2023—2024学年第一学期期末试卷
(
2024.01
)高二数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．抛物线x2＝－4y的准线方程为
A． y＝－1 B．y＝1 C． y＝－2 D． y＝2
2．在数列{an}中，Sn是其前n项和，a1＝3，an＋1＝an＋3(n∈N＋)，则＝
A． B．n C． D．n＋1
3．设a为正实数，若圆(x－a)2＋y2＝1与圆x2＋y2＝25相外切，则a的值为
A．4 B．6 C．24 D．26
4．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想”等)．如取正整数m＝6，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1→4→2→1→……．
现给出“冰雹猜想”的递推关系如下：已知数列{an}满足：a1＝m(m为正整数)，
an＋1＝当m＝23时，使得an＝1的最小正整数n值是
A．17 B．16 C．15 D．10
5．圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2关于直线l：y＝x＋1对称的圆的方程为
A．(x－2)2＋y2＝2 B．(x＋2)2＋y2＝2
C．x2＋(y－2)2＝2 D．x2＋(y＋2)2＝2
6．在平面直角坐标系xOy中，已知直线y =2x－m与抛物线y2＝4x交于A、B两点（异于O点），若OA⊥OB，则实数m的值为
A．1 B．2 C．4 D．8
7．已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝1 处有极大值，则实数c的值为
A．1 B．3 C．1或3 D．－1或－3
8．已知圆(x－1)2＋y2＝的一条切线y＝kx与双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)有两个交点，则双曲线C离心率的取值范围是
A．(，＋∞) B．(，＋∞) C．(2，＋∞) D．(1，)
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，不选或有错选的得0分．
9．已知曲线C的方程为＋＝1(k∈R)，则下列结论正确的是
A．当k＝4时，曲线C为圆
B．“k＞4”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的必要且不充分条件
C．存在实数k使得曲线C为双曲线，且离心率为
D．当k＝0时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为y＝±x
10．已知直线l1：4x－3y＋4＝0，l2：(m＋2)x－(m＋1)y＋2m＋5＝0(m∈R)，则
A．直线l2过定点(－3，－1) B．当m＝1时，l1⊥l2
C．当m＝2时，l1//l2 D．当l1//l2时，两直线l1，l2之间的距离为1
11．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3(n∈N＋)，前n项和为Sn．则下列结论正确的是
A．a10＝2045 B．{an}是等比数列
C．{an＋3}是等比数列 D．{an}是递增数列
12．已知函数f(x)的定义域为R，其导函数f'(x)满足f(x)＞f'(x)，则
A． f(1)＜ef(0) B． f(1)＞ef(0) C． ef(ln2)＜2f(1) D． ef(ln2)＞2f(1)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．在平面直角坐标系xOy中，经过两点A(－m，6)，B(2，3m)的直线倾斜角为45°，则实数m的值为 ▲ ．
(
（第14题
图
）
)14．如图，正方形ABCD的边长为2cm，取正方形ABCD各边的中点E，
F，G，H，作第二个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的
中点I，J，K，L，作第三个正方形，依此方法一直继续下去，如果
这个作图过程可以一直继续下去，当操作次数无限增大时，所有这
些正方形的面积之和将无限趋近于常数 ▲ ．
15．已知函数f(x)＝ax－lnx在区间(2，3)上单调递减，则实数a的最大值是 ▲ ．
(
（第16题图）
)16．如图所示，由圆锥曲线的光学性质知道：从椭圆的一个焦点出发的
光线，经椭圆反射(即经椭圆在该点处的切线反射)后，反射光线经
过椭圆的另一个焦点．已知椭圆C的方程为＋＝1，其左、右焦
点分别是F1，F2，直线l与椭圆C相切于点P(1，y0)，过点P且与直
线l垂直的直线l'与椭圆长轴交于点M，则F1M：F2M＝ ▲ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知圆C经过两点A(－2，－2)，B(6，2)，且圆心在直线x－2y＋3＝0上．
（1）求圆C的方程；
（2）过点P(－2，－4)作直线l与圆C交于M，N两点，若|MN|＝8，求直线l的方程．
18．（本小题满分12分）
已知函数f(x)＝x3－x2－2x＋m．
（1）当m＝1时，求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
（2）若函数f(x)有三个不同的零点，求实数m的取值范围．
19．（本小题满分12分）
对于椭圆：＋＝1(a＞b＞0)，我们称双曲线：－＝1为其伴随双曲线．已知椭圆C：＋＝1(0＜b＜)，它的离心率是其伴随双曲线M的离心率的倍．
（1）求椭圆C伴随双曲线M的方程；
（2）如图，点E，F分别为双曲线M的下顶点和上焦点，过F的直线l与M上支交于A，B两点，△ABE的面积为(3＋2)，求直线AB的方程．
20．（本小题满分12分）
已知数列{an}是递增的等比数列，前3项和为13，且a1＋2，3a2，a3＋6成等差数列，
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）数列{bn}的首项b1＝1，其前n项和为Sn，且 ▲ ，若数列{cn}满足cn＝anbn，求{cn}的前n项和Tn．
在如下两个条件中任意选择一个，填入上面横线处，并根据题意解决问题．
①bn＝bn－1＋2(n≥2，n∈N＋)； ②3Sn＋bn＝4(n∈N＋)．
21．（本小题满分12分）
已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)左，右焦点分别为F1，F2，离心率e＝，点(2，)在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程．
（2）若A，B为椭圆C上的两个动点，过F2且垂直x轴的直线平分∠AF2B，证明：直线AB过定点．
22．（本小题满分12分）
已知函数f(x)＝－x2－2aln x＋(a＋2)x．a∈R
（1）若a＝－1，求函数f(x)的增区间；
（2）若不等式f(x)＜a2+2a+2对x∈[1，3]都成立，求实数a的取值范围．2023—2024学年第一学期期末高二数学
参考答案
一、单项选择题
1．B 2．C 3．B 4．B 5．C 6．D 7．B 8．A
二、多项选择题
9．ABD 10．ACD 11．ACD 12．AD
三、填空题
13.4 14.8 15． 16.5：3
四、解答题
17．(本小题满分10分)
解：(1)设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则，
解得，
所以圆C的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25． 4分
(2)设圆心C(1，2)到直线l的距离为d，则|MN|＝2＝2＝8，则d＝3．
6分
当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝－2，满足题意； 7分
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＋4＝k(x＋2)，即kx－y＋2k－4＝0，
所以d＝＝3，解得k＝，
此时，直线l的方程为y＋4＝(x＋2)，即3x－4y－10＝0． 9分
综上所述，直线l的方程为x＝－2或3x－4y－10＝0． 10分
18．(本小题满分12分)
解：(1)当m＝1时，f(x)＝x3－x2－2x＋1，f'(x)＝3x2－x－2． 1分
所以f(2)＝3，f'(2)＝8， 3分
所以切线l：y－3＝8(x－2)，即8x－y－13＝0 5分
(2) f'(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)
令f'(x)＝0，得x＝－或x＝1． 6分
当x＜－或x＞1时，f'(x)＞0；当－＜x＜1时，f'(x)＜0．
∴f(x)的增区间为(－∞，－)，(1，＋∞)；减区间为(－，1)．
∴f(x)的极大值为f(－)＝m＋，f(x)的极小值为f(1)＝m－． 9分
∴，解得：－＜m＜．
此时f(－2)＜0，f(2)＞0，所以函数f(x)有三个不同的零点，所以－＜m＜． 12分
19．(本小题满分12分)
解(1)设椭圆C与其伴随双曲线M的离心率分别为e1，e2，
依题意可得a2＝3，e1＝e2，即e＝e，即＝×， 3分
解得b2＝1， 4分
所以椭圆C：＋x2＝1，则椭圆C伴随双曲线M的方程为－x2＝1． 5分
(2)由(1)可知F(0，2)，E(0，－)，设直线l的斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则直线l的方程y＝kx＋2，与双曲线－x2＝1联立并消去y得(k2－3)x2＋4kx＋1＝0，
则Δ＝12k2＋12＞0，所以x1＋x2＝，x1x2＝， 7分
又|x1－x2|＝＝＝，
又|EF|＝2＋， 9分
所以S△ABE＝|EF|·|x1－x2|＝(2＋)＝(3＋2)， 10分
解得k2＝1或k2＝7，
因为直线l与双曲线M上支交于A，B两点，所以y1y2＞0，即(kx1＋2)( kx2＋2)＞0，
k2 x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＞0，即＜0，解得k2＜3，
所以k＝±1 11分
所以直线AB的方程为：y＝x＋2或y＝－x＋2 12分
20．(本小题满分12分)
解：(1)由题意得，
可得a2＝3，a1＋a3＝10， 2分
设递增的等比数列数列{an}的公比为q，
得＋3q＝10，
解得q＝3或q＝(舍)， 4分
则an＝a2qn－2＝3·3n－2＝3n－1； 5分
(2)选①bn＝bn－1＋2(n≥2)，可得{bn}为首项为1，公差为2的等差数列，
则bn＝1＋2(n－1)＝2n－1，
cn＝anbn＝(2n－1)·3n－1， 7分
则Tn＝1·30＋3·31＋5·32＋…＋(2n－1)·3n－1，
3Tn＝1·3＋3·32＋5·33＋…＋(2n－1)·3n，
两式相减可得－2Tn＝1＋2(31＋32＋…＋3n－1)－(2n－1)·3n
＝1＋2·－(2n－1)·3n，
化简可得Tn＝1＋(n－1)·3n， 12分
选②3Sn＋bn＝4，
当n≥2时，3Sn－1＋bn－1＝4，又3Sn＋bn＝4，
两式相减可得3bn＝3Sn－3Sn－1＝bn－1－bn，
则bn＝bn－1， 8分
可得{bn}为首项为1，公比为的等比数列，
则bn＝()n－1；
cn＝anbn＝()n－1， 10分
可得Tn＝＝4－4·()n． 12分
21．(本小题满分12分)
解： (1)因为＋＝1，又e＝，所以a2＝8，b2＝4，
故C的方程为＋＝1． 4分
(2)证明：由题意可知直线AB的斜率存在，F2(2，0)，
设直线AB的方程为y＝kx＋m，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由，得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－8＝0，
则Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－8)＝64k2－8m2＋32＞0，
x1＋x2＝－，x1x2＝． 6分
设直线F2A，F2B的倾斜角分别为α，β，
则α＝π－β，k＋k＝＋＝0， 8分
所以y1(x2－2)＋y2(x1－2)＝0，
即(kx1＋m)(x2－2)＋(kx2＋m)(x1－2)＝0，
所以2kx1x2＋(m－2k)(x1＋x2)－4m＝0，
所以2k×＋(2k－m)×－4m＝0，
化简可得m＝－4k， 10分
所以直线AB的方程为y＝kx－4k＝k(x－4)，
故直线AB过定点(4，0)． 12分
22．(本小题满分12分)
解：(1)由题意知f(x)的定义域为(0，＋∞)． 1分
当a＝－1时，f(x)＝－x2＋2lnx＋x．
f'(x)＝－x＋＋1＝－ 2分
令f'(x)＞0，解得：0＜x＜2．
所以f(x)的增区间为(0，2) 4分
(2)f'(x)＝－x－＋a＋2＝－ 5分
①当a≤1时
当1＜x＜2时，f'(x)＞0；当2＜x＜3时，f'(x)＜0．
所以f(x)增区间为(1，2)，减区间为(2，3)
∴f(x)max＝f(2)＝2a－2aln2＋2
由题：2a－2aln2＋2＜a2＋2a＋2，解得：a＜－4ln2或a＞0．
∴a＜－4ln2或0＜a≤1 6分
②当1＜a＜2时
当1＜x＜a或2＜x＜3时，f'(x)＜0；当a＜x＜2时，f'(x)＞0．
∴f(x)max为f(1)或f(2)，f(1)＝a＋，f(2)＝2a－2aln2＋2
由题：
解得：1＜a＜2 7分
③当a＝2时
f(x)在[1，3]上单调递减
所以f(x)max＝f(1)＝＜8成立，故a＝2成立 8分
④当2＜a＜3时
当1＜x＜2或a＜x＜3时，f'(x)＜0；当2＜x＜a时，f'(x)＞0．
∴f(x)max为f(1)或f(a)，f(1)＝a＋，f(a)＝a2＋2a－2alna
由题：
解得：2＜a＜3 10分
⑤当a≥3时
当1＜x＜2时，f'(x)＜0；当2＜x＜3时，f'(x)＞0．
∴f(x)max为f(1)或f(3)，f(1)＝a＋，f(3)＝＋3a－2aln3
由题：
解得：a≥3． 11分
综上：a＜－4ln2或a＞0． 12分
