第二十二章 二次函数（测基础）（含解析）——2023-2024学年人教版数学九年级上册单元闯关双测卷

第二十二章 二次函数（测基础）——2023-2024学年人教版数学九年级上册单元闯关双测卷
【满分：120】
一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知是y关于x的二次函数，那么m的值为( )
A.2 B.-2 C. D.
2.抛物线的顶点坐标是( )
A. B. C. D.
3.已知二次函数的图象上有两点和，则当时，二次函数的值是( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
4.如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高OD为的奖杯，杯体轴截面ABC是抛物线的一部分，则杯口的口径AC的长度为( )
A. B. C. D.
5.抛物线 的顶点A 的纵坐标为 -5 , 若方程 有且只有两个不相 等的实数根, 则 m的取值范围是( )
A. B. 或
C. 或 D. 或
6.已知抛物线的对称轴在y轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k的值是( )
A.或2 B. C.2 D.
7.如图，在矩形ABCD中，，，，，则四边形EFGH面积的最大值是( )
A. B. C. D.
8.已知二次函数（其中x是自变量），当时，，则a的值为( )
A.1 B.2 C. D.
9.已知抛物线过点和，且与y轴交于点C.若，则该抛物线的解析式是( )
A. B.或
C. D.或
10.如图,二次函数的图象与x轴的一个交点为,对称轴是直线,下列结论正确的是( )
A. B. C. D.点在函数图象上
二、填空题（每小题4分，共20分）
11.抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线的顶点坐标是______.
12.已知函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围为________.
13.如图,用一根60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD,铁丝恰好全部用完.
（1）若设框架的宽AB为xcm,则框架的长为________厘米(用含x的代数式表示);
（2）矩形框架ABCD面积的最大值为________平方厘米.
14.如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限，以A为顶点的抛物线经过原点，与x轴负半轴交于点B，对称轴为直线，点C在抛物线上，且位于点A、B之间(C不与A、B重合).若的周长为5，则四边形AOBC的周长为_____________.
15.已知二次函数的图象与x轴的两个交点A，B关于直线对称，且，顶点在函数的图象上，则这个二次函数的表达式为______________.
三、解答题（本大题共6小题，共计60分，解答题应写出演算步骤或证明过程）
16.（8分）某小区计划建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为a米的墙，另三边用总长为79米的篱笆围成，围成的花圃是如图所示的矩形ABCD，并在BC边上留有一扇1米宽的门.设AD边的长为x米，矩形花圃的面积为S米.
（1）求S与x之间的函数关系式.（不要求写出自变量x的取值范围）
（2）若，求S的最大值.
17.（8分）如图，点在抛物线上，且在C的对称轴右侧.
（1）写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值.
（2）坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为，.平移该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为，求点移动的最短路程.
18.（10分）初三年级某班成立了数学学习兴趣小组，该小组对函数的图象和性质进行探究，过程如下，请你补充完整.
(1)①列表：下表是x，y的几组对应值，其中__________，__________；
x … -2 -1 0 1 2 …
y … 3 0 m 1 n 0 3 …
②描点：根据表中的数值描点，请在下图中补充描出点，.
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请在下图中把图象补充完整.
(2)请你观察图象，直接写出当x在什么范围内时，y随x的增大而增大：_____________.
(3)除了上述增减性，请你再写出两条该函数的图象特征或性质：
①_____________；
②_____________.
(4)点与在函数图象上，且，则a与b的大小关系是_____________.
19.（10分）如图(1)所示是一座抛物线形拱桥的侧面示意图.水面宽AB与桥长CD均为24 m，在距离D点6 m的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5 m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系.
(1)求桥拱顶部O离水面的距离.
(2)如图(2)，桥面上方有3根高度均为4 m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面的距离为1 m.
①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式.
②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值.
20.（12分）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为.
（1）求m的值及抛物线的顶点坐标.
（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当的值最小时，求点P的坐标.
21.（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 (b、c为常数)的顶点坐标为，与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，点C、点D关于x轴对称，连结，作直线．
（1）求b、c的值；
（2）求点A、B的坐标；
（3）求证：；
（4）点P在抛物线上，点Q在直线上，当以点C、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点Q的坐标．
答案以及解析
1.答案：A
解析：是y关于x的二次函数，且，解得.
2.答案：B
解析：，
顶点坐标为，故选B.
3.答案：C
解析：二次函数的图像上有两点和，
，
，
当时，二次函数.故选C.
4.答案：C
解析：，，解得，，，.故选C.
5.答案：C
解析：如图, 画出抛物线的大致图象, 将此抛物 线在 x轴下方的部分沿x 轴向上翻折, 得到一个新的函 数图象, 且点A 的对应点 B的纵坐标为 5. 的图象是x 轴上方部分 (包含与x 轴的两个交 点), 当 或 时, 有两个不相等的实数根.
6.答案：B
解析：抛物线的对称轴在y轴右侧，，.抛物线，将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线的解析式是，将代入，得，解得（舍去），.故选B.
7.答案：B
解析：设，则，.设四边形EFGH的面积为y，依题意，得，即.，抛物线开口向下，时，y有最大值.由题意知，，函数最大值为.故选B.
8.答案：C
解析：二次函数图象的对称轴为直线.根据题意，①当时，；时，，则解得②当时，；时，，则解得a的值为，故选C.
9.答案：D
解析：设抛物线的解析式为.，点C的坐标为或.把代入，解得，此时抛物线的解析式为，即.把代入，解得，此时抛物线的解析式为，即.抛物线的解析式为或.
10.答案：B
解析：A、由二次函数的图形可知: ,,所以.故本选项不 符合题意;
B、因为二次函数的对称轴是直线,则,即 .故本选项符合题意:
C、因为抛物线与x轴有两个交点, 所以, 即 . 故本选项不符合题意;
D、因为抛物线与x轴的一个交点坐标为,且对称轴为直线,所以它与x轴的另一个交点的坐标为 .故本选项不符合题意;故选B.
11.答案：
解析：抛物线，顶点坐标为，抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，平移后的抛物线的顶点坐标为.故答案为：.
12.答案：
解析：①当时，，
，
解得：；
②当时，，与x轴有交点；
故k的取值范围是，
故答案为：.
13.答案：（1）;
（2）150
解析:（1）如图,若设框架的宽AB为xcm,则
铁丝的长为60厘米
框架的长AD为
若设框架的宽AB为xcm,则框架的长AD为
要使矩形框架ABCD面积的最大值,则,此时最大的面积为150平方厘米
14.答案：9
解析：根据题意，
对称轴为直线，抛物线经过原点、x轴负半轴交于点B，
，
由抛物线的对称性知，
四边形AOBC的周长为的周长.
故答案为：9.
15.答案：
解析：对称轴为直线，且二次函数图象与x轴交于A、B两点，，二次函数图象与x轴交于，两点，顶点的横坐标为-1，顶点在函数的图象上，，顶点坐标为，设二次函数的表达式为，把代入，得，解得..这个二次函数的表达式为.
16.答案：（1）
（2）S的最大值为750
解析：（1）AB边的长为（米），
根据题意得，
S与x之间的函数关系式为.
（2）由（1）知，
，
当时，S随x的增大而增大.
，，
当时，S取得最大值，最大值为750.
17.（1）答案：
解析：，
C的对称轴为直线，y的最大值是4.
把，代入，
得，
解得，.
又，.
（2）答案：5
解析：，
抛物线的顶点为.
如图，过C的顶点作轴于点A.
连接，.由平移可知，，
点移动的最短路程是.
18.答案：(1)①；
②见解析
③见解析
(2)或
(3)(答案不唯一)①函数图象是轴对称图形
②函数值y都是非负数
(4)
解析：(1)①当时，，当时，.
②补充点如图所示.
(3)用平滑的曲线顺次连接各点，把图象补充完整如上图所示.
(2)略
(3)略
(4)，
，
，
，
而，，
.
19.答案：(1)桥拱顶部O离水面的距离为
(2)①或
②彩带长度的最小值是
解析：(1)设拱桥所在抛物线的函数表达式为，由题意得，
，
，.
易知，
则当时，，即，
桥拱顶部O离水面的距离为.
(2)①由题意得第一象限内的钢缆抛物线的顶点坐标为，
可设第一象限内的钢缆抛物线的函数表达式为.
，，
，.
(同理可求得第二象限内的钢缆抛物线的函数表达式为.正确求出其中一条抛物线的函数表达式即可)
②设彩带长度为，
则，
当时，h取得最小值，最小值为2.
彩带长度的最小值是.
20.答案：（1）把点B的坐标代入抛物线解析式，
得，解得，
，
抛物线的顶点坐标为.
（2）连接BC，交抛物线对称轴l于点P，则此时的值最小，
由知，C点坐标为.
设直线BC的解析式为，
，，
解得
直线BC的解析式为，
当时，，
当的值最小时，点P的坐标为.
21.答案：（1）；（2）；（3）见解析（4） 或 或 或
解析：（1）设抛物线的表达式为：，
则，
即；
（2）令，解得： 或 -1，
故点A、B的坐标分别为；
（3）证明：由抛物线的表达式知：点 , 则点 ，
则，
，
；
(4)设点，点，，
当为平行四边形的对角线时，由中点坐标公式得：
，
整理得：, 解得: (舍去)或 2，
则, 即点 ；
当是平行四边形的对角线时，同理可得：
，解得：，
即点 ；
当是平行四边形的对角线时，同理可得：
, 解得: ，
即点Q的坐标为 或 ，
综上，点Q的坐标为： 或 或 或
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