人教版初中数学2023-2024学年九年级下学期课时培优练习 27.3位似
一、选择题
1．（2020九上·北京期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为位似中心，把线段AB放大后得到线段CD．若点A（1，2），B（2，0），D（5，0），则点A的对应点C的坐标是（ ）
A．(2，5) B．( ，5) C．(3，5) D．(3，6)
2．（2023九上·晋州期中）如图所示，四边形和是以点O为位似中心的位似图形．若，四边形的面积是3，则四边形的面积是（ ）
A．9 B．12 C．27 D．48
3．（2023九上·德惠月考）如图，已知ABCD，以B为位似中心作ABCD的位似图形EBFG，位似图形与原图形的位似比为2：3，连结CG、DG．若ABCD的面积为30，则△CDG的面积为（ ）．
A．3 B．4 C．5 D．6
4．如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1：，点A的坐标为（1，0），则E点的坐标为（ ）
A．（，0） B．（，） C．（，） D．（2，2）
5．（2023九上·崂山期中）如图，在平面直角坐标系中，△AOB与△COD是位似图形，以原点O为位似中心，若AC＝2OA，B点的坐标为（4，2），则点D的坐标为（ ）
A．（8，4） B．（8，6） C．（12，4） D．（12，6）
6．（2023九上·潜山期中）如图，和是位似图形，点O是位似中心， ．若点A的坐标为，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022九上·武侯期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，两个“E”字是位似图形，位似中心点O，①号“E”与②号“E”的位似比为2：1．点P（-6，9）在①号“E”上，则点P在②号“E”上的对应点Q的坐标为 （ ）
A．（﹣3，） B．（﹣2，3） C．（﹣，3） D．（﹣3，2）
8．如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA：OD=1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（ ）．
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5
9．（2021九上·单县期中）下列说法：①位似图形都相似；②位似图形都是平移后再放大(或缩小)得到；③直角三角形斜边上的中线与斜边的比为1：2；④两个相似多边形的面积比为4：9，则周长的比为16：81中，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2022·桐乡模拟）如图，在平面直角坐标系 中，线段 两端点的坐标分别为 ， ，以点 为位似中心，将线段 放大得线段 ，若点 坐标为 ，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2021九上·德惠期末）如图，在平面直角坐标系中，等边△ABC与等边△BDE是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点A、B、D在x轴上，若等边△BDE的边长为6，则点C的坐标为 ．
12．（2017八下·黑龙江期末）如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是2，则点B的横坐标是 ．
13．（2017·河西模拟）如图，正方形ABCD与正方形EFGH是位似形，已知A（0，5），D（0，3），E（0，1），H（0，4），则位似中心的坐标是 ．
14．如图，以O为位似中心，将边长为256的正方形OABC依次作位似变换，经第一次变化后得正方形OA1B1C1，其边长OA1缩小为OA的，经第二次变化后得正方形OA2B2C2，其边长OA2缩小为OA1的，经第，三次变化后得正方形OA3B3C3，其边长OA3缩小为OA2的，…，依次规律，经第n次变化后，所得正方形OAnBnCn的边长为正方形OABC边长的倒数，则n= ．
15．（2023九上·广州期中）如图△ABC与△A′B′C′是位似图形，点O是位似中心，若OA=AA′，S△ABC=4，S△A′B′C′= ．
三、解答题
16．（2021九上·吉林期末）放缩尺是一种绘图工具，它能把图形放大或缩小．
制作：把钻有若干等距小孔的四根直尺用螺栓分别在点A，B，C，D处连接起来，使得直尺可以绕着这些点转动，O为固定点，，，在点A，E处分别装上画笔．
画图：现有一图形M，画图时固定点O，控制点A处的笔尖沿图形M的轮廓线移动，此时点E处的画笔便画出了将图形M放大后的图形N．
原理：
连接，，可证得以下结论：
①和为等腰三角形，则，（180°-∠ ▲ ）；
②四边形为平行四边形（理由是 ▲ ）；
③，于是可得O，A，E三点在一条直线上；
④当时，图形N是以点O为位似中心，把图形M放大为原来的 ▲ 倍得到的．
17．（2020九上·西城期末）放缩尺是一种绘图工具，它能把图形放大或缩小．
制作：把钻有若干等距小孔的四根直尺用螺栓分别在点 ， ， ， 处连接起来，使得直尺可以绕着这些点转动， 为固定点， ， ，在点 ， 处分别装上画笔．
画图：现有一图形 ，画图时固定点 ，控制点 处的笔尖沿图形 的轮廓线移动，此时点 处的画笔便画出了将图形 放大后的图形 ．
原理：
连接 ， ，可证得以下结论：
① 和 为等腰三角形，则 ， （180°-∠ ▲ ）；
②四边形 为平行四边形（理由是 ▲ ）；
③ ，于是可得 ， ， 三点在一条直线上；
④当 时，图形 是以点 为位似中心，把图形 放大为原来的 ▲ 倍得到的．
18．（2019·巴中）△ABC在边长为l的正方形网格中如图所示．
①以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C，使其位似比为1：2．且△A1B1C位于点C的异侧，并表示出A1的坐标．
②作出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形△A2B2C．
③在②的条件下求出点B经过的路径长．
19．如图所示，在平面直角坐标系中，正方形 与正方形 是以原点 为位似中心的位似图形，且相似比为 ，点 ， ， 在 轴上．
（1）若点 的坐标为 ，直接写出点 和点 的坐标；
（2）若正方形 的边长为 ，求点 的坐标．
20．如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A1B1C1关于点E成中心对称，
（1）在图中标出点E，且点E的坐标为 ；
（2）点P（a，b）是△ABC边AB上一点，△ABC经过平移后点P的对应点P′的坐标为（a﹣6，b+2），请画出上述平移后的△A2B2C2，此时A2的坐标为 ，C2的坐标为 ；
（3）若△A1B1C1和△A2B2C2关于点F成位似三角形，则点F的坐标为 ．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】∵以原点O为位似中心，把线段AB放大后得到线段CD，且B（2，0），D（5，0）
∴
∴点A的横纵坐标与点C的横纵坐标的比值也为
∵A（1，2）
∴点C的横坐标为 ，纵坐标为
∴C
故答案为：B.
【分析】根据位似图形的性质求出位似比，进而得到对应点的坐标即可。
2．【答案】D
【知识点】位似变换
【解析】【解答】∵四边形和是以点O为位似中心的位似图形，
∴四边形∽四边形，
∵，
∴OA：OA'=1：4，
∴S四边形ABCD：S四边形A'B'C'D'=1：16，
∵S四边形ABCD=3，
∴S四边形A'B'C'D'=16S四边形ABCD=16×3=48，
故答案为：D.
【分析】利用相似多边形的性质可得S四边形ABCD：S四边形A'B'C'D'=1：16，再结合S四边形ABCD=3，求出S四边形A'B'C'D'=16S四边形ABCD=16×3=48即可.
3．【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：连接BG，如图所示：
∵以B为位似中心作ABCD的位似图形EBFG，
∴点D、G、B在同一条直线上，FG//CD，
∵ABCD的面积为30，
∴△CDB的面积为15，
∵FG//CD，
∴△BFG∽△BCD，
∴，
∴，
∴S△CDG=S△CDB=×15=5，
故答案为：C.
【分析】连接BG，先证出△BFG∽△BCD，求出，再结合△CDB的面积为15，求出S△CDG=S△CDB=×15=5即可.
4．【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1：，
∴OA：OD=1：，
∵点A的坐标为（1，0），
即OA=1，
∴OD=，
∵四边形ODEF是正方形，
∴DE=OD=．
∴E点的坐标为：（，）．
故选：C．
【分析】由题意可得OA：OD=1：，又由点A的坐标为（1，0），即可求得OD的长，又由正方形的性质，即可求得E点的坐标．
5．【答案】D
【知识点】点的坐标；位似变换
【解析】【解答】∵AC=2OA，
∴OC=OA+AC=3OA，
∵△AOB与△COD是位似图形，以原点O为位似中心，
∴△AOB和△COD的位似比为1：3，
∵点B的坐标为（4，2），
∴点D的坐标为（12，6），
故答案为：D.
【分析】先求出△AOB和△COD的位似比为1：3，再结合点B的坐标为（4，2），求出点D的坐标为（12，6）即可。
6．【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵△AOB和△COD是位似图形，点O是位似中心，CD=2AB ，
且点A的坐标为(2，1 )，
∴点C的坐标为( -4，-2).
故答案为：C.
【分析】根据位似图形的性质，进行求解即可.
7．【答案】A
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：设点Q的坐标为（m，n），
∴点Q，
故A正确，B、C、D错误。
故答案为：A.
【分析】由题可知两个位似图形位于位似中心原点的同侧，所以对应点的坐标比等于位似比，设未知点Q的坐标，按比例求解即可。
8．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质；位似变换
【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，
∴AB∥DE，△ABC∽△DEF，
∴△OAB∽△ODE，
∴，
∴.
故答案为：C.
【分析】利用图形的变换位似，可证得AB∥DE，△ABC∽△DEF，利用相似三角形的性质可求出AB与DE的比值，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出结果.
9．【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：位似图形不仅相似，并且对应点之间的连线均相交于同一点，对应的边相互平行，故①正确；
位似图形不一定要经过平移，故②错误；
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故③正确；
相似多变形的面积比等于相似比的平方，面积比为4：9，则周长的比应为2：3，故④错误；正确的是①和③，
故答案为：B．
【分析】根据位似图形的性质逐项判断即可。
10．【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；位似变换
【解析】【解答】解：以点P为坐标原点建立新的平面直角坐标系，
则在新坐标系中，A（2，0），B（1，2）， P（0，0） ， C（6，0），
则 ， ，
和 的位似比为 ： ，
点D在新坐标系中的坐标为 ，即 ，
则点D在原坐标系中的坐标为 ，
故答案为：B.
【分析】以点P为坐标原点建立新的平面直角坐标系，可得点A、B、P、C的坐标，然后求出PA、PC，得到△PAB与△PCD的位似比，然后给点B的横纵坐标分别乘以3即可得到点D在新坐标系中的坐标，进而可得点D在原坐标系中对应的坐标.
11．【答案】
【知识点】点的坐标；勾股定理；相似三角形的判定与性质；位似变换
【解析】【解答】解：作CF⊥AB于F，
∵等边△ABC与等边△BDE是以原点为位似中心的位似图形，
∴BC∥DE，
∴△OBC∽△ODE，
∴，
∵△ABC与△BDE的相似比为，等边△BDE边长为6，
∴
解得，BC=2，OB=3，
∴OA=1，
∵CA=CB，CF⊥AB，
∴AF=1，
由勾股定理得，
∴OF=OA+AF=2，
∴点C的坐标为
故答案为：．
【分析】作CF⊥AB于F，证明△OBC∽△ODE，可得，据此求出BC=2，OB=3，从而求出OA=1，AF=1，利用勾股定理求出CF，再利用OF=OA+AF求出OF的长，即得点C坐标.
12．【答案】-2.5
【知识点】相似三角形的性质；位似变换
【解析】【解答】过点B、B′分别作BD⊥x轴于D，B′E⊥x轴于E，
∴∠BDC=∠B′EC=90°.
∵△ABC的位似图形是△A′B′C，
∴点B. C. B′在一条直线上，
∴∠BCD=∠B′CE，
∴△BCD∽△B′CE，
，
又 ，
.
又∵点B′的横坐标是2，点C的坐标是( 1，0)，
∴CE=3，
，
，
∴点B的横坐标为： 2.5.
故答案为： 2.5.
【分析】过B和B′向x轴引垂线，构造相似比为1：2的相似三角形，那么利用相似比和所给B′的横坐标即可求得点B的横坐标.
13．【答案】（0， ），（﹣6，7）
【知识点】坐标与图形性质；位似变换
【解析】【解答】解：设当B与F是对应点，设直线BF的解析式为：y=kx+b，
则 ，
解得： ，
故直线BF的解析式为：y=﹣ x+ ，
则x=0时，y= ，
即位似中心是：（0， ），
设当C与E是对应点，设直线CE的解析式为：y=ax+c，
则 ，
解得： ，
故直线CE的解析式为：y=﹣x+1，
设直线DF的解析式为：y=dx+e，
则 ，
解得： ，
故直线DF的解析式为：y=﹣ x+3，
则 ，
解得：
即位似中心是：（﹣6，7），
综上所述：所述位似中心为：（0， ），（﹣6，7）．
故答案为：（0， ），（﹣6，7）．
【分析】根据位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比；设当B与F是对应点，设直线BF的解析式为y=kx+b，得到直线BF的解析式y=﹣ x+ ，则x=0时，y= ，即位似中心是（0， ）；设当C与E是对应点，设直线CE的解析式为y=ax+c，得到直线DF的解析式为y=﹣ x+3，即位似中心是（﹣6，7），综上所述：所述位似中心为（0， ），（﹣6，7）．
14．【答案】16
【知识点】正方形的性质；位似变换
【解析】【解答】解：由图形的变化规律可得
×256=，
解得n=16．
故答案为：16．
【分析】由图形的变化规律可知正方形OAnBnCn的边长为×256，据此即可求解．
15．【答案】16
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：△ABC与△A′B′C′是位似图形且由OA＝AA′．
∴两位似图形的位似比为1：2，所以两位似图形的面积比为1：4，
又∵S△ABC＝4，
∴S△A′B′C′＝4×4＝16．
故答案为：16．
【分析】由△ABC与△A′B′C′是位似图形，又有OA＝AA′可求出两个图形的位似比，再根据面积的比等于位似比的平方即可求出两图形面积的关系，从而求出S△A′B′C．
16．【答案】解：连接，，如图，
①∵，
∴
∴△OAD和△OEC是等腰三角形，
∴∠，∠
∴∠，∠
②∵，
∴四边形为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
③∵
∴，，三点在一条直线上；
④∵图形M和图形N是以点O为位似中心的位似图形，
∴其倍数比为三角形的边长比即：，
又，且
∴
即：当时，图形N是以点O为位似中心，把图形M放大为原来的倍得到的．
故答案为：；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
【知识点】平行四边形的性质；位似变换
【解析】【分析】 ①由等腰三角形的性质即可求解；②平行四边形的判定即可求解；③ 由图形即可直接得出答案；④ 根据图形M和图形N是以点O为位似中心的位似图形，求解即可。
17．【答案】解：连接 ， ，如图，
①∵ ，
∴
∴△OAD和△OEC是等腰三角形，
∴∠ ，∠
∴∠ ，∠
②∵ ，
∴四边形 为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
③∵
∴ ， ， 三点在一条直线上；
④∵图形M和图形N是以点O为位似中心的位似图形，
∴其倍数比为三角形的边长比即： ，
又 ，且
∴
即：当 时，图形 是以点 为位似中心，把图形 放大为原来的 倍得到的．
故答案为： ；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
【知识点】位似变换
【解析】【分析】①由等腰三角形的性质可求解；②由平行四边形的判定即可求解；③由图形可直接得到答案；④通过证明△AOD∽△EOC，可得，再将数据代入计算即可。
18．【答案】解：①如图，△A1B1C为所作，点A1的坐标为（3，﹣3）；
②如图，△A2B2C为所作；
③ ，
点B经过的路径长
【知识点】作图﹣位似变换；旋转的性质
【解析】【分析】 ①、延长AC到A1，使得A1C=2AC，延长BC到B1，使得B1C=2BC，Z则作出图形，从而可表示出A得坐标
②、利用网格特点和旋转的性质画出A、B对应的A2、B2从而得到图形
③、先计算出OB的长度，然后根据弧长公式计算出B经过得路径长
19．【答案】（1）解：C点坐标为 ， 点坐标为
（2）解：∵正方形 与正方形 是以原点 为位似中心的位似图形，
∴正方形 的边长为 ，则正方形 的边长为 ， ，
∴ ： ，解得 ，
∴点 的坐标为
【知识点】位似变换
【解析】【分析】（1）根据位似比为1 ： 3 ，可以直接得出对应点的坐标。
（2）大正方形边长为6，根据正方形ABCD和正方形BEFG的位似比，可得小正方形边长为2，根据正方形ABCD与正方形BEFG 是以原点 O 为位似中心的位似图形，所以可以求出点C的坐标。
20．【答案】解：（1）如图，线段BB1的中点即为点E，
∵B（1，1），B1（﹣1，﹣3）
∴E（0，﹣1）；
（2）如图，
∵点P（a，b）是△ABC边AB上一点，△ABC经过平移后点P的对应点P′的坐标为（a﹣6，b+2），
又∵A（3，2），C（4，0），
∴A2（﹣3，4），C2（﹣2，2）；
（3）∵对应顶点A1A2与B1B2的连线交于点（﹣3，0），
∴F（﹣3，0）．
【知识点】作图﹣平移；位似变换；中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】（1）根据中心对称的性质，任何一对对应点连线的中点即为对称中心E；
（2）将△ABC向左平移6个单位长度，再向上平移2个单位长度，即可得到△A2B2C2，根据平移的规律，可分别写出点A2和C2的坐标；
（3）根据位似三角形的定义求出点F的坐标．
1 / 1人教版初中数学2023-2024学年九年级下学期课时培优练习 27.3位似
一、选择题
1．（2020九上·北京期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为位似中心，把线段AB放大后得到线段CD．若点A（1，2），B（2，0），D（5，0），则点A的对应点C的坐标是（ ）
A．(2，5) B．( ，5) C．(3，5) D．(3，6)
【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】∵以原点O为位似中心，把线段AB放大后得到线段CD，且B（2，0），D（5，0）
∴
∴点A的横纵坐标与点C的横纵坐标的比值也为
∵A（1，2）
∴点C的横坐标为 ，纵坐标为
∴C
故答案为：B.
【分析】根据位似图形的性质求出位似比，进而得到对应点的坐标即可。
2．（2023九上·晋州期中）如图所示，四边形和是以点O为位似中心的位似图形．若，四边形的面积是3，则四边形的面积是（ ）
A．9 B．12 C．27 D．48
【答案】D
【知识点】位似变换
【解析】【解答】∵四边形和是以点O为位似中心的位似图形，
∴四边形∽四边形，
∵，
∴OA：OA'=1：4，
∴S四边形ABCD：S四边形A'B'C'D'=1：16，
∵S四边形ABCD=3，
∴S四边形A'B'C'D'=16S四边形ABCD=16×3=48，
故答案为：D.
【分析】利用相似多边形的性质可得S四边形ABCD：S四边形A'B'C'D'=1：16，再结合S四边形ABCD=3，求出S四边形A'B'C'D'=16S四边形ABCD=16×3=48即可.
3．（2023九上·德惠月考）如图，已知ABCD，以B为位似中心作ABCD的位似图形EBFG，位似图形与原图形的位似比为2：3，连结CG、DG．若ABCD的面积为30，则△CDG的面积为（ ）．
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：连接BG，如图所示：
∵以B为位似中心作ABCD的位似图形EBFG，
∴点D、G、B在同一条直线上，FG//CD，
∵ABCD的面积为30，
∴△CDB的面积为15，
∵FG//CD，
∴△BFG∽△BCD，
∴，
∴，
∴S△CDG=S△CDB=×15=5，
故答案为：C.
【分析】连接BG，先证出△BFG∽△BCD，求出，再结合△CDB的面积为15，求出S△CDG=S△CDB=×15=5即可.
4．如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1：，点A的坐标为（1，0），则E点的坐标为（ ）
A．（，0） B．（，） C．（，） D．（2，2）
【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1：，
∴OA：OD=1：，
∵点A的坐标为（1，0），
即OA=1，
∴OD=，
∵四边形ODEF是正方形，
∴DE=OD=．
∴E点的坐标为：（，）．
故选：C．
【分析】由题意可得OA：OD=1：，又由点A的坐标为（1，0），即可求得OD的长，又由正方形的性质，即可求得E点的坐标．
5．（2023九上·崂山期中）如图，在平面直角坐标系中，△AOB与△COD是位似图形，以原点O为位似中心，若AC＝2OA，B点的坐标为（4，2），则点D的坐标为（ ）
A．（8，4） B．（8，6） C．（12，4） D．（12，6）
【答案】D
【知识点】点的坐标；位似变换
【解析】【解答】∵AC=2OA，
∴OC=OA+AC=3OA，
∵△AOB与△COD是位似图形，以原点O为位似中心，
∴△AOB和△COD的位似比为1：3，
∵点B的坐标为（4，2），
∴点D的坐标为（12，6），
故答案为：D.
【分析】先求出△AOB和△COD的位似比为1：3，再结合点B的坐标为（4，2），求出点D的坐标为（12，6）即可。
6．（2023九上·潜山期中）如图，和是位似图形，点O是位似中心， ．若点A的坐标为，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵△AOB和△COD是位似图形，点O是位似中心，CD=2AB ，
且点A的坐标为(2，1 )，
∴点C的坐标为( -4，-2).
故答案为：C.
【分析】根据位似图形的性质，进行求解即可.
7．（2022九上·武侯期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，两个“E”字是位似图形，位似中心点O，①号“E”与②号“E”的位似比为2：1．点P（-6，9）在①号“E”上，则点P在②号“E”上的对应点Q的坐标为 （ ）
A．（﹣3，） B．（﹣2，3） C．（﹣，3） D．（﹣3，2）
【答案】A
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：设点Q的坐标为（m，n），
∴点Q，
故A正确，B、C、D错误。
故答案为：A.
【分析】由题可知两个位似图形位于位似中心原点的同侧，所以对应点的坐标比等于位似比，设未知点Q的坐标，按比例求解即可。
8．如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA：OD=1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（ ）．
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质；位似变换
【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，
∴AB∥DE，△ABC∽△DEF，
∴△OAB∽△ODE，
∴，
∴.
故答案为：C.
【分析】利用图形的变换位似，可证得AB∥DE，△ABC∽△DEF，利用相似三角形的性质可求出AB与DE的比值，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出结果.
9．（2021九上·单县期中）下列说法：①位似图形都相似；②位似图形都是平移后再放大(或缩小)得到；③直角三角形斜边上的中线与斜边的比为1：2；④两个相似多边形的面积比为4：9，则周长的比为16：81中，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：位似图形不仅相似，并且对应点之间的连线均相交于同一点，对应的边相互平行，故①正确；
位似图形不一定要经过平移，故②错误；
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故③正确；
相似多变形的面积比等于相似比的平方，面积比为4：9，则周长的比应为2：3，故④错误；正确的是①和③，
故答案为：B．
【分析】根据位似图形的性质逐项判断即可。
10．（2022·桐乡模拟）如图，在平面直角坐标系 中，线段 两端点的坐标分别为 ， ，以点 为位似中心，将线段 放大得线段 ，若点 坐标为 ，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；位似变换
【解析】【解答】解：以点P为坐标原点建立新的平面直角坐标系，
则在新坐标系中，A（2，0），B（1，2）， P（0，0） ， C（6，0），
则 ， ，
和 的位似比为 ： ，
点D在新坐标系中的坐标为 ，即 ，
则点D在原坐标系中的坐标为 ，
故答案为：B.
【分析】以点P为坐标原点建立新的平面直角坐标系，可得点A、B、P、C的坐标，然后求出PA、PC，得到△PAB与△PCD的位似比，然后给点B的横纵坐标分别乘以3即可得到点D在新坐标系中的坐标，进而可得点D在原坐标系中对应的坐标.
二、填空题
11．（2021九上·德惠期末）如图，在平面直角坐标系中，等边△ABC与等边△BDE是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点A、B、D在x轴上，若等边△BDE的边长为6，则点C的坐标为 ．
【答案】
【知识点】点的坐标；勾股定理；相似三角形的判定与性质；位似变换
【解析】【解答】解：作CF⊥AB于F，
∵等边△ABC与等边△BDE是以原点为位似中心的位似图形，
∴BC∥DE，
∴△OBC∽△ODE，
∴，
∵△ABC与△BDE的相似比为，等边△BDE边长为6，
∴
解得，BC=2，OB=3，
∴OA=1，
∵CA=CB，CF⊥AB，
∴AF=1，
由勾股定理得，
∴OF=OA+AF=2，
∴点C的坐标为
故答案为：．
【分析】作CF⊥AB于F，证明△OBC∽△ODE，可得，据此求出BC=2，OB=3，从而求出OA=1，AF=1，利用勾股定理求出CF，再利用OF=OA+AF求出OF的长，即得点C坐标.
12．（2017八下·黑龙江期末）如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是2，则点B的横坐标是 ．
【答案】-2.5
【知识点】相似三角形的性质；位似变换
【解析】【解答】过点B、B′分别作BD⊥x轴于D，B′E⊥x轴于E，
∴∠BDC=∠B′EC=90°.
∵△ABC的位似图形是△A′B′C，
∴点B. C. B′在一条直线上，
∴∠BCD=∠B′CE，
∴△BCD∽△B′CE，
，
又 ，
.
又∵点B′的横坐标是2，点C的坐标是( 1，0)，
∴CE=3，
，
，
∴点B的横坐标为： 2.5.
故答案为： 2.5.
【分析】过B和B′向x轴引垂线，构造相似比为1：2的相似三角形，那么利用相似比和所给B′的横坐标即可求得点B的横坐标.
13．（2017·河西模拟）如图，正方形ABCD与正方形EFGH是位似形，已知A（0，5），D（0，3），E（0，1），H（0，4），则位似中心的坐标是 ．
【答案】（0， ），（﹣6，7）
【知识点】坐标与图形性质；位似变换
【解析】【解答】解：设当B与F是对应点，设直线BF的解析式为：y=kx+b，
则 ，
解得： ，
故直线BF的解析式为：y=﹣ x+ ，
则x=0时，y= ，
即位似中心是：（0， ），
设当C与E是对应点，设直线CE的解析式为：y=ax+c，
则 ，
解得： ，
故直线CE的解析式为：y=﹣x+1，
设直线DF的解析式为：y=dx+e，
则 ，
解得： ，
故直线DF的解析式为：y=﹣ x+3，
则 ，
解得：
即位似中心是：（﹣6，7），
综上所述：所述位似中心为：（0， ），（﹣6，7）．
故答案为：（0， ），（﹣6，7）．
【分析】根据位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比；设当B与F是对应点，设直线BF的解析式为y=kx+b，得到直线BF的解析式y=﹣ x+ ，则x=0时，y= ，即位似中心是（0， ）；设当C与E是对应点，设直线CE的解析式为y=ax+c，得到直线DF的解析式为y=﹣ x+3，即位似中心是（﹣6，7），综上所述：所述位似中心为（0， ），（﹣6，7）．
14．如图，以O为位似中心，将边长为256的正方形OABC依次作位似变换，经第一次变化后得正方形OA1B1C1，其边长OA1缩小为OA的，经第二次变化后得正方形OA2B2C2，其边长OA2缩小为OA1的，经第，三次变化后得正方形OA3B3C3，其边长OA3缩小为OA2的，…，依次规律，经第n次变化后，所得正方形OAnBnCn的边长为正方形OABC边长的倒数，则n= ．
【答案】16
【知识点】正方形的性质；位似变换
【解析】【解答】解：由图形的变化规律可得
×256=，
解得n=16．
故答案为：16．
【分析】由图形的变化规律可知正方形OAnBnCn的边长为×256，据此即可求解．
15．（2023九上·广州期中）如图△ABC与△A′B′C′是位似图形，点O是位似中心，若OA=AA′，S△ABC=4，S△A′B′C′= ．
【答案】16
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：△ABC与△A′B′C′是位似图形且由OA＝AA′．
∴两位似图形的位似比为1：2，所以两位似图形的面积比为1：4，
又∵S△ABC＝4，
∴S△A′B′C′＝4×4＝16．
故答案为：16．
【分析】由△ABC与△A′B′C′是位似图形，又有OA＝AA′可求出两个图形的位似比，再根据面积的比等于位似比的平方即可求出两图形面积的关系，从而求出S△A′B′C．
三、解答题
16．（2021九上·吉林期末）放缩尺是一种绘图工具，它能把图形放大或缩小．
制作：把钻有若干等距小孔的四根直尺用螺栓分别在点A，B，C，D处连接起来，使得直尺可以绕着这些点转动，O为固定点，，，在点A，E处分别装上画笔．
画图：现有一图形M，画图时固定点O，控制点A处的笔尖沿图形M的轮廓线移动，此时点E处的画笔便画出了将图形M放大后的图形N．
原理：
连接，，可证得以下结论：
①和为等腰三角形，则，（180°-∠ ▲ ）；
②四边形为平行四边形（理由是 ▲ ）；
③，于是可得O，A，E三点在一条直线上；
④当时，图形N是以点O为位似中心，把图形M放大为原来的 ▲ 倍得到的．
【答案】解：连接，，如图，
①∵，
∴
∴△OAD和△OEC是等腰三角形，
∴∠，∠
∴∠，∠
②∵，
∴四边形为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
③∵
∴，，三点在一条直线上；
④∵图形M和图形N是以点O为位似中心的位似图形，
∴其倍数比为三角形的边长比即：，
又，且
∴
即：当时，图形N是以点O为位似中心，把图形M放大为原来的倍得到的．
故答案为：；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
【知识点】平行四边形的性质；位似变换
【解析】【分析】 ①由等腰三角形的性质即可求解；②平行四边形的判定即可求解；③ 由图形即可直接得出答案；④ 根据图形M和图形N是以点O为位似中心的位似图形，求解即可。
17．（2020九上·西城期末）放缩尺是一种绘图工具，它能把图形放大或缩小．
制作：把钻有若干等距小孔的四根直尺用螺栓分别在点 ， ， ， 处连接起来，使得直尺可以绕着这些点转动， 为固定点， ， ，在点 ， 处分别装上画笔．
画图：现有一图形 ，画图时固定点 ，控制点 处的笔尖沿图形 的轮廓线移动，此时点 处的画笔便画出了将图形 放大后的图形 ．
原理：
连接 ， ，可证得以下结论：
① 和 为等腰三角形，则 ， （180°-∠ ▲ ）；
②四边形 为平行四边形（理由是 ▲ ）；
③ ，于是可得 ， ， 三点在一条直线上；
④当 时，图形 是以点 为位似中心，把图形 放大为原来的 ▲ 倍得到的．
【答案】解：连接 ， ，如图，
①∵ ，
∴
∴△OAD和△OEC是等腰三角形，
∴∠ ，∠
∴∠ ，∠
②∵ ，
∴四边形 为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
③∵
∴ ， ， 三点在一条直线上；
④∵图形M和图形N是以点O为位似中心的位似图形，
∴其倍数比为三角形的边长比即： ，
又 ，且
∴
即：当 时，图形 是以点 为位似中心，把图形 放大为原来的 倍得到的．
故答案为： ；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
【知识点】位似变换
【解析】【分析】①由等腰三角形的性质可求解；②由平行四边形的判定即可求解；③由图形可直接得到答案；④通过证明△AOD∽△EOC，可得，再将数据代入计算即可。
18．（2019·巴中）△ABC在边长为l的正方形网格中如图所示．
①以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C，使其位似比为1：2．且△A1B1C位于点C的异侧，并表示出A1的坐标．
②作出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形△A2B2C．
③在②的条件下求出点B经过的路径长．
【答案】解：①如图，△A1B1C为所作，点A1的坐标为（3，﹣3）；
②如图，△A2B2C为所作；
③ ，
点B经过的路径长
【知识点】作图﹣位似变换；旋转的性质
【解析】【分析】 ①、延长AC到A1，使得A1C=2AC，延长BC到B1，使得B1C=2BC，Z则作出图形，从而可表示出A得坐标
②、利用网格特点和旋转的性质画出A、B对应的A2、B2从而得到图形
③、先计算出OB的长度，然后根据弧长公式计算出B经过得路径长
19．如图所示，在平面直角坐标系中，正方形 与正方形 是以原点 为位似中心的位似图形，且相似比为 ，点 ， ， 在 轴上．
（1）若点 的坐标为 ，直接写出点 和点 的坐标；
（2）若正方形 的边长为 ，求点 的坐标．
【答案】（1）解：C点坐标为 ， 点坐标为
（2）解：∵正方形 与正方形 是以原点 为位似中心的位似图形，
∴正方形 的边长为 ，则正方形 的边长为 ， ，
∴ ： ，解得 ，
∴点 的坐标为
【知识点】位似变换
【解析】【分析】（1）根据位似比为1 ： 3 ，可以直接得出对应点的坐标。
（2）大正方形边长为6，根据正方形ABCD和正方形BEFG的位似比，可得小正方形边长为2，根据正方形ABCD与正方形BEFG 是以原点 O 为位似中心的位似图形，所以可以求出点C的坐标。
20．如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A1B1C1关于点E成中心对称，
（1）在图中标出点E，且点E的坐标为 ；
（2）点P（a，b）是△ABC边AB上一点，△ABC经过平移后点P的对应点P′的坐标为（a﹣6，b+2），请画出上述平移后的△A2B2C2，此时A2的坐标为 ，C2的坐标为 ；
（3）若△A1B1C1和△A2B2C2关于点F成位似三角形，则点F的坐标为 ．
【答案】解：（1）如图，线段BB1的中点即为点E，
∵B（1，1），B1（﹣1，﹣3）
∴E（0，﹣1）；
（2）如图，
∵点P（a，b）是△ABC边AB上一点，△ABC经过平移后点P的对应点P′的坐标为（a﹣6，b+2），
又∵A（3，2），C（4，0），
∴A2（﹣3，4），C2（﹣2，2）；
（3）∵对应顶点A1A2与B1B2的连线交于点（﹣3，0），
∴F（﹣3，0）．
【知识点】作图﹣平移；位似变换；中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】（1）根据中心对称的性质，任何一对对应点连线的中点即为对称中心E；
（2）将△ABC向左平移6个单位长度，再向上平移2个单位长度，即可得到△A2B2C2，根据平移的规律，可分别写出点A2和C2的坐标；
（3）根据位似三角形的定义求出点F的坐标．
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