人教版初中数学2023-2024学年九年级下学期课时培优练习 26.2实际问题与反比例函数
一、选择题
1．（2023九下·西湖月考）某市举行中学生数学知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率(该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值)y与该校参加竞赛人数x的情况，.其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次数学知识竞赛中成绩优秀人数最多的是（ ）.
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：∵用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率(该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值)y与该校参加竞赛人数x的情况，
∴xy的值就是该校的优秀人数，
∵描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，
∴乙、丁两所学校的优秀人数相等，
点丙在反比例函数图象的上方，
∴丙的优秀人数最多.
故答案为：C
【分析】观察图象可知xy的值就是该校的优秀人数，乙、丁两所学校的优秀人数相等；点丙在反比例函数图象的上方，据此可得到丙的优秀人数最多.
2．（2021九下·江西月考）小明学习了物理中的杠杆平衡原理发现：阻力 阻力臂 动力 动力臂．现已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为2400N和1m，则动力 （单位：N）关于动力臂 （单位：m）的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂，已知阻力和阻力臂分别是2400N和1m，
∴动力F（单位：N）关于动力臂l（单位：m）的函数解析式为：2400×1＝Fl，
则F＝ ，是反比例函数，A选项符合，
故答案为：A．
【分析】利用阻力×阻力臂＝动力×动力臂，将已知数据代入得出函数关系式，从而确定其图象即可．
3．（2015九下·深圳期中）如图，已知直线y=﹣x+4与两坐标轴分别相交于点A，B两点，点C是线段AB上任意一点，过C分别作CD⊥x轴于点D，CE⊥y轴于点E．双曲线 与CD，CE分别交于点P，Q两点，若四边形ODCE为正方形，且 ，则k的值是（ ）
A．4 B．2 C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的概念；反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：四边形ODCE为正方形，则OC是第一象限的角平分线，则解析式是y=x，
根据题意得： ，
解得： ，
则C的坐标是（2，2），
设Q的坐标是（2，a），
则DQ=EP=a，PC=CQ=2﹣a，
正方形ODCE的面积是：4，
S△ODQ= ×2 a=a，同理S△OPE=a，S△CPQ= （2﹣a）2，
则4﹣a﹣a﹣ （2﹣a）2= ，
解得：a=1或﹣1（舍去），
则Q的坐标是（2，1），
把（2，1）代入 得：k=2．
故选B．
【分析】四边形ODCE为正方形，则OC是第一象限的角平分线，则解析式是y=x，即可求得C的坐标，根据反比例函数一定关于y=x对称，则P、Q一定是对称点，则设Q的坐标是（2，a），则DQ=EP=a，PC=CQ=2﹣a，根据正方形ODCE的面积﹣△ODQ的面积﹣△OEP的面积﹣△PCQ的面积=△OPQ的面积，即可列方程求得a的值，求得Q的坐标，利用待定系数法即可求得k的值．
4．下列关系式中，y是x反比例函数的是（ ）
A．y= B．y=-1 C．y=- D．y=
【答案】A
【知识点】列反比例函数关系式
【解析】【解答】解：A、y=，y是x反比例函数，正确；
B、不符合反比例函数的定义，错误；
C、y=﹣是二次函数，不符合反比例函数的定义，错误；
D，y是x+1的反比例函数，错误．
故选A．
【分析】此题应根据反比例函数的定义，解析式符合y=（k≠0）的形式为反比例函数
5．如图，点A是反比例函数y=是图象上一点，AB⊥y轴于点B，则△AOB的面积是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】列反比例函数关系式
【解析】【解答】解：由题意得：点A是反比例函数y=图象上一点，S△AOB==2．
故选B．
【分析】此题可从反比例函数系数k的几何意义入手，△AOB的面积为点A向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积的一半即S=．
6．下列函数中，图象经过点（1，﹣1）的反比例函数解析式是（ ）
A．y= B．y= C．y= D．y=
【答案】B
【知识点】列反比例函数关系式
【解析】【解答】解：设反比例函数的解析式为y=（k≠0），由图象可知，函数经过点P（1，﹣1），
∴﹣1=，得k=﹣1，
∴反比例函数解析式为y=．
故选B．
【分析】观察图象，函数经过一定点，将此点坐标代入函数解析式y=（k≠0）即可求得k的值．
7．如图，反比例函数y=(k≠0)的图象上有一点A，AB平行于x轴交y轴于点B，△ABO的面积是1，则反比例函数的解析式是（ ）
A．y= B．y= C．y= D．y=
【答案】C
【知识点】列反比例函数关系式
【解析】【解答】解：如图，过点A作AC⊥x轴于点C．则四边形ABOC是矩形，
∴S△ABO=S△AOC=1，
∴|k|=S矩形ABCO=S△ABO+S△AOC=2，
∴k=2或k=﹣2．
又∵函数图象位于第一象限，
∴k＞0，
∴k=2．则反比函数解析式为y=．
故选C．
【分析】如图，过点A作AC⊥x轴于点C，构建矩形ABOC，根据反比例函数函数系数k的几何意义知|k|=四边形ABOC的面积．
8．如果以12m3/h的速度向水箱进水，5h可以注满．为了赶时间，现增加进水管，使进水速度达到Q（m3/h），那么此时注满水箱所需要的时间t（h）与Q（m3/h）之间的函数关系为（ ）
A．t= B．t=60Q C．t=12﹣ D．t=12+
【答案】A
【知识点】列反比例函数关系式
【解析】【解答】解：由题意得：水箱的容量=12m3/h×5h=60m3．
∴注满水箱所需要的时间t（h）与Q（m3/h）之间的函数关系为t=．
故选A．
【分析】以12m3/h的速度向水箱进水，5h可以注满，求出水箱的容量，然后根据注满水箱所需要的时间t（h）=可得出关系式．
9．如图，已知梯形ABCO的底边AO在x轴上，BC∥AO，AB⊥AO，过点C的双曲线y＝交OB于D，且OD：DB=1：2，若△OBC的面积等于n，则k的值（ ）
A．等于n B．等于n C．等于n D．无法确定
【答案】B
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】过D点作DE⊥OA于E点．
设C（x，y)，BC=a．
则AB=y，OA=x+a．
∵OD：DB=1：2，DE∥AB，
∴△ODE∽△OBA，OD：OB=1：3，
∴DE=AB=y，OE=OA=（x+a)．
∵D点在反比例函数的图象上，且D（（x+a)，y)，
∴y （x+a)=k，即xy+ya=9k，
∵C点在反比例函数的图象上，则xy=k，
∴ya=8k．
∵△OBC的面积等于n，
∴ay=n，即ay=2n．
∴8k=2n，
k=n，
故选：B．
【分析】首先过D点作DE⊥OA于E点，设C（x，y)，BC=a，根据DE∥AB得比例线段表示点D坐标，根据△OBC的面积等于n得关系式．此题考查了反比例函数的应用、平行线分线段成比例及有关图形面积的综合运用，综合性较强．
10．根据图1所示的程序，得到了y与x的函数图象，如图2．若点M是y轴正半轴上任意一点，过点M作PQ∥x轴交图象于点P，Q，连接OP，OQ．则以下结论：
①x＜0时，y＝
②△OPQ的面积为定值．
③x＞0时，y随x的增大而增大．
④MQ=2PM．
⑤∠POQ可以等于90°．其中正确结论是（ ）
A．①②④ B．②④⑤ C．③④⑤ D．②③⑤
【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数的实际应用；三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】①、x＜0，y=-，∴①错误；
②、当x＜0时，y=-，当x＞0时，y=，
设P（a，b)，Q（c，d)，
则ab=-2，cd=4，
∴△OPQ的面积是（-a)b+cd=3，∴②正确；
③、x＞0时，y随x的增大而减小，∴③错误；
④、∵ab=-2，cd=4，∴④正确；
⑤设PM=a，则OM=-．则P02=PM2+OM2=a2+（-)2=a2+，
QO2=MQ2+OM2=（2a)2+（-)2=4a2+，
PQ2=PO2+QO2=a2++4a2+=（3a)2=9a2，
整理得a4=2
∵a有解，∴∠POQ=90°可能存在，故⑤正确；
正确的有②④⑤，
故选B．
【分析】根据题意得到当x＜0时，y=- 2 x ，当x＞0时，y= 4 x ，设P（a，b)，Q（c，d)，求出ab=-2，cd=4，求出△OPQ的面积是3；x＞0时，y随x的增大而减小；由ab=-2，cd=4得到MQ=2PM；因为∠POQ=90°也行，根据结论即可判断答案．本题主要考查对反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识点的理解和掌握，能根据这些性质进行说理是解此题的关键．
二、填空题
11．（2016九下·庆云开学考）我们学习过反比例函数．例如，当矩形面积S一定时，长a是宽b的反比例函数，其函数关系式可以写为a= （S为常数，S≠0）．请你仿照上例另举一个在日常生活、生产或学习中具有反比例函数关系的量的实例，并写出它的函数关系式．实例： ；函数关系式： ．
【答案】当路程s一定时，速度v是时间t的反比例函数；函数关系式为：v= （s为常数）．（答案不唯一）
【知识点】列反比例函数关系式
【解析】【解答】解：当路程s一定时，速度v是时间t的反比例函数；函数关系式为：v= （s为常数）．答案不唯一．
【分析】根据题意结合实际情况来写出.
12．（反比例函数的应用+++++++++++++ ）有x个小朋友平均分20个苹果，每人分得的苹果y（个）与x（人）之间的函数是 函数，其函数关系式是 ，当人数增多时，每人分得的苹果就会 ．
【答案】反比例；y= ；减少
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：由题意易得y= ，是反比例函数，这正符合函数y= （k＞0），当x＞0时y随x的增大而减小的性质，所以当人数增多时，每人分得的苹果就会减少．
故答案是：反比例，y= ，减少．
【分析】根据每人分得的苹果y（个）与x（人）的积等于20即可确定y与x是反比例函数，根据反比函数的性质解答．
13．A、B两地之间的高速公路长为300km，一辆小汽车从A地去B地，假设在途中是匀速直线运动，速度为vkm/h，到达时所用的时间是th，那么t是v的 函数，t可以写成v的函数关系式是 ．
【答案】反比例 ；
【知识点】列反比例函数关系式
【解析】【解答】解：
，符合反比例函数的一般形式．
【分析】
14．函数y=的自变量x的取值范围是 ；若点A（﹣2，n）在x轴上，则点B（n﹣1，n+1）在第 象限；近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m，则y与x的函数关系式为 ．
【答案】x≠3；二 ；y=
【知识点】列反比例函数关系式
【解析】【解答】解：①y=中，有x﹣3≠0，解得：x≠3；
②点A（﹣2，n）在x轴上，即点的纵坐标是0，因而n=0，则点B（n﹣1，n+1）是（﹣1，1），这个点在第二象限；
③设y与x的函数关系式是：y=，把x=0.25，y=400代入解析式，就得到k=100；则函数的解析式是：y=．
故答案为x≠3；二；y=．
【分析】①y=的自变量x的取值范围，就是能使这个式子有意义的范围，分式有意义的条件是分母不等于0，因而得到关系式，可解得答案；
②点A（﹣2，n）在x轴上，即点的纵坐标是0，因而n=0，可得点B的坐标，进而可得其所在的象限；
③设y与x的函数关系式是：y=，把x=0.25，y=400代入解析式，就得到k的值，进而可得y与x的函数关系式．
15．在“2011年北京郁金香文化节”中，北京国际鲜花港的3×106株郁金香为京城增添了亮丽的色彩．若这些郁金香平均每平方米种植的数量为n（单位：株/平方米），总种植面积为S（单位：平方米），则n与S的函数关系式为 ．（不要求写出自变量S的取值范围）
【答案】
【知识点】列反比例函数关系式
【解析】【解答】解：由题意得：郁金香的总数量为3×106株，平均每平方米种植的数量为n，总种植面积为S，
∴可得：．
故答案为：．
【分析】根据总种植面积=平均每平方米种植的数量为n×郁金香的总数量，结合题意可得出n与s的关系．
三、解答题
16．（2017九·龙华月考）某电器商场销售甲、乙两种品牌空调，已知每台乙种品牌空调的进价比每台甲种品牌空调的进价高20％，用7200元购进的乙种品牌空调数量比用3000元购进的甲种品牌空调数量多2台．
（1）求甲、乙两种品牌空调的进货价；
（2）该商场拟用不超过16000元购进甲、乙两种品牌空调共10台进行销售，其中甲种品牌空调的售价为2500元／台，乙种品牌空调的售价为3500元／台．请您帮该商场设计一种进货方案，使得在售完这10台空调后获利最大，并求出最大利润．
【答案】（1）解：由（1）设甲种品牌的进价为x元，则乙种品牌空调的进价为（1+20%）x元，
由题意，得 ，
解得x=1500,
经检验，x=1500是原分式方程的解.
乙种品牌空调的进价为（1+20%）×1500=1800（元）.
答案：甲种品牌的进价为1500元，乙种品牌空调的进价为1800元.
（2）解：设购进甲种品牌空调a台，则购进乙种品牌空调（10-a）台，
由题意，得1500a+1800（10-a）≤16000，
解得 ≤a，
设利润为w，则w=（2500-1500）a+（3500-1800）（10-a）=-700a+17000，
因为-700<0，则w随a的增大而减少，当a=7时，w最大，最大为12100元.
答：当购进甲种品牌空调7台，乙种品牌空调3台时，售完后利润最大，最大为12100元.
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）列分式方程解答，可设甲种品牌的进价为x元，数量关系： ；（2）设购进甲种品牌空调a台，先根据“成本价”求出a的取值范围；再用含a的代数式表示利润的式子，并分析最值.
17．如图，⊙O的直径AB=12cm，AM和BN是它的两条切线，DE切⊙O于E，交AM于D，BN于C，设AD=x，BC=y，求y与x的函数关系式．
【答案】解：作DF⊥BN交BC于F；
∵AM、BN与⊙O切于点定A、B，
∴AB⊥AM，AB⊥BN．
又∵DF⊥BN，
∴∠BAD=∠ABC=∠BFD=90°，
∴四边形ABFD是矩形，
∴BF=AD=x，DF=AB=12，
∵BC=y，
∴FC=BC﹣BF=y﹣x；
∵DE切⊙O于E，
∴DE=DA=x CE=CB=y，
则DC=DE+CE=x+y，
在Rt△DFC中，
由勾股定理得：（x+y）2=（y﹣x）2+122，
整理为，
∴y与x的函数关系式是．
【知识点】列反比例函数关系式
【解析】【分析】根据切线长定理得到BF=AD=x，CE=CB=y，则DC=DE+CE=x+y，在直角△DFC中根据勾股定理，就可以求出y与x的关系．
18．如图，E为矩形ABCD的边CD上的一个动点，BF⊥AE于F，AB=2，BC=4，设AE=x，BF=y，求y与x之间的关系式，并写出x的取值范围．
【答案】解：如图，连接AC．
∵BF⊥AE于F，四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠AFB=∠BAD=90°，AD=BC=4，
∴∠ABF+∠BAF=90°，∠BAF+∠DAE=90°，AC==2，
∴∠ABF=∠DAE，
∴cos∠ABF=，cos∠DAE=，
∴=，
y=（4≤x≤2）．
【知识点】列反比例函数关系式
【解析】【分析】易得∠ABF=∠DAE，进而表示出各个角的余弦值，让其相等可得关系式，AE的长度应在AD和AC之间．
19．如图，科技小组准备用材料围建一个面积为60m2的矩形科技园ABCD，其中一边AB靠墙，墙长为12m，设AD的长为xm，DC的长为ym.
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若围成矩形科技园ABCD的三边材料总长不超过26m，材料AD和DC的长都是整米数，求出满足条件的所有围建方案.
【答案】（1）由题意得，S矩形ABCD=AD×DC=xy，
故．
（2）由，且x、y都是正整数，
可得x可取1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60，
∵2x+y≤26，0＜y≤12，
∴符合条件的围建方案为：AD=5m，DC=12m或AD=6m，DC=10m或AD=10m，DC=6m．
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）根据面积为60m2，可得出y与x之间的函数关系式；
（2）由（1）的关系式，结合x、y都是正整数，可得出x的可能值，再由三边材料总长不超过26m，DC的长＜12，可得出x、y的值，继而得出可行的方案．
20．为了预防流感，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例（如图），现测药物8分钟燃毕，此时空气中每立方米含药量为6毫克，请根据题中所提供的信息，回答下列问题
（1）药物燃烧时，y关于x的函数关系式为 ，自变量x的取值范围是 ；药物燃烧完后，y与x的函数关系式为 ；
（2）研究表明，当空气中的每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过几分钟后，学生才能回到教室；
（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效地杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？
【答案】解：（1）∵设正比例函数解析式为y=k1x（k1≠0），函数的图象经过点P（8，6）
∴正比例函数的解析式为．自变量x的取值范围是0≤x≤8；
∵设反比例函数解析式为（k2≠0），函数的图象经过点P（8，6），
∴反比例函数的解析式为． 自变量x的取值范围是x≥4；
（2）把y=1.6代入中得x=30，
∴从消毒开始，至少需要经过30分钟后，学生才能回到教室；
(3)把y=3代入中得x=4，
把y=3代入中得x=16，
(8-4)+(16-8)=12>10，
∴此次消毒是有效的．
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】
（1）由于在药物燃烧阶段，y与x成正比例，因此设函数解析式为y=k1x（k1≠0），然后由（8，6）在函数图象上，利用待定系数法即可求得药物燃烧时y与x的函数解析式；由于在药物燃烧阶段后，y与x成反比例，因此设函数解析式为（k2≠0），然后由（8，6）在函数图象上，利用待定系数法即可求得药物燃烧阶段后y与x的函数解析式；
（2）当空气中的每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，把y=1.6代入，即可求得y的值，则可求得答案；
（3）把y=3代入中得x=4，把y=3代入中得x=16，(8-4)+(16-8)=12>10得知此次消毒是有效的．
1 / 1人教版初中数学2023-2024学年九年级下学期课时培优练习 26.2实际问题与反比例函数
一、选择题
1．（2023九下·西湖月考）某市举行中学生数学知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率(该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值)y与该校参加竞赛人数x的情况，.其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次数学知识竞赛中成绩优秀人数最多的是（ ）.
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
2．（2021九下·江西月考）小明学习了物理中的杠杆平衡原理发现：阻力 阻力臂 动力 动力臂．现已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为2400N和1m，则动力 （单位：N）关于动力臂 （单位：m）的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2015九下·深圳期中）如图，已知直线y=﹣x+4与两坐标轴分别相交于点A，B两点，点C是线段AB上任意一点，过C分别作CD⊥x轴于点D，CE⊥y轴于点E．双曲线 与CD，CE分别交于点P，Q两点，若四边形ODCE为正方形，且 ，则k的值是（ ）
A．4 B．2 C． D．
4．下列关系式中，y是x反比例函数的是（ ）
A．y= B．y=-1 C．y=- D．y=
5．如图，点A是反比例函数y=是图象上一点，AB⊥y轴于点B，则△AOB的面积是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．下列函数中，图象经过点（1，﹣1）的反比例函数解析式是（ ）
A．y= B．y= C．y= D．y=
7．如图，反比例函数y=(k≠0)的图象上有一点A，AB平行于x轴交y轴于点B，△ABO的面积是1，则反比例函数的解析式是（ ）
A．y= B．y= C．y= D．y=
8．如果以12m3/h的速度向水箱进水，5h可以注满．为了赶时间，现增加进水管，使进水速度达到Q（m3/h），那么此时注满水箱所需要的时间t（h）与Q（m3/h）之间的函数关系为（ ）
A．t= B．t=60Q C．t=12﹣ D．t=12+
9．如图，已知梯形ABCO的底边AO在x轴上，BC∥AO，AB⊥AO，过点C的双曲线y＝交OB于D，且OD：DB=1：2，若△OBC的面积等于n，则k的值（ ）
A．等于n B．等于n C．等于n D．无法确定
10．根据图1所示的程序，得到了y与x的函数图象，如图2．若点M是y轴正半轴上任意一点，过点M作PQ∥x轴交图象于点P，Q，连接OP，OQ．则以下结论：
①x＜0时，y＝
②△OPQ的面积为定值．
③x＞0时，y随x的增大而增大．
④MQ=2PM．
⑤∠POQ可以等于90°．其中正确结论是（ ）
A．①②④ B．②④⑤ C．③④⑤ D．②③⑤
二、填空题
11．（2016九下·庆云开学考）我们学习过反比例函数．例如，当矩形面积S一定时，长a是宽b的反比例函数，其函数关系式可以写为a= （S为常数，S≠0）．请你仿照上例另举一个在日常生活、生产或学习中具有反比例函数关系的量的实例，并写出它的函数关系式．实例： ；函数关系式： ．
12．（反比例函数的应用+++++++++++++ ）有x个小朋友平均分20个苹果，每人分得的苹果y（个）与x（人）之间的函数是 函数，其函数关系式是 ，当人数增多时，每人分得的苹果就会 ．
13．A、B两地之间的高速公路长为300km，一辆小汽车从A地去B地，假设在途中是匀速直线运动，速度为vkm/h，到达时所用的时间是th，那么t是v的 函数，t可以写成v的函数关系式是 ．
14．函数y=的自变量x的取值范围是 ；若点A（﹣2，n）在x轴上，则点B（n﹣1，n+1）在第 象限；近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m，则y与x的函数关系式为 ．
15．在“2011年北京郁金香文化节”中，北京国际鲜花港的3×106株郁金香为京城增添了亮丽的色彩．若这些郁金香平均每平方米种植的数量为n（单位：株/平方米），总种植面积为S（单位：平方米），则n与S的函数关系式为 ．（不要求写出自变量S的取值范围）
三、解答题
16．（2017九·龙华月考）某电器商场销售甲、乙两种品牌空调，已知每台乙种品牌空调的进价比每台甲种品牌空调的进价高20％，用7200元购进的乙种品牌空调数量比用3000元购进的甲种品牌空调数量多2台．
（1）求甲、乙两种品牌空调的进货价；
（2）该商场拟用不超过16000元购进甲、乙两种品牌空调共10台进行销售，其中甲种品牌空调的售价为2500元／台，乙种品牌空调的售价为3500元／台．请您帮该商场设计一种进货方案，使得在售完这10台空调后获利最大，并求出最大利润．
17．如图，⊙O的直径AB=12cm，AM和BN是它的两条切线，DE切⊙O于E，交AM于D，BN于C，设AD=x，BC=y，求y与x的函数关系式．
18．如图，E为矩形ABCD的边CD上的一个动点，BF⊥AE于F，AB=2，BC=4，设AE=x，BF=y，求y与x之间的关系式，并写出x的取值范围．
19．如图，科技小组准备用材料围建一个面积为60m2的矩形科技园ABCD，其中一边AB靠墙，墙长为12m，设AD的长为xm，DC的长为ym.
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若围成矩形科技园ABCD的三边材料总长不超过26m，材料AD和DC的长都是整米数，求出满足条件的所有围建方案.
20．为了预防流感，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例（如图），现测药物8分钟燃毕，此时空气中每立方米含药量为6毫克，请根据题中所提供的信息，回答下列问题
（1）药物燃烧时，y关于x的函数关系式为 ，自变量x的取值范围是 ；药物燃烧完后，y与x的函数关系式为 ；
（2）研究表明，当空气中的每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过几分钟后，学生才能回到教室；
（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效地杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：∵用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率(该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值)y与该校参加竞赛人数x的情况，
∴xy的值就是该校的优秀人数，
∵描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，
∴乙、丁两所学校的优秀人数相等，
点丙在反比例函数图象的上方，
∴丙的优秀人数最多.
故答案为：C
【分析】观察图象可知xy的值就是该校的优秀人数，乙、丁两所学校的优秀人数相等；点丙在反比例函数图象的上方，据此可得到丙的优秀人数最多.
2．【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂，已知阻力和阻力臂分别是2400N和1m，
∴动力F（单位：N）关于动力臂l（单位：m）的函数解析式为：2400×1＝Fl，
则F＝ ，是反比例函数，A选项符合，
故答案为：A．
【分析】利用阻力×阻力臂＝动力×动力臂，将已知数据代入得出函数关系式，从而确定其图象即可．
3．【答案】B
【知识点】反比例函数的概念；反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：四边形ODCE为正方形，则OC是第一象限的角平分线，则解析式是y=x，
根据题意得： ，
解得： ，
则C的坐标是（2，2），
设Q的坐标是（2，a），
则DQ=EP=a，PC=CQ=2﹣a，
正方形ODCE的面积是：4，
S△ODQ= ×2 a=a，同理S△OPE=a，S△CPQ= （2﹣a）2，
则4﹣a﹣a﹣ （2﹣a）2= ，
解得：a=1或﹣1（舍去），
则Q的坐标是（2，1），
把（2，1）代入 得：k=2．
故选B．
【分析】四边形ODCE为正方形，则OC是第一象限的角平分线，则解析式是y=x，即可求得C的坐标，根据反比例函数一定关于y=x对称，则P、Q一定是对称点，则设Q的坐标是（2，a），则DQ=EP=a，PC=CQ=2﹣a，根据正方形ODCE的面积﹣△ODQ的面积﹣△OEP的面积﹣△PCQ的面积=△OPQ的面积，即可列方程求得a的值，求得Q的坐标，利用待定系数法即可求得k的值．
4．【答案】A
【知识点】列反比例函数关系式
【解析】【解答】解：A、y=，y是x反比例函数，正确；
B、不符合反比例函数的定义，错误；
C、y=﹣是二次函数，不符合反比例函数的定义，错误；
D，y是x+1的反比例函数，错误．
故选A．
【分析】此题应根据反比例函数的定义，解析式符合y=（k≠0）的形式为反比例函数
5．【答案】B
【知识点】列反比例函数关系式
【解析】【解答】解：由题意得：点A是反比例函数y=图象上一点，S△AOB==2．
故选B．
【分析】此题可从反比例函数系数k的几何意义入手，△AOB的面积为点A向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积的一半即S=．
6．【答案】B
【知识点】列反比例函数关系式
【解析】【解答】解：设反比例函数的解析式为y=（k≠0），由图象可知，函数经过点P（1，﹣1），
∴﹣1=，得k=﹣1，
∴反比例函数解析式为y=．
故选B．
【分析】观察图象，函数经过一定点，将此点坐标代入函数解析式y=（k≠0）即可求得k的值．
7．【答案】C
【知识点】列反比例函数关系式
【解析】【解答】解：如图，过点A作AC⊥x轴于点C．则四边形ABOC是矩形，
∴S△ABO=S△AOC=1，
∴|k|=S矩形ABCO=S△ABO+S△AOC=2，
∴k=2或k=﹣2．
又∵函数图象位于第一象限，
∴k＞0，
∴k=2．则反比函数解析式为y=．
故选C．
【分析】如图，过点A作AC⊥x轴于点C，构建矩形ABOC，根据反比例函数函数系数k的几何意义知|k|=四边形ABOC的面积．
8．【答案】A
【知识点】列反比例函数关系式
【解析】【解答】解：由题意得：水箱的容量=12m3/h×5h=60m3．
∴注满水箱所需要的时间t（h）与Q（m3/h）之间的函数关系为t=．
故选A．
【分析】以12m3/h的速度向水箱进水，5h可以注满，求出水箱的容量，然后根据注满水箱所需要的时间t（h）=可得出关系式．
9．【答案】B
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】过D点作DE⊥OA于E点．
设C（x，y)，BC=a．
则AB=y，OA=x+a．
∵OD：DB=1：2，DE∥AB，
∴△ODE∽△OBA，OD：OB=1：3，
∴DE=AB=y，OE=OA=（x+a)．
∵D点在反比例函数的图象上，且D（（x+a)，y)，
∴y （x+a)=k，即xy+ya=9k，
∵C点在反比例函数的图象上，则xy=k，
∴ya=8k．
∵△OBC的面积等于n，
∴ay=n，即ay=2n．
∴8k=2n，
k=n，
故选：B．
【分析】首先过D点作DE⊥OA于E点，设C（x，y)，BC=a，根据DE∥AB得比例线段表示点D坐标，根据△OBC的面积等于n得关系式．此题考查了反比例函数的应用、平行线分线段成比例及有关图形面积的综合运用，综合性较强．
10．【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数的实际应用；三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】①、x＜0，y=-，∴①错误；
②、当x＜0时，y=-，当x＞0时，y=，
设P（a，b)，Q（c，d)，
则ab=-2，cd=4，
∴△OPQ的面积是（-a)b+cd=3，∴②正确；
③、x＞0时，y随x的增大而减小，∴③错误；
④、∵ab=-2，cd=4，∴④正确；
⑤设PM=a，则OM=-．则P02=PM2+OM2=a2+（-)2=a2+，
QO2=MQ2+OM2=（2a)2+（-)2=4a2+，
PQ2=PO2+QO2=a2++4a2+=（3a)2=9a2，
整理得a4=2
∵a有解，∴∠POQ=90°可能存在，故⑤正确；
正确的有②④⑤，
故选B．
【分析】根据题意得到当x＜0时，y=- 2 x ，当x＞0时，y= 4 x ，设P（a，b)，Q（c，d)，求出ab=-2，cd=4，求出△OPQ的面积是3；x＞0时，y随x的增大而减小；由ab=-2，cd=4得到MQ=2PM；因为∠POQ=90°也行，根据结论即可判断答案．本题主要考查对反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识点的理解和掌握，能根据这些性质进行说理是解此题的关键．
11．【答案】当路程s一定时，速度v是时间t的反比例函数；函数关系式为：v= （s为常数）．（答案不唯一）
【知识点】列反比例函数关系式
【解析】【解答】解：当路程s一定时，速度v是时间t的反比例函数；函数关系式为：v= （s为常数）．答案不唯一．
【分析】根据题意结合实际情况来写出.
12．【答案】反比例；y= ；减少
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：由题意易得y= ，是反比例函数，这正符合函数y= （k＞0），当x＞0时y随x的增大而减小的性质，所以当人数增多时，每人分得的苹果就会减少．
故答案是：反比例，y= ，减少．
【分析】根据每人分得的苹果y（个）与x（人）的积等于20即可确定y与x是反比例函数，根据反比函数的性质解答．
13．【答案】反比例 ；
【知识点】列反比例函数关系式
【解析】【解答】解：
，符合反比例函数的一般形式．
【分析】
14．【答案】x≠3；二 ；y=
【知识点】列反比例函数关系式
【解析】【解答】解：①y=中，有x﹣3≠0，解得：x≠3；
②点A（﹣2，n）在x轴上，即点的纵坐标是0，因而n=0，则点B（n﹣1，n+1）是（﹣1，1），这个点在第二象限；
③设y与x的函数关系式是：y=，把x=0.25，y=400代入解析式，就得到k=100；则函数的解析式是：y=．
故答案为x≠3；二；y=．
【分析】①y=的自变量x的取值范围，就是能使这个式子有意义的范围，分式有意义的条件是分母不等于0，因而得到关系式，可解得答案；
②点A（﹣2，n）在x轴上，即点的纵坐标是0，因而n=0，可得点B的坐标，进而可得其所在的象限；
③设y与x的函数关系式是：y=，把x=0.25，y=400代入解析式，就得到k的值，进而可得y与x的函数关系式．
15．【答案】
【知识点】列反比例函数关系式
【解析】【解答】解：由题意得：郁金香的总数量为3×106株，平均每平方米种植的数量为n，总种植面积为S，
∴可得：．
故答案为：．
【分析】根据总种植面积=平均每平方米种植的数量为n×郁金香的总数量，结合题意可得出n与s的关系．
16．【答案】（1）解：由（1）设甲种品牌的进价为x元，则乙种品牌空调的进价为（1+20%）x元，
由题意，得 ，
解得x=1500,
经检验，x=1500是原分式方程的解.
乙种品牌空调的进价为（1+20%）×1500=1800（元）.
答案：甲种品牌的进价为1500元，乙种品牌空调的进价为1800元.
（2）解：设购进甲种品牌空调a台，则购进乙种品牌空调（10-a）台，
由题意，得1500a+1800（10-a）≤16000，
解得 ≤a，
设利润为w，则w=（2500-1500）a+（3500-1800）（10-a）=-700a+17000，
因为-700<0，则w随a的增大而减少，当a=7时，w最大，最大为12100元.
答：当购进甲种品牌空调7台，乙种品牌空调3台时，售完后利润最大，最大为12100元.
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）列分式方程解答，可设甲种品牌的进价为x元，数量关系： ；（2）设购进甲种品牌空调a台，先根据“成本价”求出a的取值范围；再用含a的代数式表示利润的式子，并分析最值.
17．【答案】解：作DF⊥BN交BC于F；
∵AM、BN与⊙O切于点定A、B，
∴AB⊥AM，AB⊥BN．
又∵DF⊥BN，
∴∠BAD=∠ABC=∠BFD=90°，
∴四边形ABFD是矩形，
∴BF=AD=x，DF=AB=12，
∵BC=y，
∴FC=BC﹣BF=y﹣x；
∵DE切⊙O于E，
∴DE=DA=x CE=CB=y，
则DC=DE+CE=x+y，
在Rt△DFC中，
由勾股定理得：（x+y）2=（y﹣x）2+122，
整理为，
∴y与x的函数关系式是．
【知识点】列反比例函数关系式
【解析】【分析】根据切线长定理得到BF=AD=x，CE=CB=y，则DC=DE+CE=x+y，在直角△DFC中根据勾股定理，就可以求出y与x的关系．
18．【答案】解：如图，连接AC．
∵BF⊥AE于F，四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠AFB=∠BAD=90°，AD=BC=4，
∴∠ABF+∠BAF=90°，∠BAF+∠DAE=90°，AC==2，
∴∠ABF=∠DAE，
∴cos∠ABF=，cos∠DAE=，
∴=，
y=（4≤x≤2）．
【知识点】列反比例函数关系式
【解析】【分析】易得∠ABF=∠DAE，进而表示出各个角的余弦值，让其相等可得关系式，AE的长度应在AD和AC之间．
19．【答案】（1）由题意得，S矩形ABCD=AD×DC=xy，
故．
（2）由，且x、y都是正整数，
可得x可取1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60，
∵2x+y≤26，0＜y≤12，
∴符合条件的围建方案为：AD=5m，DC=12m或AD=6m，DC=10m或AD=10m，DC=6m．
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）根据面积为60m2，可得出y与x之间的函数关系式；
（2）由（1）的关系式，结合x、y都是正整数，可得出x的可能值，再由三边材料总长不超过26m，DC的长＜12，可得出x、y的值，继而得出可行的方案．
20．【答案】解：（1）∵设正比例函数解析式为y=k1x（k1≠0），函数的图象经过点P（8，6）
∴正比例函数的解析式为．自变量x的取值范围是0≤x≤8；
∵设反比例函数解析式为（k2≠0），函数的图象经过点P（8，6），
∴反比例函数的解析式为． 自变量x的取值范围是x≥4；
（2）把y=1.6代入中得x=30，
∴从消毒开始，至少需要经过30分钟后，学生才能回到教室；
(3)把y=3代入中得x=4，
把y=3代入中得x=16，
(8-4)+(16-8)=12>10，
∴此次消毒是有效的．
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】
（1）由于在药物燃烧阶段，y与x成正比例，因此设函数解析式为y=k1x（k1≠0），然后由（8，6）在函数图象上，利用待定系数法即可求得药物燃烧时y与x的函数解析式；由于在药物燃烧阶段后，y与x成反比例，因此设函数解析式为（k2≠0），然后由（8，6）在函数图象上，利用待定系数法即可求得药物燃烧阶段后y与x的函数解析式；
（2）当空气中的每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，把y=1.6代入，即可求得y的值，则可求得答案；
（3）把y=3代入中得x=4，把y=3代入中得x=16，(8-4)+(16-8)=12>10得知此次消毒是有效的．
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