2023-2024学年秋期唐河县期末质量检测
高二数学
注意事项：
答题前考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上并将考生的条形码贴在答题卡指定位置上
回答选择题时，选出每小题答案之后用铅笔把答题卡对应题目的标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
一、单选题（每题5分 共40分）
1．已知随机变量X服从正态分布，且，则（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
2．已知直线l经过点，则“直线l的斜率为”是“直线l与圆C：相切”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知是双曲线的左焦点，为坐标原点，过点且斜率为的直线与的右支交于点，，，则的离心率为（ ）
A．3 B．2 C． D．
4．已知直线：和曲线：有公共点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．已知矩形为平面外一点，且平面，分别为上的点，，则（ ）
A． B． C．1 D．
6．已知点F为椭圆的左焦点，经过原点O的直线l交椭圆于P，Q两点，点M是椭圆C上异于P，Q的一点，直线，的斜率分别为，，且，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．在棱长为1的正方体中，、为线段上的两个三等分点，动点在内，且，则点的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
8．已知椭圆，点P为椭圆上的任一点，则P点到直线：的距离的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每题5分 共20分）
9．已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
10．已知圆与直线相交于两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线过定点 B．若，则
C．的最小值为 D．的面积的最大值为2
11．已知曲线，其中，则下列结论正确的是（ ）
A．方程表示的曲线是椭圆或双曲线
B．若，则曲线的焦点坐标为和
C．若，则曲线的离心率
D．若方程表示的曲线是双曲线，则其焦距的最小值为
12．如图，在正方体中，点满足，且.记与所成角为与平面所成角为，则（ ）
A．若，三棱锥的体积为定值
B．若，存在，使得平面
C．
D．若，则在侧面内必存在一点，使得
三、填空题（每题5分 共20分）
13．展开式中含项的系数为 .
14．已知点P为圆：上任一点，点Q为圆：上任一点，则的最小值为 .
15．如图，的二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于.已知，则长度为 .
蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，所以这个圆又被叫做“蒙日圆”，已知点A、B为椭圆（）上任意两个动点，动点P在直线上，若恒为锐角，则根据蒙日圆的相关知识，可知椭圆C的离心率的取值范围为 .
四、解答题（共70分）
17．已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点．
(1)求圆的方程；(2)已知过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程．
18．根据《国家学生体质健康标准》，六年级男生和女生一分钟跳绳等级如下（单位：次）.
一分钟跳绳等级 六年级男生 六年级女生
优秀 及以上 及以上
良好
及格
不及格 及以下 及以下
从某学校六年级男生和女生中各随机抽取名进行一分钟跳绳测试，将他们的成绩整理如下：
男生/次
女生/次
(1)从这名男生中任取名，求取到的名男生成绩都优秀的概率；
(2)若以成绩优秀的频率代替成绩优秀的概率，且每名同学的测试相互独立.从该校全体六年级学生中随机抽取名男生和名女生，设为这名学生中一分钟跳绳成绩优秀的人数，求的概率分布与期望.
19．已知的展开式中，所有项的系数之和是512．
(1)求展开式中含项的系数；
(2)求的展开式中的常数项.
20．如图，在四棱锥中，平面，点是的重心.
(1)求证：平面平面；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长度.
21．己知双曲线的一条渐近线为，其虚轴长为为双曲线上任意一点．
(1)求证：到两条渐近线的距离之积为定值，并求出此定值；
(2)若双曲线的左顶点为，右焦点为，求的最小值．
22．已知抛物线，过焦点的直线l与抛物线C交于两点A，B，当直线l的倾斜角为时，.
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)记O为坐标原点，直线分别与直线，交于点M，N，求证：以为直径的圆过定点，并求出定点坐标.1．D
2．C
【分析】由题求得过且与圆相切的直线方程，即可判断命题关系
【详解】由题，圆是圆心为，半径为的圆，
当直线的斜率不存在时，直线方程为，
此时圆心到直线距离为1，不等于半径，与圆不相切不符合；
当直线的斜率存在时，设直线为，化为一般式即，
则圆心到直线距离为，解得,
所以“直线的斜率为”是“直线与圆相切”的充要条件,
故选：C.
3．B
【分析】取的中点为，连接，,根据题意得到，求得，结合，得到，结合双曲线的定义，得到，即可求解.
【详解】如图所示，双曲线的右焦点为，的中点为，连接，,
因为，为的中点，所以，则，可得，
又因为，所以，
则，，可得，
所以的离心率为．
故选：B.
4．C
【分析】将曲线：化为，若直线与曲线有交点，则由图可求出直线与曲线相切时切线得斜率，其中用到圆心到直线的距离等于半径求解即可.
【详解】因为，所以直线恒过定点，
曲线：化简即为：
，
如图所示：
由图可知，若直线与曲线有交点，则直线介于与之间即可，
由圆心到直线的距离等于半径得：
，整理得：，解得：或（舍），
同理，由圆心到直线的距离等于半径得：
，整理得：，解得：（舍）或，
所以.
故选：C
5．B
【分析】根据空间向量基本定理求出，求出答案.
【详解】因为，
所以
，
故，故.
故选：B
6．B
【分析】根据条件先求出a，b，c之间的关系，再由几何关系和余弦定理求解.
【详解】由于P，Q关于原点对称， 设 ， ，
则有 ，又 点都在椭圆上，
，
， ，
又 ，
设椭圆的右焦点为 ，连接 如下图：
因为原点O平分线段PQ和 ，所以四边形 是平行四边形，
依题意，设 ，则 ，又 ， ，在 中，
由余弦定理得 ，
；
故选：B.
7．B
【分析】先通过位置关系的证明说明在平面内，然后根据已知条件求解出的长度，根据的长度确定出在平面内的轨迹形状，由此求解出对应的轨迹长度.
【详解】
如图，在棱长为1的正方体中，，
因为、为线段上的两个三等分点，
所以，
易知，平面，平面，
所以平面，则，
同理可证，又平面，平面，，
则平面，
设点到平面的距离为，则三棱锥的体积，
则，
所以在平面内，
则，
所以，
所以平面内点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
如图，在正三角形中，为中心，圆的半径为，即，
，
所以在直角三角形中，
则，
所以三个虚线弧圆心角弧度数为，
则三个实线弧圆心角弧度数为，
所以点的轨迹长度为.
故选：B
8．B
【分析】转化为求与平行且与椭圆相切的两条切线，再由与两切线距离求解即可.
【详解】设与直线平行且与椭圆相切的直线为，
联立方程，消元可得
令，解得，
当时，椭圆切线方程为，直线与切线距离为，
当时，椭圆切线方程为，直线与切线距离为，
即直线与切线的最大最小距离分别为,
又当时，，即直线与椭圆无公共点，
则椭圆上任一点P到直线：的距离的取值范围为.故选：B
9．ABD
【分析】根据排列数和组合数公式判断各选项即可.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，
，故B正确；
对于C，因为，，
且，所以，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：ABD.
10．ABD
【分析】将直线整理成关于的方程，令其系数为0，即可得出直线过的定点，判断A；利用得出直线的斜率，即可判断B；当直线与垂直时，取得最小值，再利用几何法求弦长，即可判断C；由，结合弦长公式与基本不等式，即可判断D.
【详解】对于选项A：将直线整理为：，
令，解得，即直线过定点，故选项A正确；
对于选项B：由题意知，，则直线的斜率为，
若，则直线即直线的斜率为，解得：，故选项B正确；
对于选项C：因为直线过定点，所以当直线与垂直时，取得最小值，
此时，故选项C错误；
对于选项D：设点到直线的距离为，则当且仅当，即时，等号成立，
故的面积的最大值为2，故选项D正确；
故选：ABD.
11．BCD
【分析】通过的范围，判断曲线的形状，利用特例判断A，求出焦点的坐标，判断B，求出离心率的范围判断C，求出焦距判断D.
【详解】对于选项A，当时，曲线，表示直线或，故选项A错误；
对于选项B，当时，曲线方程为，可知曲线为焦点为和的椭圆，故选项B正确；
对于选项C，当时，曲线方程为，
因为，可得曲线为焦点在轴上的椭圆，
，，则，
所以离心率，因为，
所以，
故选项C正确；
对于选项D，若方程表示的曲线是双曲线，因为曲线方程为，
所以，即，故，
所以，，所以，
因为，所以，
所以，故，所以，
故焦距，所以其焦距的最小值为，故选项D正确.
故选：BCD.
12．ABC
【分析】利用正方体的结构特征，由三棱锥的体积计算判断A；取点，借助面面平行推理判断B；利用线线角、线面角的意义判断C；建立空间直角坐标系借助空间向量计算判断D作答.
【详解】对于A，当时，取中点，中点，连接，
根据平面向量基本定理知，则在上，则，
平面，平面，则平面，
则到平面的距离为定值，又的面积为定值，
因此四面体的体积为定值，A正确；
对于B，当时，取，则F为的中点，取的中点，
令，则为的中点，连接，
显然平面，平面，则平面，
而，同理平面，又平面，
因此平面平面，又平面，所以平面，B正确；
对于C，过作交于，连接，由平面，
得平面，
而平面，有，
显然是与平面所成的角，即，
由，得是与所成的角，即，所以，C正确；
对于D，建立如图所示的空间直角坐标系，当时，
，点在侧面内，
设，，则于是始终为锐角，D错误.
故选：ABC
13．
【分析】先写出的展开式通式，然后根据的次数选择对应的系数计算即可.
【详解】对于，其展开式的通式为，则展开式中含项的系数为故答案为：.
14．1
【分析】根据两圆方程可分别求得其圆心和半径，判断出两圆位置关系即可求得最小距离为1.
【详解】由题知圆半径为，圆心坐标为，
圆：可改写成，即圆半径为，圆心坐标为，
易知，，所以两圆的位置关系为内含，
所以的最小值为．故答案为：1
15．
【分析】利用向量的加法，转化为，直接求模长即可.
【详解】因为.所以
所以.
故答案为：.
16．
【分析】求出给定椭圆的蒙日圆方程，由已知可得直线与该蒙日圆相离，建立不等式求出离心率范围即得.
【详解】依题意直线都与椭圆相切，
因此直线所围成矩形的外接圆即为椭圆的蒙日圆，
由点A、B为椭圆上任意两个动点，动点P满足为锐角，得点在圆外，
又动点P在直线上，因此直线与圆相离，于是，解得，则，解得，
所以椭圆C的离心率的取值范围为.
故答案为：
17．(1)
(2)或
【分析】（1）分析可知圆心在直线上，将直线与直线的方程联立，可求得圆心的坐标，进而可求得圆的半径，由此可得出圆的方程；
（2）求出圆心到直线的距离，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在的情况下，直接检验即可；在直线的斜率存在时，设出直线的方程，根据圆心到直线的距离求出直线的斜率，综合可得出直线的方程.
【详解】（1）解：因为圆与轴相切于点，所以圆心在直线上，
又因为圆的圆心在直线上，
由，解得，即，圆的半径，
所以，圆的方程为．
（2）解：设圆心到直线的距离为，则，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，满足条件；当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，则直线的方程为，即．因为圆心为，所以圆心到直线的距离为，
整理可得，解得，
所以，直线的方程为．
综上所述，直线的方程为或.
18．(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）分析可知名男生中一分钟跳绳成绩优秀的有名，利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；
（2）分析可知，随机变量的可能取值有、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值.
【详解】（1）由题意知，名男生中一分钟跳绳成绩优秀的有名，
记“抽到的名男生成绩都优秀”为事件，则.
（2）由题意知，从该校六年级学生中任取一名男生，一分钟跳绳成绩优秀的概率为；
任取一名女生，一分钟跳绳成绩优秀的概率为.
的可能取值有、、、，则，
，
，
，
所以的概率分布为
所以，.
19．(1)27
(2)
【分析】（1）利用赋值法得所有项的系数和，求解n，然后利用二项式展开式通项公式求解即可；
（2）把式子化简为，然后分别利用二项式展开式通项公式求解常数项即可.
【详解】（1）因为展开式中所有项的系数之和是512．
所以令，得，所以，
所以的展开式通项公式为，
令，解得，所以展开式中含项为，
所以展开式中含项的系数为27.
（2）由（1）知，，从而，
因为的展开式的通项为，
所以的常数项为，
又的常数项为，
所以的展开式中的常数项为.
20．(1)证明见解析；
(2)或.
【分析】（1）利用线面垂直的性质、判定及面面垂直的判定推理即得.
（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法列式求出的长度.
【详解】（1）在四棱锥中，平面平面，则，
而平面，于是平面，又平面，
所以平面平面.
（2）取中点为，连接，，
则，即四边形为矩形，则，
又平面平面，显然两两垂直，
以为坐标原点，直线分别为为轴，建立空间直角坐标系，
设，则，
由点是的重心，得，则，
又，设平面的一个法向量，
则，取，得，设与平面所成角为，
，化简得，
解得或，即或，所以的长度为或.
21．(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）根据已知条件求出双曲线方程，设，并表示出点到两条渐近线的距离，，结合计算即可求解；
（2）设，根据，坐标表示出，结合，得到关于的一元二次函数，根据定义域或求最值即可.
【详解】（1）由题意可得，解得，
因此，双曲线的方程为
设，则，渐近线为，
P到两条渐近线的距离之积.
（2）
由已知，得，，设或，
在双曲线上，所以，
因此
或，
对称轴为，由于或，所以当时，取得最小值为.
22．(1)
(2)证明见解析，定点坐标为或
【分析】（1）根据已知得出直线的方程，与抛物线联立，根据过焦点的弦长公式，列出关系式，即可得出，即可得解；
（2）设，联立方程根据韦达定理得出的关系，进而表示出的方程，求出，的坐标，得出圆的方程，进而可得出定点坐标.
【详解】（1）由已知可得，抛物线的焦点坐标为，
直线的方程为，
联立，消得，
恒成立，
设，，由韦达定理可得，
则，所以，
所以抛物线的方程为；
（2）由（1）得，
依题意可设直线，
联立，消得，
恒成立，
则，，
又，，
令，则，即，
同理可得，
设圆上任意一点为，
因为为直径，所以，
所以，即，
整理可得，，
令，可得或，
所以以为直径的圆过定点，定点坐标为或.
【点睛】思路点睛：直线或圆过定点问题，先根据已知表示出直线或圆的方程，令参数的系数为0，得出方程，求解即可得出求出定点的坐标
