人教版初中数学2023-2024学年九年级下学期课时培优练习 27.1图形的相似
一、选择题
1．（2023·舒城模拟）将一张（）纸片，以它的一边为边长剪去一个菱形，将余下的平行四边形中，再以它的一边为边长剪去一个菱形，若剪去两个菱形后所剩下的平行四边形与原来相似，则的相邻两边与的比值是（ ）
A． B．
C．或 D．或或
2．（2023九上·鄞州期末）如图，E，F，G，H分别是矩形四条边上的点，连接相交于点I，且，，矩形矩形，连接交于点P，Q，下列一定能求出面积的条件是（ ）
A．矩形和矩形的面积之差
B．矩形与矩形的面积之差
C．矩形和矩形的面积之差
D．矩形和矩形的面积之差
3．（2022九上·瑞安期末）如图，，，，是正方形边上的点，且，和将正方形剪切成四片进行重新拼接成四边形，若正方形和四边形的面积之比为，则（ ）
A．2 B．3 C． D．
4．（2022九上·镇海区期中）如图， 点P是平行四边形内部一点， 过P分别作和的平行线交平行四边 形的四边于. 连结分别交于M和N. 若四边形四边形，且四边形的面积是四边形的3倍. 下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2019九上·平顶山期中）如图，菱形ABCD沿对角线AC的方向平移到菱形A'B′C′D′的位置，点A′恰好是AC的中点.若菱形ABCD的边长为2，∠BCD＝60°，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．1 D．
6．（2017·泰州）如图，P为反比例函数y= （k＞0）在第一象限内图象上的一点，过点P分别作x轴，y轴的垂线交一次函数y=﹣x﹣4的图象于点A，B．若∠AOB=135°，则k的值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
7．下列说法不一定正确的是（ ）
A．所有的等边三角形都相似 B．所有的等腰直角三角形都相似
C．所有的菱形都相似 D．所有的正方形都相似
8．（2023九上·阜阳期中）如图，BD是的对角线，BD⊥AD，AB=2AD=6，点E是CD的中点，点F、P分别是线段AB、BD上的动点，若△ABD∽△PBF，且△PDE是等腰三角形，则PF的长为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
9．要拼出和图①中的菱形相似的较长对角线为88cm的大菱形(如图②) ，需要如图①的菱形的个数是（ ）．
A．11个 B．121个 C．22个 D．242 个
10．（2021九上·瑶海期末）若一个矩形剪掉一个面积最大的正方形，剩下的小矩形与原来的矩形相似，且原矩形的较长边长为，则剩下的小矩形的较短边长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图所示，正方形EFGH的四个顶点分别在正方形ABCD的四条边上，若正方形EFGH与正方形ABCD的相似比为，则的值为 .
12．（2020九上·孝义期末）如图所示，复印纸的型号有A0，A1，A2，A3，A4等，它们之间存在着这样一种关系：将其中某一型号（如A3）的复印纸沿较长边的中点对折，就能得到两张下一型号（A4）的复印纸，且得到的两个矩形都和原来的矩形相似，那么这些型号的复印纸的长、宽之比为 ．
13．（2019·抚顺模拟）如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1，它的6条对角线围成一个正六边形A2B2C2D2E2F2；正六边形A2B2C2D2E2F2的6条对角线又围成一个正六边形A3B3C3D3E3F3…；如此继续下去，则六边形A4B4C4D4E4F4的面积是 .
14．（2023九上·闵行期中）如图，在中，，，点M，N分别在边上，将沿直线翻折，点C恰好落在边上，记为点，如果与相似，那么折痕的长为 ．
15．（2021八下·南岸期末）某地为了更好地保护红军历史博物馆，经过精心的筹备规划，决定把原来博物馆的平面图扩大.如图，已知原来博物馆的平面图是 ，规划后博物馆的平面图是四边形 ，其中点A，B，C，D分别是边 的中点.如果原来博物馆的平面图 的面积为 ，则规划后博物馆的平面图 占地面积为 .
三、解答题
16．（2018九上·碑林月考）如图，一个矩形广场的长为100m，宽为80m，广场外围两条纵向小路的宽均为1.5m，如果两条横向小路的宽都为xm，那么当x为多少时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似.
17．如图，△ABC中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是多少？
18．如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A＝120°，则图中阴影部分的面积是多少？
19．八年级数学学习合作小组在学过《图形的相似》这一章后，发现可将相似三角形的定义、判定以及性质拓展到矩形、菱形的相似中去．如：我们可以定义：“长和宽之比相等的矩形是相似矩形．”相似矩形也有以下的性质：相似矩形的对角线之比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方等等．请你参与这个学习小组，一同探索这类问题：
（1）写出判定菱形相似的一种判定方法：若有一组角对应相等（或两组对角线对应成比例），则这两个菱形相似；
（2）如图，将菱形ABCD沿着直线AC向右平移后得到菱形A′B′C′D′，试证明：四边形A′FCE是菱形，且菱形ABCD∽菱形A′FCE；
（3）若AC=，菱形A′FCE的面积是菱形ABCD面积的一半，求平移的距离AA′的长．
20．如图，An系列矩形纸张的规格特征是：①各矩形纸张都相似；②A1纸对裁后可以得到两张A2纸，A2纸对裁后可以得到两张A3纸，…，An纸对裁后可以得到两张An+1纸．
（1）填空：A1纸面积是A2纸面积的几倍，A2纸周长是A4纸周长的几倍；
（2）根据An系列纸张的规格特征，求出该系列纸张的长与宽（长大于宽）之比；
（3）设A1纸张的重量为a克，试求出A8纸张的重量．（用含a的代数式表示）
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：设AD=a，AB=b，
D C
∴AH=AD，
∴HB=b-a，
∵HB=FG= GC，
∴BG=a-(b-a)= 2a -b，
分两种情况讨论：
①∵剩下的平行四边形与原来平行四边形ABCD相似，
∴，
∴，
设，
∴，
解得：；
②∵剩下的平行四边形与原来平行四边形ABCD相似，
∴，
∴，
设，
∴，
解得：
综上所述： 的相邻两边与的比值是或.
故答案为：C.
【分析】分类讨论，根据相似多边形的性质计算求解即可。
2．【答案】A
【知识点】矩形的性质；相似多边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：设，
，
∴，
∴，
∴，
，
，
故答案为：A.
【分析】设AE=a，BG=b，由矩形的性质及相似矩形的性质设ED=ka，AG=kb，由平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△CHP∽△CDA，根据相似三角形对应边成比例得PH=a，进而根据S△DPQ=S△DPC-S△DCQ，S矩形BGIF=ab，S矩形EDHI=k2ab，即可得出答案.
3．【答案】A
【知识点】菱形的判定与性质；正方形的判定与性质；图形的剪拼；相似多边形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形EHFG是菱形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形EHFG是正方形，
∴，
由拼接可知四边形MQPN和四边形A'B'C'D'都是正方形，，，
∴.
∵正方形ABCD和四边形MQPN的面积之比为，
∴正方形ABCD和四边形A'B'C'D'的面积之比为，
∴，
∴，
∴，
∴.
故答案为：A.
【分析】首先证明△AEG≌△BHE≌△CFH≌△DGF，根据全等三角形对应边相等得EG=FG=EH=HF，根据四边相等的四边形是菱形得四边形EHFG是菱形，然后判断出∠EGF=90°，根据有一个内角是直角的菱形是正方形得四边形EHFG是正方形，根据正方形的对角线互相垂直得GH⊥EF，由拼接可知四边形MQPN和四边形A'B'C'D'都是正方形，然后根据正方形面积计算方法及相似多边形的性质可得答案.
4．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵点P是平行四边形ABCD内部一点， 过P分别作AB和BC的平行线交平行四边形ABCD的四边于E、F、G、H.
四边形四边形，
∴四边形都是平行四边形，且相似，
设，
∵，
∴，即，
∴，
∴
∴，
∵四边形的面积是四边形的3倍.设EP=x，PH=y，BF=kx，BG=ky，
∴，
∴，
∴、、都不成立，
成立，
故答案为：D.
【分析】易得四边形PFBG、DEPH都是平行四边形，且相似，设EP=x，PH=y，BF=kx，BG=ky，易得，从而可得GM=x，FN=y，EM=kx，NH=ky，然后推出△CGM≌△NFA，△CNH≌△MAE，则可得，四边形FBCH的面积是四边形AFPE的3倍，设EP=x，PH=y，BF=kx，BG=ky，进而建立方程求出k的值，从而即可一一判断得出答案.
5．【答案】B
【知识点】菱形的性质；平移的性质；相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AD＝2＝CD，∠DCA＝ ∠BCD＝30°，
∴A'D＝1，A'C＝ DA'＝ ，
∴菱形ABCD的面积＝4× ×A'D×A'C＝2 ，
如图，
由平移的性质得， ABCD∽ A'ECF，且A'C＝ AC，
∴四边形A'ECF的面积是 ABCD面积的 ，
∴阴影部分的面积＝ ＝ ，
故答案为：B.
【分析】先求出菱形ABCD的面积，由平移的性质可得四边形A'ECF的面积是 ABCD面积的 ，即可求解.
6．【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；相似多边形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：方法1、作BF⊥x轴，OE⊥AB，CQ⊥AP；设P点坐标（n， ），
∵直线AB函数式为y=﹣x﹣4，PB⊥y轴，PA⊥x轴，
∴C（0，﹣4），G（﹣4，0），
∴OC=OG，
∴∠OGC=∠OCG=45°
∵PB∥OG，PA∥OC，
∴∠PBA=∠OGC=45°，∠PAB=∠OCG=45°，
∴PA=PB，
∵P点坐标（n， ），
∴OD=CQ=n，
∴AD=AQ+DQ=n+4；
∵当x=0时，y=﹣x﹣4=﹣4，
∴OC=DQ=4，GE=OE= OC= ；
同理可证：BG= BF= PD= ，
∴BE=BG+EG= + ；
∵∠AOB=135°，
∴∠OBE+∠OAE=45°，
∵∠DAO+∠OAE=45°，
∴∠DAO=∠OBE，
∵在△BOE和△AOD中， ，
∴△BOE∽△AOD；
∴ = ，即 = ；
整理得：nk+2n2=8n+2n2，化简得：k=8；
故答案为：D．
方法2、如图1，
过B作BF⊥x轴于F，过点A作AD⊥y轴于D，
∵直线AB函数式为y=﹣x﹣4，PB⊥y轴，PA⊥x轴，
∴C（0，﹣4），G（﹣4，0），
∴OC=OG，
∴∠OGC=∠OCG=45°
∵PB∥OG，PA∥OC，
∴∠PBA=∠OGC=45°，∠PAB=∠OCG=45°，
∴PA=PB，
∵P点坐标（n， ），
∴A（n，﹣n﹣4），B（﹣4﹣ ， ）
∴AD=AQ+DQ=n+4；
∵当x=0时，y=﹣x﹣4=﹣4，
∴OC=4，
当y=0时，x=﹣4．
∴OG=4，
∵∠AOB=135°，
∴∠BOG+∠AOC=45°，
∵直线AB的解析式为y=﹣x﹣4，
∴∠AGO=∠OCG=45°，
∴∠BGO=∠OCA，∠BOG+∠OBG=45°，
∴∠OBG=∠AOC，
∴△BOG∽△OAC，
∴ = ，
∴ = ，
在等腰Rt△BFG中，BG= BF= ，
在等腰Rt△ACD中，AC= AD= n，
∴ ，
∴k=8，
故答案为：D．
【分析】求k可求出P的横纵坐标的积即可，设出P坐标（n，)，可观察出一组相似三角形△BOG∽△OAC，可得出对应边成比例，用n，k的代数式表示出对应边，代入比例式，变为乘积式后即可求出k.
7．【答案】C
【知识点】相似图形
【解析】【解答】A、所有的等边三角形都相似，正确；B、所有的等腰直角三角形都相似，正确；C、所有的菱形不一定都相似，故错误；D、所有的正方形都相似，正确．
故选C．
【分析】 利用“对应角相等，对应边的比也相等的多边形相似”进行判定即可．
8．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；相似多边形的性质
【解析】【解答】△PDE是等腰三角形，可分成以下几种情况：当PD=PE时：过点P作PG⊥DE于点G，∴DG=，
在△ABD中，∵∠ADB=90°，AB=2AD=6，
∴∠ABD=30°，BD=，
∵AB∥CD，
∴∠PDG=∠ABD=30°，
∵∠DGP=90°，
∴PD=2PG，
∴，，
∴BP=，
∵△ABD∽△PBF，
∴，
∴PF=；
当DE=DP=3时，BP=，
∴PF=；
当DE=PE=3时，点P与点B重合，这种情况不存在。
综上，PF的长为或.
故答案为：C。【分析】△PDE是等腰三角形可分成几种情况进行讨论：当PD=PE时，过点P作PG⊥DE于点G，可得DG=，进而求得BP的长，然后根据相似三角形的性质得出PF=；当DE=DP=3时，BP=，PF=；当DE=PE=3时，点P与点B重合，这种情况不存在
9．【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解： 设需要x个，根据题意，
解得：x=121．
故答案为：B．
【分析】根据相似多边形的面积的比等于相似比的平方列式，求解即可得出答案.
10．【答案】D
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
设剩下的小矩形的较短边长为xcm，则剩下的小矩形的较长边长为（8-x）cm，
由题意得：∵剩下的小矩形与原来的矩形相似
∴，解得：x
∵（舍去）
∴
故答案为：D
【分析】先求出，再求出x，最后计算求解即可。
11．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似多边形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵四边形EFGH是正方形，
∴EH=EF，∠HEF=90°，
∴∠AEH+∠BEF=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=90°，
∴∠AEH+∠AHE=90°，∠BEF+∠BFE=90°，
∴∠AEH=∠BFE，∠AHE=∠BEF，
又 EH=EF，
∴（ASA）
∴AE=BF，
∴EF=，
∵两个正方形相似，且相似比，
∴，
∴，
∴，
∴，
又 AE＜BE，
∴.
故答案为：.
【分析】题目已知相似比，那么本题的解题思路就是把相似比用AE和BE来表示，其中AB=AE+BE，而EF于BE在同一直角三角形中，很容易联想到用勾股定理，而题目易证AE=BF，而，得，EF也用BE和AE表示出来了，代入相似比得，从而算出，题目告知AE＜BE，因此.
12．【答案】
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：设这些型号的复印纸的长、宽分别为b、a，
∵得到的矩形都和原来的矩形相似，
∴ ，
则 ，
∴ ，
∴这些型号的复印纸的长宽之比为 ，
故答案为： ．
【分析】设这些型号的复印纸的长、宽分别为b、a，根据相似多边形的对应边的比相等列出比例式，计算即可．
13．【答案】
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】由正六边形的性质得：∠A1B1B2＝90°，∠B1A1B2＝30°，A1A2＝A2B2，
∴B1B2＝ A1B1＝ ，
∴A2B2＝ A1B2＝B1B2＝ ，
∵正六边形A1B1C1D1E1F1∽正六边形A2B2C2D2E2F2，
∴正六边形A2B2C2D2E2F2的面积：正六边形A1B1C1D1E1F1的面积＝（ ）2＝ ，
∵正六边形A1B1C1D1E1F1的面积＝6× ×1× ＝ ，
∴正六边形A2B2C2D2E2F2的面积＝ × ＝ ，
同理：正六边形A4B4C4D4E4F4的面积＝（ ）3× ＝ ；
故答案为： .
【分析】由正六边形的性质得：∠A1B1B2＝90°，∠B1A1B2＝30°，A1A2＝A2B2，进而得到正六边形A2B2C2D2E2F2的面积：正六边形A1B1C1D1E1F1的面积＝（ ）2＝ ，结合正六边形A1B1C1D1E1F1的面积＝6× ×1× ＝ ，即可得到正六边形A2B2C2D2E2F2的面积，以此类推，即可得到答案.
14．【答案】5或
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：在中，，
∴，
∴，，
由折叠的性质知，
要使与相似，即与相似，
∵，
∴是的垂直平分线，设与交于点O，
∴，
如图所示：当时，则，
∴，
∴；
如图所示：当时，则，
∴，
∴，
∴，
同理，，则，
∴，
设中，边上的高为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：5或．
【分析】分两种情况画出图形，由相似三角形的性质得出对应边成比例，即可求出MN的长度。
15．【答案】600
【知识点】平行四边形的判定与性质；相似多边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接EG，设 、 的面积分别为 a、b，四边形EFGH的面积为S，如图所示.
∵A、B分别是EF、FG的中点，
∴AB是 的中位线，AB∥EG.
∵C、D分别是GH、HE的中点，
∴DC是 的中位线，DC∥EG.
∴
∴
∴
∴
同理，若连接FH，设 、 的面积分别为c、d，可求得
∵
∴
解得，S=600.
故答案为：600
【分析】连接EG，设△FAB、△HCD的面积分别为a、b，四边形EFGH的面积为S，连接EG，根据三角形中位线的性质，可证得AB∥EG，DC∥EG，再利用相似三角形的性质，求得△FAB的面积a=S△FGE，△HCD的面积b=S△HGE，则得 ；同理，连接FH，设连接FH，设 、 的面积分别为c、d，可求得c+d=S，最后根据 的面积为300，列出方程求解即可.
16．【答案】解：当 时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似.
解得x=1.2
答：当x为1.2m时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似.
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】根据两个矩形相似可得比例式，于是可列方程求解。
17．【答案】解：设运动了ts，根据题意得：AP=2tcm，CQ=3tcm，则AQ=AC﹣CQ=16﹣3t（cm），当△APQ∽△ABC时， ，即 ，解得：t= ；当△APQ∽△ACB时， ，即 ，解得：t=4；故当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是： s或4s．
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】由题意根据路程=速度时间，可将AP、CQ、AQ用含t的代数式表示。因为∠A时公共角，所以以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时分两种情况讨论求解：
①当△APQ∽△ABC时，可得比例式，代入可得关于t的方程，解方程即可求解；
②当△APQ∽△ACB时，可得比例式，代入可得关于t的方程，解方程即可求解。
18．【答案】解：如图，设BF、CE相交于点M，
∵菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，
∴△BCM∽△BGF，
∴＝，
即＝，
解得CM＝1.2，
∴DM＝2－1.2＝0.8，
∵∠A＝120°，
∴∠ABC＝180°－120°＝60°，
∴菱形ABCD边CD上的高为2sin 60°＝2×＝，
菱形ECGF边CE上的高为3sin 60°＝3×＝，
∴阴影部分面积＝S△BDM＋S△DFM＝×0.8×＋×0.8×＝.
【知识点】相似图形；相似多边形的性质
【解析】【分析】考查相似多边形的性质。
19．【答案】解：（1）有一组角对应相等（或两组对角线对应成比例）；
（2）利用AD∥A′E，AB∥A′F，得∠DAB=∠D′A′B′
再利用（1）的结论，得到证明；
（3）∵菱形ABCD∽菱形A′FCE，菱形A′FCE的面积是菱形ABCD面积的一半，
∴菱形ABCD与菱形A′FCE的面积比为2：1，
∴对应边之比为：1，即AC：A′C=：1，
∵AC=，
∴A′C=1，
∴AA′=﹣1．
【知识点】平移的性质；相似多边形的性质
【解析】【分析】相似多边形的性质；平移的性质．
相似多边形的面积的比等于相似比的平方，因而已知面积的比，就可以求出边长的比，求出A′C的长就可以解决．
20．【答案】解：（1）∵A1纸对裁后可以得到两张A2纸，
∴A1纸面积是A2纸面积2倍；
∵设A2纸的长为a，宽为b，则A2纸周长=2（a+b），则A3纸的长是b，宽是，A4纸的长是，宽是，A4纸的长周长=2（+）=a+b，
∴A2纸周长是A4纸周长的2倍．
故答案为：2，2；
（2）∵设A1纸的长和宽分别是m、n，则A2纸的长和宽分别为n，m，
∴=，即=，即该系列纸张的长与宽（长大于宽）之比为：1；
（3）∵A1纸张的重量为a克，A2纸是A1纸面积的一半，
∴A2纸的重量，同理可得出A3纸的重量为a，
同理，A3纸的重量是a克，
∴A8纸张的重量是（）7a克．
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】（1）根据A1纸对裁后可以得到两张A2纸即可得出A1纸面积是A2纸面积2倍；设A2纸的长为a，宽为b，则A2纸周长=2（a+b），则A3纸的长是b，宽是，A4纸的长是，宽是，A4纸的长周长=2（+）=a+b，由此可得出结论；
（2）设A1纸的长和宽分别是m、n，则A2纸的长和宽分别为n，m，求出的值即可；
（3）A1纸张的重量为a克，A2纸是A1纸面积的一半得出A2纸的重量，同理可得出A3纸的重量，找出规律即可得出结论．
1 / 1人教版初中数学2023-2024学年九年级下学期课时培优练习 27.1图形的相似
一、选择题
1．（2023·舒城模拟）将一张（）纸片，以它的一边为边长剪去一个菱形，将余下的平行四边形中，再以它的一边为边长剪去一个菱形，若剪去两个菱形后所剩下的平行四边形与原来相似，则的相邻两边与的比值是（ ）
A． B．
C．或 D．或或
【答案】C
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：设AD=a，AB=b，
D C
∴AH=AD，
∴HB=b-a，
∵HB=FG= GC，
∴BG=a-(b-a)= 2a -b，
分两种情况讨论：
①∵剩下的平行四边形与原来平行四边形ABCD相似，
∴，
∴，
设，
∴，
解得：；
②∵剩下的平行四边形与原来平行四边形ABCD相似，
∴，
∴，
设，
∴，
解得：
综上所述： 的相邻两边与的比值是或.
故答案为：C.
【分析】分类讨论，根据相似多边形的性质计算求解即可。
2．（2023九上·鄞州期末）如图，E，F，G，H分别是矩形四条边上的点，连接相交于点I，且，，矩形矩形，连接交于点P，Q，下列一定能求出面积的条件是（ ）
A．矩形和矩形的面积之差
B．矩形与矩形的面积之差
C．矩形和矩形的面积之差
D．矩形和矩形的面积之差
【答案】A
【知识点】矩形的性质；相似多边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：设，
，
∴，
∴，
∴，
，
，
故答案为：A.
【分析】设AE=a，BG=b，由矩形的性质及相似矩形的性质设ED=ka，AG=kb，由平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△CHP∽△CDA，根据相似三角形对应边成比例得PH=a，进而根据S△DPQ=S△DPC-S△DCQ，S矩形BGIF=ab，S矩形EDHI=k2ab，即可得出答案.
3．（2022九上·瑞安期末）如图，，，，是正方形边上的点，且，和将正方形剪切成四片进行重新拼接成四边形，若正方形和四边形的面积之比为，则（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】A
【知识点】菱形的判定与性质；正方形的判定与性质；图形的剪拼；相似多边形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形EHFG是菱形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形EHFG是正方形，
∴，
由拼接可知四边形MQPN和四边形A'B'C'D'都是正方形，，，
∴.
∵正方形ABCD和四边形MQPN的面积之比为，
∴正方形ABCD和四边形A'B'C'D'的面积之比为，
∴，
∴，
∴，
∴.
故答案为：A.
【分析】首先证明△AEG≌△BHE≌△CFH≌△DGF，根据全等三角形对应边相等得EG=FG=EH=HF，根据四边相等的四边形是菱形得四边形EHFG是菱形，然后判断出∠EGF=90°，根据有一个内角是直角的菱形是正方形得四边形EHFG是正方形，根据正方形的对角线互相垂直得GH⊥EF，由拼接可知四边形MQPN和四边形A'B'C'D'都是正方形，然后根据正方形面积计算方法及相似多边形的性质可得答案.
4．（2022九上·镇海区期中）如图， 点P是平行四边形内部一点， 过P分别作和的平行线交平行四边 形的四边于. 连结分别交于M和N. 若四边形四边形，且四边形的面积是四边形的3倍. 下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵点P是平行四边形ABCD内部一点， 过P分别作AB和BC的平行线交平行四边形ABCD的四边于E、F、G、H.
四边形四边形，
∴四边形都是平行四边形，且相似，
设，
∵，
∴，即，
∴，
∴
∴，
∵四边形的面积是四边形的3倍.设EP=x，PH=y，BF=kx，BG=ky，
∴，
∴，
∴、、都不成立，
成立，
故答案为：D.
【分析】易得四边形PFBG、DEPH都是平行四边形，且相似，设EP=x，PH=y，BF=kx，BG=ky，易得，从而可得GM=x，FN=y，EM=kx，NH=ky，然后推出△CGM≌△NFA，△CNH≌△MAE，则可得，四边形FBCH的面积是四边形AFPE的3倍，设EP=x，PH=y，BF=kx，BG=ky，进而建立方程求出k的值，从而即可一一判断得出答案.
5．（2019九上·平顶山期中）如图，菱形ABCD沿对角线AC的方向平移到菱形A'B′C′D′的位置，点A′恰好是AC的中点.若菱形ABCD的边长为2，∠BCD＝60°，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【知识点】菱形的性质；平移的性质；相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AD＝2＝CD，∠DCA＝ ∠BCD＝30°，
∴A'D＝1，A'C＝ DA'＝ ，
∴菱形ABCD的面积＝4× ×A'D×A'C＝2 ，
如图，
由平移的性质得， ABCD∽ A'ECF，且A'C＝ AC，
∴四边形A'ECF的面积是 ABCD面积的 ，
∴阴影部分的面积＝ ＝ ，
故答案为：B.
【分析】先求出菱形ABCD的面积，由平移的性质可得四边形A'ECF的面积是 ABCD面积的 ，即可求解.
6．（2017·泰州）如图，P为反比例函数y= （k＞0）在第一象限内图象上的一点，过点P分别作x轴，y轴的垂线交一次函数y=﹣x﹣4的图象于点A，B．若∠AOB=135°，则k的值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；相似多边形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：方法1、作BF⊥x轴，OE⊥AB，CQ⊥AP；设P点坐标（n， ），
∵直线AB函数式为y=﹣x﹣4，PB⊥y轴，PA⊥x轴，
∴C（0，﹣4），G（﹣4，0），
∴OC=OG，
∴∠OGC=∠OCG=45°
∵PB∥OG，PA∥OC，
∴∠PBA=∠OGC=45°，∠PAB=∠OCG=45°，
∴PA=PB，
∵P点坐标（n， ），
∴OD=CQ=n，
∴AD=AQ+DQ=n+4；
∵当x=0时，y=﹣x﹣4=﹣4，
∴OC=DQ=4，GE=OE= OC= ；
同理可证：BG= BF= PD= ，
∴BE=BG+EG= + ；
∵∠AOB=135°，
∴∠OBE+∠OAE=45°，
∵∠DAO+∠OAE=45°，
∴∠DAO=∠OBE，
∵在△BOE和△AOD中， ，
∴△BOE∽△AOD；
∴ = ，即 = ；
整理得：nk+2n2=8n+2n2，化简得：k=8；
故答案为：D．
方法2、如图1，
过B作BF⊥x轴于F，过点A作AD⊥y轴于D，
∵直线AB函数式为y=﹣x﹣4，PB⊥y轴，PA⊥x轴，
∴C（0，﹣4），G（﹣4，0），
∴OC=OG，
∴∠OGC=∠OCG=45°
∵PB∥OG，PA∥OC，
∴∠PBA=∠OGC=45°，∠PAB=∠OCG=45°，
∴PA=PB，
∵P点坐标（n， ），
∴A（n，﹣n﹣4），B（﹣4﹣ ， ）
∴AD=AQ+DQ=n+4；
∵当x=0时，y=﹣x﹣4=﹣4，
∴OC=4，
当y=0时，x=﹣4．
∴OG=4，
∵∠AOB=135°，
∴∠BOG+∠AOC=45°，
∵直线AB的解析式为y=﹣x﹣4，
∴∠AGO=∠OCG=45°，
∴∠BGO=∠OCA，∠BOG+∠OBG=45°，
∴∠OBG=∠AOC，
∴△BOG∽△OAC，
∴ = ，
∴ = ，
在等腰Rt△BFG中，BG= BF= ，
在等腰Rt△ACD中，AC= AD= n，
∴ ，
∴k=8，
故答案为：D．
【分析】求k可求出P的横纵坐标的积即可，设出P坐标（n，)，可观察出一组相似三角形△BOG∽△OAC，可得出对应边成比例，用n，k的代数式表示出对应边，代入比例式，变为乘积式后即可求出k.
7．下列说法不一定正确的是（ ）
A．所有的等边三角形都相似 B．所有的等腰直角三角形都相似
C．所有的菱形都相似 D．所有的正方形都相似
【答案】C
【知识点】相似图形
【解析】【解答】A、所有的等边三角形都相似，正确；B、所有的等腰直角三角形都相似，正确；C、所有的菱形不一定都相似，故错误；D、所有的正方形都相似，正确．
故选C．
【分析】 利用“对应角相等，对应边的比也相等的多边形相似”进行判定即可．
8．（2023九上·阜阳期中）如图，BD是的对角线，BD⊥AD，AB=2AD=6，点E是CD的中点，点F、P分别是线段AB、BD上的动点，若△ABD∽△PBF，且△PDE是等腰三角形，则PF的长为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；相似多边形的性质
【解析】【解答】△PDE是等腰三角形，可分成以下几种情况：当PD=PE时：过点P作PG⊥DE于点G，∴DG=，
在△ABD中，∵∠ADB=90°，AB=2AD=6，
∴∠ABD=30°，BD=，
∵AB∥CD，
∴∠PDG=∠ABD=30°，
∵∠DGP=90°，
∴PD=2PG，
∴，，
∴BP=，
∵△ABD∽△PBF，
∴，
∴PF=；
当DE=DP=3时，BP=，
∴PF=；
当DE=PE=3时，点P与点B重合，这种情况不存在。
综上，PF的长为或.
故答案为：C。【分析】△PDE是等腰三角形可分成几种情况进行讨论：当PD=PE时，过点P作PG⊥DE于点G，可得DG=，进而求得BP的长，然后根据相似三角形的性质得出PF=；当DE=DP=3时，BP=，PF=；当DE=PE=3时，点P与点B重合，这种情况不存在
9．要拼出和图①中的菱形相似的较长对角线为88cm的大菱形(如图②) ，需要如图①的菱形的个数是（ ）．
A．11个 B．121个 C．22个 D．242 个
【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解： 设需要x个，根据题意，
解得：x=121．
故答案为：B．
【分析】根据相似多边形的面积的比等于相似比的平方列式，求解即可得出答案.
10．（2021九上·瑶海期末）若一个矩形剪掉一个面积最大的正方形，剩下的小矩形与原来的矩形相似，且原矩形的较长边长为，则剩下的小矩形的较短边长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
设剩下的小矩形的较短边长为xcm，则剩下的小矩形的较长边长为（8-x）cm，
由题意得：∵剩下的小矩形与原来的矩形相似
∴，解得：x
∵（舍去）
∴
故答案为：D
【分析】先求出，再求出x，最后计算求解即可。
二、填空题
11．如图所示，正方形EFGH的四个顶点分别在正方形ABCD的四条边上，若正方形EFGH与正方形ABCD的相似比为，则的值为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似多边形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵四边形EFGH是正方形，
∴EH=EF，∠HEF=90°，
∴∠AEH+∠BEF=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=90°，
∴∠AEH+∠AHE=90°，∠BEF+∠BFE=90°，
∴∠AEH=∠BFE，∠AHE=∠BEF，
又 EH=EF，
∴（ASA）
∴AE=BF，
∴EF=，
∵两个正方形相似，且相似比，
∴，
∴，
∴，
∴，
又 AE＜BE，
∴.
故答案为：.
【分析】题目已知相似比，那么本题的解题思路就是把相似比用AE和BE来表示，其中AB=AE+BE，而EF于BE在同一直角三角形中，很容易联想到用勾股定理，而题目易证AE=BF，而，得，EF也用BE和AE表示出来了，代入相似比得，从而算出，题目告知AE＜BE，因此.
12．（2020九上·孝义期末）如图所示，复印纸的型号有A0，A1，A2，A3，A4等，它们之间存在着这样一种关系：将其中某一型号（如A3）的复印纸沿较长边的中点对折，就能得到两张下一型号（A4）的复印纸，且得到的两个矩形都和原来的矩形相似，那么这些型号的复印纸的长、宽之比为 ．
【答案】
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：设这些型号的复印纸的长、宽分别为b、a，
∵得到的矩形都和原来的矩形相似，
∴ ，
则 ，
∴ ，
∴这些型号的复印纸的长宽之比为 ，
故答案为： ．
【分析】设这些型号的复印纸的长、宽分别为b、a，根据相似多边形的对应边的比相等列出比例式，计算即可．
13．（2019·抚顺模拟）如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1，它的6条对角线围成一个正六边形A2B2C2D2E2F2；正六边形A2B2C2D2E2F2的6条对角线又围成一个正六边形A3B3C3D3E3F3…；如此继续下去，则六边形A4B4C4D4E4F4的面积是 .
【答案】
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】由正六边形的性质得：∠A1B1B2＝90°，∠B1A1B2＝30°，A1A2＝A2B2，
∴B1B2＝ A1B1＝ ，
∴A2B2＝ A1B2＝B1B2＝ ，
∵正六边形A1B1C1D1E1F1∽正六边形A2B2C2D2E2F2，
∴正六边形A2B2C2D2E2F2的面积：正六边形A1B1C1D1E1F1的面积＝（ ）2＝ ，
∵正六边形A1B1C1D1E1F1的面积＝6× ×1× ＝ ，
∴正六边形A2B2C2D2E2F2的面积＝ × ＝ ，
同理：正六边形A4B4C4D4E4F4的面积＝（ ）3× ＝ ；
故答案为： .
【分析】由正六边形的性质得：∠A1B1B2＝90°，∠B1A1B2＝30°，A1A2＝A2B2，进而得到正六边形A2B2C2D2E2F2的面积：正六边形A1B1C1D1E1F1的面积＝（ ）2＝ ，结合正六边形A1B1C1D1E1F1的面积＝6× ×1× ＝ ，即可得到正六边形A2B2C2D2E2F2的面积，以此类推，即可得到答案.
14．（2023九上·闵行期中）如图，在中，，，点M，N分别在边上，将沿直线翻折，点C恰好落在边上，记为点，如果与相似，那么折痕的长为 ．
【答案】5或
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：在中，，
∴，
∴，，
由折叠的性质知，
要使与相似，即与相似，
∵，
∴是的垂直平分线，设与交于点O，
∴，
如图所示：当时，则，
∴，
∴；
如图所示：当时，则，
∴，
∴，
∴，
同理，，则，
∴，
设中，边上的高为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：5或．
【分析】分两种情况画出图形，由相似三角形的性质得出对应边成比例，即可求出MN的长度。
15．（2021八下·南岸期末）某地为了更好地保护红军历史博物馆，经过精心的筹备规划，决定把原来博物馆的平面图扩大.如图，已知原来博物馆的平面图是 ，规划后博物馆的平面图是四边形 ，其中点A，B，C，D分别是边 的中点.如果原来博物馆的平面图 的面积为 ，则规划后博物馆的平面图 占地面积为 .
【答案】600
【知识点】平行四边形的判定与性质；相似多边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接EG，设 、 的面积分别为 a、b，四边形EFGH的面积为S，如图所示.
∵A、B分别是EF、FG的中点，
∴AB是 的中位线，AB∥EG.
∵C、D分别是GH、HE的中点，
∴DC是 的中位线，DC∥EG.
∴
∴
∴
∴
同理，若连接FH，设 、 的面积分别为c、d，可求得
∵
∴
解得，S=600.
故答案为：600
【分析】连接EG，设△FAB、△HCD的面积分别为a、b，四边形EFGH的面积为S，连接EG，根据三角形中位线的性质，可证得AB∥EG，DC∥EG，再利用相似三角形的性质，求得△FAB的面积a=S△FGE，△HCD的面积b=S△HGE，则得 ；同理，连接FH，设连接FH，设 、 的面积分别为c、d，可求得c+d=S，最后根据 的面积为300，列出方程求解即可.
三、解答题
16．（2018九上·碑林月考）如图，一个矩形广场的长为100m，宽为80m，广场外围两条纵向小路的宽均为1.5m，如果两条横向小路的宽都为xm，那么当x为多少时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似.
【答案】解：当 时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似.
解得x=1.2
答：当x为1.2m时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似.
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】根据两个矩形相似可得比例式，于是可列方程求解。
17．如图，△ABC中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是多少？
【答案】解：设运动了ts，根据题意得：AP=2tcm，CQ=3tcm，则AQ=AC﹣CQ=16﹣3t（cm），当△APQ∽△ABC时， ，即 ，解得：t= ；当△APQ∽△ACB时， ，即 ，解得：t=4；故当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是： s或4s．
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】由题意根据路程=速度时间，可将AP、CQ、AQ用含t的代数式表示。因为∠A时公共角，所以以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时分两种情况讨论求解：
①当△APQ∽△ABC时，可得比例式，代入可得关于t的方程，解方程即可求解；
②当△APQ∽△ACB时，可得比例式，代入可得关于t的方程，解方程即可求解。
18．如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A＝120°，则图中阴影部分的面积是多少？
【答案】解：如图，设BF、CE相交于点M，
∵菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，
∴△BCM∽△BGF，
∴＝，
即＝，
解得CM＝1.2，
∴DM＝2－1.2＝0.8，
∵∠A＝120°，
∴∠ABC＝180°－120°＝60°，
∴菱形ABCD边CD上的高为2sin 60°＝2×＝，
菱形ECGF边CE上的高为3sin 60°＝3×＝，
∴阴影部分面积＝S△BDM＋S△DFM＝×0.8×＋×0.8×＝.
【知识点】相似图形；相似多边形的性质
【解析】【分析】考查相似多边形的性质。
19．八年级数学学习合作小组在学过《图形的相似》这一章后，发现可将相似三角形的定义、判定以及性质拓展到矩形、菱形的相似中去．如：我们可以定义：“长和宽之比相等的矩形是相似矩形．”相似矩形也有以下的性质：相似矩形的对角线之比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方等等．请你参与这个学习小组，一同探索这类问题：
（1）写出判定菱形相似的一种判定方法：若有一组角对应相等（或两组对角线对应成比例），则这两个菱形相似；
（2）如图，将菱形ABCD沿着直线AC向右平移后得到菱形A′B′C′D′，试证明：四边形A′FCE是菱形，且菱形ABCD∽菱形A′FCE；
（3）若AC=，菱形A′FCE的面积是菱形ABCD面积的一半，求平移的距离AA′的长．
【答案】解：（1）有一组角对应相等（或两组对角线对应成比例）；
（2）利用AD∥A′E，AB∥A′F，得∠DAB=∠D′A′B′
再利用（1）的结论，得到证明；
（3）∵菱形ABCD∽菱形A′FCE，菱形A′FCE的面积是菱形ABCD面积的一半，
∴菱形ABCD与菱形A′FCE的面积比为2：1，
∴对应边之比为：1，即AC：A′C=：1，
∵AC=，
∴A′C=1，
∴AA′=﹣1．
【知识点】平移的性质；相似多边形的性质
【解析】【分析】相似多边形的性质；平移的性质．
相似多边形的面积的比等于相似比的平方，因而已知面积的比，就可以求出边长的比，求出A′C的长就可以解决．
20．如图，An系列矩形纸张的规格特征是：①各矩形纸张都相似；②A1纸对裁后可以得到两张A2纸，A2纸对裁后可以得到两张A3纸，…，An纸对裁后可以得到两张An+1纸．
（1）填空：A1纸面积是A2纸面积的几倍，A2纸周长是A4纸周长的几倍；
（2）根据An系列纸张的规格特征，求出该系列纸张的长与宽（长大于宽）之比；
（3）设A1纸张的重量为a克，试求出A8纸张的重量．（用含a的代数式表示）
【答案】解：（1）∵A1纸对裁后可以得到两张A2纸，
∴A1纸面积是A2纸面积2倍；
∵设A2纸的长为a，宽为b，则A2纸周长=2（a+b），则A3纸的长是b，宽是，A4纸的长是，宽是，A4纸的长周长=2（+）=a+b，
∴A2纸周长是A4纸周长的2倍．
故答案为：2，2；
（2）∵设A1纸的长和宽分别是m、n，则A2纸的长和宽分别为n，m，
∴=，即=，即该系列纸张的长与宽（长大于宽）之比为：1；
（3）∵A1纸张的重量为a克，A2纸是A1纸面积的一半，
∴A2纸的重量，同理可得出A3纸的重量为a，
同理，A3纸的重量是a克，
∴A8纸张的重量是（）7a克．
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】（1）根据A1纸对裁后可以得到两张A2纸即可得出A1纸面积是A2纸面积2倍；设A2纸的长为a，宽为b，则A2纸周长=2（a+b），则A3纸的长是b，宽是，A4纸的长是，宽是，A4纸的长周长=2（+）=a+b，由此可得出结论；
（2）设A1纸的长和宽分别是m、n，则A2纸的长和宽分别为n，m，求出的值即可；
（3）A1纸张的重量为a克，A2纸是A1纸面积的一半得出A2纸的重量，同理可得出A3纸的重量，找出规律即可得出结论．
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