第十五章 分式（测能力）（含解析）——2023-2024学年人教版数学八年级上册单元闯关双测卷

第十五章 分式（测能力）——2023-2024学年人教版数学八年级上册单元闯关双测卷
【满分：120】
一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.如果把分式中的x，y都扩大2倍，那么分式的值( )
A.扩大2倍 B.缩小2倍 C.扩大4倍 D.不变
2.下列分式中,最简分式是( )
A. B. C. D.
3.我国北斗公司在2020年发布了一款代表国内卫星导航系统最高水平的芯片，该芯片的制造工艺达到了0.000000023米.用科学记数法表示0.000000023为( )
A. B. C. D.
4.下列说法正确的是( )
A.代数式是分式 B.分式中x，y都扩大3倍，分式的值不变
C.分式的值为0，则x的值为 D.分式是最简分式
5.《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天.已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间.设规定时间为x天，则可列方程为( )
A. B.
C. D.
6.下列各式：
①；
②；
③；
④.
其中计算结果相等的是( )
A.①② B.①③ C.②③ D.③④
7.如果关于x的方程无解，则m的值是( )
A.2 B.0 C.1 D.–2
8.分式方程的解为( )
A.-1 B.1 C.2 D.方程无解
9.新定义：若两个分式A与B的差为n（n为正整数），则称A是B的“n分式”.例如：，则称分式是分式的“1分式”.根据以上定义，下列选项中说法错误的是( )
A.是的“3分式”
B.若a的值为，则是的“2分式”
C.若是的“1分式”，则
D.若a与b互为倒数，则是的“5分式”
10.已知关于x的方程的解是正数,那么m的取值范围为( )
A.且 B.
C.且 D.且
二、填空题（每小题4分，共20分）
11.__________.
12.某店用4000元购进一批商品，很快售完，该店又用了5500元购进第二批同种商品，第二批的价格比第一批多10元/件，数量比第一批多.设第一批购进的数量为x件，则可列分式方程为___________.
13.如果，则的值为____.
14.对于实数a，b，定义一种新运算“*”：，等式右边是实数运算.例如：，则方程的解是__________.
15.若,则________________.
三、解答题（本大题共6小题，共计60分，解答题应写出演算步骤或证明过程）
16.（8分）某车间工人刘伟接到一项任务，要求10天内加工完190个零件，最初2天，每天加工15个，要在规定时间内完成任务，以后平均每天至少加工多少个零件？
17.（8分）观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
……
根据以上规律解答以下问题：
(1)写出第5个等式：_________；写出第n个等式：_________；
(2)由分式性质可知：，试求的值.
18.（10分）列方程(组)解决下列问题:榴莲的营养价值极高,具有增强免疫力的功效某水果直营店销售一种优质榴莲,受疫情影响,本周将该种榴莲比上周降价20%出售小唯喜欢吃榴莲,本周与上周一样花了180 元在该店买了该种榴莲,但重量却比上周多了0.75kg,设上周榴莲的单价为x元/kg.
（1）请用含x的式子表示出下列表格中的各量.
时间 单价(元/kg) 重量(kg)
上周 x ______
本周 ______ ______
（2）与上周相比,该种榴莲每千克的价格便宜了多少元
19.（10分）化简：，并解答：
（1）当时，求原式的值；
（2）原式的值能等于-1吗？为什么？
20.（12分）对于“已知,求的最大值”这个问题,小明是这样求解的:
,,
,所以的最大值为.
请你按照这种方法计算:当时,的最小值.
21.（12分）关于x的方程：.
（1）当时，求这个方程的解；
（2）若这个方程有增根，求a的值.
答案以及解析
1.答案：D
解析：
，
即分式的值不变，故选D.
2.答案：C
解析:A,该分式的分子,分母中含有公因式,不是最简分式,故此选项不符合题意;
B,该分式的分子,分母中含有公因式,不是最简分式,故此选项不符合题意;
C,是最简分式,故此选项符合题意;
D,该分式的分子,分母中含有公因式x,不是最简分式,故此选项不符合题意;
故选:C.
3.答案：D
解析：.故选D.
4.答案：D
解析：A.代数式不是分式，故该选项不正确，不符合题意；
B.分式中x，y都扩大3倍，分式的值扩大3倍，故该选项不正确，不符合题意；
C.分式的值为0，则x的值为，故该选项不正确，不符合题意；
D.分式是最简分式，故该选项正确，符合题意；
故选D.
5.答案：A
解析：规定时间为x天，
慢马所需的时间为天，快马所需的时间为天，
又快马的速度是慢马的2倍，
可列出方程.
故选：A.
6.答案：B
解析：①，
②，
③，
④；
所以，计算结果相等的是①③；
故选：B.
7.答案：A
解析：方程去分母得：，
解得，
当分式方程分母为0，即时，方程无解，
则，
解得.故选A.
8.答案：D
解析：，
方程两边同时乘得：，
解得：，
把代入最简公分母：，
不是方程的解，
原分式方程无解，故选D.
9.答案：C
解析：A、，A说法正确；
B、，B说法正确；
C、由已知条件得：，化简得：，C说法错误；
D、由已知得：，，D说法正确.故选C.
10.答案：C
解析:将分式方程转化为整式方程得:
解得:.
方程得解为正数,所以,解得:.
分式的分母不能为0,
,
,即.
.
故且.故选C.
11.答案：4
解析：.
12.答案：
解析：第一批购进的数量为x件，则第二批购进的数量为件，根据题意得.
13.答案：
解析：分式的分子、分母同时除以得，，
，，
故答案为：.
14.答案：-1
解析：根据题中的新定义得，即，方程两边同乘，得，解得.检验：当时，.原方程的解为.
15.答案：0
解析:,
,或,,
当,时,
;
当,时,
.
故答案为:0.
16.答案：20个
解析：设以后平均每天至少加工x个零件，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
答：以后平均每天至少加工20个零件.
17.答案：(1)，
(2)
解析：(1)解：；
；
(2)解：原式
.
18.答案：（1）,,
（2）12元
解析:（1）完成表格如下:
时间 单价(元/kg) 重量(kg)
上周 x
本周
故答案为: ,, ;
（2）设上周榴莲的单价为x元/kg,
由题意,得 ,
解得,
经检验,是原方程的解,
故该种榴莲每千克的价格便宜了:(元),
答:该种榴莲每千克的价格便宜了12元.
19.答案：（1），2
（2）不能，理由见解析
解析：（1）原式，
，
，
，
当时，原式；
（2）如果，即，
，而当时，除式，
原代数式的值不能等于-1.
20.答案：2
解析:,,
,
,,,,
,,
的最小值为2.
21.答案：（1）
（2）a的值为
解析：解：（1）当时，原方程为，
方程两边同时乘以得：，
解这个整式方程得：，
检验：将代入，
是原方程的解；
（2）方程两边同时乘以得，即，
当时，若原方程有增根，则，
解得：，
将代入整式方程得：，
解得：，
综上，a的值为.
1