2023—2024 学年第一学期期末学业质量监测
高二数学参考答案
一、单项选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B C C C D A C
二、多项选择题
题号 9 10 11 12
答案 AC ABD ACD BD
三、填空题
n
13．-2 14．8 2 15．5 3 16． 5
四、解答题
17．解：（1）设等差数列{a }的公差为 d (d 0)n ，又 a2a3 = a8 ， S6 = 4S3，
(a1 + d )(a1 + 2d ) = a1 + 7d
所以 ，解得 a1 =1， d = 2 ， ...................................................... 3 分
6a1 +15d = 4(a1 + 3d )
所以{an}的通项公式 an =1+ (n 1) 2 = 2n 1， n
N ． .................................................. 5 分
an 2n 1
（2）bn = lg = lg ， ................................................................................................ 6 分
an+2 2n + 3
1 3 5 2n 1
所以b1 + b2 + b3 + ...+ bn = lg + lg + lg + ...+ lg .................................................... 8 分
5 7 9 2n + 3
1 3 5 ... (2n 1) 3
= lg = lg ． ................................................................. 10 分
5 7 9 ... (2n + 3) (2n +1)(2n + 3)
D1 C1
18．（1）（法一）证：∵O 为 BD1 的中点，OE ⊥ BD1，
A1 B1
∴△EBD1为等腰三角形，且 ED1 = EB ，
F
O
E
又∵ AB = A1D1， BAE = D1A1E = 90 ， D
C
∴△BAE △D1A1E ，
A B
∴ EA = EA1， ............................................................................................................................. 3 分
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{#{QQABTQiAggCAABAAAQhCEwFoCgGQkBEAAIoGBFAAoAAAyAFABAA=}#}
取 DD1中点为 F ，则 EF //AD ，
又 EF 平面 ABCD ， AD 平面 ABCD ，
∴ EF // 平面 ABCD ，
∵O 为 BD1 的中点， F 为 DD1中点，
∴OF //BD ，
∵OF 平面 ABCD ， BD 平面 ABCD ，
∴OF // 平面 ABCD ．
∵ EF OF = F ， EF ，OF 平面OEF ，
∴平面OEF // 平面 ABCD ， .................................................................................................... 5 分
∵OE 平面OEF ，
∴OE // 平面 ABCD ． ............................................................................................................... 6 分
（法二）证：设 EA = t ，以 D为原点，DA ，DC ，DD x y1的方向分别为 ， ， z 轴的正方
向建立空间直角坐标系，如图 A(2 , 0 , 0)，A1(2 , 0 , 2)，B(2 , 2 , 0)，D1(0 , 0 , 2) ，O(1,1,1) ，
C (0 , 2 , 2)， E(2 , 0 , t)1 ， ........................................................................................................ 2 分
AA1 = (0 , 0 , 2)，OE = (1 , 1, t 1)， DD1 = (0 , 0 , 2) ．
∵OE ⊥ AA1 ，
∴OE AA t =1 1 = 0 ，可得 ，
∴OE = (1, 1, 0) ， .................................................................................................................. 4 分
z
∵ DD ⊥平面 ABCD ， D1 C1 1
∴ DD1 为平面 ABCD 的法向量， A1 B1
O
∴OE DD1 =1 0 + ( 1) 0 + 0 2 = 0，
E
D C
∴OE // 平面 ABCD ，
y
又∵OE 平面 ABCD ， A
B
∴OE // 平面 ABCD ． ............................................................................................................... 6 分
x
（2）解：以 D为原点，DA ，DC ，DD1的方向分别为 x， y ， z 轴的正方向建立空间直角
坐标系如图，A(2 , 0 , 0)，A (2 , 0 , 2)，B(2 , 2 , 0)，D (0 , 0 , 2) ，O(1,1,1)1 1 ，C1(0 , 2 , 2)，
E(2 , 0 ,1) ，
高二数学 第2页共 6 页
{#{QQABTQiAggCAABAAAQhCEwFoCgGQkBEAAIoGBFAAoAAAyAFABAA=}#}
EC = ( 2 , 2 ,1) ， BD = ( 2 , 2 , 2) ， BE = (0 , 2 ,1) ， ................................................. 8 1 1 分
设平面 BED1的法向量为m = (x , y , z) ，
BD1 m = 0 2x 2y + 2z = 0
则 ，即 ，
BE m = 0 2y + z = 0
令 y =1，可得m = (1,1, 2) ， .................................................................................................. 9 分
设直线 EC1 与平面 BED1所成角为 ，
2 6
∴ sin =| cos EC1 , m |=| |= ， .......................................................................... 11 分
6 3 9
5 3
∴直线 EC1 与平面 BED1所成角的余弦值为 ． ............................................................ 12 分
9
z
D1 C1
A1 B1
O
E
D C
y
A
B
x
19．解：（1）因为动点 P 到直线 x = 4 的距离比到点M (2 , 0) 距离多 2个单位长度，
所以动点 P到直线 x = 2 的距离和到点M (2 , 0) 距离相等， .............................................. 2 分
曲线 E 是以M (2,0)为焦点，直线 x = 2 为准线的抛物线，
所以曲线 E 的方程为 y2 = 8x ． ............................................................................................... 6 分
（2）设 A(x1 , y1)， B(x2 , y2 ) ，
设直线 l 的方程为 x = ty + 4，
y
2 = 8x
联立 ，消去 x得， y
2 8ty 32 = 0， ................................................................... 8 分
x = ty + 4
所以 y1 + y2 = 8t ， y1y2 = 32，
1
S△OAB = | ON || y1 y |= 2 (y + y )
2
2 1 2 4y1y2 =16 t
2 + 2 = 32， .................................. 10 分
2
解得 t = 2 ，
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{#{QQABTQiAggCAABAAAQhCEwFoCgGQkBEAAIoGBFAAoAAAyAFABAA=}#}
所以直线 l 的方程为 x + 2y 4 = 0或 x 2y 4 = 0 ． ................................................... 12 分
20．解：由 an+1 = 2Sn + 4可得，当n 2时， an = 2Sn 1 + 4，
以上两式相减可得 an+1 = 3an ， ................................................................................................ 2 分
当 n =1时， a2 = 2S1 + 4 =12，满足 a2 = 3a1 ， ..................................................................... 3 分
所以数列{an}是以 4为首项，3 为公比的等比数列， ........................................................... 4 分
故 a = 4 3n 1， n N ． ......................................................................................................... 6 n 分
(2n 1)a
（2）b = nn = (2n 1) 3
n 1， .................................................................................... 7 分
4
T =1 30 + 3 31 + 5 32 + ...+ (2n 1) 3n 1， n
3T =1 31 + 3 32n + 5 3
3 + ...+ (2n 1) 3n ， ....................................................................... 9 分
两式相减，得 2Tn =1+ 2 (3
1 + 32 + ...+ 3n 1) (2n 1) 3n
3 (1 3n 1)
=1+ 2 (2n 1) 3n
1 3
= 2 + (2 2n) 3n
所以T =1+ (n 1) 3n ． ........................................................................................................ 12 分 n
21．（1）证：∵平面 ABC ⊥平面 ACC1A1，平面 ABC 平面 ACC1A1 = AC ， ACB = 90 ，
∴ BC ⊥平面 ACC1A1， ............................................................................................................ 2 分
∵ A1C 平面 ACC1A1，
∴ BC ⊥ A1C ， ........................................................................................................................... 3 分
∵ BC //B1C1，
∴ B1C1 ⊥ A1C ， ......................................................................................................................... 4 分
∵四边形 ACC1A1为菱形，
∴ AC1 ⊥ A1C ， .......................................................................................................................... 5 分
∵ B1C1 AC1 =C1 ， B1C1 ， AC1 平面 AB1C1，
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{#{QQABTQiAggCAABAAAQhCEwFoCgGQkBEAAIoGBFAAoAAAyAFABAA=}#}
∴ A1C ⊥平面 AB1C1． .............................................................................................................. 6 分
（2）解：∵ A1B1 // 平面 ABC ，
∴VA ABC =V1 B1 ABC =VA BB1C ，
1 3
∴VA ABC = BC S = ，可得 S△AA C = 3 ， 1 △AA3 1
C 1
3
1
又∵ S△AA C = sin A AC AC AA ， AC = AA1=21 1 ， 1 2
3
∴ sin A1AC = ，
2
∵ A1AC 为锐角，
∴ A1AC = 60 ． ...................................................................................................................... 7 分
以C 为原点，CA，CB 及平面 ABC 过点C 的垂线分别为 x， y ， z ，轴，建立空间直角坐
标系，C(0 , 0 , 0)， B(0 ,1, 0)，C1( 1, 0 , 3)， A (1 , 0 , 3) ， ...................................... 81 分
∵ A1C ⊥平面 AB1C1，
∴CA = (1 , 0 , 3) 即为平面 AB1C1的法向量， ...................................................................... 91 分
设平面 ABB1 的法向量为m = (x , y , z) ，
AB m = 0 2x + y = 0
则 ，即 ，
BB m = 0 x + 3z = 01
令 z =1，可得m = ( 3 , 2 3 ,1) ， ........................................................................................ 10 分
2 3 3
∴ | cos CA , m |=| |= ， 1
2 4 4
3
∴平面 AB1C1与平面 ABB1 的夹角的余弦值为 ． ........................................................... 12 分
4
z
A1 C1
B1
A
x C
B
B
y c 6
22．解：（1）由题意知 2b = 2 2 ， e = = ， a2 = b2 + c2 ，解得 a2 = 6 ，b2 = 2 ，
a 3
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{#{QQABTQiAggCAABAAAQhCEwFoCgGQkBEAAIoGBFAAoAAAyAFABAA=}#}
x2 y2
所以C 的标准方程为 + =1． ......................................................................................... 4 分
6 2
（2）设P(x1 , y1)，Q(x2 , y2 ) ，设直线PQ的方程为 y = k(x 3)，
x2 y2
+ =1
联立 2 2 6 2 ，消去 y 得， (3k +1)x 18k
2x + 27k 2 6 = 0 ， ...................................... 5 分
y = k(x 3)
18k 2 27k 2 6
所以 x + x = ， x x = ， ................................................................................. 6 分 1 2
1+ 3k 2
1 2
1+3k 2
6 6
= 24 36k 2 0 k ，
3 3
1
S△ARQ = | 2y1 | | 3 x2 |=| k(x1 3)(x2 3) |
2
27k 2 6 18k 2
=| k | | x1x2 3(x1 + x2 )+9 |=| k | | 3 +9 |
1+3k 2 1+3k 2
3 | k |
= ， ................................................................................................................................ 92 分 3k +1
3 3 3
= =
1 2
3 | k | + 12 3 | k |
| k | | k |
1
3 | k |= 3当且仅当 ，即 k = 时取等号，....................................................................... 11 分
| k | 3
△ 3所以 ARQ 面积的最大值为 ． ........................................................................................ 12 分
2
高二数学 第6页共 6 页
{#{QQABTQiAggCAABAAAQhCEwFoCgGQkBEAAIoGBFAAoAAAyAFABAA=}#}机密★启用前 试卷类型：A
2023—2024 学年度第一学期期末质量检测
高二 数学 2024.1
注意事项：
1.本试卷共 4页，共 22题，满分 150分，考试用时 120分钟.
2.答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码.
3.作答选择题时，用 2B铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑.
4.非选择题的答案写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液.
5.考试结束后，考生上交答题卡.
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1．抛物线 y 4x2的焦点坐标为
A． ( 1, 0) B． (1 , 0) C． (0 , 1 ) D． (0 , 1 )
16 16
2．已知直线 l的方向向量为 ( 3 , 1)，则 l的倾斜角为
π 5π π 2π
A． B． C． D．
6 6 3 3
3．设平面 和 的法向量分别为m (1 , 2 , 3)， n ( 2 , k , 6)．若 ，则 k
A． 4 B． 4 C．10 D． 10
4．已知等差数列 an 的前 n项和为 Sn ，若 2a6 a9 4，则 S5
A．18 B．19 C． 20 D． 21y
2 2
5 x y 2 3．双曲线 2 2 1（a 0,b 0) 的离心率为 ，则其渐近线方程为a b 3
A y x B y 2 x C y 3． ． ． x D．y 3x
2 3
6．正方体 ABCD A1B1C1D1中，M 是 AD1中点，则异面直线CM 与 AB1所成角的余弦值是
A 2． B 3 2 3． C． D．
3 3 6 6
2023-2024 学年度第一学期期末质量检测 高二 数学试卷 第 1 页 共 4 页
{#{QQABTQiAggCAABAAAQhCEwFoCgGQkBEAAIoGBFAAoAAAyAFABAA=}#}
x2 y27．已知椭圆 E : 2 2 1(a b 0) 的左，右焦点分别为 F1， F2 ，点 P为 E 的上顶点，a b
点Q在 E 上且满足 F1P 3F2Q，则 E 的离心率为
A 2 B 3 C 3 D 6． ． ． ．
2 2 3 3
8．已知 Sn 是公比不为1的等比数列 an 的前 n项和，则“ a6 ，a2，a3 成等差数列”是“对
任意 k N ， S6 k ， S5 k ， S9 k 成等差数列”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求。全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分。
9．在棱长为 2 的正四面体 ABCD中，E，F，G分别是棱 AB，AD，DC的中点．则下列各
式成立的是
1
A． AE (AC AD) GE B．
2 AD DB 2
C． EF AC 0 D． AD 2EG
10．已知直线 l :mx y 2 4m 0（m R ）与圆 D： 2 + 2 2 24 = 0交于 A，B两
点，则
A．圆 D的面积为 25π B． l过定点（4,2）
C．△ABD面积的最大值为 2 39 D． 4 3 | AB | 10
11．已知等差数列 an 的前 n项和为 Sn ，若 S8 0， S9 0，则
A． a1 0 B． d 0
S S
C． Sn 的最小值为 S D
n 5
4 ． a 的最小值为n a5
12．过抛物线 E： y2 2px上一点M (1 , 2)作两条相互垂直的直线，与 E的另外两个交点分
别为 A， B，则
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A．E的准线方程为 x 2
B．过点M 与 E相切的直线方程为 y x 1
C．直线 AB过定点 (5 , 3)
1 1 1
D． 的最小值为
|MA |2 |MB |2 32
三、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分。
13．若直线 ax y 1 0与直线 4 + + 2 = 0 平行，则 a ．
14．圆 x2 y2 36与圆 (x 3)2 (y 4)2 81的公共弦的长为 ．
15．已知数列{an}满足 a1 2， an 1 5an 12，则数列{an}的通项公式 an ．
2 2
16 x y．已知 F1，F2 分别是双曲线C : 2 2 1(a 0,b 0)的左右焦点，过 F1的直线 l与C 只a b
有一个公共点 P，且 PF1 PF2 ，则C 的离心率为 ．
四、解答题：本大题共 6小题，共 70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（10分）
已知公差不为零的等差数列 an 的前 n项和为 Sn ，且 a2a3 a8 ， S6 4S3 .
（1）求数列 an 的通项公式；
2 b
a
lg n（ ）令 n a ，求数列 bn 的前 n项和.n 2
D1 C1
18．（12分）
如图，正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 2，O为 A1 B1
BD1的中点，点 E 在棱 AA1上，且OE⊥ 1. E O
D
（1）证明：OE //平面 ABCD； C
（2）求直线 EC1与平面 BED1所成角的余弦值． A B
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19．（12分）
已知动点 P到直线 x 4的距离比到点M (2 , 0)距离多 2个单位长度，设动点 P的轨迹
为 E ．
（1）求 E 的方程；
（2）已知过点 N (4 , 0)的直线 l交 E 于 A,B两点，且△OAB（O为坐标原点）的面积
为32，求 l的方程．
20．（12分）
已知数列 an 的前 n项和为 Sn ，满足 an 1 2Sn 4 (n N*) ，且 a1 4．
（1）求 an 的通项公式；
b (2n 1) a（2）若 nn ，求数列{bn}的前 n项和T4 n
21．（12分）
如图，在三棱柱 ABC A1B1C1中，底面 ABC 侧面 ACC1A1， AC AA1 2，BC 1，
ACB 90 ． A1 C1
（1）证明： A1C 平面 AB1C1； B1
（2）若三棱锥 A BB1C
3
的体积为 ， A1AC
3 A C
为锐角，求平面 AB1C1与平面 ABB1的夹角的余弦值． B
22．（12分）
x2 y2
已知椭圆C ： 2 2 1(a b 0)
6
的短轴长 2 2，离心率为 ．
a b 3
（1）求C 的标准方程；
（2）过点 A(3 , 0)的直线与C 交于 P ,Q两点，P关于 x轴对称的点为 R，求△ARQ面
积的最大值．
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