c互换位置，
如果质量没变，那么次品是b或d，再称1次即可；
如果质量变了，次品就是a或c，再称1次即可。共需3次。
【点睛】该题考查了利用天平判断物体质量的技能，需要学生开动脑筋，借助一定的数学思维方式进行解答。
6．27
【分析】求巧克力豆最多有几瓶，说明称了3次，分成了3组，并且每组的数量相等。
【详解】3×3×3＝27（瓶）
【点睛】在用天平找次品的时候，要考虑最不利的情况。
7．2；⑦；⑧；次品；③；次品
【分析】将①②③④⑤⑥平均分成2部分，平衡，说明次品在⑦⑧中，称⑦⑧，不平衡，轻的是次品；如果将①②③④⑤⑥平均分成2部分，不平衡，次品在轻的一侧，称①②，平衡，③是次品，不平衡，轻的是次品。
【详解】至少要称2次。
【点睛】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
8． 3 分成3份，每份8盒饼干
【分析】把所有物品尽量平均分成3份，让每份数量尽量平均，可以保证找出次品的称量次数最少。
【详解】把24盒饼干平均分成3等份。
第一次：拿两份各8包，放在天平左右两边。那么有两种情况。
A：天平两边平衡，则次品在第三份的8包中。
B：天平不平衡，低的那端含一盒次品。
如果出现情况A，把第三份8包分成3、3、2。把两份各3盒的放在天平两端，如果平衡，那么剩下的2包中必有一包是次品。如果不平衡，则低的一端含次品。把含有次品的3包再分成1、1、1。天平两端各放1盒，则可找出次品。
如果出现情况B，那天平低的一端的8包分成3、3、2。步骤同情况A中称量8包的操作一样进行。
【点睛】本题考查用天平找次品，掌握操作步骤是解答本题的关键。
9．√
【分析】7瓶钙片，其中有一瓶少了5片，说明有一瓶是次品，次品比正品轻，采用三分法进行判断。
【详解】将7瓶钙片编号为1~7，分成3组，第一组1~2，第二组3~4，第三组5~7；
先将第一组和第二组进行称量：
（1）若平衡，次品在5~7中，再选5和6称量，若平衡，次品是7号，若不平衡，轻的一瓶是次品，两次即可；
（2）若平衡，次品在较轻的一组，假设第一组较轻，那么将1和2称量，肯定不平衡，轻的一瓶是次品，两次即可；
综上所述，至少称2次能保证把次品找出来；
故答案为：√。
【点睛】本题考查的是找次品的问题，若n个商品中只有一个次品，且比正品轻，当时，至少需要1次，当时，至少需要2次，当时，至少需要3次，依此类推。
10．×
【分析】第一次：把81瓶口香糖分成（27、27、27）三组，称量任意两组，若天平平衡，则另外的那一组里有次品；若天平不平衡，则天平较高端的那一组里有次品；
第二次：把有次品的27瓶分成（9、9、9）三组，称量任意两组，若天平平衡，则另外的那一组里有次品；若天平不平衡，则天平较高端的那一组里有次品；
第三次：把含有次品的那一组再分为（3、3、3）三组，称量任意两组，若天平平衡，则另外的那一组里有次品；若天平不平衡，则天平较高端的那一组里有次品；
第四次：把含有次品的那一组再分为（1、1、1）三组，称量任意两组，若天平平衡，则另外的那一组里有次品；若天平不平衡，则天平较高端的那一组里有次品。
【详解】由分析可知：要找出81瓶中那瓶略轻的口香糖，如果用天平称，至少称4次能保证找出这瓶略轻的口香糖。
故答案为：×
【点睛】本题考查找次品问题，明确把待测物品尽量平均分成三份是解题的关键。
11．×
【分析】假设有15个物品，将物品按组分配，再考虑最不利的情况，利用天平平衡的原理来解决问题。
【详解】第一次，将15个零件按个数分成5、5、5三组，称量5、5两组，若天平平衡，则另外的那5个里有次品；若天平不平衡，次品在天平较高的一端；
第二次，将有次品的一组按个数分成2、2、1三组，称量2、2两组，若天平平衡，则另外1个未称的是次品；若天平不平衡，次品在天平较高的一端；
第三次，将有次品的一组2个，分别放在天平的两端，次品在天平较高的一端；
考虑最不利原则，保证能找出次品需要测的次数最少是3次。
故答案为：×
【点睛】解答此题的关键是将零件进行合理的分组，逐次称量，进而找出次品。
12．√
【分析】第一次：把24个玻璃球平均分成3组（8，8，8），把任意两组放在天平上称，如平衡，则质量偏重的玻璃球在没称的一组；如不平衡，质量偏重的玻璃球在天平下降的一端；
第二次：把8个玻璃球再平均分成3组（3，3，2），把两组3个的放在天平上称，如不平衡，质量偏重的玻璃球在天平下降的一端；如平衡，则质量偏重的玻璃球在没称的一组；
第三次：如果质量偏重的玻璃球在3个球中，把3个玻璃球再平均分成3组（1，1，1），把任意2个玻璃球放在天平上称，如平衡，质量偏重的玻璃球是未称的那个，如不平衡，则质量偏重的玻璃球在天平下降的一端；如果质量偏重的玻璃球在2个球中，把2个玻璃球再平均分成2组（1，1），把2个玻璃球放在天平上称，质量偏重的玻璃球在天平下降的一端；所以用天平称至少3次就一定能找出这个玻璃球，据此判断即可。
【详解】用天平称至少3次就一定能找出这个玻璃球，故原题说法正确。
故答案为：√。
【点睛】本题主要考查了找次品，合理的分组是解决本题的关键。
13．×
【分析】根据题意，由于只有1个质量稍轻的次品，可以肯定这个次品在天平的左边，其他的都是正品，据此即可解答。
【详解】由分析得：
因为①＋②＜③＋④
所以次品在①和②中，③④⑤都是正品。
因此根据下图可以推断出②③④⑤号零件一定不是次品。原题说法错误。
故答案为：×
【点睛】本题主要考查找次品的方法，根据天平作出判断是关键。
14．C
【分析】天平是用来称量物体质量的工具，此题并不是称量物体的质量，而是使用天平来比较物体质量的大小，所以，在调好的天平两盘中分别放上物体，当哪边的托盘上升，则说明这边托盘中的物体质量偏小。
【详解】把23个零件分成（8、8、7）三组；
第一次称天平两边各放8个，有两种情况：如果天平平衡，则没称的那7个里有1个是次品，如果天平不平衡，则较轻的那一端的8个里有1个是次品。
天平平衡的情况：把没称的7个分成（3、3、1）三组，第二次称，天平两边各放3个，如果天平平衡，则没称的1个是次品，如果天平不平衡，则较轻的那一端的3个里有1个是次品；把较轻的3个分成（1、1、1）三组，第三次称，天平两边各放1个，如果天平平衡，则没称的1个是次品，如果天平不平衡，则较轻的那一端的1个是次品。
天平不平衡的情况：把较轻的8个分成（3、3、2）三组，第二次称，天平两边各放3个，有两种情况：
①如果天平平衡，则没称的2个里有1个是次品，把没称的2个分成（1、1）两组，第三次称，天平两边各放1个，天平不平衡，则较轻的那一端的1个是次品。
②如果天平不平衡，则较轻的那一端的3个里有1个是次品；把较轻的3个分成（1、1、1）三组，第三次称，天平两边各放1个，如果天平平衡，则没称的1个是次品，如果天平不平衡，则较轻的那一端的1个是次品。
所以至少称3次就能找出这个次品。
故答案为：C
【点睛】此题考查了对找次品规律的灵活运用，关键是分成三组。
15．A
【分析】用天平一次称两个，不用砝码，一边托盘放一个，看天平是否平衡，如果平衡，可以知道两个一样重，余下的那一个就是次品，但还不知道次品是轻还是重，需要用一个合格品和次品比较得出次品的轻重；如果第一次称不平衡，可知其中一个是次品，我们可以用重的一个再和余下的那一个比较，判断次品的轻重。
【详解】①次品主要的特征是在重量上不符合标准，偏轻或偏重。找次品方法：一是把待测物品平均分成3份，二是要分的尽量平均，能够均分的平均分成3份，不能均分的，可以使多的一份与少的一份相差1；用天平秤其中相等的2份，若平衡，次品在余下的一份中，若不平衡，次品在稍高或稍低的1份中，这样一次就能排除掉的物品，是最快捷的方法，所以选项说法正确。
②想极端情况：
第1步，任意拿1把钥匙开锁，尝试3次未打开，这把钥匙一定能打开剩下的1把锁，需3次；
第2步，再任意拿1把钥匙开锁，尝试2次未打开，这把钥匙一定能打开剩下的1把锁，需2次；
第3步，再任意拿1把钥匙开锁，尝试1次未打开，这把钥匙一定能打开剩下的1把锁，需1次；
最后1把钥匙与最后的锁肯定配对不用试。
所以最多要试3＋2＋1＝6（次）；所以选项说法正确。
③需要称量n次，待测物品的数量就在n－1个3相乘的积与n个3相乘的积之间；但是不成倍数关系，所以选项说法错误。
④把3个零件中的两个放在天平的两端，如果天平平衡，则次品就是余下的那一个，天平上的两个都是合格品，把一个合格品取下，换上次品，看次品那边是上升还是下降，上升就是比合格品轻，下降就是比合格品重，天平称两次可得结果；如果把3个零件中的两个放在天平的两端，如果天平不平衡，则其中有一个是合格品，一个是次品，但不知道哪一个是次品，把重的那一个取下，换上余下的那一个，如果重的依然还重，则重的那个就是次品，如果换上后，天平平衡，则轻的那个就是次品，还是称两次就能判断出次品是轻还是重。所以用天平至少称2次就能判断出次品比合格品轻还是重，选项说法错误。
故答案为：A
【点睛】本题主要考查找次品方法，本题也可以用特值法验证。
16．C
【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
【详解】次品质量轻一些，观察左图次品在①②中，观察右图次品是②。
故答案为：C
【点睛】在生活中，常常出现这样的情况：在一些看似完全相同的物品中混着轻一点或者重一点的物品，需要我们想办法把它找出来，我们把这类问题叫做找次品。
17．B
【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
【详解】把4袋海盐分成1、1、2三组，编号分别为①②③④。先称①和②，有以下两种可能：一样重，则次品就是③或④，再用①与③称，若平衡，次品就是④，若不平衡，次品就是③；不一样重，则次品就是①或②，再用③与①称，若平衡，次品就是②，若不平衡，次品就是①。两种可能，都需2次。
故答案为：B
【点睛】在生活中，常常出现这样的情况：在一些看似完全相同的物品中混着轻一点或者重一点的物品，需要我们想办法把它找出来，我们把这类问题叫做找次品。
18．D
【分析】天平是用来称量物体质量的工具，此题并不是称量物体的质量，而是使用天平来比较物体质量的大小。所以，在调好的天平两盘中分别放上物体，当哪边的托盘上升，则说明这边托盘中的物体质量偏小。
【详解】把8瓶钙片分成三份，分别是：3瓶、3瓶、2瓶；先把两份3瓶的分别放在天平的两边，如果平衡，就把剩下的两瓶分别放在天平的两边，即可找出轻一些的那瓶来。如果不平衡，看哪边轻，把稍轻的那边的3瓶，取2瓶分别放在天平的两边，若平衡就是没往天平上放的那一瓶，若不平衡，哪边轻哪边就是那瓶轻的，所以至少要称2次，才能保证找出那瓶轻一些的钙片。
故答案为：D
【点睛】本题考查了找次品，找次品时，第一次分组尽量将样品分成数量相等或数量相近的3份。
19．见详解
【分析】根据题意，把26个零件分成3份（9个、9个、8个），取其中9个的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，在质量较重的在未取的一份中，若天平不平衡，取较较重的一份继续；第二次，取含有较重的一份（9个或8个）分成3份（3个、3个、3个或2个），取3个的两份分别在天平两侧，若天平平衡，则较重的在未取的一份中，若天平不平衡，取较重的一份继续；第三次，取含有较重的一份（3个或2个）分别放在天平两侧，即可找到较重的一个。据此解答。
【详解】如图：
【点睛】本题主要考查了找次品，将总数进行合理的拆分是解答的关键。
20．3次；作图见详解
【分析】找次品的最优策略：
（1）把待分物品分成3份；
（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
【详解】3次；
【点睛】在生活中，常常出现这样的情况：在一些看似完全相同的物品中混着轻一点或者重一点的物品，需要我们想办法把它找出来，我们把这类问题叫做找次品。
21．（1）2次；
（2）可能
【分析】（1）由题意可知，需要找出的那盒饼干比其它饼干轻，把饼干平均分成三组，先称其中的两组，如果天平平衡那么较轻的饼干在剩下一组里面，如果天平不平衡那么较轻的饼干在天平上翘一端里面，据此找出少6块的那盒饼干，根据称重过程找出称重次数即可；
（2）把9盒饼干分成三组（4，4，1），先称数量相等的两组，如果此时天平平衡，那么剩下的一盒为质量较轻的那盒饼干，据此解答。
【详解】（1）
由上可知，至少称2次可以把它找出来。
答：如果用天平称，至少称2次可以把它找出来
（2）如果天平两边各放4盒，此时天平刚好平衡，那么剩下的一盒就是较轻的那盒饼干。
答：如果天平两边各放4盒，称一次有可能找出那盒少6块的饼干。
【点睛】掌握找次品问题的解题方法是解答题目的关键。
22．4次
【分析】将61盒分成20盒、20盒、21盒，称量同是20盒的两份，找出轻的一盒在哪份里面。若轻的一盒在20盒这份，将20盒分成7盒、7盒、6盒，称量同是7盒的两份，找出轻的一盒在哪份里面；同理若轻的一盒在21盒这份，将21盒分成7盒、7盒、7盒，任意称量同是7盒的两份，找出轻的一盒在哪份里面。以此类推直到找出次品为止，就能知道至少称量几次能找出轻的一盒。
【详解】第一次称量：将61盒分成20盒、20盒、21盒，找到轻的一盒在哪份里面；
第二次称量：将20盒分成7盒、7盒、6盒，找到轻的一盒在哪份里面；或者将21盒分成7盒、7盒、7盒，任意称量同是7盒的两份，找出轻的一盒在哪份里面；
第三次称量：找到6盒或者7盒里轻的一盒；
第四次称量：找到2盒或者3盒里轻的一盒。
答：至少称量4次能找出轻的一盒。
【点睛】本题考查运用优化策略找次品问题，找次品时，把物体分成3份，每份数量尽量平均时，可以保证所称量的次数最少。
人教版数学 五年级下册
一、填空题
1．有5个外形完全一样的零件，其中有一个是次品，根据下图可以推断出( )号一定是正品。
2．有20颗外形完全相同的珠子，其中有1颗是次品。次品会比正品轻。如果用天平称，至少称( )次保证能把次品找出来。
3．用尽可能少的次数找出次品，你会对待测物品进行分组吗？
待测物品个数 首次分成
6 （2，2，2）
14 （ ， ， ）
25 （ ， ， ）
4．妈妈买了7瓶质量相同的水果糖，其中一瓶被妹妹吃了几颗，用天平至少称( )次能保证找出这瓶水果糖。
5．闽侯橄榄是福建珍果，营养丰富。林奶奶有5袋包装一样的橄榄，其中4袋质量都是1kg，另1袋质量不是1kg，但不知道比1kg重还是轻。如果用天平称，至少称( )次就可以保证找出这袋橄榄。
6．有若干瓶同样的巧克力豆，其中1瓶开盖吃了几颗。如果现在用天平称了3次就找到了开盖的那一瓶，那么这些巧克力豆最多有( )瓶。
7．称一称。
有8支牙膏（编号分别为①②③④⑤⑥⑦⑧），其中7支质量相同，1支是次品（轻一些）。用天平找出这支牙膏，至少要称（ ）次。试着在下图中表示出称的过程。
8．用一架无砝码的天平从24盒饼干中找出一盒稍轻的次品，至少需要称( )次才能保证找到；第一次可以把饼干这样分：( )。
二、判断题
9．有7瓶钙片，其中有一瓶少了5片，用天平至少称2次能保证把它找出来。( )
10．81瓶口香糖中混有1瓶略轻的口香糖，用天平称，至少称5次一定可以找到那瓶略轻的口香糖。( )
11．用天平找次品（次品为1个，轻一些），要辨别的物品数量是10~20个，保证能找出次品需要测的次数最少是4次。( )
12．24个玻璃球中有一个质量偏重的，用天平称至少3次就一定能找出这个玻璃球。( )
13．有①、②、③、④、⑤5个零件，其中有1个质量稍轻的次品。根据下图可以推断出②③④⑤号零件一定不是次品。( )
三、选择题
14．有23个零件，其中22个质量相等，有1个是次品，次品质量轻一些，用天平秤，至少称（ ）次就能找出这个次品。
A．1 B．2 C．3 D．4
15．下列说法中正确的是（ ）。
①用天平找次品，最好把所称的物品分成相等的3份，就能保证用最快的速度找出次品。
②一把钥匙开一把锁。现在有4把钥匙、4把锁，但不知哪把钥匙开哪把锁，最多试6次就一定能配好全部的钥匙和锁。
③用天平找次品时，所称物品的数目与称的次数成倍数关系。
④有3个零件，其中1个是次品，但是不知道是轻还是重。用天平称，至少称1次就能够找到。
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
16．有4颗外表一模一样的玻璃珠，其中有1颗玻璃珠是次品（质量轻一些）。根据下面小华找次品的过程，可以知道（ ）号玻璃珠是次品。
A．④ B．③ C．② D．①
17．百味盐为先，福建“闽盐”牌生态海盐是有名的老字号海盐。有4袋海盐，其中3袋质量都是500g，另有1袋质量不是500g，但不知道是比500g轻还是比500g重。如果用天平称，至少需要称（ ）次才能知道这袋海盐是比500g重还是轻。
A．1 B．2 C．3 D．4
18．有8瓶同样的钙片，其中1瓶被吃了3片。要找出这瓶比较轻的钙片，如果用天平称，下面（ ）种分法比较合理。
A． B． C． D．
四、解答题
19．8个零件里有1个次品（次品重一些）。假如用天平称，至少称2次能保证找出次品。下面是找次品的流程图。
26个零件里有1个次品（次品重一些）。假如用天平称，至少称几次能保证找出次品？仿照上面的流程图，在下面的方框里画出能保证找出次品的需要最少次数的流程图。
20．1箱糖果有15袋，其中有14袋质量相同，另有1袋质量不足，轻一些。至少称几次能保证找出这袋糖果来？你会用下面的图表示出来吗？
21．黄阿姨买了9盒饼干，其中1盒少了6块。
（1）如果用天平称，至少称几次可以把它找出来？
（2）如果天平两边各放4盒，称一次有可能找出来吗？
22．有61盒维生素C，其中1盒稍微轻一些，如果用天平称，至少称多少次就能保证找出这盒稍微轻一些的维生素C？（请用合适的方式简要表示出你的思考过程）
参考答案：
1．⑤
【分析】次品的质量可能比正品轻，也可能比正品重，此时天平不平衡，说明次品在天平上，那么剩下的一个一定是正品，据此解答。
【详解】分析可知，次品一定在①②③④中，可以推断出⑤号一定是正品。
【点睛】掌握找次品问题的解题方法是解答题目的关键。
2．3
【分析】每次称重，将物品尽可能平均分成三部分，两个数目相等的部分放在天平的两边，第三部分放在手里。如果天平不平衡，则次品在天平的某一个托盘中，如果天平平衡，则次品在手里；接下来，继续对含有次品的部分再尽可能平均分成三部分，重复上述的操作即可找到次品。分了几次三部分，则就至少需要称重几次。3×3＝9，3×3×3＝27，因为20＞9，20＜27，所以至少需要称重3次。
【详解】3×3＝9；
3×3×3＝27；
因为20＞9，20＜27；
所以至少需要称重3次。
【点睛】考查找次品的问题，分3份操作找到最优方法。
3． 5 5 4 8 8 9
【分析】根据找次品的方法，一般把零件分成3份，尽量平均分，不平均时可以让第三份少一些，然后进行称量，这样可以尽量少的次数找到次品。
【详解】由分析可知，要把待测物品尽量平均分成三份，若不能平均分，则个数相差1即可。
待测物品个数14个，首次可分为5、5、4；
待测物品个数25个，首次可分为8、8、9。
【点睛】本题考查找次品问题，明确分成三份的方法是解题的关键。
4．2
【分析】将7瓶水果糖分组，考虑最不利的情况，利用天平的平衡性称出质量轻的一瓶。
【详解】将质量轻的一瓶当作次品。
第一次，将7瓶水果糖分成（3，3，1）三份，将（3，3）两份放在天平的两端，若天平平衡，则次品是未称的那份；若天平不平衡，次品在天平较高的一端；
第二次，将含有次品的3瓶，分成（1，1，1）三份，将其中两份放在天平的两端，若天平平衡，则次品是未称的那份；若天平不平衡，次品在天平较高的一端；
由此可找到轻的一瓶。
所以用天平至少称2次能保证找出这瓶水果糖。
【点睛】利用天平的平衡原理解决问题，解答时注意，分组时是从中任意取3瓶，体现公平性。
5．3
【分析】天平是用来称量物体质量的工具，此题并不是称量物体的质量，而是使用天平来比较物体质量的大小。所以，在调好的天平两盘中分别放上物体，当哪边的托盘上升，则说明这边托盘中的物体质量偏小。
【详解】把5袋橄榄分成2、2、1三组，分别表示为ab、cd、e。
先用ab和cd称，有以下可能：①一样重，则次品就是e，仅用了1次；
②不一样重，则次品就在ab、cd中。
假设ab轻，可以把a和c互换位置，
如果质量没变，那么次品是b或d，再称1次即可；
如果质量变了，次品就是a或c，再称1次即可。共需3次。
【点睛】该题考查了利用天平判断物体质量的技能，需要学生开动脑筋，借助一定的数学思维方式进行解答。
6．27
【分析】求巧克力豆最多有几瓶，说明称了3次，分成了3组，并且每组的数量相等。
【详解】3×3×3＝27（瓶）
【点睛】在用天平找次品的时候，要考虑最不利的情况。
7．2；⑦；⑧；次品；③；次品
【分析】将①②③④⑤⑥平均分成2部分，平衡，说明次品在⑦⑧中，称⑦⑧，不平衡，轻的是次品；如果将①②③④⑤⑥平均分成2部分，不平衡，次品在轻的一侧，称①②，平衡，③是次品，不平衡，轻的是次品。
【详解】至少要称2次。
【点睛】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
8． 3 分成3份，每份8盒饼干
【分析】把所有物品尽量平均分成3份，让每份数量尽量平均，可以保证找出次品的称量次数最少。
【详解】把24盒饼干平均分成3等份。
第一次：拿两份各8包，放在天平左右两边。那么有两种情况。
A：天平两边平衡，则次品在第三份的8包中。
B：天平不平衡，低的那端含一盒次品。
如果出现情况A，把第三份8包分成3、3、2。把两份各3盒的放在天平两端，如果平衡，那么剩下的2包中必有一包是次品。如果不平衡，则低的一端含次品。把含有次品的3包再分成1、1、1。天平两端各放1盒，则可找出次品。
如果出现情况B，那天平低的一端的8包分成3、3、2。步骤同情况A中称量8包的操作一样进行。
【点睛】本题考查用天平找次品，掌握操作步骤是解答本题的关键。
9．√
【分析】7瓶钙片，其中有一瓶少了5片，说明有一瓶是次品，次品比正品轻，采用三分法进行判断。
【详解】将7瓶钙片编号为1~7，分成3组，第一组1~2，第二组3~4，第三组5~7；
先将第一组和第二组进行称量：
（1）若平衡，次品在5~7中，再选5和6称量，若平衡，次品是7号，若不平衡，轻的一瓶是次品，两次即可；
（2）若平衡，次品在较轻的一组，假设第一组较轻，那么将1和2称量，肯定不平衡，轻的一瓶是次品，两次即可；
综上所述，至少称2次能保证把次品找出来；
故答案为：√。
【点睛】本题考查的是找次品的问题，若n个商品中只有一个次品，且比正品轻，当时，至少需要1次，当时，至少需要2次，当时，至少需要3次，依此类推。
10．×
【分析】第一次：把81瓶口香糖分成（27、27、27）三组，称量任意两组，若天平平衡，则另外的那一组里有次品；若天平不平衡，则天平较高端的那一组里有次品；
第二次：把有次品的27瓶分成（9、9、9）三组，称量任意两组，若天平平衡，则另外的那一组里有次品；若天平不平衡，则天平较高端的那一组里有次品；
第三次：把含有次品的那一组再分为（3、3、3）三组，称量任意两组，若天平平衡，则另外的那一组里有次品；若天平不平衡，则天平较高端的那一组里有次品；
第四次：把含有次品的那一组再分为（1、1、1）三组，称量任意两组，若天平平衡，则另外的那一组里有次品；若天平不平衡，则天平较高端的那一组里有次品。
【详解】由分析可知：要找出81瓶中那瓶略轻的口香糖，如果用天平称，至少称4次能保证找出这瓶略轻的口香糖。
故答案为：×
【点睛】本题考查找次品问题，明确把待测物品尽量平均分成三份是解题的关键。
11．×
【分析】假设有15个物品，将物品按组分配，再考虑最不利的情况，利用天平平衡的原理来解决问题。
【详解】第一次，将15个零件按个数分成5、5、5三组，称量5、5两组，若天平平衡，则另外的那5个里有次品；若天平不平衡，次品在天平较高的一端；
第二次，将有次品的一组按个数分成2、2、1三组，称量2、2两组，若天平平衡，则另外1个未称的是次品；若天平不平衡，次品在天平较高的一端；
第三次，将有次品的一组2个，分别放在天平的两端，次品在天平较高的一端；
考虑最不利原则，保证能找出次品需要测的次数最少是3次。
故答案为：×
【点睛】解答此题的关键是将零件进行合理的分组，逐次称量，进而找出次品。
12．√
【分析】第一次：把24个玻璃球平均分成3组（8，8，8），把任意两组放在天平上称，如平衡，则质量偏重的玻璃球在没称的一组；如不平衡，质量偏重的玻璃球在天平下降的一端；
第二次：把8个玻璃球再平均分成3组（3，3，2），把两组3个的放在天平上称，如不平衡，质量偏重的玻璃球在天平下降的一端；如平衡，则质量偏重的玻璃球在没称的一组；
第三次：如果质量偏重的玻璃球在3个球中，把3个玻璃球再平均分成3组（1，1，1），把任意2个玻璃球放在天平上称，如平衡，质量偏重的玻璃球是未称的那个，如不平衡，则质量偏重的玻璃球在天平下降的一端；如果质量偏重的玻璃球在2个球中，把2个玻璃球再平均分成2组（1，1），把2个玻璃球放在天平上称，质量偏重的玻璃球在天平下降的一端；所以用天平称至少3次就一定能找出这个玻璃球，据此判断即可。
【详解】用天平称至少3次就一定能找出这个玻璃球，故原题说法正确。
故答案为：√。
【点睛】本题主要考查了找次品，合理的分组是解决本题的关键。
13．×
【分析】根据题意，由于只有1个质量稍轻的次品，可以肯定这个次品在天平的左边，其他的都是正品，据此即可解答。
【详解】由分析得：
因为①＋②＜③＋④
所以次品在①和②中，③④⑤都是正品。
因此根据下图可以推断出②③④⑤号零件一定不是次品。原题说法错误。
故答案为：×
【点睛】本题主要考查找次品的方法，根据天平作出判断是关键。
14．C
【分析】天平是用来称量物体质量的工具，此题并不是称量物体的质量，而是使用天平来比较物体质量的大小，所以，在调好的天平两盘中分别放上物体，当哪边的托盘上升，则说明这边托盘中的物体质量偏小。
【详解】把23个零件分成（8、8、7）三组；
第一次称天平两边各放8个，有两种情况：如果天平平衡，则没称的那7个里有1个是次品，如果天平不平衡，则较轻的那一端的8个里有1个是次品。
天平平衡的情况：把没称的7个分成（3、3、1）三组，第二次称，天平两边各放3个，如果天平平衡，则没称的1个是次品，如果天平不平衡，则较轻的那一端的3个里有1个是次品；把较轻的3个分成（1、1、1）三组，第三次称，天平两边各放1个，如果天平平衡，则没称的1个是次品，如果天平不平衡，则较轻的那一端的1个是次品。
天平不平衡的情况：把较轻的8个分成（3、3、2）三组，第二次称，天平两边各放3个，有两种情况：
①如果天平平衡，则没称的2个里有1个是次品，把没称的2个分成（1、1）两组，第三次称，天平两边各放1个，天平不平衡，则较轻的那一端的1个是次品。
②如果天平不平衡，则较轻的那一端的3个里有1个是次品；把较轻的3个分成（1、1、1）三组，第三次称，天平两边各放1个，如果天平平衡，则没称的1个是次品，如果天平不平衡，则较轻的那一端的1个是次品。
所以至少称3次就能找出这个次品。
故答案为：C
【点睛】此题考查了对找次品规律的灵活运用，关键是分成三组。
15．A
【分析】用天平一次称两个，不用砝码，一边托盘放一个，看天平是否平衡，如果平衡，可以知道两个一样重，余下的那一个就是次品，但还不知道次品是轻还是重，需要用一个合格品和次品比较得出次品的轻重；如果第一次称不平衡，可知其中一个是次品，我们可以用重的一个再和余下的那一个比较，判断次品的轻重。
【详解】①次品主要的特征是在重量上不符合标准，偏轻或偏重。找次品方法：一是把待测物品平均分成3份，二是要分的尽量平均，能够均分的平均分成3份，不能均分的，可以使多的一份与少的一份相差1；用天平秤其中相等的2份，若平衡，次品在余下的一份中，若不平衡，次品在稍高或稍低的1份中，这样一次就能排除掉的物品，是最快捷的方法，所以选项说法正确。
②想极端情况：
第1步，任意拿1把钥匙开锁，尝试3次未打开，这把钥匙一定能打开剩下的1把锁，需3次；
第2步，再任意拿1把钥匙开锁，尝试2次未打开，这把钥匙一定能打开剩下的1把锁，需2次；
第3步，再任意拿1把钥匙开锁，尝试1次未打开，这把钥匙一定能打开剩下的1把锁，需1次；
最后1把钥匙与最后的锁肯定配对不用试。
所以最多要试3＋2＋1＝6（次）；所以选项说法正确。
③需要称量n次，待测物品的数量就在n－1个3相乘的积与n个3相乘的积之间；但是不成倍数关系，所以选项说法错误。
④把3个零件中的两个放在天平的两端，如果天平平衡，则次品就是余下的那一个，天平上的两个都是合格品，把一个合格品取下，换上次品，看次品那边是上升还是下降，上升就是比合格品轻，下降就是比合格品重，天平称两次可得结果；如果把3个零件中的两个放在天平的两端，如果天平不平衡，则其中有一个是合格品，一个是次品，但不知道哪一个是次品，把重的那一个取下，换上余下的那一个，如果重的依然还重，则重的那个就是次品，如果换上后，天平平衡，则轻的那个就是次品，还是称两次就能判断出次品是轻还是重。所以用天平至少称2次就能判断出次品比合格品轻还是重，选项说法错误。
故答案为：A
【点睛】本题主要考查找次品方法，本题也可以用特值法验证。
16．C
【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
【详解】次品质量轻一些，观察左图次品在①②中，观察右图次品是②。
故答案为：C
【点睛】在生活中，常常出现这样的情况：在一些看似完全相同的物品中混着轻一点或者重一点的物品，需要我们想办法把它找出来，我们把这类问题叫做找次品。
17．B
【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
【详解】把4袋海盐分成1、1、2三组，编号分别为①②③④。先称①和②，有以下两种可能：一样重，则次品就是③或④，再用①与③称，若平衡，次品就是④，若不平衡，次品就是③；不一样重，则次品就是①或②，再用③与①称，若平衡，次品就是②，若不平衡，次品就是①。两种可能，都需2次。
故答案为：B
【点睛】在生活中，常常出现这样的情况：在一些看似完全相同的物品中混着轻一点或者重一点的物品，需要我们想办法把它找出来，我们把这类问题叫做找次品。
18．D
【分析】天平是用来称量物体质量的工具，此题并不是称量物体的质量，而是使用天平来比较物体质量的大小。所以，在调好的天平两盘中分别放上物体，当哪边的托盘上升，则说明这边托盘中的物体质量偏小。
【详解】把8瓶钙片分成三份，分别是：3瓶、3瓶、2瓶；先把两份3瓶的分别放在天平的两边，如果平衡，就把剩下的两瓶分别放在天平的两边，即可找出轻一些的那瓶来。如果不平衡，看哪边轻，把稍轻的那边的3瓶，取2瓶分别放在天平的两边，若平衡就是没往天平上放的那一瓶，若不平衡，哪边轻哪边就是那瓶轻的，所以至少要称2次，才能保证找出那瓶轻一些的钙片。
故答案为：D
【点睛】本题考查了找次品，找次品时，第一次分组尽量将样品分成数量相等或数量相近的3份。
19．见详解
【分析】根据题意，把26个零件分成3份（9个、9个、8个），取其中9个的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，在质量较重的在未取的一份中，若天平不平衡，取较较重的一份继续；第二次，取含有较重的一份（9个或8个）分成3份（3个、3个、3个或2个），取3个的两份分别在天平两侧，若天平平衡，则较重的在未取的一份中，若天平不平衡，取较重的一份继续；第三次，取含有较重的一份（3个或2个）分别放在天平两侧，即可找到较重的一个。据此解答。
【详解】如图：
【点睛】本题主要考查了找次品，将总数进行合理的拆分是解答的关键。
20．3次；作图见详解
【分析】找次品的最优策略：
（1）把待分物品分成3份；
（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
【详解】3次；
【点睛】在生活中，常常出现这样的情况：在一些看似完全相同的物品中混着轻一点或者重一点的物品，需要我们想办法把它找出来，我们把这类问题叫做找次品。
21．（1）2次；
（2）可能
【分析】（1）由题意可知，需要找出的那盒饼干比其它饼干轻，把饼干平均分成三组，先称其中的两组，如果天平平衡那么较轻的饼干在剩下一组里面，如果天平不平衡那么较轻的饼干在天平上翘一端里面，据此找出少6块的那盒饼干，根据称重过程找出称重次数即可；
（2）把9盒饼干分成三组（4，4，1），先称数量相等的两组，如果此时天平平衡，那么剩下的一盒为质量较轻的那盒饼干，据此解答。
【详解】（1）
由上可知，至少称2次可以把它找出来。
答：如果用天平称，至少称2次可以把它找出来
（2）如果天平两边各放4盒，此时天平刚好平衡，那么剩下的一盒就是较轻的那盒饼干。
答：如果天平两边各放4盒，称一次有可能找出那盒少6块的饼干。
【点睛】掌握找次品问题的解题方法是解答题目的关键。
22．4次
【分析】将61盒分成20盒、20盒、21盒，称量同是20盒的两份，找出轻的一盒在哪份里面。若轻的一盒在20盒这份，将20盒分成7盒、7盒、6盒，称量同是7盒的两份，找出轻的一盒在哪份里面；同理若轻的一盒在21盒这份，将21盒分成7盒、7盒、7盒，任意称量同是7盒的两份，找出轻的一盒在哪份里面。以此类推直到找出次品为止，就能知道至少称量几次能找出轻的一盒。
【详解】第一次称量：将61盒分成20盒、20盒、21盒，找到轻的一盒在哪份里面；
第二次称量：将20盒分成7盒、7盒、6盒，找到轻的一盒在哪份里面；或者将21盒分成7盒、7盒、7盒，任意称量同是7盒的两份，找出轻的一盒在哪份里面；
第三次称量：找到6盒或者7盒里轻的一盒；
第四次称量：找到2盒或者3盒里轻的一盒。
答：至少称量4次能找出轻的一盒。
【点睛】本题考查运用优化策略找次品问题，找次品时，把物体分成3份，每份数量尽量平均时，可以保证所称量的次数最少。