人教版初中数学2023-2024学年九年级下学期课时基础练习 27.1图形的相似
一、选择题
1．（2022九上·晋州期中）矩形相邻的两边长分别为25和，把它按如图所示的方式分割成五个全等的小矩形，每一个小矩形均与原矩形相似，则的值为（ ）
A．5 B． C． D．10
2．（2023九上·衡山期中）下列图形中 定相似的是（ ）
A．直角三角形都相似 B．等腰三角形都相似
C．矩形都相似 D．等腰直角三角形都相似
3．（2023九上·宁远期中）下列说法正确的有个（ ）
任意两个矩形都相似 任意两个正方形都相似
任意两个等边三角形都相似 任意两个菱形都相似．
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（2023九上·遵化期中）四边形四边形，，，．则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．（北师大版数学九年级上册第四章图形的相似第三节《相似多边形》同步练习）若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（ ）
A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．4：1
6．（2023九上·市南区期中）如图，在矩形、三角形、正五边形、菱形的外边加一个宽度一样的外框，保证外框的边界与原图形对应边平行，则外框与原图一定相似的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2023九上·榆树月考）下列各选项中的两个图形是相似图形的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023八下·潍坊期末）如图， 中，，于D，矩形、矩形的顶点分别在，的三边上，且矩形矩形．可求两矩形的相似比的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022九上·青岛期中）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠E＝85°，∠G＝90°，∠D＝120°，则∠B等于（ ）
A．55° B．65° C．75° D．85°
10．（2021九上·大埔期中）若矩形ABCD∽矩形EFGH，相似比为2∶3，已知AB＝3 cm，BC＝5 cm，则矩形EFGH的周长是（ ）
A．16 cm B．12 cm C．24 cm D．36 cm
二、填空题
11．（2023九上·简阳期中）如图，四边形四边形，则的度数是 ．
12．（2023九上·永修期中）如图，已知矩形矩形，，，则的长为 ．
13．（2023九上·闵行期中）已知两个矩形相似，第一个矩形的两边长分别是3和4，第二个矩形较短的一边长是4，那么第二个矩形较长的一边长是 ．
14．（2017·普陀模拟）利用复印机的缩放功能，将原图中边长为5厘米的一个等边三角形放大成边长为20厘米的等边三角形，那么放大前后的两个三角形的周长比是 ．
15．某多边形草坪的面积为4000m2，在市政建设规划设计图纸上的面积为250cm2，这块草坪某条边的长度是40m，则它在设计图纸上的长度是 cm．
三、解答题
16．（2023九上·历下期中）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，五边形OABCD的五个顶点坐标分别为，，，，．
（1）以原点O为位似中心，在原点O的同侧作五边形OABCD的位似图形，使它与五边形OABCD的相似比为2：1．
（2）写出的坐标 ．
（3）已知五边形OABCD的面积为13.5，则五边形的面积为 ．
17．（2023九上·九台期中）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH．若AB＝18，EF＝4，FG＝6，∠B＝77°，∠C＝83°，∠E＝117°，求线段BC的长和∠H的大小．
18．如图，矩形ABCD的长AB=30，宽BC=20．
（1）如图①，若矩形ABCD内四周有宽为1的方形区域，图中矩形ABCD与矩形A'B'C'D'相似吗？为什么？
（2）如图②，当x为多少时，矩形ABCD和矩形A'B'C'D'相似？
19．如图，E，F分别是矩形ABCD一组对边AD，CB的中点．已知矩形AEFB∽矩形ABCD，求AB：BC的值．
20．如图所示，四边形ABCD为平行四边形，AE平分交BC于点，过点作，交AD于点，连结BF.
（1）求证：BF平分.
（2）若，且四边形ABCD与四边形CEFD相似，求BC的长.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：矩形分割成五个全等的小矩形，则每个小矩形的相邻两边的长为5和，每一个小矩形均与原矩形相似，
∴大矩形的长比宽等于小矩形的长比宽，
∴，解方程得，，（舍弃），
故答案为：B．
【分析】根据相似图形的性质可得，再求出x的值即可。
2．【答案】D
【知识点】图形的相似
【解析】【解答】解：A、两个直角三角形的边不一定成比例，角不一定相等，不一定相似，故本选项不符合题意；
B、两个等腰三角形的边不一定成比例，角不一定相等，不一定相似，故本选项不符合题意；
C、两个矩形的对应角相等，但对应边不一定成比例，不一定相似，故本选项不符合题意；
D、两个等腰直角三角形的对应边一定成比例，对应角一定相等，所以一定相似，故本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据相似图形的对应边成比例，对应角相等，结合直角三角形、等腰三角形、矩形以及等腰直角三角形的特点对各选项进行分析判断．
3．【答案】C
【知识点】图形的相似
【解析】【解答】解：（1）虽然两个矩形的对应角都是直角，但是对应边不一定成比例，所以任意两个矩形不一定相似，故说法错误；
（2）两个正方形的对应边成比例，对应角都是直角，所以任意两个正方形一定相似，故说法正确；
（3）两个等边三角形的对应边一定成比例，对应角都是，所以任意两个等边三角形一定相似，故说法正确；
（4）两个菱形的对应边一定成比例，对应角不一定相等，所以任意两个菱形不一定相似，故说法错误．
综合分析可得，下确的是（2）和（3），共2个，
故答案为：C．
【分析】根据相似多边形定义判定。如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．
4．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；相似多边形
【解析】【解答】解：四边形四边形，
，
，，
故答案为：B.
【分析】利用相似多边形的性质以及四边形内角和定理进行计算即可求解.
5．【答案】B
【知识点】相似多边形
【解析】解答：∵两个相似多边形面积比为1：4，
∴周长之比为 ．
故选：B．
分析：根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方，周长之比等于相似比，就可求解．
6．【答案】C
【知识点】图形的相似
【解析】【解答】矩形外框与原图不一定相似，因为虽然它们的对应角相等，但是对应边的比值不一定相等；三角形外框与原图一定相似，因为其对应角均相等；正五边形相似，因为它们的对应角都相等，且各对应边的比值也相等；菱形也相似，因为它们的对应角都相等，且各对应边的比值也相等；
故答案为：C。
【分析】根据相似多边形的判定定理，对各个选项进行分析，即可得出答案。
7．【答案】D
【知识点】图形的相似
【解析】【解答】解：
A：两个图形的形状不同，不是相似图形，A不符合；
B：两个图形的形状不同，不是相似图形，B不符合；
C：两个图形的形状不同，不是相似图形，C不符合；
D：两个图形的形状相同，只是大小不同，是相似图形，D符合。
故答案为：D
【分析】根据相似图形的定义进行分析判断即可。特别要注意分辨B中两个图形的不同之处。
8．【答案】B
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】连接FD，DN，如图：
∵矩形矩形 ，
∴∠FDE=∠BDN，
∵∠ACD+∠BCD=∠B+∠BCD=90°，
∴∠FCD=∠B，
∴△CFD∽△BND，
∴DN：DF=BD：CD，
故答案为：B.
【分析】先证出△CFD∽△BND，再利用相似三角形的性质可得DN：DF=BD：CD，从而可得答案.
9．【答案】B
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，∠E＝85°，∠G＝90°，∠D＝120°，
∴∠E＝∠A＝85°，∠G＝∠C＝90°，
∴∠B＝360°-∠A-∠D-∠C＝360°-85°-120°-90°＝65°，
故答案为：B．
【分析】根据相似多边形的性质可得∠E＝∠A＝85°，∠G＝∠C＝90°，再利用多边形的内角和求出∠B的度数即可。
10．【答案】C
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】∵AB=3cm，BC=5cm，
∴矩形ABCD的周长=2×（3+5）=16cm，
∵矩形ABCD∽矩形EFGH，相似比为2：3，
∴矩形ABCD与矩形EFGH的周长比2：3，
∴矩形EFGH的周长为24cm，
故答案为：C．
【分析】先求出矩形ABCD的周长为16cm，再求出矩形ABCD与矩形EFGH的周长比2：3，最后计算求解即可。
11．【答案】95°
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵四边形四边形，
∴，
∴
故答案为：95°.
【分析】根据相似多边形的性质求解。根据相似多边形的对应角相等，结合多边形内角和定理计算．
12．【答案】
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵矩形矩形，
∴，即，
∴（负值舍去），
故答案为：．
【分析】根据相似多边形对应边成比例得到，代入数据，即可求解．
13．【答案】
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：设第二个矩形较长的一边长是x，
∵两个矩形相似，
∴，
∴x=.
故答案为：。
【分析】设第二个矩形较长的一边长是x，根据相似多边形的对应边成比例，可得，解得x=，即可得出答案。
14．【答案】1：4
【知识点】图形的相似
【解析】【解答】解：因为原图中边长为5cm的一个等边三角形放大成边长为20cm的等边三角形，
所以放大前后的两个三角形的面积比为5：20=1：4，
故答案为：1：4．
【分析】根据等边三角形周长的比是三角形边长的比解答即可．
15．【答案】10
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：设设计图纸上的长度是xcm，
4000m2=40000000cm2， 40m=4000cm，
∴
解得：x=10cm
故答案为：10.
【分析】根据相似多边形的面积比等于相似比的平方进行解答即可.
16．【答案】（1）解：
如图，五边形即为所求．
（2）
（3）54
【知识点】相似多边形；作图﹣位似变换
【解析】【解答】（2）根据平面直角坐标系可得，点C1的坐标为（8，4），
故答案为：（8，4）；
（3）∵五边形OABCD∽五边形OA1B1C1D1，相似比为1：2，
∴面积之比为：1：4，
∵五边形OABCD的面积为13.5，
∴五边形的面积为13.5×4=54，
故答案为：54.
【分析】（1）利用位似中心的性质找出点O、A、B、C、D的对应点，再连接即可；
（2）利用平面直角坐标系直接写出点的坐标即可；
（3）利用相似多边形的性质可得面积之比为：1：4，再结合五边形OABCD的面积为13.5，求出五边形的面积为13.5×4=54即可.
17．【答案】解：BC＝27，∠H＝83°
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】∵四边形ABCD∽四边形EFGH，
∴，∠A=∠E=117°，∠D=∠H，
∵AB＝18，EF＝4，FG＝6，
∴，
解得：BC=27，
在四边形ABCD中，∠B=77°，∠C=83°，∠A=117°，
∴∠D=360°-77°-83°-117°=83°，
∴∠H=∠D=83°，
故答案为：27；83°.
【分析】利用相似多边形的性质可得，∠A=∠E=117°，∠D=∠H，再将数据代入求出BC的长，最后利用多边形的内角和求出∠H的度数即可.
18．【答案】（1）解：不相似，理由如下：
∵AB=30，A′B′=28，BC=20，B′C′=18，
∴，
∴
∴矩形ABCD与矩形A'B'C'D' 不相似；
（2）解：若矩形ABCD和矩形相似，则或，即，或，解得或.
【知识点】相似多边形
【解析】【分析】 （1）因为矩形的对应角都相等，只需证明两个矩形的对应边是否成比例即可判断，根据题中的数据计算可得矩形ABCD与矩形A'B'C'D'不相似；
（2）由题知两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似，根据对应边成比例，可列式即可求出x的值．
19．【答案】解：由矩形矩形ABCD，得
即，
得.
所以
【知识点】相似多边形
【解析】【分析】 由相似多边形的性质可得对应边的比相等，可得到，然后根据E是AD的中点可得出，AE=，代入比例式中即可求出AB：BC的值．
20．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
四边形ABEF是平行四边形.
平分，
.
.
.
四边形ABEF是萲形.
平分；
（2）解：四边形ABEF为菱形，
.
四边形ABCD与CEFD相似，
，即.
解得，.
.
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；相似多边形
【解析】【分析】（1）菱形的对角线平分一组对角，若能证得四边形ABEF为菱形，就可以得到BF平分∠ABC；四边形ABCD是平行四边形，得到AF∥BE，两直线平行，内错角相等，得出∠FAE=∠BEA；题目已知∠FAE=∠BAE，所以∠BAE=∠BEA，由等角对等边得AB=BE；题目已知AB∥EF，加上AF∥BE，得出四边形ABEF是平行四边形；一组邻边相等的平行四边形是菱形，因此平行四边形ABEF是菱形，所以BF平分∠ABC；
（2）由相似多边形对应边成比例可得；由（1）得ABEF为菱形，AB=AF=EF=BF=6，所以，EC＞0，所以EC=，由此BC=BE+CE=6+=.
1 / 1人教版初中数学2023-2024学年九年级下学期课时基础练习 27.1图形的相似
一、选择题
1．（2022九上·晋州期中）矩形相邻的两边长分别为25和，把它按如图所示的方式分割成五个全等的小矩形，每一个小矩形均与原矩形相似，则的值为（ ）
A．5 B． C． D．10
【答案】B
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：矩形分割成五个全等的小矩形，则每个小矩形的相邻两边的长为5和，每一个小矩形均与原矩形相似，
∴大矩形的长比宽等于小矩形的长比宽，
∴，解方程得，，（舍弃），
故答案为：B．
【分析】根据相似图形的性质可得，再求出x的值即可。
2．（2023九上·衡山期中）下列图形中 定相似的是（ ）
A．直角三角形都相似 B．等腰三角形都相似
C．矩形都相似 D．等腰直角三角形都相似
【答案】D
【知识点】图形的相似
【解析】【解答】解：A、两个直角三角形的边不一定成比例，角不一定相等，不一定相似，故本选项不符合题意；
B、两个等腰三角形的边不一定成比例，角不一定相等，不一定相似，故本选项不符合题意；
C、两个矩形的对应角相等，但对应边不一定成比例，不一定相似，故本选项不符合题意；
D、两个等腰直角三角形的对应边一定成比例，对应角一定相等，所以一定相似，故本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据相似图形的对应边成比例，对应角相等，结合直角三角形、等腰三角形、矩形以及等腰直角三角形的特点对各选项进行分析判断．
3．（2023九上·宁远期中）下列说法正确的有个（ ）
任意两个矩形都相似 任意两个正方形都相似
任意两个等边三角形都相似 任意两个菱形都相似．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】图形的相似
【解析】【解答】解：（1）虽然两个矩形的对应角都是直角，但是对应边不一定成比例，所以任意两个矩形不一定相似，故说法错误；
（2）两个正方形的对应边成比例，对应角都是直角，所以任意两个正方形一定相似，故说法正确；
（3）两个等边三角形的对应边一定成比例，对应角都是，所以任意两个等边三角形一定相似，故说法正确；
（4）两个菱形的对应边一定成比例，对应角不一定相等，所以任意两个菱形不一定相似，故说法错误．
综合分析可得，下确的是（2）和（3），共2个，
故答案为：C．
【分析】根据相似多边形定义判定。如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．
4．（2023九上·遵化期中）四边形四边形，，，．则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；相似多边形
【解析】【解答】解：四边形四边形，
，
，，
故答案为：B.
【分析】利用相似多边形的性质以及四边形内角和定理进行计算即可求解.
5．（北师大版数学九年级上册第四章图形的相似第三节《相似多边形》同步练习）若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（ ）
A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．4：1
【答案】B
【知识点】相似多边形
【解析】解答：∵两个相似多边形面积比为1：4，
∴周长之比为 ．
故选：B．
分析：根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方，周长之比等于相似比，就可求解．
6．（2023九上·市南区期中）如图，在矩形、三角形、正五边形、菱形的外边加一个宽度一样的外框，保证外框的边界与原图形对应边平行，则外框与原图一定相似的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】图形的相似
【解析】【解答】矩形外框与原图不一定相似，因为虽然它们的对应角相等，但是对应边的比值不一定相等；三角形外框与原图一定相似，因为其对应角均相等；正五边形相似，因为它们的对应角都相等，且各对应边的比值也相等；菱形也相似，因为它们的对应角都相等，且各对应边的比值也相等；
故答案为：C。
【分析】根据相似多边形的判定定理，对各个选项进行分析，即可得出答案。
7．（2023九上·榆树月考）下列各选项中的两个图形是相似图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】图形的相似
【解析】【解答】解：
A：两个图形的形状不同，不是相似图形，A不符合；
B：两个图形的形状不同，不是相似图形，B不符合；
C：两个图形的形状不同，不是相似图形，C不符合；
D：两个图形的形状相同，只是大小不同，是相似图形，D符合。
故答案为：D
【分析】根据相似图形的定义进行分析判断即可。特别要注意分辨B中两个图形的不同之处。
8．（2023八下·潍坊期末）如图， 中，，于D，矩形、矩形的顶点分别在，的三边上，且矩形矩形．可求两矩形的相似比的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】连接FD，DN，如图：
∵矩形矩形 ，
∴∠FDE=∠BDN，
∵∠ACD+∠BCD=∠B+∠BCD=90°，
∴∠FCD=∠B，
∴△CFD∽△BND，
∴DN：DF=BD：CD，
故答案为：B.
【分析】先证出△CFD∽△BND，再利用相似三角形的性质可得DN：DF=BD：CD，从而可得答案.
9．（2022九上·青岛期中）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠E＝85°，∠G＝90°，∠D＝120°，则∠B等于（ ）
A．55° B．65° C．75° D．85°
【答案】B
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，∠E＝85°，∠G＝90°，∠D＝120°，
∴∠E＝∠A＝85°，∠G＝∠C＝90°，
∴∠B＝360°-∠A-∠D-∠C＝360°-85°-120°-90°＝65°，
故答案为：B．
【分析】根据相似多边形的性质可得∠E＝∠A＝85°，∠G＝∠C＝90°，再利用多边形的内角和求出∠B的度数即可。
10．（2021九上·大埔期中）若矩形ABCD∽矩形EFGH，相似比为2∶3，已知AB＝3 cm，BC＝5 cm，则矩形EFGH的周长是（ ）
A．16 cm B．12 cm C．24 cm D．36 cm
【答案】C
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】∵AB=3cm，BC=5cm，
∴矩形ABCD的周长=2×（3+5）=16cm，
∵矩形ABCD∽矩形EFGH，相似比为2：3，
∴矩形ABCD与矩形EFGH的周长比2：3，
∴矩形EFGH的周长为24cm，
故答案为：C．
【分析】先求出矩形ABCD的周长为16cm，再求出矩形ABCD与矩形EFGH的周长比2：3，最后计算求解即可。
二、填空题
11．（2023九上·简阳期中）如图，四边形四边形，则的度数是 ．
【答案】95°
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵四边形四边形，
∴，
∴
故答案为：95°.
【分析】根据相似多边形的性质求解。根据相似多边形的对应角相等，结合多边形内角和定理计算．
12．（2023九上·永修期中）如图，已知矩形矩形，，，则的长为 ．
【答案】
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵矩形矩形，
∴，即，
∴（负值舍去），
故答案为：．
【分析】根据相似多边形对应边成比例得到，代入数据，即可求解．
13．（2023九上·闵行期中）已知两个矩形相似，第一个矩形的两边长分别是3和4，第二个矩形较短的一边长是4，那么第二个矩形较长的一边长是 ．
【答案】
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：设第二个矩形较长的一边长是x，
∵两个矩形相似，
∴，
∴x=.
故答案为：。
【分析】设第二个矩形较长的一边长是x，根据相似多边形的对应边成比例，可得，解得x=，即可得出答案。
14．（2017·普陀模拟）利用复印机的缩放功能，将原图中边长为5厘米的一个等边三角形放大成边长为20厘米的等边三角形，那么放大前后的两个三角形的周长比是 ．
【答案】1：4
【知识点】图形的相似
【解析】【解答】解：因为原图中边长为5cm的一个等边三角形放大成边长为20cm的等边三角形，
所以放大前后的两个三角形的面积比为5：20=1：4，
故答案为：1：4．
【分析】根据等边三角形周长的比是三角形边长的比解答即可．
15．某多边形草坪的面积为4000m2，在市政建设规划设计图纸上的面积为250cm2，这块草坪某条边的长度是40m，则它在设计图纸上的长度是 cm．
【答案】10
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：设设计图纸上的长度是xcm，
4000m2=40000000cm2， 40m=4000cm，
∴
解得：x=10cm
故答案为：10.
【分析】根据相似多边形的面积比等于相似比的平方进行解答即可.
三、解答题
16．（2023九上·历下期中）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，五边形OABCD的五个顶点坐标分别为，，，，．
（1）以原点O为位似中心，在原点O的同侧作五边形OABCD的位似图形，使它与五边形OABCD的相似比为2：1．
（2）写出的坐标 ．
（3）已知五边形OABCD的面积为13.5，则五边形的面积为 ．
【答案】（1）解：
如图，五边形即为所求．
（2）
（3）54
【知识点】相似多边形；作图﹣位似变换
【解析】【解答】（2）根据平面直角坐标系可得，点C1的坐标为（8，4），
故答案为：（8，4）；
（3）∵五边形OABCD∽五边形OA1B1C1D1，相似比为1：2，
∴面积之比为：1：4，
∵五边形OABCD的面积为13.5，
∴五边形的面积为13.5×4=54，
故答案为：54.
【分析】（1）利用位似中心的性质找出点O、A、B、C、D的对应点，再连接即可；
（2）利用平面直角坐标系直接写出点的坐标即可；
（3）利用相似多边形的性质可得面积之比为：1：4，再结合五边形OABCD的面积为13.5，求出五边形的面积为13.5×4=54即可.
17．（2023九上·九台期中）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH．若AB＝18，EF＝4，FG＝6，∠B＝77°，∠C＝83°，∠E＝117°，求线段BC的长和∠H的大小．
【答案】解：BC＝27，∠H＝83°
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】∵四边形ABCD∽四边形EFGH，
∴，∠A=∠E=117°，∠D=∠H，
∵AB＝18，EF＝4，FG＝6，
∴，
解得：BC=27，
在四边形ABCD中，∠B=77°，∠C=83°，∠A=117°，
∴∠D=360°-77°-83°-117°=83°，
∴∠H=∠D=83°，
故答案为：27；83°.
【分析】利用相似多边形的性质可得，∠A=∠E=117°，∠D=∠H，再将数据代入求出BC的长，最后利用多边形的内角和求出∠H的度数即可.
18．如图，矩形ABCD的长AB=30，宽BC=20．
（1）如图①，若矩形ABCD内四周有宽为1的方形区域，图中矩形ABCD与矩形A'B'C'D'相似吗？为什么？
（2）如图②，当x为多少时，矩形ABCD和矩形A'B'C'D'相似？
【答案】（1）解：不相似，理由如下：
∵AB=30，A′B′=28，BC=20，B′C′=18，
∴，
∴
∴矩形ABCD与矩形A'B'C'D' 不相似；
（2）解：若矩形ABCD和矩形相似，则或，即，或，解得或.
【知识点】相似多边形
【解析】【分析】 （1）因为矩形的对应角都相等，只需证明两个矩形的对应边是否成比例即可判断，根据题中的数据计算可得矩形ABCD与矩形A'B'C'D'不相似；
（2）由题知两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似，根据对应边成比例，可列式即可求出x的值．
19．如图，E，F分别是矩形ABCD一组对边AD，CB的中点．已知矩形AEFB∽矩形ABCD，求AB：BC的值．
【答案】解：由矩形矩形ABCD，得
即，
得.
所以
【知识点】相似多边形
【解析】【分析】 由相似多边形的性质可得对应边的比相等，可得到，然后根据E是AD的中点可得出，AE=，代入比例式中即可求出AB：BC的值．
20．如图所示，四边形ABCD为平行四边形，AE平分交BC于点，过点作，交AD于点，连结BF.
（1）求证：BF平分.
（2）若，且四边形ABCD与四边形CEFD相似，求BC的长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
四边形ABEF是平行四边形.
平分，
.
.
.
四边形ABEF是萲形.
平分；
（2）解：四边形ABEF为菱形，
.
四边形ABCD与CEFD相似，
，即.
解得，.
.
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；相似多边形
【解析】【分析】（1）菱形的对角线平分一组对角，若能证得四边形ABEF为菱形，就可以得到BF平分∠ABC；四边形ABCD是平行四边形，得到AF∥BE，两直线平行，内错角相等，得出∠FAE=∠BEA；题目已知∠FAE=∠BAE，所以∠BAE=∠BEA，由等角对等边得AB=BE；题目已知AB∥EF，加上AF∥BE，得出四边形ABEF是平行四边形；一组邻边相等的平行四边形是菱形，因此平行四边形ABEF是菱形，所以BF平分∠ABC；
（2）由相似多边形对应边成比例可得；由（1）得ABEF为菱形，AB=AF=EF=BF=6，所以，EC＞0，所以EC=，由此BC=BE+CE=6+=.
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