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八年级数学下册第三章 《图形的平移与旋转》单元复习与检测（解析版）
一、单选题（本大题共有12个小题，每小题3分，共36分）
1．如图图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义逐一判断即可．
【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不符合题意；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项不符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不符合题意；
D．是轴对称图形，也是中心对称图形．故本选项符合题意．
故选：D．
如图，△DEF经过怎样的平移得到△ABC( )
A．把△DEF向左平移4个单位，再向下平移2个单位
B．把△DEF向右平移4个单位，再向下平移2个单位
C．把△DEF向右平移4个单位，再向上平移2个单位
D．把△DEF向左平移4个单位，再向上平移2个单位
【答案】A
【详解】分析：根据网格图形的特点，结合图形找出对应点的平移变换规律，然后即可选择答案．
解答：解：根据图形，△DEF向左平移4个单位，向下平移2个单位，即可得到△ABC．
故选A．
如图，将绕点逆时针旋转，得到．
若点的坐标为（a，b），则点的坐标为( )
A．（-b，a） B．（b，a） C．（a，-b） D．（a，b）
【答案】A
【分析】易得OB，的长度，根据旋转的性质可得的长度，
根据点所在的位置可得相应坐标．
【详解】解：∵A点的坐标为（a，b），
∴OB=a，
∵△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到，
∴
∵在y轴正半轴上，
∴．
故选A．
4．如图，将周长为8的△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为( )
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【详解】解：根据题意，将周长为8个单位的等边△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，
∴AD=1，BF=BC+CF=BC+1，DF=AC；
又∵AB+BC+AC=8，
∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=10．
故选C．
如图，△ABC中，∠CAB=65°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AED的位置，使得DC∥AB，
则∠CAE等于( )
A．25° B．20° C．15° D．10°
【答案】C
【详解】解：∵DC∥AB，
∴∠ACD=∠CAB=65°，
由旋转的性质可知，AD=AC，∠DAE=∠CAB=65°，
∴∠ADC=∠CAB=65°，
∴∠CAD=50°，
∴∠CAE=15°，
故选C．
6．如图，三角形DEF是由三角形ABC通过平移得到的，且点B，E，C，F在同一直线上．若BF＝14，CE＝6，则BE的长是( )
A．2 B．4 C．5 D．3
【答案】B
【分析】根据平移的性质可得BE=CF，然后列式其解即可．
【详解】解：∵△DEF是由△ABC通过平移得到，
∴BE=CF，
∴BE=（BF﹣EC），
∵BF=14，EC=6，
∴BE=（14﹣6）=4．
故选：B．
如图，点P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕着B沿顺时针方向旋转到与△CBP′重合，
若PB=3，则PP′的长为( )
A．2 B．3 C．3 D．无法确定
【答案】B
【详解】由旋转的性质，得
BP′=BP=3，∠PBP′=∠ABC=90°．
在Rt△PBP′中，由勾股定理，得
PP′=，
故选B．
我们知道，四边形具有不稳定性，如图，在平面直角坐标系中，
边长为2的正方形的边在x轴上，的中点是坐标原点O，固定点A，B，
把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点处，则点C的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知条件得到，，
根据勾股定理得到，于是得到结论．
【详解】解：，
，
，
，，
，
故选：D．
如图，在平面直角坐标系中，△ABC绕旋转中心顺时针旋转90°后得到△A′B′C′，
则其旋转中心的坐标是( )
A．(1.5，1.5) B．(1，0) C．(1，－1) D．(1.5，－0.5)
【答案】C
【分析】根据旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，可知旋转中心一定在任何一对对应点所连线段的垂直平分线上，由图形可知，线段BB 与AA 的垂直平分线的交点即为所求．
【详解】∵△ABC绕旋转中心顺时针旋转90°后得到△A B C ，∴A、B的对应点分别是A 、B ．
又∵线段BB 的垂直平分线为x=1，线段AA 是一个边长为3的正方形的对角线，其垂直平分线是另一条对角线所在的直线，由图形可知，线段BB 与AA 的垂直平分线的交点为（1，﹣1）．
故选C．
10．如图，点的坐标分别为，，若将线段平移至，则的值为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据点及其对应点的坐标得出平移方向和距离，据此求出的值，继而可得答案．
【详解】解：由点的对应点知向右平移2个单位，
由点的对应点知向上平移1个单位，
，
，
故选：B．
11．如图所示，正方形的边长为1，点在线段上运动，平分交边于点．
求证：．
【答案】见解析．
【分析】延长至点，使得，连接，可以求证△ADF≌△ABG，再证得∠GAE=∠DAE=∠GEA，即可求证AG=EG，即求EG=DF+BE即可．
【详解】如图所示，延长至点，使得，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，．
又∵是的角平分线．
∴，
∴．
即，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∴．
12．如图：长方形ABCD的对角线AC＝10，BC＝8，则图中五个小矩形的周长之和为（ ）
A．14 B．16 C．20 D．28
【答案】D
【分析】根据题意可知五个小矩形的所有边正好能平移到大矩形的四条边上，则五个小矩形的周长之和为大矩形的周长，即可得出答案．
【详解】解：根据题意可知：五个小矩形的周长之和为大矩形的周长，
∵AC=10，BC=8，
∴ AB===6，
∴图中五个小矩形的周长之和为：6+8+6+8=28．
故选：D．
二、填空题（本大题共有8个小题，每小题4分，共32分）
13．点(2，－1)关于原点O对称的点的坐标为 ．
【答案】(－2，1)
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．
【详解】点（2，－1）关于原点O对称的点的坐标是（－2，1）．
故答案为（－2，1）．
14．如图所示，为了把三角形平移到三角形，
可以先将三角形向右平移 格，再向上平移 格．
【答案】 5 3
【分析】根据平移的性质解答即可．
【详解】解：由图可知，先将三角形向右平移5格，再向上平移3格，可以得到三角形，
故答案为：5，3．
如图，△A′B′C′是由△ABC沿射线AC方向平移得到的．
已知∠A＝55°，∠B＝60°，则∠C′＝ ．
【答案】65°
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠ACB的度数，再由图形平移的性质得出△ABC≌△A'B'C'，根据全等三角形的性质即可得出结论．
【详解】∵△ABC中，∠A=55°，∠B=60°，∴∠ACB=180°﹣60°﹣55°=65°．
∵△A'B'C'是由△ABC沿射线AC方向平移得到，∴△ABC≌△A'B'C'，∴∠C'=∠ACB=65°．
故答案为65°．
16 . 如图，点D是等边△ABC内一点，如果△ABD绕点A 逆时针旋转后能与△ACE重合，
那么旋转了 度.
【答案】60
【详解】∵△ABC为等边三角形，
∴AC=AB，∠CAB=60°．
∵△ABD绕点A逆时针旋转后能与△ACE重合，
∴AB绕点A逆时针旋转了∠BAC到AC的位置；
∴旋转角为60°
故答案为60
17 .如图，将周长为8的△ABC沿BC方向向右平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为 ．
【答案】10
【详解】根据题意，将周长为8的△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，
则AD=1，BF=BC+CF=BC+1，DF=AC，
又∵AB+BC+AC=10，
∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=10．
故答案为：10．
18．如图，将绕点逆时针旋转，得到．若点A的坐标为，则点的坐标为 ．
【答案】
【详解】解∶由图易知A′B′=AB=b，OB′=OB=a，∠A′B′O=∠ABO=90°，
∵点A'在第二象限，
∴A'的坐标为（-b，a）．
故答案为（-b，a）
19 .如图，A，B两点的坐标分别为(－2，0)，(0，1)，将线段AB平移到线段A1B1的位置．
若A1(b，1)，B1(－1，a)，则b－a＝ ．
【答案】－5
【分析】根据平移的坐标确定线段向上平移了1个单位，线段向左平移了1个单位，
然后求出a=2，b= 3即可．
【详解】解：∵A( 2,0)平移后对应点A1的坐标为(b,1)，
∴线段向上平移了1个单位，
∵点B(0,1)平移后对应的点B1( 1,a)，
∴线段向左平移了1个单位，
∴a=2，b= 3，
∴b a= 5．
故答案为 5．
20 . 如图，在中，，，
将沿轴依次以点、、为旋转中心顺时针旋转，
分别得到图②、图③则旋转得到的第个三角形的直角顶点的坐标为 .
【答案】
【分析】本题考查了坐标与图形的变化—旋转，勾股定理；利用勾股定理得到的长度，
结合图形可求出图③的直角顶点的坐标．根据图形不难发现，每3个图形为一个循环组依次循环，
且下一组的第一个图形与上一组的最后一个图形的直角顶点重合．据此可得出结果．
【详解】解：，，，
，
根据图形，每个图形为一个循环组，，且第、个三角形的直角顶点在同一个位置；
，
第、个三角形的直角顶点在轴上，横坐标为，
第个三角形的直角顶点的坐标为，
故答案为：．
三、解答题（本大题共有6个小题，共32分）
21 . 四边形ABCD是正方形，△ADF旋转一定角度后得到△ABE，如图所示，如果AF=4，AB=7，
（1）指出旋转中心和旋转角度；
（2）求DE的长度；
（3）BE与DF的位置关系如何？
解：（1）根据正方形的性质可知：
△AFD≌△AEB，即AE=AF=4，∠EAF=90°，∠EBA=∠FDA；
可得旋转中心为点A；旋转角度为90°或270°；
（2）DE=AD-AE=7-4=3；
（3）∵∠EAF=90°，∠EBA=∠FDA，
∴延长BE与DF相交于点G，则∠GDE+∠DEG=90°，
∴BE⊥DF，即BE与DF是垂直关系．
如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
(1) 请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△ABC；
(2) 请画出△ABC关于原点对称的△ABC；
(3) 在轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，请画出△PAB，并直接写出P的坐标．
【答案】（1）图形见解析；
（2）图形见解析；
（3）图形见解析，点P的坐标为：（2，0）
【分析】（1）按题目的要求平移就可以了；
（2）关于原点对称的点的坐标变化是∶横、纵坐标都变为相反数，找到对应点后按顺序连接即可．
（3）AB的长是不变的，要使△PAB的周长最小，即要求PA+PB最小，转为了已知直线与直线一侧的两点，在直线上找一个点，使这点到已知两点的线段之和最小，方法是作A、B两点中的某点关于该直线的对称点，然后连接对称点与另一点．
【详解】
（1）△A1B1C1如图所示；
（2）△A2B2C2如图所示；
（3）作A点关于x轴的对称点A＇（1，-1），然后连接对称点与B点，
则BA＇的解析式为，
当时，．
∴△PAB如图所示，点P的坐标为：（2，0）．
23．如图所示，正方形的边长为1，点在线段上运动，平分交边于点．
求证：．
【答案】见解析．
【分析】延长至点，使得，连接，可以求证△ADF≌△ABG，再证得∠GAE=∠DAE=∠GEA，即可求证AG=EG，即求EG=DF+BE即可．
【详解】如图所示，延长至点，使得，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，．
又∵是的角平分线．
∴，
∴．
即，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∴．
24．如图1，和都是等腰直角三角形，其中，点在线段上．
如图2，保持点不动，绕点按顺时针旋转角度
猜想线段，之间的数量关系，并说明理由；
如图3，绕点继续按顺时针旋转，当点，，在同一直线上时，作于．
求的度数；
（3）直接写出线段，，之间的的数量关系．
解：（1）．理由如下：
∵和为等腰直角三角形，，
∴，，
∴，即．
在和中，
∴．
∴．
（2）∵，，
∴，
∴，
由（1）知，，
∴，
∴．
（3），
∵△CDE是等腰直角三角形，，CM⊥DE，
∴DM=EM=CM，即DE=2CM，
∵，
∴AD=BE，
∴AE=AD+DE=2CM+BE.
两块等腰直角三角形纸片AOB和COD按图①所示放置，直角顶点重合在点O处，AB＝25.
保持纸片AOB不动，将纸片COD绕点O逆时针旋转α(0°＜α＜90°)角度，如图②所示．
(1)在图②中，求证：AC＝BD，且AC⊥BD；
(2)当BD与CD在同一直线上(如图③)时，若AC＝7，求CD的长．
【答案】（1）见解析；（2）17
【分析】（1）如图2中，延长BD交OA于G，交AC于E.只要证明△AOC≌△BOD即可解决问题．
（2）如图3中，在△ABC中，利用勾股定理求出，再根据即可解决问题．
【详解】(1)证明：如图2中，延长BD交OA于G，交AC于E.
∵∠AOB=∠COD=，
∴∠AOC=∠DOB，
在△AOC和△BOD中，
∴△AOC≌△BOD，
∴AC=BD，∠CAO=∠DBO，
∵∠DBO+∠GOB=，
∵∠OGB=∠AGE，
∴∠CAO+∠AGE=，
∴∠AEG=，
∴BD⊥AC
(2)如图3中， △AOC≌△BOD，
∵BD、CD在同一直线上，BD⊥AC
∴△ABC是直角三角形
∴
解得
26．如图1，两个不全等的等腰直角三角形和叠放在一起，并且有公共的直角顶点．
（1）在图1中，你发现线段，的数量关系是:_________，直线，相交成______度角．
（2）将图1中的绕点顺时针旋转角，
连结AC、BD得到图2，这时（1）中的两个结论是否成立？请作出判断并说明理由．
（3） 将图1中的绕点顺时针旋转一个锐角，
连结AC、BD得到图3，这时（1）中的两个结论是否成立？请作出判断并说明理由．
解：（1）线段AC，BD的数量关系是相等 直线AC，BD相交成90度角；
（2）（1）中结论仍成立；证明如下：
如图延长CA交BD于点E，
∵等腰直角三角形OAB和OCD，∴OA=OB，OC=OD，
∵AC2=AO2+CO2，BD2=OD2+OB2，∴AC=BD；
∴△DOB≌△COA（SSS），∴∠CAO=∠DBO，∠ACO=∠BDO，
∵∠ACO+∠CAO=90°，∴∠ACO+∠DBO=90°，则∠AEB=90°，
即直线AC，BD相交成90°角。
（3）结论仍成立；如图延长CA交OD于E，交BD于F，
∵∠COD=∠AOB=90°，∴∠COA+∠AOD=∠AOD+∠DOB，即：∠COA=∠DOB，
∵CO=OD，OA=OB，∴△COA≌△DOB（SAS）， ∴AC=BD，∠ACO=∠ODB；
∵∠CEO=∠DEF，∴∠COE=∠EFD=90°，∴AC⊥BD，即直线AC，BD相交成90°角。
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八年级数学下册第三章 《图形的平移与旋转》单元复习与检测
一、单选题（本大题共有12个小题，每小题3分，共36分）
1．如图图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A． B． C． D．
如图，△DEF经过怎样的平移得到△ABC( )
A．把△DEF向左平移4个单位，再向下平移2个单位
B．把△DEF向右平移4个单位，再向下平移2个单位
C．把△DEF向右平移4个单位，再向上平移2个单位
D．把△DEF向左平移4个单位，再向上平移2个单位
如图，将绕点逆时针旋转，得到．
若点的坐标为（a，b），则点的坐标为( )
A．（-b，a） B．（b，a） C．（a，-b） D．（a，b）
4．如图，将周长为8的△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为( )
A．6 B．8 C．10 D．12
如图，△ABC中，∠CAB=65°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AED的位置，使得DC∥AB，
则∠CAE等于( )
A．25° B．20° C．15° D．10°
6．如图，三角形DEF是由三角形ABC通过平移得到的，且点B，E，C，F在同一直线上．若BF＝14，CE＝6，则BE的长是( )
A．2 B．4 C．5 D．3
如图，点P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕着B沿顺时针方向旋转到与△CBP′重合，
若PB=3，则PP′的长为( )
A．2 B．3 C．3 D．无法确定
我们知道，四边形具有不稳定性，如图，在平面直角坐标系中，
边长为2的正方形的边在x轴上，的中点是坐标原点O，固定点A，B，
把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点处，则点C的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
如图，在平面直角坐标系中，△ABC绕旋转中心顺时针旋转90°后得到△A′B′C′，
则其旋转中心的坐标是( )
A．(1.5，1.5) B．(1，0) C．(1，－1) D．(1.5，－0.5)
10．如图，点的坐标分别为，，若将线段平移至，则的值为( )
A． B． C． D．
11．如图所示，正方形的边长为1，点在线段上运动，平分交边于点．
求证：．
12．如图：长方形ABCD的对角线AC＝10，BC＝8，则图中五个小矩形的周长之和为（ ）
A．14 B．16 C．20 D．28
二、填空题（本大题共有8个小题，每小题4分，共32分）
13．点(2，－1)关于原点O对称的点的坐标为 ．
14．如图所示，为了把三角形平移到三角形，
可以先将三角形向右平移 格，再向上平移 格．
如图，△A′B′C′是由△ABC沿射线AC方向平移得到的．
已知∠A＝55°，∠B＝60°，则∠C′＝ ．
16 . 如图，点D是等边△ABC内一点，如果△ABD绕点A 逆时针旋转后能与△ACE重合，
那么旋转了 度.
17 .如图，将周长为8的△ABC沿BC方向向右平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为 ．
18．如图，将绕点逆时针旋转，得到．若点A的坐标为，则点的坐标为 ．
19 .如图，A，B两点的坐标分别为(－2，0)，(0，1)，将线段AB平移到线段A1B1的位置．
若A1(b，1)，B1(－1，a)，则b－a＝ ．
20 . 如图，在中，，，
将沿轴依次以点、、为旋转中心顺时针旋转，
分别得到图②、图③则旋转得到的第个三角形的直角顶点的坐标为 .
三、解答题（本大题共有6个小题，共32分）
21 . 四边形ABCD是正方形，△ADF旋转一定角度后得到△ABE，如图所示，如果AF=4，AB=7，
（1）指出旋转中心和旋转角度；
（2）求DE的长度；
（3）BE与DF的位置关系如何？
如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
(1) 请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△ABC；
(2) 请画出△ABC关于原点对称的△ABC；
(3) 在轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，请画出△PAB，并直接写出P的坐标．
23．如图所示，正方形的边长为1，点在线段上运动，平分交边于点．
求证：．
24．如图1，和都是等腰直角三角形，其中，点在线段上．
如图2，保持点不动，绕点按顺时针旋转角度
猜想线段，之间的数量关系，并说明理由；
如图3，绕点继续按顺时针旋转，当点，，在同一直线上时，作于．
求的度数；
（3）直接写出线段，，之间的的数量关系．
两块等腰直角三角形纸片AOB和COD按图①所示放置，直角顶点重合在点O处，AB＝25.
保持纸片AOB不动，将纸片COD绕点O逆时针旋转α(0°＜α＜90°)角度，如图②所示．
(1)在图②中，求证：AC＝BD，且AC⊥BD；
(2)当BD与CD在同一直线上(如图③)时，若AC＝7，求CD的长．
26．如图1，两个不全等的等腰直角三角形和叠放在一起，并且有公共的直角顶点．
（1）在图1中，你发现线段，的数量关系是:_________，直线，相交成______度角．
（2）将图1中的绕点顺时针旋转角，
连结AC、BD得到图2，这时（1）中的两个结论是否成立？请作出判断并说明理由．
（3） 将图1中的绕点顺时针旋转一个锐角，
连结AC、BD得到图3，这时（1）中的两个结论是否成立？请作出判断并说明理由．
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