人教版初中数学2023-2024学年九年级下学期课时培优练习 27.2相似三角形
一、选择题
1．（2024八上·道里期末）如图，，，点A在上，，的平分线交于M，交于P，连接交于点N，以下四个结论：①；②；③四边形的面积是面积的一半；④．一定正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2023九上·长沙月考）如图，在正方形中，点分别是边上的两点，且分别交于．对于下列结论：
①；②；③；④当时，面积的最小值为．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④
3．（2023九上·定海月考） 如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与轴交于点C，P为该二次函数在第一象限内的一点，连接AP，交BC于点K，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
4．（2023九上·合肥期中）如图，点，，分别在的边上，，，，点是的中点，连接并延长交于点，的值是（ ）.
A． B． C． D．
5．（2023九上·威远期中）如图，把菱形向平移至的位置，作，垂足为与相交于点的延长线交于点，连接，则下列结论：①；②；③；④，则正确的结论有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2023九上·崇明期中）如图，M是正方形的边上中点，点E、F分别在边上，且．①，②是的比例中项，③平分，④．上述四个判断中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2023九上·安徽期中）如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点，，连接、，与相交于点，给出下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
8．（2023九上·金华期中）如图△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，AC＝x，∠BAC＝α，O为AB中点，若点D为直线BC下方一点，且△BCD与△ABC相似，则下列结论：
①若α＝60°，则AD的最大值为；
②若α＝60°，△ABC∽△CBD，则OD的长为；
③若α＝45°，BC与OD相交于E，则点E不一定是△ABD的重心；
④若△ABC∽△BCD，则当x＝2时，AC+CD取得最大值．其中正确的为（ ）
A．①③ B．①②④ C．③④ D．①③④
9．（2023九上·杭州期中）如图①，在△ABC中，∠B＝108°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C→A匀速运动一周．若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为t（s），AP的长度为v（cm），v与t的函数图象如图②所示．当BP恰好是∠ABC的一条三等分线时，t的值为（ ）
A．+2或5 B．+3或6 C．+3或5 D．+2或6
10．（2023九上·成都月考）如图，矩形ABCD中，，，EF是对角线BD的垂直平分线，则EF的长为（ ）
A． B．5cm C． D．8cm
二、填空题
11．如图，⊙O的半径为10，点P在⊙O上，点A在⊙O内，且AP=6，过点A作AP的垂线交QO于点B，C.若PC=15，则PB= .
12．（2023九上·定海月考）如图，在中，，以点B为圆心，BD长为半径作圆，点E为⊙B上的动点，连结EC，作FC⊥CE，垂足为C，点F在直线BC的上方，且满足，连结BF，当点E与点D重合时，BF的值为 ，点E在⊙B上运动过程中，BF存在最大值为 ．
13．（2023九上·长安期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝6，点E、F分别是AB、BC边上的动点，且AE：BF＝2：1，连接AF和DE交于点G，连接CG，则CG的最小值是 ．
14．（2023九上·义乌月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，将△BCD沿射线BD平移a个单位长度（a＞0）得到△B'C'D'，连接AB'，AD'，则当△AB'D'是直角三角形时，a的值为
15．（2020·锦州模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，AF⊥BC于点F，BH⊥AC于点H.交AF于点G，点D在直线AF上运动，BD＝DE，∠BDE＝135°，∠ABH＝45°，当AE取最小值时，BE的长为 .
三、解答题
16．（2023九上·鹿城月考）如图1，内接于圆为直径，点在的上方，且．连结是边上的高，过点作交的延长线于点，交于点．
（1）求证：．
（2）当时，求的值．
（3）如图2，取的中点，连结．
①若，在点运动的过程中，当四边形的其中一边长是的2倍时，求所有满足条件的的长．
②连结，当的面积是的面积的2倍时，则 ▲ （请直接写出答案）
17．（2023九上·南皮期中）如图所示，中，，，.点从点开始沿边向以1cm/s的速度移动，点从点开始沿边向点以2cm/s的速度移动.，分别从，同时出发.
（1）经过几秒，、间的距离等于6cm？
（2）线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能，说明理由.
（3）几秒时，与相似？
18．（2023九上·西山期中）如图，AB为⊙O的切线，B为切点，过点B作BC⊥OA，垂足为点E，交⊙O于点C，连接CO并延长CO与AB的延长线交于点D，连接AC．
（1）求证：AC为⊙O的切线；
（2）若⊙O半径为3，OD＝5．求线段AD的长．
19．（2023九上·定海月考）如图，AD是ΔABC的外角∠EAC的平分线，与ΔABC的外接圆⊙O交于点D，连结BD交AC于点F.
（1）求证：
（2）若BC＝3．当AF将ΔABD的面积分为1：2两部分时，求ΔADF与ΔBCF的面积比值.
（3）将C点关于AD的对称点记为点C＇，当BD时，写出AD与半径r的数量关系，并说明理由.
20．（2023九上·锦江期中）在矩形ABCD中，点E为AB边上一动点（不与点A，B重合），连接CE，过点E作EF⊥CE．连接AC、AF、CF，CF与EF分别交AD于点G，H．
（1）如图1，当矩形ABCD为正方形时，且EF＝CE．求证：△BCE∽△ACF；
（2）在（1）的条件下，且点E为AB的中点，求的值；
（3）如图2，已知：AB＝8，BC＝6，，连接CF交AD于G，EF与AD交于H，若FG＝FH，求BE的长度．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形的综合
【解析】【解答】解： ①∵∠EAB+∠BAC+∠CAD=180°，
∴∠EAB+∠CAD=90°，
又∵∠DCA+∠ADC+∠CAD=180°，
∴∠DCA+∠CAD=90°，
∴∠DCA=∠EAB，
在△ABE和△ADC中，
∵∠BEA=∠ADC，
∠DCA=∠EAB，
AB=AC，
∴△ABE△ADC（AAS），
∴AD=EB，AE=DC，
∴ED=EA+AD=EB+CD，故①正确；
② 延长DC和EP交于点F，如图所示，
∵EP平分∠AEB，
∴∠DEF=∠BEP=45°，
∵∠EDF=90°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴DF=DE，∠F=45°，
即CD+CF=AE+AD，
∵AE=CD，
∴CF=AD，
∵AD=EB，
∴CF=EB，
在△PBE和△PCF中，
∵∠PEB=∠F=45°，
∠BPE=∠CPF，
BE=CF
∴△PBE≌△PCF(AAS)，
∴BP =PC，PE=PF，故②正确；
③ 延长EP、DC交于点F，连接AP，如图所示：
由②知：△ABC中，AB=AC，∠BAC =90°，点P是BC的中点，△DEF是等腰直角三角形，点P是EF的中点，
∴AP⊥BC，AP=BP=CP，DP⊥EF，∠PAN= ∠PBM=45°，
∴∠BPM+∠APM =∠APN+∠APM=90°，
∴∠BPM=∠APN，
在△PBM和△PAN中，
∠PBM =∠PAN，
PB=PA，
∠BPM =∠APN，
∴△PBM≌△PAN(ASA)，
S△PBM =S△PAN，
∵S△APB=S△ABC，
又∵S四边形AMPN=S△APN+S△APM，S△APB=S△APM+S△BPM，
∴S△APB=S四边形AMPN
∴S四边形AMPN=S△ABC，故③正确；
④如图，过点A作AG⊥EP于G，过点B作BH⊥EP于H，
∵△AEG和△BEH均为等腰直角三角形，
∴AG=，BH==，
∵∠HMB =∠AMG，∠BHM =∠AGM，
∴△AMG△BMH，
∴
又∵
∵
∴，
在△BEM和△ADN中，
∠EBM =∠DAN，
BE=AD，
∠BEM =∠ADN，
∴△BEM≌△ADN(ASA)，
∴BM=AN，
∴，
∴ ，故④正确；
综上所述，正确的答案有①②③④，共4个.
故答案为：D.
【分析】由等角的余角相等可得∠DCA=∠EAB，从而用AAS判断出△ABE≌△ADC，得AD=EB，AE=DC，然后根据线段的和差及等量代换可判断①正确；延长DC和EP交于点F，如图所示，由角平分线的性质可判断出△DEF是等腰直角三角形，得DF=DE，∠PEB=∠F=45°，由线段的和差及等式的性质推出CF=AD=BE，从而由AAS判断出△PBE≌△PCF，得BP =PC，PE=PF，据此可判断②正确；延长EP、DC交于点F，连接AP，由等腰直角三角形的性质推出AP⊥BC，AP=BP=CP，DP⊥EF，∠PAN= ∠PBM=45°，由等角的余角相等得∠BPM=∠APN，从而用ASA判断出△PBM≌△PAN，由全等三角形的面积相等及几何图形面积之间的关系推出S△APB=S四边形AMPN=S△ABC，据此可判断③正确；过点A作AG⊥EP于G，过点B作BH⊥EP于H，易得△AEG和△BEH均为等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得AG=，BH==，由由两组角对应相等的两个三角形相似得△AMG∽△BMH，由相似三角形对应边成比例及同底三角形面积之间的关系就是底之间的关系可推出，再由ASA判断出△BEM≌△ADN，得BM=AN，从而等量代换可得，据此判断④正确.
2．【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：
为正方形，
，
又
故①正确；
把绕点A逆时针旋转，得到．
，
∵，
∴．
又，
∴．
∴，
即故②正确；
由②得．
过作，作，如图所示：
则与的相似比就是．
易证，
则可知，
故③正确；
当时，
设，因为，
所以，所以．
整理，得，
所以，
即．
又因为，所以，当且仅当时等号成立，此时．
因此，当时，取最小值，为．故④正确．
故答案为：D
【分析】先根据正方形的性质得到，进而结合题意得到，从而运用相似三角形的判定即可判定①；进而根据相似三角形的性质得到，从而根据旋转的性质得到，进而运用三角形全等的判定与性质证明即可得到，再根据平行线的性质得到，再结合题意证明，从而运用相似三角形的判定与性质证明即可判断②；由②得，过作，作，则与的相似比就是，进而结合题意运用三角形全等的判定即可判断③；设，因为，进而结合题意运用三角形的面积进行运算即可求解。
3．【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过点P作PQ∥AB，与BC交于点Q，
∵ 二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，
∴A（-1，0），B（4，0），C（0，5），
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
则，
解得，
∴直线BC为，
设，则Q，
∴PQ=-t2+4t，
∵PQ∥AB，
∴△PQK∽△ABK，
∴，
∵k=-，
∴当时，有最大值为：，
∴有最小值为，
∴
故答案为：A.
【分析】过点P作PQ∥AB，与BC交于点Q，先由抛物线与纵坐标的交点坐标特点求出A、B、C三点的坐标，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，进而根据点的坐标与图形的性质设，则Q，由两点间的距离公式表示出PQ=-t2+4t，AB=5，由平行于三角形一边得直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△PQK∽△ABK，根据相似三角形对应边成比例可得，然后根据二次函数的性质求出有最大值，从而得到有最小值，进而可得答案.
4．【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】过点F作FG//CN交AB于点G，如图所示：
∵点M是DF的中点，
∴点N是DG的中点，
∴MN是△DGF的中位线，
∴GF=2MN，
∵GF//CN，EF//AB，
∴四边形GFHN是平行四边形，
∴NH=GF=2MN，
设MH=MN=m，则GF=2m，
∵DE//BC，，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴BC=4DE，
∵EF//AB，DE//BC，
∴四边形DEFB是平行四边形，
∴DE=BF，
∵FG//CN，
∴，
∵，
∴，
∴CN=4GF=8m，
∴CH=CN-NH=8m-2m=6m，
∴CM=CH+MH=6m+m=7m，
∴，
故答案为：D.
【分析】设MH=MN=m，则GF=2m，先证出△ADE∽△ABC，可得，求出BC=4DE，再利用平行线分线段成比例的性质可得，再结合，求出CN=4GF=8m，再利用线段的和差求出CM=CH+MH=6m+m=7m，最后求出即可.
5．【答案】D
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①∵把菱形向平移至的位置，
∴AD=DF=AB=CD=EF=BC=CE，AB//CD//EF，
∴∠F=∠DAG，
在△DFH和△DAG中，
，
∴△DFH≌△DAG（ASA），
∴DH=DG，
∵EG⊥AB，AB//EF，
∴EG⊥EF，
∵DH=DG，
∴DE=GH=DG=DH，
∴DG=DE，
∴①正确；
②∵DE=DH，
∴∠DHE=∠DEH，
∵菱形CDFE，
∴∠DEH=∠CEF=∠ACD，
∵菱形ABCD，
∴∠ACD=∠BAD，
∴∠DEH=∠BAD，
∴②正确；
③∵△DFG≌△DAG，
∴FH=AG，
∵EF=AB，
∴EF+FH=AB+AG=BG，
∵BC=CE，CM//BG，
∴CM是△BEG的中位线，
∴BG=2MC，
∴EF+FH=2MC，
∴③正确；
④∵菱形CDFE，
∴∠CDE=∠CED=∠DEH，
∵∠DHE=∠DEH，
∴∠CDE=∠CED=∠DEH=∠DHE，
∴，
∴④正确，
综上，正确的结论是①②③④，共4个，
故答案为：D.
【分析】利用菱形的性质，全等三角形的判定和性质及相似三角形的判定方法逐项分析判断即可.
6．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：因为四边形ABCD为正方形，所以又因为，所以故则在和中，则，故 ① 正确；
因为 M是正方形的边上中点 ，所以BM=MC，又因为，所以即又因为则，则即即 是的比例中项 ，故 ② 正确；
因为，所以又，所以则即 平分 ，故 ③ 正确；
因为，所以即即故 ④ 错误.
综上所述 判断中正确的有 3个.
故答案为：C.
【分析】本题主要考查三角形相似的判定及性质，根据正方形的性质及等量代换可证得：从而得到，再根据得到及可得到然后在逐项判定即可.
7．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，
∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠ADC=∠BCD=∠ABC=90°，
∴∠ABE=∠DCF=30°，
∴∠DPC=∠CDP=，
则结论①正确；
∵△BPC是等边三角形，
∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD//BC，
∴∠PEF=∠PBC=60°，∠PFE=∠PCB=60°，
∴∠PEF=∠PFE=60°，
∴△PEF是等边三角形，
∴PE=PF，
∴CP+PF=CP+PE，
∴CF=BE，
∵∠ABE=∠ABC-∠PBC=30°，
∴BE=2AE，
∴CF=2AE，
则结论②正确；
∴∠PDE=15°，
∵∠PBD=∠PBC-∠HBC=15°，
∴∠EBD=∠PDE，
∵∠DEP=∠DEB，
∴，
∴∠EPD=∠BDE=45°，，
∵DE=AF，PE=EF，
∴，
则结论⑤正确；
∵∠BPC=∠EPF=60°，
∴∠FPD=∠EPF+∠EPD=60°+45°=105°，
∵∠BHP=∠BCH+∠HBC=105°，
∴∠DPF=∠BHP，
∵∠PDF=∠DBP=15°，
∴，
则结论④正确；
∴，
∵∠DCF=30°，
∴，
∴，
∴，
则结论③错误；
综上所述：正确结论的个数是4个，
故答案为：B.
【分析】根据等边三角形的性质，等腰三角形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质等对每个结论逐一判断求解即可。
8．【答案】C
【知识点】勾股定理；相似三角形的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：①当，如图，取得最大值，
，，
，
在中，，故①错误．
②如图，若，，
，
，
，故②错误．
③有3种情况，如图1，和都是中线，点是的重心；
如图2，四边形是平行四边形，是中点，点是的重心；
如图3，点不是中点，所以点不是的重心，故③正确．
④如图， ，
即，
在中，，
，
，
当时，最大为5，故④正确．
故答案为：C.
【分析】①当，时，取得最大值，，，根据勾股定理求得，即可得①错误；②如图，若，，根据相似三角形的性质求得，进而求得，即可②错误；③有3种情况，分别画出图形，得出的重心，即可求解；
④根据相似三角形的性质得出，在中，，所以，根据二次函数的性质，即可求解．
9．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，，是的三等分线，
由题意得，，
∵，
∴，
，是的三等分线，
∴
由三角形外角的性质得 ，
∴，
同理，
①BP恰好是∠ABC的靠近AB的三等分线
，
时间t=6
②BP恰好是∠ABC的靠近BC的三等分线
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
时间t=，
∴当恰好是的一条三等分线时，t的值为或6．
故答案为：或6.
【分析】根据图可知，再根据，是的三等分线，可以写出各个角的度数，分①BP恰好是∠ABC的靠近AB的三等分线，②BP恰好是∠ABC的靠近BC的三等分线，分别求出对应的时间，即可得出答案．
10．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵EF是BD的垂直平分线，
∴OB=OD，
在△BOF和△DOE中，
∴△BOF≌△DOE（AAS），
∴OE=OF，
∵∠OBF=∠ABD，
∴△BOF∽△BAD，
∴，
∵，
∴BO=BD=5，
∴FO=5×=，
∴，
故答案为：C.
【分析】先利用“AAS”证出△BOF≌△DOE，可得OE=OF，再证出△BOF∽△BAD，可得，再求出FO的长，最后求出即可.
11．【答案】8
【知识点】圆周角定理；相似三角形的性质
【解析】【解答】如图，作直径PD，连结BD，
则∠D=∠C
∵PD是直径，且PA⊥BC，
∴∠PBD=∠PAC=90°
∴△PBD∽△PAC
∴PBPD=PAPC，即PB20=615 ∴PB= 8
故答案为：8.
【分析】借助直径所对的圆周角为直角及同弧所对圆周角相等，构造△PBD∽△PAC，可得PBPD=PAPC，即PB20=615，所以PB= 8.
12．【答案】；
【知识点】三角形三边关系；勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，当点E与点D重合时，
∵BC=6，BD=2，
∴CD=BC-BD=6-2=4，
∵CF=CE，
∴CF=2，
又∵∠FCB=90°，
∴；
如图，连接AF、BE，
∵CF⊥CE，
∴∠FCE=∠ACB=90°，
∴∠FCE-∠ACE=∠ACB-∠ACE，
即∠ACF=∠BCE，
∵AC=3，BC=6，CF=CE，
∴，
∴△ACF∽△BCE，
∴，
∵BE=2，
∴AF=1，
∴，
∵BF≤AF+AB=，
∴BF的最大值为.
故答案为：；.
【分析】第一空：首先根据线段之间的关系算出CD、CF，进而直接根据勾股定理算出BF即可；第二空：连接AF、BE，由同角的余角相等得∠ACF=∠BCE，由线段之间的关系可得，然后根据两组边对应成比例且夹角相等得两个三角形相似得△ACF∽△BCE，由相似三角形对应边成比例可求出AF的长，再根据勾股定理算出AB的长，最后根据三角形三边之间的关系可得BF≤AF+AB=，从而此题得解.
13．【答案】3﹣3
【知识点】勾股定理的应用；矩形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AB＝3，AD＝6，
∴AB：AD＝1：2，
∴＝2，
又∵∠B＝∠BAD＝90°，
∴△ABF∽△DAE，
∴∠BAF＝∠ADE，
∴∠BAF+∠AED＝∠ADE+∠AED＝90°，
∴∠AGD＝90°，
∴点G在以AD为直径的圆上运动，
如图，取AD的中点O，连接OC，交⊙O于G'，
∵点O是AD的中点，
∴AO＝OD＝3，
∴，
∴CG'＝3﹣3，
∴CG的最小值为3﹣3，
故答案为：3﹣3．
【分析】，可得，可证，则点在以为直径的圆上运动，由勾股定理可求解．
14．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：分两种情况：
①如图1，，延长交于，过点作，交的延长线于，
，
四边形是矩形，
，，
，即，
设，，
，
由平移得：，
，，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
即；
②如图2，，延长交于，则，
，
由平移得：，
同理设，，则，
，
，，
，
，
，
，
，
，
；
故答案为：.
【分析】分两种情况：①如图1，，②如图2，，分别作辅助线，构建相似三角形，证明三角形相似，列比例式可得对应的值．
15．【答案】2
【知识点】垂线段最短及其应用；等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连接CG，CE.
∵BH⊥AC，
∴∠BHA＝90°，
∵∠ABH＝45°，
∴∠BAC＝45°，
∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴∠BAF＝∠CAF＝22.5°，BF＝CF，
∴GB＝GC，
∴∠BGF＝∠CGF＝67.5°，
∴∠GBF＝∠GCF＝22.5°，
∵DB＝DE，∠BDE＝135°，
∴∠DBE＝∠DEB＝22.5°，
∴∠DBE＝∠GBC＝∠DEB＝∠GCF，
∴△DBE∽△GBC，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∵∠DBG＝∠EBC，
∴△DBG∽△EBC，
∴∠BGD＝∠BCE＝112.5°，
∵∠ACB＝67.5°，
∴∠ACE＝45°，
∴点E的运动轨迹是直线EC，
∴当AE⊥EC时，AE的值最小，最小值＝ AC＝2 ，
此时∠BAE＝90°，BE＝ ＝ ＝2 ，
故答案为：2 .
【分析】如图，连接CG，CE.证明△DBG∽△EBC，推出∠BGD＝∠BCE＝112.5°，推出∠ACE＝45°，推出点E的运动轨迹是直线EC，推出当AE⊥EC时，AE的值最小，再利用勾股定理求出BE即可.
16．【答案】（1）证明：，
，
为直径，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
为正三角形，
，
，
；
（3）解：①当时，设，则，
，
又，
在Rt中，
即，
解得，
由，
，
当时，设，则
由得，
化简得
解得（舍去）
当时，由于，
但
∴此种情况不存在，
综上所述，当或时，四边形的其中一边长为的2倍；
②.
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：②当 的面积是△BOE的面积的2倍时，CQ=2BE.
记BE长为单位1，则CQ=BQ=2，QE=1.
∵OQ⊥CE，CO⊥OE
由射影定理得：OQ2=CQ×QE=2
∴OQ=，OB=
∵△BOQ∽△BCG，
∴
∴CG=，BG=
∴OG=
由射影定理得：OG2=CG×GD
∴GD=
∴
故答案为：.
【分析】（1）由直径所对的圆周角为直角，可得，故；由；同角的余角相等，故；又因为，得.
（2）因为且，可得∠ECO=∠DCO=∠ACG=，所以；
（3）若Q是BC的中点，由垂径定理推论可知，OQ⊥BC，那么OQ//AC，OQ是中位线；①四边形CGOQ的其中一边长是OQ的2倍，有三种可能性：CQ=2OQ，GO=2OQ，CG=2OQ；当CQ=2OQ时，由OC=5，可求得OQ=，CQ=BQ=；由cos∠CBG=求得BG=8，故OG=3；当GO=2OQ时，设OQ=x，则OG=2x，AC=2x，AG=5-2x，由，
得，解得x=，；当CG=2OQ时，由于，且AC＞CG，故此种情况不成立；
②当 的面积是 的面积的2倍时得CQ=2BE是本题解题的关键，记BE长为单位1，则CQ=BQ=2，QE=1，然后由射影定理求出OQ的长，从而求出CQ、BQ、BO的值，利用三角形相似列出比例式，求出CG、BG的长，从而可得OG长，由射影定理OG2=CG×GD求出DG的值，那么就可以求得了.
17．【答案】（1）解：设经过秒，，依题意有，
解得（舍去），，
故经过24秒，；
（2）解：设经过秒，线段能将分成面积相等的两部分，依题意有
的面积，，，
∵，∴此方程无实数根，
∴线段不能将分成面积相等的两部分；
（3）解：设经过秒时，与相似
①时，∴，∴，∴，
②当时，∴，∴，∴，
综上所述，秒或2.4秒时，与相似.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；勾股定理；相似三角形的判定与性质；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：（3）设经过秒时，与相似，
①时，
∴，
∴，
∴，
②当时，
∴，
∴，
∴，
综上所述，秒或2.4秒时，与相似．
【分析】（1）设经过秒，，进而结合题意运用勾股定理即可求出x；
（2）设经过秒，线段能将分成面积相等的两部分，先根据三角形的面积即可得到y的一元二次方程，进而根据一元二次方程根的判别式结合题意即可求解；
（3）设经过t秒时，与相似，再分类讨论：当时，当时，结合相似三角形的性质即可求解。
18．【答案】（1）证明：连接OB，
∵AB是⊙O的切线，
∴OB⊥AB，
即∠ABO＝90°，
∵BC是弦，OA⊥BC，
∴CE＝BE，
∴AC＝AB，
在△AOB和△AOC中，
，
∴△AOB≌△AOC（SSS），
∴∠ACO＝∠ABO＝90°，
即AC⊥OC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△BOD中，由勾股定理得，
BD＝＝4，
∵∠OBD＝∠ACD＝90°，∠D＝∠D，
∴△DBO∽△DCA，
∴，
∵AC、AB都为⊙O的切线，
∴AB＝AC，
∴，
解得AB＝6，
∴AD＝BD+AB＝4+6＝10．
【知识点】勾股定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)从已知条件入手， AB为⊙O的切线，容易想到连接OB，得到90°角，根据已知BC⊥OA，由垂径定理可得到BE=CE，由三线合一定理可推出AB=AC，再根据SSS判定定理得到全等三角形，对应角相等都是90°，可得到AC为⊙O的切线结论的；
（2）从已知条件入手，⊙O半径为3，OD＝5，易根据勾股定理得到BD=4，在（1）的结论下，有共同角的直角三角形易知相似，在这两个相似三角形中，对应成比例的四条边里有2条边已知，另两边可以用AB的长表达，故AB可求，而AD=AB+BD，因此AD可求。
19．【答案】（1）证明：∵AD平分∠EAC，
∴∠EAD=∠DAC，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∵∠BAD+∠EAD=180°，
∴∠DAE=∠BCD，
∵∠DAC=∠DBC，
∴∠BCD=∠DBC，
∴DB=DC；
（2）解：∵∠BAC=60°，
∴∠BDC=60°，
∵BD=CD，
∴△BCD是等边三角形，
∴BD=BC=3，
∵AF将△ABD的面积分为1：2两部分，
∴BF=2，DF=1或BF=1，DF=2
当BF=2，DF=1时，过点C作CM⊥BD，
则BM=1.5，MF=0.5，CM=，
∴CF=，
∵∠ADF=∠BCF，∠AFD=∠BFC，
∴△AFD~△BFC
∴△ADF与△BCF的面积比为；
当BF=1，DF=2时，如图，过点C作CN⊥BD于点N，
同理可得：CN=，NF=0.5，
CF=，
∵∠ADF=∠BCF，∠AFD=∠BFC，
∴△AFD~△BFC
∴△ADF与△BCF的面积比为，
综上所述，△ADF与△BCF的面积比为或；
（3）解：∵AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，C点关于AD的对称点记为点C'，
∴点C'在AE的延长线上，连接C'D，过点D作DM⊥BC'，连接AO，DO，如图，
∴BD=CD=C'D，BM=BC'，
∵BC'=BD，
∴BM=BD，即cos∠ABD=，
∴∠ABD=30°，
∴∠AOD=60°，
∴△AOD是等边三角形，
∴AD=AO=r.
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由角平分线的定义得∠EAD=∠DAC，由圆内接四边形的对角互补、邻补角定义及同角的补角相等得∠DAE=∠BCD，由同弧所对的圆周角相等得∠DAC=∠DBC，从而由等量代换得∠BCD=∠DBC，由等角对等边得DB=DC；
（2）由同弧所对的圆周角相等得∠BDC=60°，由有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形得△BCD是等边三角形，则BD=BC=3；当BF=2，DF=1时，过点C作CM⊥BD，由等边三角形的性质得BM=1.5，则MF=0.5，由勾股定理得CM=，CF=；由有两组角对应相等的两个三角形相似得△AFD~△BFC，进而根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得答案；当BF=1，DF=2时，如图，过点C作CN⊥BD于点N，由等边三角形的性质得BN=1.5，则NF=0.5，由勾股定理得CN=，CF=，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△AFD~△BFC，进而根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得答案；
（3）由题意易得点C'在AE的延长线上，连接C'D，过点D作DM⊥BC'，连接AO，DO，由轴对称的性质得BD=CD=C'D，由等腰三角形的三线合一得BM=BC'，根据题意、余弦函数定义及特殊锐角三角函数值可得∠ABD=30°，由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得∠AOD=60°，从而可得△AOD是等边三角形，由等边三角形的性质得AD=AO=r.
20．【答案】（1）解：证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ACB＝45°，
∴，
∵BF⊥CE，且EF＝CE，
∴∠ECF＝45°，，
∴，
∵∠ACB＝∠FCE＝45°，
∴∠ACB﹣∠ACE＝∠FCB﹣∠ACE，
∴∠BCE＝∠ACF，
∴△BEC∽△AFC；
（2）解：作FM⊥AD于点M．
由（1）可得△BEC∽△AFC，
∠FAC＝∠B＝90°，
∵∠CAD＝45°，
∴∠FAM＝45°，
∵∠AMF＝90°，
∴∠AFM＝45°，
∴AM＝FM．
∵AM2+FM2＝AF2
∴AF＝AM＝MF，
∵△BEC∽△AFC，
∴＝，
∴AF＝BE，
∴AM＝FM＝BE，
∵E为AB中点，
AE＝BE＝AB．
∴MF＝AE，
∴＝．
∵∠EAH＝∠FMH，∠AHF＝∠MHF，AE＝MF．
∴△AEH≌△MFH（AAS），
∴AH＝HM＝AM＝AD．
∵∠FMG＝∠CDG，∠FGM＝∠CGD，
∴△FMG∽△CDG，
∴＝，
∴GM＝MD，
∴GM＝AD．
∴HG＝HM+MG
＝AD+AD
＝AD．
∵GD＝2GM＝AD，
∴＝．
（3）解：Rt△CEF中，设CE＝3x，EF＝4x，
∵CE2+EF2＝CF2．
∴CF＝5x．
∵FG＝FH．
∴∠FHG＝∠FGH．
∵∠FHG＝∠2，∠FGH＝∠1，
∴∠1＝∠2．
∠2+∠AEH＝90，∠AEH+∠3＝90，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∵∠B＝∠D．
∴△CBE∽△CDG，
∴，
．
∴CG＝4x，
∵CF＝5x，
∴FG＝x，
∴FH＝FG＝x，
∵EF＝4x，
∴EH＝EF﹣FH＝3x，
∴EH＝CE，
∵∠2＝∠3，∠B＝∠D，
∴△AEH≌△BCE（AAS），
∴AE＝BC＝6，
∴BE＝AB﹣AE＝2．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先根据正方形的性质得到AB＝BC，∠ACB＝45°，进而得到，再结合题意运用相似三角形的判定即可求解；
（2）作FM⊥AD于点M，由（1）可得△BEC∽△AFC，∠FAC＝∠B＝90°，进而结合题意运用勾股定理即可得到AF＝AM＝MF，再运用相似三角形的性质即可得到＝，进而结合题意运用三角形全等的判定与性质证明△AEH≌△MFH（AAS）即可得到AH＝HM＝AM＝AD，从而根据相似三角形的判定与性质即可得到＝，进而结合题意即可求解；
（3）设CE＝3x，EF＝4x，根据勾股定理即可得到CF＝5x，再结合题意进行角的运算证明∠1＝∠3，从而得到△CBE∽△CDG，进而即可得到EH＝CE，再根据三角形全等的性质即可求解。
1 / 1人教版初中数学2023-2024学年九年级下学期课时培优练习 27.2相似三角形
一、选择题
1．（2024八上·道里期末）如图，，，点A在上，，的平分线交于M，交于P，连接交于点N，以下四个结论：①；②；③四边形的面积是面积的一半；④．一定正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】三角形的综合
【解析】【解答】解： ①∵∠EAB+∠BAC+∠CAD=180°，
∴∠EAB+∠CAD=90°，
又∵∠DCA+∠ADC+∠CAD=180°，
∴∠DCA+∠CAD=90°，
∴∠DCA=∠EAB，
在△ABE和△ADC中，
∵∠BEA=∠ADC，
∠DCA=∠EAB，
AB=AC，
∴△ABE△ADC（AAS），
∴AD=EB，AE=DC，
∴ED=EA+AD=EB+CD，故①正确；
② 延长DC和EP交于点F，如图所示，
∵EP平分∠AEB，
∴∠DEF=∠BEP=45°，
∵∠EDF=90°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴DF=DE，∠F=45°，
即CD+CF=AE+AD，
∵AE=CD，
∴CF=AD，
∵AD=EB，
∴CF=EB，
在△PBE和△PCF中，
∵∠PEB=∠F=45°，
∠BPE=∠CPF，
BE=CF
∴△PBE≌△PCF(AAS)，
∴BP =PC，PE=PF，故②正确；
③ 延长EP、DC交于点F，连接AP，如图所示：
由②知：△ABC中，AB=AC，∠BAC =90°，点P是BC的中点，△DEF是等腰直角三角形，点P是EF的中点，
∴AP⊥BC，AP=BP=CP，DP⊥EF，∠PAN= ∠PBM=45°，
∴∠BPM+∠APM =∠APN+∠APM=90°，
∴∠BPM=∠APN，
在△PBM和△PAN中，
∠PBM =∠PAN，
PB=PA，
∠BPM =∠APN，
∴△PBM≌△PAN(ASA)，
S△PBM =S△PAN，
∵S△APB=S△ABC，
又∵S四边形AMPN=S△APN+S△APM，S△APB=S△APM+S△BPM，
∴S△APB=S四边形AMPN
∴S四边形AMPN=S△ABC，故③正确；
④如图，过点A作AG⊥EP于G，过点B作BH⊥EP于H，
∵△AEG和△BEH均为等腰直角三角形，
∴AG=，BH==，
∵∠HMB =∠AMG，∠BHM =∠AGM，
∴△AMG△BMH，
∴
又∵
∵
∴，
在△BEM和△ADN中，
∠EBM =∠DAN，
BE=AD，
∠BEM =∠ADN，
∴△BEM≌△ADN(ASA)，
∴BM=AN，
∴，
∴ ，故④正确；
综上所述，正确的答案有①②③④，共4个.
故答案为：D.
【分析】由等角的余角相等可得∠DCA=∠EAB，从而用AAS判断出△ABE≌△ADC，得AD=EB，AE=DC，然后根据线段的和差及等量代换可判断①正确；延长DC和EP交于点F，如图所示，由角平分线的性质可判断出△DEF是等腰直角三角形，得DF=DE，∠PEB=∠F=45°，由线段的和差及等式的性质推出CF=AD=BE，从而由AAS判断出△PBE≌△PCF，得BP =PC，PE=PF，据此可判断②正确；延长EP、DC交于点F，连接AP，由等腰直角三角形的性质推出AP⊥BC，AP=BP=CP，DP⊥EF，∠PAN= ∠PBM=45°，由等角的余角相等得∠BPM=∠APN，从而用ASA判断出△PBM≌△PAN，由全等三角形的面积相等及几何图形面积之间的关系推出S△APB=S四边形AMPN=S△ABC，据此可判断③正确；过点A作AG⊥EP于G，过点B作BH⊥EP于H，易得△AEG和△BEH均为等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得AG=，BH==，由由两组角对应相等的两个三角形相似得△AMG∽△BMH，由相似三角形对应边成比例及同底三角形面积之间的关系就是底之间的关系可推出，再由ASA判断出△BEM≌△ADN，得BM=AN，从而等量代换可得，据此判断④正确.
2．（2023九上·长沙月考）如图，在正方形中，点分别是边上的两点，且分别交于．对于下列结论：
①；②；③；④当时，面积的最小值为．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④
【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：
为正方形，
，
又
故①正确；
把绕点A逆时针旋转，得到．
，
∵，
∴．
又，
∴．
∴，
即故②正确；
由②得．
过作，作，如图所示：
则与的相似比就是．
易证，
则可知，
故③正确；
当时，
设，因为，
所以，所以．
整理，得，
所以，
即．
又因为，所以，当且仅当时等号成立，此时．
因此，当时，取最小值，为．故④正确．
故答案为：D
【分析】先根据正方形的性质得到，进而结合题意得到，从而运用相似三角形的判定即可判定①；进而根据相似三角形的性质得到，从而根据旋转的性质得到，进而运用三角形全等的判定与性质证明即可得到，再根据平行线的性质得到，再结合题意证明，从而运用相似三角形的判定与性质证明即可判断②；由②得，过作，作，则与的相似比就是，进而结合题意运用三角形全等的判定即可判断③；设，因为，进而结合题意运用三角形的面积进行运算即可求解。
3．（2023九上·定海月考） 如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与轴交于点C，P为该二次函数在第一象限内的一点，连接AP，交BC于点K，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过点P作PQ∥AB，与BC交于点Q，
∵ 二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，
∴A（-1，0），B（4，0），C（0，5），
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
则，
解得，
∴直线BC为，
设，则Q，
∴PQ=-t2+4t，
∵PQ∥AB，
∴△PQK∽△ABK，
∴，
∵k=-，
∴当时，有最大值为：，
∴有最小值为，
∴
故答案为：A.
【分析】过点P作PQ∥AB，与BC交于点Q，先由抛物线与纵坐标的交点坐标特点求出A、B、C三点的坐标，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，进而根据点的坐标与图形的性质设，则Q，由两点间的距离公式表示出PQ=-t2+4t，AB=5，由平行于三角形一边得直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△PQK∽△ABK，根据相似三角形对应边成比例可得，然后根据二次函数的性质求出有最大值，从而得到有最小值，进而可得答案.
4．（2023九上·合肥期中）如图，点，，分别在的边上，，，，点是的中点，连接并延长交于点，的值是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】过点F作FG//CN交AB于点G，如图所示：
∵点M是DF的中点，
∴点N是DG的中点，
∴MN是△DGF的中位线，
∴GF=2MN，
∵GF//CN，EF//AB，
∴四边形GFHN是平行四边形，
∴NH=GF=2MN，
设MH=MN=m，则GF=2m，
∵DE//BC，，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴BC=4DE，
∵EF//AB，DE//BC，
∴四边形DEFB是平行四边形，
∴DE=BF，
∵FG//CN，
∴，
∵，
∴，
∴CN=4GF=8m，
∴CH=CN-NH=8m-2m=6m，
∴CM=CH+MH=6m+m=7m，
∴，
故答案为：D.
【分析】设MH=MN=m，则GF=2m，先证出△ADE∽△ABC，可得，求出BC=4DE，再利用平行线分线段成比例的性质可得，再结合，求出CN=4GF=8m，再利用线段的和差求出CM=CH+MH=6m+m=7m，最后求出即可.
5．（2023九上·威远期中）如图，把菱形向平移至的位置，作，垂足为与相交于点的延长线交于点，连接，则下列结论：①；②；③；④，则正确的结论有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①∵把菱形向平移至的位置，
∴AD=DF=AB=CD=EF=BC=CE，AB//CD//EF，
∴∠F=∠DAG，
在△DFH和△DAG中，
，
∴△DFH≌△DAG（ASA），
∴DH=DG，
∵EG⊥AB，AB//EF，
∴EG⊥EF，
∵DH=DG，
∴DE=GH=DG=DH，
∴DG=DE，
∴①正确；
②∵DE=DH，
∴∠DHE=∠DEH，
∵菱形CDFE，
∴∠DEH=∠CEF=∠ACD，
∵菱形ABCD，
∴∠ACD=∠BAD，
∴∠DEH=∠BAD，
∴②正确；
③∵△DFG≌△DAG，
∴FH=AG，
∵EF=AB，
∴EF+FH=AB+AG=BG，
∵BC=CE，CM//BG，
∴CM是△BEG的中位线，
∴BG=2MC，
∴EF+FH=2MC，
∴③正确；
④∵菱形CDFE，
∴∠CDE=∠CED=∠DEH，
∵∠DHE=∠DEH，
∴∠CDE=∠CED=∠DEH=∠DHE，
∴，
∴④正确，
综上，正确的结论是①②③④，共4个，
故答案为：D.
【分析】利用菱形的性质，全等三角形的判定和性质及相似三角形的判定方法逐项分析判断即可.
6．（2023九上·崇明期中）如图，M是正方形的边上中点，点E、F分别在边上，且．①，②是的比例中项，③平分，④．上述四个判断中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：因为四边形ABCD为正方形，所以又因为，所以故则在和中，则，故 ① 正确；
因为 M是正方形的边上中点 ，所以BM=MC，又因为，所以即又因为则，则即即 是的比例中项 ，故 ② 正确；
因为，所以又，所以则即 平分 ，故 ③ 正确；
因为，所以即即故 ④ 错误.
综上所述 判断中正确的有 3个.
故答案为：C.
【分析】本题主要考查三角形相似的判定及性质，根据正方形的性质及等量代换可证得：从而得到，再根据得到及可得到然后在逐项判定即可.
7．（2023九上·安徽期中）如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点，，连接、，与相交于点，给出下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，
∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠ADC=∠BCD=∠ABC=90°，
∴∠ABE=∠DCF=30°，
∴∠DPC=∠CDP=，
则结论①正确；
∵△BPC是等边三角形，
∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD//BC，
∴∠PEF=∠PBC=60°，∠PFE=∠PCB=60°，
∴∠PEF=∠PFE=60°，
∴△PEF是等边三角形，
∴PE=PF，
∴CP+PF=CP+PE，
∴CF=BE，
∵∠ABE=∠ABC-∠PBC=30°，
∴BE=2AE，
∴CF=2AE，
则结论②正确；
∴∠PDE=15°，
∵∠PBD=∠PBC-∠HBC=15°，
∴∠EBD=∠PDE，
∵∠DEP=∠DEB，
∴，
∴∠EPD=∠BDE=45°，，
∵DE=AF，PE=EF，
∴，
则结论⑤正确；
∵∠BPC=∠EPF=60°，
∴∠FPD=∠EPF+∠EPD=60°+45°=105°，
∵∠BHP=∠BCH+∠HBC=105°，
∴∠DPF=∠BHP，
∵∠PDF=∠DBP=15°，
∴，
则结论④正确；
∴，
∵∠DCF=30°，
∴，
∴，
∴，
则结论③错误；
综上所述：正确结论的个数是4个，
故答案为：B.
【分析】根据等边三角形的性质，等腰三角形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质等对每个结论逐一判断求解即可。
8．（2023九上·金华期中）如图△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，AC＝x，∠BAC＝α，O为AB中点，若点D为直线BC下方一点，且△BCD与△ABC相似，则下列结论：
①若α＝60°，则AD的最大值为；
②若α＝60°，△ABC∽△CBD，则OD的长为；
③若α＝45°，BC与OD相交于E，则点E不一定是△ABD的重心；
④若△ABC∽△BCD，则当x＝2时，AC+CD取得最大值．其中正确的为（ ）
A．①③ B．①②④ C．③④ D．①③④
【答案】C
【知识点】勾股定理；相似三角形的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：①当，如图，取得最大值，
，，
，
在中，，故①错误．
②如图，若，，
，
，
，故②错误．
③有3种情况，如图1，和都是中线，点是的重心；
如图2，四边形是平行四边形，是中点，点是的重心；
如图3，点不是中点，所以点不是的重心，故③正确．
④如图， ，
即，
在中，，
，
，
当时，最大为5，故④正确．
故答案为：C.
【分析】①当，时，取得最大值，，，根据勾股定理求得，即可得①错误；②如图，若，，根据相似三角形的性质求得，进而求得，即可②错误；③有3种情况，分别画出图形，得出的重心，即可求解；
④根据相似三角形的性质得出，在中，，所以，根据二次函数的性质，即可求解．
9．（2023九上·杭州期中）如图①，在△ABC中，∠B＝108°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C→A匀速运动一周．若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为t（s），AP的长度为v（cm），v与t的函数图象如图②所示．当BP恰好是∠ABC的一条三等分线时，t的值为（ ）
A．+2或5 B．+3或6 C．+3或5 D．+2或6
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，，是的三等分线，
由题意得，，
∵，
∴，
，是的三等分线，
∴
由三角形外角的性质得 ，
∴，
同理，
①BP恰好是∠ABC的靠近AB的三等分线
，
时间t=6
②BP恰好是∠ABC的靠近BC的三等分线
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
时间t=，
∴当恰好是的一条三等分线时，t的值为或6．
故答案为：或6.
【分析】根据图可知，再根据，是的三等分线，可以写出各个角的度数，分①BP恰好是∠ABC的靠近AB的三等分线，②BP恰好是∠ABC的靠近BC的三等分线，分别求出对应的时间，即可得出答案．
10．（2023九上·成都月考）如图，矩形ABCD中，，，EF是对角线BD的垂直平分线，则EF的长为（ ）
A． B．5cm C． D．8cm
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵EF是BD的垂直平分线，
∴OB=OD，
在△BOF和△DOE中，
∴△BOF≌△DOE（AAS），
∴OE=OF，
∵∠OBF=∠ABD，
∴△BOF∽△BAD，
∴，
∵，
∴BO=BD=5，
∴FO=5×=，
∴，
故答案为：C.
【分析】先利用“AAS”证出△BOF≌△DOE，可得OE=OF，再证出△BOF∽△BAD，可得，再求出FO的长，最后求出即可.
二、填空题
11．如图，⊙O的半径为10，点P在⊙O上，点A在⊙O内，且AP=6，过点A作AP的垂线交QO于点B，C.若PC=15，则PB= .
【答案】8
【知识点】圆周角定理；相似三角形的性质
【解析】【解答】如图，作直径PD，连结BD，
则∠D=∠C
∵PD是直径，且PA⊥BC，
∴∠PBD=∠PAC=90°
∴△PBD∽△PAC
∴PBPD=PAPC，即PB20=615 ∴PB= 8
故答案为：8.
【分析】借助直径所对的圆周角为直角及同弧所对圆周角相等，构造△PBD∽△PAC，可得PBPD=PAPC，即PB20=615，所以PB= 8.
12．（2023九上·定海月考）如图，在中，，以点B为圆心，BD长为半径作圆，点E为⊙B上的动点，连结EC，作FC⊥CE，垂足为C，点F在直线BC的上方，且满足，连结BF，当点E与点D重合时，BF的值为 ，点E在⊙B上运动过程中，BF存在最大值为 ．
【答案】；
【知识点】三角形三边关系；勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，当点E与点D重合时，
∵BC=6，BD=2，
∴CD=BC-BD=6-2=4，
∵CF=CE，
∴CF=2，
又∵∠FCB=90°，
∴；
如图，连接AF、BE，
∵CF⊥CE，
∴∠FCE=∠ACB=90°，
∴∠FCE-∠ACE=∠ACB-∠ACE，
即∠ACF=∠BCE，
∵AC=3，BC=6，CF=CE，
∴，
∴△ACF∽△BCE，
∴，
∵BE=2，
∴AF=1，
∴，
∵BF≤AF+AB=，
∴BF的最大值为.
故答案为：；.
【分析】第一空：首先根据线段之间的关系算出CD、CF，进而直接根据勾股定理算出BF即可；第二空：连接AF、BE，由同角的余角相等得∠ACF=∠BCE，由线段之间的关系可得，然后根据两组边对应成比例且夹角相等得两个三角形相似得△ACF∽△BCE，由相似三角形对应边成比例可求出AF的长，再根据勾股定理算出AB的长，最后根据三角形三边之间的关系可得BF≤AF+AB=，从而此题得解.
13．（2023九上·长安期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝6，点E、F分别是AB、BC边上的动点，且AE：BF＝2：1，连接AF和DE交于点G，连接CG，则CG的最小值是 ．
【答案】3﹣3
【知识点】勾股定理的应用；矩形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AB＝3，AD＝6，
∴AB：AD＝1：2，
∴＝2，
又∵∠B＝∠BAD＝90°，
∴△ABF∽△DAE，
∴∠BAF＝∠ADE，
∴∠BAF+∠AED＝∠ADE+∠AED＝90°，
∴∠AGD＝90°，
∴点G在以AD为直径的圆上运动，
如图，取AD的中点O，连接OC，交⊙O于G'，
∵点O是AD的中点，
∴AO＝OD＝3，
∴，
∴CG'＝3﹣3，
∴CG的最小值为3﹣3，
故答案为：3﹣3．
【分析】，可得，可证，则点在以为直径的圆上运动，由勾股定理可求解．
14．（2023九上·义乌月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，将△BCD沿射线BD平移a个单位长度（a＞0）得到△B'C'D'，连接AB'，AD'，则当△AB'D'是直角三角形时，a的值为
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：分两种情况：
①如图1，，延长交于，过点作，交的延长线于，
，
四边形是矩形，
，，
，即，
设，，
，
由平移得：，
，，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
即；
②如图2，，延长交于，则，
，
由平移得：，
同理设，，则，
，
，，
，
，
，
，
，
，
；
故答案为：.
【分析】分两种情况：①如图1，，②如图2，，分别作辅助线，构建相似三角形，证明三角形相似，列比例式可得对应的值．
15．（2020·锦州模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，AF⊥BC于点F，BH⊥AC于点H.交AF于点G，点D在直线AF上运动，BD＝DE，∠BDE＝135°，∠ABH＝45°，当AE取最小值时，BE的长为 .
【答案】2
【知识点】垂线段最短及其应用；等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连接CG，CE.
∵BH⊥AC，
∴∠BHA＝90°，
∵∠ABH＝45°，
∴∠BAC＝45°，
∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴∠BAF＝∠CAF＝22.5°，BF＝CF，
∴GB＝GC，
∴∠BGF＝∠CGF＝67.5°，
∴∠GBF＝∠GCF＝22.5°，
∵DB＝DE，∠BDE＝135°，
∴∠DBE＝∠DEB＝22.5°，
∴∠DBE＝∠GBC＝∠DEB＝∠GCF，
∴△DBE∽△GBC，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∵∠DBG＝∠EBC，
∴△DBG∽△EBC，
∴∠BGD＝∠BCE＝112.5°，
∵∠ACB＝67.5°，
∴∠ACE＝45°，
∴点E的运动轨迹是直线EC，
∴当AE⊥EC时，AE的值最小，最小值＝ AC＝2 ，
此时∠BAE＝90°，BE＝ ＝ ＝2 ，
故答案为：2 .
【分析】如图，连接CG，CE.证明△DBG∽△EBC，推出∠BGD＝∠BCE＝112.5°，推出∠ACE＝45°，推出点E的运动轨迹是直线EC，推出当AE⊥EC时，AE的值最小，再利用勾股定理求出BE即可.
三、解答题
16．（2023九上·鹿城月考）如图1，内接于圆为直径，点在的上方，且．连结是边上的高，过点作交的延长线于点，交于点．
（1）求证：．
（2）当时，求的值．
（3）如图2，取的中点，连结．
①若，在点运动的过程中，当四边形的其中一边长是的2倍时，求所有满足条件的的长．
②连结，当的面积是的面积的2倍时，则 ▲ （请直接写出答案）
【答案】（1）证明：，
，
为直径，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
为正三角形，
，
，
；
（3）解：①当时，设，则，
，
又，
在Rt中，
即，
解得，
由，
，
当时，设，则
由得，
化简得
解得（舍去）
当时，由于，
但
∴此种情况不存在，
综上所述，当或时，四边形的其中一边长为的2倍；
②.
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：②当 的面积是△BOE的面积的2倍时，CQ=2BE.
记BE长为单位1，则CQ=BQ=2，QE=1.
∵OQ⊥CE，CO⊥OE
由射影定理得：OQ2=CQ×QE=2
∴OQ=，OB=
∵△BOQ∽△BCG，
∴
∴CG=，BG=
∴OG=
由射影定理得：OG2=CG×GD
∴GD=
∴
故答案为：.
【分析】（1）由直径所对的圆周角为直角，可得，故；由；同角的余角相等，故；又因为，得.
（2）因为且，可得∠ECO=∠DCO=∠ACG=，所以；
（3）若Q是BC的中点，由垂径定理推论可知，OQ⊥BC，那么OQ//AC，OQ是中位线；①四边形CGOQ的其中一边长是OQ的2倍，有三种可能性：CQ=2OQ，GO=2OQ，CG=2OQ；当CQ=2OQ时，由OC=5，可求得OQ=，CQ=BQ=；由cos∠CBG=求得BG=8，故OG=3；当GO=2OQ时，设OQ=x，则OG=2x，AC=2x，AG=5-2x，由，
得，解得x=，；当CG=2OQ时，由于，且AC＞CG，故此种情况不成立；
②当 的面积是 的面积的2倍时得CQ=2BE是本题解题的关键，记BE长为单位1，则CQ=BQ=2，QE=1，然后由射影定理求出OQ的长，从而求出CQ、BQ、BO的值，利用三角形相似列出比例式，求出CG、BG的长，从而可得OG长，由射影定理OG2=CG×GD求出DG的值，那么就可以求得了.
17．（2023九上·南皮期中）如图所示，中，，，.点从点开始沿边向以1cm/s的速度移动，点从点开始沿边向点以2cm/s的速度移动.，分别从，同时出发.
（1）经过几秒，、间的距离等于6cm？
（2）线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能，说明理由.
（3）几秒时，与相似？
【答案】（1）解：设经过秒，，依题意有，
解得（舍去），，
故经过24秒，；
（2）解：设经过秒，线段能将分成面积相等的两部分，依题意有
的面积，，，
∵，∴此方程无实数根，
∴线段不能将分成面积相等的两部分；
（3）解：设经过秒时，与相似
①时，∴，∴，∴，
②当时，∴，∴，∴，
综上所述，秒或2.4秒时，与相似.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；勾股定理；相似三角形的判定与性质；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：（3）设经过秒时，与相似，
①时，
∴，
∴，
∴，
②当时，
∴，
∴，
∴，
综上所述，秒或2.4秒时，与相似．
【分析】（1）设经过秒，，进而结合题意运用勾股定理即可求出x；
（2）设经过秒，线段能将分成面积相等的两部分，先根据三角形的面积即可得到y的一元二次方程，进而根据一元二次方程根的判别式结合题意即可求解；
（3）设经过t秒时，与相似，再分类讨论：当时，当时，结合相似三角形的性质即可求解。
18．（2023九上·西山期中）如图，AB为⊙O的切线，B为切点，过点B作BC⊥OA，垂足为点E，交⊙O于点C，连接CO并延长CO与AB的延长线交于点D，连接AC．
（1）求证：AC为⊙O的切线；
（2）若⊙O半径为3，OD＝5．求线段AD的长．
【答案】（1）证明：连接OB，
∵AB是⊙O的切线，
∴OB⊥AB，
即∠ABO＝90°，
∵BC是弦，OA⊥BC，
∴CE＝BE，
∴AC＝AB，
在△AOB和△AOC中，
，
∴△AOB≌△AOC（SSS），
∴∠ACO＝∠ABO＝90°，
即AC⊥OC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△BOD中，由勾股定理得，
BD＝＝4，
∵∠OBD＝∠ACD＝90°，∠D＝∠D，
∴△DBO∽△DCA，
∴，
∵AC、AB都为⊙O的切线，
∴AB＝AC，
∴，
解得AB＝6，
∴AD＝BD+AB＝4+6＝10．
【知识点】勾股定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)从已知条件入手， AB为⊙O的切线，容易想到连接OB，得到90°角，根据已知BC⊥OA，由垂径定理可得到BE=CE，由三线合一定理可推出AB=AC，再根据SSS判定定理得到全等三角形，对应角相等都是90°，可得到AC为⊙O的切线结论的；
（2）从已知条件入手，⊙O半径为3，OD＝5，易根据勾股定理得到BD=4，在（1）的结论下，有共同角的直角三角形易知相似，在这两个相似三角形中，对应成比例的四条边里有2条边已知，另两边可以用AB的长表达，故AB可求，而AD=AB+BD，因此AD可求。
19．（2023九上·定海月考）如图，AD是ΔABC的外角∠EAC的平分线，与ΔABC的外接圆⊙O交于点D，连结BD交AC于点F.
（1）求证：
（2）若BC＝3．当AF将ΔABD的面积分为1：2两部分时，求ΔADF与ΔBCF的面积比值.
（3）将C点关于AD的对称点记为点C＇，当BD时，写出AD与半径r的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）证明：∵AD平分∠EAC，
∴∠EAD=∠DAC，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∵∠BAD+∠EAD=180°，
∴∠DAE=∠BCD，
∵∠DAC=∠DBC，
∴∠BCD=∠DBC，
∴DB=DC；
（2）解：∵∠BAC=60°，
∴∠BDC=60°，
∵BD=CD，
∴△BCD是等边三角形，
∴BD=BC=3，
∵AF将△ABD的面积分为1：2两部分，
∴BF=2，DF=1或BF=1，DF=2
当BF=2，DF=1时，过点C作CM⊥BD，
则BM=1.5，MF=0.5，CM=，
∴CF=，
∵∠ADF=∠BCF，∠AFD=∠BFC，
∴△AFD~△BFC
∴△ADF与△BCF的面积比为；
当BF=1，DF=2时，如图，过点C作CN⊥BD于点N，
同理可得：CN=，NF=0.5，
CF=，
∵∠ADF=∠BCF，∠AFD=∠BFC，
∴△AFD~△BFC
∴△ADF与△BCF的面积比为，
综上所述，△ADF与△BCF的面积比为或；
（3）解：∵AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，C点关于AD的对称点记为点C'，
∴点C'在AE的延长线上，连接C'D，过点D作DM⊥BC'，连接AO，DO，如图，
∴BD=CD=C'D，BM=BC'，
∵BC'=BD，
∴BM=BD，即cos∠ABD=，
∴∠ABD=30°，
∴∠AOD=60°，
∴△AOD是等边三角形，
∴AD=AO=r.
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由角平分线的定义得∠EAD=∠DAC，由圆内接四边形的对角互补、邻补角定义及同角的补角相等得∠DAE=∠BCD，由同弧所对的圆周角相等得∠DAC=∠DBC，从而由等量代换得∠BCD=∠DBC，由等角对等边得DB=DC；
（2）由同弧所对的圆周角相等得∠BDC=60°，由有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形得△BCD是等边三角形，则BD=BC=3；当BF=2，DF=1时，过点C作CM⊥BD，由等边三角形的性质得BM=1.5，则MF=0.5，由勾股定理得CM=，CF=；由有两组角对应相等的两个三角形相似得△AFD~△BFC，进而根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得答案；当BF=1，DF=2时，如图，过点C作CN⊥BD于点N，由等边三角形的性质得BN=1.5，则NF=0.5，由勾股定理得CN=，CF=，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△AFD~△BFC，进而根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得答案；
（3）由题意易得点C'在AE的延长线上，连接C'D，过点D作DM⊥BC'，连接AO，DO，由轴对称的性质得BD=CD=C'D，由等腰三角形的三线合一得BM=BC'，根据题意、余弦函数定义及特殊锐角三角函数值可得∠ABD=30°，由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得∠AOD=60°，从而可得△AOD是等边三角形，由等边三角形的性质得AD=AO=r.
20．（2023九上·锦江期中）在矩形ABCD中，点E为AB边上一动点（不与点A，B重合），连接CE，过点E作EF⊥CE．连接AC、AF、CF，CF与EF分别交AD于点G，H．
（1）如图1，当矩形ABCD为正方形时，且EF＝CE．求证：△BCE∽△ACF；
（2）在（1）的条件下，且点E为AB的中点，求的值；
（3）如图2，已知：AB＝8，BC＝6，，连接CF交AD于G，EF与AD交于H，若FG＝FH，求BE的长度．
【答案】（1）解：证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ACB＝45°，
∴，
∵BF⊥CE，且EF＝CE，
∴∠ECF＝45°，，
∴，
∵∠ACB＝∠FCE＝45°，
∴∠ACB﹣∠ACE＝∠FCB﹣∠ACE，
∴∠BCE＝∠ACF，
∴△BEC∽△AFC；
（2）解：作FM⊥AD于点M．
由（1）可得△BEC∽△AFC，
∠FAC＝∠B＝90°，
∵∠CAD＝45°，
∴∠FAM＝45°，
∵∠AMF＝90°，
∴∠AFM＝45°，
∴AM＝FM．
∵AM2+FM2＝AF2
∴AF＝AM＝MF，
∵△BEC∽△AFC，
∴＝，
∴AF＝BE，
∴AM＝FM＝BE，
∵E为AB中点，
AE＝BE＝AB．
∴MF＝AE，
∴＝．
∵∠EAH＝∠FMH，∠AHF＝∠MHF，AE＝MF．
∴△AEH≌△MFH（AAS），
∴AH＝HM＝AM＝AD．
∵∠FMG＝∠CDG，∠FGM＝∠CGD，
∴△FMG∽△CDG，
∴＝，
∴GM＝MD，
∴GM＝AD．
∴HG＝HM+MG
＝AD+AD
＝AD．
∵GD＝2GM＝AD，
∴＝．
（3）解：Rt△CEF中，设CE＝3x，EF＝4x，
∵CE2+EF2＝CF2．
∴CF＝5x．
∵FG＝FH．
∴∠FHG＝∠FGH．
∵∠FHG＝∠2，∠FGH＝∠1，
∴∠1＝∠2．
∠2+∠AEH＝90，∠AEH+∠3＝90，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∵∠B＝∠D．
∴△CBE∽△CDG，
∴，
．
∴CG＝4x，
∵CF＝5x，
∴FG＝x，
∴FH＝FG＝x，
∵EF＝4x，
∴EH＝EF﹣FH＝3x，
∴EH＝CE，
∵∠2＝∠3，∠B＝∠D，
∴△AEH≌△BCE（AAS），
∴AE＝BC＝6，
∴BE＝AB﹣AE＝2．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先根据正方形的性质得到AB＝BC，∠ACB＝45°，进而得到，再结合题意运用相似三角形的判定即可求解；
（2）作FM⊥AD于点M，由（1）可得△BEC∽△AFC，∠FAC＝∠B＝90°，进而结合题意运用勾股定理即可得到AF＝AM＝MF，再运用相似三角形的性质即可得到＝，进而结合题意运用三角形全等的判定与性质证明△AEH≌△MFH（AAS）即可得到AH＝HM＝AM＝AD，从而根据相似三角形的判定与性质即可得到＝，进而结合题意即可求解；
（3）设CE＝3x，EF＝4x，根据勾股定理即可得到CF＝5x，再结合题意进行角的运算证明∠1＝∠3，从而得到△CBE∽△CDG，进而即可得到EH＝CE，再根据三角形全等的性质即可求解。
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