人教A版（2019）高数必修第二册 6.3.2&6.3.3平面向量的正交分解及坐标表示，加、减运算的坐标表示（24页ppt）

(共24张PPT)
第六章
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示
人教A版（2019)
教学目标
学习目标 数学素养
1.了解平面向量正交分解的意义，理解平面向量的坐标表示的意义. 1.数学抽象素养、直观想象素养.
2.理解平面向量的坐标表示与点的坐标之间的联系与区别，掌握平面向量坐标表示的方法. 2.直观想象素养、数学运算素养.
3.掌握平面向量加、减运算的坐标表示方法，并能进行坐标表示的向量加、减运算. 3.逻辑推理素养、数学运算素养.
温故知新
平面向量基本定理
如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2，使
若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
由平面向量基本定理可知，同一平面内任一向量都可以由同一基底唯一表示.
对于确定基底,
+μ=x+y
新知探究
　　重力　产生两个效果，一是木块受平行于斜面的力的作用　，沿斜面下滑；一是木块产生垂直于斜面的压力　.也就是说，重力　的效果等价于　和　得合力效果，即　
正交分解
新知探究
∟
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量作正交分解.
O
a
特殊情形：,称为单位正交基底 .
正交分解
新知探究
我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示.那么，如何表示直角坐标平面内的一个向量呢？
如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底.单位正交基底：.
对平面内任一向量,由平面向量基本定理知，有且只有一对实数,使得
这样，平面内任一向量都可以由唯一确定，我们把有序数对叫做向量的坐标，记作
平面向量的坐标表示
新知探究
其中，叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，
代数表示
坐标表示
叫做向量的坐标表示.
问题：向量的坐标表示是什么？
,
,
,
平面向量的坐标表示
新知探究
平面向量的坐标表示
y
O
x
如图，向量有什么关系？能说出的坐标表示吗？
,.
相等向量的坐标相同.
若,则
.
新知探究
平面向量的坐标表示
O
x
y
A
如图，在直角坐标系中，以原点为起点作,则点的位置唯一确定.
设,则向量的坐标就是终点的坐标；
反过来，终点的坐标也就是向量的坐标.因为,所以终点的坐标就是向量的坐标.
这样就建立了向量的坐标与点的坐标之间的联系.
新知讲解
【例1】如图，用基底{}分别表示向量,并求出它们的坐标.
解：
所以(2,3).
由图可知，,
A
A1
A2
a
b
c
d
y
x
O
1 2 3 4
-4 -3 -2 -1
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
j
i
1 2 3 4
同理，
=(-2,3).
=(-2,-3).
=(2,-3).
平面向量的坐标表示
新知讲解
平面向量加、减法运算的坐标表示
已知,你能得出的坐标吗？
.
.
同理可得
.
即
这就是说，两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）.
新知讲解
【例2】已知=(2,1),=(-3,4),求的坐标.
解：
=(2,1)+(-3,4)=(-1,5).
=(2,1)-(-3,4)=(5,-3)．
平面向量加、减法运算的坐标表示
新知探究
如图，已知,
你能得出的坐标吗？
x
y
O
B(x2,y2)
A(x1,y1)
如图，向量,则
因此，一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
若 .
新知讲解
【例3】如图，已知平行四边形ABCD 的三个顶点A、B、C的坐标分别是（-2，1）、（-1，3）、（3，4），试求顶点D的坐标.
解：
方法1：如图，设顶点D的坐标为,
∴顶点D的坐标为（2，2）.
又∵,
∵=(-1,3)-(-2,1)=(1,2),
=(3,4)-.
∴(1,2)=
即，解得.
A
B
C
D
x
y
O
新知讲解
【例3】如图，已知平行四边形ABCD 的三个顶点A、B、C的坐标分别是（-2，1）、（-1，3）、（3，4），试求顶点D的坐标.
解：
方法2：如图，由向量加法的平行四边形法则可得
∴顶点D的坐标为（2，2）.
而
=（3，-1）+（-1，3）
=（2，2）
=(-2-(-1),1-3)+(3-(-1),4-3)
=(3,-1)
A
B
C
D
x
y
O
新知讲解
【例4】已知点A(2，3)，B(5，4)，＝(5λ，7λ).若(λ∈R)，
⑴点P在第一、三象限的角平分线上,求λ的值；
⑵点P在第三象限内，求λ的范围；
⑶点P在坐标轴上，求λ的值.
解：
设点P的坐标为(x，y)，
∵,且不共线.
=(5，4)－(2，3)＋(5λ，7λ)=(3+5λ,1+7λ)
则＝(x，y)－(2，3)＝(x－2，y－3)，
∴,则
新知讲解
解：
∴λ＝－1.
则5＋5λ＝4＋7λ，∴λ＝.
②当点P在y轴上时，x＝5＋5λ＝0，
.
⑴若点P在第一、三象限角平分线上，
⑵若点P在第三象限内，则
∴λ＜－1.
⑶①当点P在x轴上时，y＝4＋7λ＝0，
∴.
初试身手
1.解：设C(x，y)，则＝(x－2，y－3)＝(－3，－2)，即x＝－1，y＝1，故
C(－1，1)，则＝(－6，6).故选A.
2.解：∵，∴＝(－1，－1)，
∴＝(－3，－5)，故选B.
B
A
1.已知点A(2，3)，B(5，7)，向量＝(3，2)，则向量＝(　 )
A．(－6，6) B．(7，4) C．(－1，4) D．(1，4)
2.在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线．若＝(2，4)，＝(1，3)，则＝(　　)
A．(－2，－4) B．(－3，－5) C．(3，5) D．(2，4)
初试身手
3.已知点A(2，1)，B(－2，3)，O为坐标原点，且，求点C的坐标.
4.已知在非平行四边形ABCD中，AB∥DC，且A，B，D三点的坐标分别为(0，0)，(2，0)，(1，1)，则顶点C的横坐标的取值范围是 .
3.解：设C(x，y)，则＝(x＋2，y－3)，＝(2，1).由，得(x＋2，y－3)＝(2，1)，则x＝0，y＝4.∴点C的坐标为(0，4).
(1，3)∪(3，＋∞)
4.解：当ABCD为平行四边形时，
则＝(2，0)＋(1，1)＝(3，1).
故满足题意的顶点C的横坐标的取值范围是(1，3)∪(3，＋∞).
课堂小结
1.平面向量的正交分解
3.平面向量加、减法运算的坐标表示
(1)任一平面向量都有唯一的坐标;
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量作正交分解.
2.平面向量的坐标表示
(2)相等向量的坐标相同.
若,则
.
两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）.
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
作业布置
作业：P30 练习 第1⑵⑷，3题 P36 习题6.3 第3，4题.
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
21世纪教育网（www.21cnjy.com)
中小学教育资源网站
兼职招聘：
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/admin