初中数学人教版九年级上册 24.1.2 垂直于弦的直径 教学设计（表格式）

垂直于弦的直径 教学设计
课 题 垂直于弦的直径
课时安排 1 课前准备 课件
教材内容 分 析 《垂直于弦的直径》是九年制义务教育九年级上册第24章第一节第2课时内容，是在学生学习和掌握了圆的性质的基础上研究的，是本章的重点又是难点，也是我们后面学习圆的基础之一。是研究圆与其他图形位置关系和数量关系的基础，是证明线段相等，角相等，垂直关系的重要依据。在日常生活和生产中有广泛的用应。
设计理念 从学生熟悉的历史事物中提出问题、设置悬疑、激发学生的学习兴趣.让学生体会生活中数学随处可见，体验数学如何用来解决生活中的实际问题. 让学生通过动手实践来感受圆的轴对称性.通过回忆轴对称图形的性质，引导学生来证明圆是轴对称图. 通过证明引导学生思考，使学生充分经历操作、观察、猜想、验证等合情推理的过程，初步培养学生分析问题、解决问题的能力.再次观察折叠圆的过程，让学生在理解圆的对称性的基础上进一步发现相等的线段、弧，尝试总结出垂径定理.
学情分析 本班有48名学生，男18，女30，同学们善于思考，男孩子活泼好动，女孩子文静，不愿意主动表达。同学们的数学思维一般，概括能力一般，需要经常激发学习兴趣，引导他们深入探讨一些重点难点。数学成绩优秀人数占比四分之一左右，不及格人数一般14个左右。
教学目标 1.探索圆的对称性，进而得到垂径定理及其推论； 2.能利用垂径定理及其推论解决相关证明、计算及实际问题； 3.经历探索垂径定理及其推论的过程，发展推理能力，让学生领会数学的严谨性，培养学生实事求是的科学态度； 4.进一步体会和理解研究几何图形的各种方法；培养学生独立探索，相互合作交流的精神，并体验发现的乐趣.
教学重难点 重点：垂径定理及其逆定理的应用. 难点：对垂径定理的探索和证明，并能应用垂径定理进行简单计算或证明.
教学过程
教学环节（一） 引导学生思考、证明和总结，得出垂径定理的推论.培养学生的逻辑思维能力及运用所学知识解决问题的能力. 【观察思考】 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶. 它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ 教师PPT展示赵州桥的图片，并提出问题，引导学生思考.注意：这里只提出问题，学生暂时还不能解答.
设计意图 【合作探究】 剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？ 预设答案：①圆是轴对称图形，②任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴. 教师提出提问，并让学生拿出事先准备好的圆形纸片，动手操作，观察，学生充分交流后，教师汇总补充，最后PPT动态展示. 在此基础上追问：你能证明上面的结论吗？
教学环节（二） 师生活动 【证明】 教师引导学生发现，要证明圆是轴对称图形，只需要证明圆上任意一点关于直径所在的直线(对称轴)的对称点也在圆上即可. 如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上点C，D以外的任意一点.证明点A关于直线CD的对称点仍在⊙O上. 证明：过点A作AA'CD，交⊙O于点A'，垂足为M，连接OA，OA' 在△OAA'中，∵OAOA' ∴△OAA'是等腰三角形 又∵AA'CD ∴AM=MA'，即CD是AA'的垂直平分线. 教师可在圆上任取若干个点进行说明，进一步验证前面得到的结论.
【探究】 在刚刚的证明过程中，你能发现图中有哪些相等的线段、弧吗？ 预设答案：AM=A'M，， 教师再次动态展示折纸的过程，让学生观察，并在此基础上得出结论.并尝试让学生用语言描述所得到的结论，教师引导并补充完善. 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 教师带领学生分析垂径定理的题设，结论.并试着结合图形把文字语言转化为数学语言.
教学环节 （三） 师生活动 【想一想】 下列图形是否具备垂径定理的条件？ 预设答案：（1）（3）满足；（2）（4）不满足. 教师提出问题，学生抢答.对于不具备垂径定理条件的图形，引导学生说出原因，并追问： 怎样修改图（2）、（4）能够满足垂径定理的条件？ 预设答案： 教师带领学生观察修改后的图片，引导学生总结：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.其中，直径并不是必要条件，只要满足过圆心即可.
设计意图 【探究】 当直径CD平分一条弦AB(不是直径)时，能否得出CDAB 教师提出问题，引导学生仿照前面的证明方法证明.并用文字语言描述所得结论，得出垂径定理的推论： 垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 教师追问：为什么强调“不是直径”呢？ 预设答案：圆的任意两条直径都互相平分，但它们不一定互相垂直.
教学环节 （四） 师生活动 【想一想】 判断下列说法是否正确： 1.垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 2.平分弦的直径垂直于弦. 3.平分一条直径的弦必垂直于这条直径. 预设答案：1.；2. ；3. . 教师提出问题，随机选人回答.
设计意图 【延伸】 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 教师带领学生归纳出垂径定理及推论中，蕴含的五个条件： ①过圆心，②垂直于弦，③平分弦, ④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧. 并引导学生发现，垂径定理是①②→③④⑤；垂径定理的推论是①③→②④⑤. 追问：还有别的结论吗？
教学环节 （五） 师生活动 【典型例题】 通过这节课的学习，现在你能解决课程一开始的问题了吗？ 教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，教师巡视，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程. 例1：赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位). 解：如图表示主桥拱，设所在的圆的圆心为O，半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与相交于点C，连接OA， 根据垂径定理，D是AB的中点，C是 的中点，CD就是拱高. 由题设可知：AB37，CD7.23， ∴ADAB3718.5， ODOCCDR7.23， 在Rt△OAD中，由勾股定理得： OA2AD2OD2，即：R218.52(R7.23)2 解得：R27.3. 因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3m.
设计意图 教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解. 1.在⊙O中，若CDAB于M，AB为直径，则下列结论不正确的是( ) A. B. C. AMOM D. CMDM 答：C 2. 已知⊙O的直径AB10，弦CDAB于M，OM3，则CD . 答：8. 3. 在⊙O中，弦CDAB于M，AB为直径，若CD10， AM1，则⊙O的半径为 . 答：13. 4.⊙O的半径为13cm，AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离. 解：过点O向AB，CD作垂线，垂足分别为M，N，连接OB，OD. 由垂径定理可得： BMAB12cm，DNCD5cm 又∵OBOD13cm 在Rt△OBM， Rt△ODN中， 由勾股定理得：OM5cm，ON12cm ∴AB和CD之间的距离MNOMON7cm 或MNOMON17cm
板书设计 思维导图的形式呈现本节课的主要内容：
课件设计 此处粘贴课件下载地址，建议放在阿里云盘。 教科书第83页练习第1、2题.
教学反思 反思请多反思教学重难点用技术环境展示是否得到了优化、教学过程中的技术应用是否符合预期、学生互动是否满足效果、技术应用是否得到创新等问题。