汉中市2023—2024学年第一学期普通高中联盟学校高一期末联考
数学参考答案
第I卷（选择题）
一、单选题
1—8 ABDCA BDC
二、多选题
9. ABC 10.AC 11.AD 12.BC
第II卷（非选择题）
三、填空题
13.（或 ） 14.
15.（或0.4） 16.（写成区间与集合均可）
四、解答题
17.答案：1；
（1）
； 5分
（2）原式. 5分
18.答案：(1)； (2).
（1）原不等式可化为，因为该不等式解集为，
可知的两根为-2和3， 2分
则，即，故解得； 6分
（2）若对任意的恒成立，
所以对任意的，恒成立，
即对任意的，恒成立，所以， 8分
又因为，， 10分
当且仅当，即时取等号，所以，
所以实数的取值范围是； 12分
19.答案：（1）；（2）
【详解】解：（1）要使函数有意义，则
解得.所以函数的定义域为. 4分
（2）函数
6分
因为，所以，
因为，所以
所以 9分
即
所以 12分
20.答案：(1)；(2)平均数为，中位数为；(3)．
【详解】解：(1)第六组的频率为，
∴第七组的频率为． 2分
(2)由直方图得，身高在第一组的频率为，
身高在第二组的频率为，
身高在第三组的频率为，
身高在第四组的频率为，
由于，，
设这所学校的800名男生的身高50%分位数为m，则，
由得，
所以这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5cm，平均数为
． 6分
(3)第六组的抽取人数为4，设所抽取的人为a，b，c，d，
第八组的抽取人数为，设所抽取的人为A，B，
则从中随机抽取两名男生有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB，AB共15种情况， 9分
因事件发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事件E包含的基本事件为ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7种情况．所以． 12分
21.答案：(1)； (2)单调递增，证明见解析； (3).
【详解】（1）由题设，
所以，即. 3分
（2）在R上单调递增，证明如下： 4分
由（1）知：，
令，则
，而，，，
所以，故单调递增. 8分
（3）由题设，当时恒成立，而，
所以即可，故实数的取值范围为. 12分
答案：(1)单调减区间；单调增区间 4分
（2）①当时，的图象如下图所示，
要使有4个根，则，不妨设，
令，则，，
令，则，，； 7分
②令，解得或，
（ⅰ）当时，，由，可得，
，矛盾，即实数不存在；
（ⅱ）当时，，，
由得，，即，，由，即，
解得，又，，
由，可得；
综上，存在实数，使得函数在区间单调，
且的取值范围为，此时的取值范围为. 12分
【点睛】本题主要考查对钩函数的图象及性质，考查函数零点与方程根的关系，考查分类讨论思想，综合性较强，计算量较大，有一定难度．画含有绝对值的函数的图象，可以先画出没有绝对值前的图象，然后通过翻折函数值为负的部分来画出含有绝对值的函数的图象汉中市2023—2024学年第一学期普通高中联盟学校
高一期末联考数学试题
考试时间：120分钟 考试时间2024-1-23
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.
已知集合，，则=（ ）
A. [0，1） B. （-1，2] C. （1，2] D. （0，1）
2.命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
3.已知，，，则（ ）
A. b＞c＞a B. a＞c＞b C. a＞b＞c D. c＞a＞b
4.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来石（古代容量单位），验得米内夹谷（假设一粒米与一粒谷的体积相等），抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）
A.213石 B.152石 C.169石 D.196石
5.“”是“不等式对于任意正实数恒成立”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.函数的图像大致为（ ）
A. B. C. D.
7.在统计学中，同比增长率一般是指和上年同期相比较的增长率.如图为我国2021年2月至12月及2022年3月至12月的原油产量同比增长率，则下列叙述正确的是（ ）
A．2022年3月至2022年11月的原油产量同比增长率的平均数不超过2.5%
B．2021年9月至2021年12月的原油产量呈逐月下降趋势
C．2022年3月至2022年11月，原油产量同比增长率最高的月份是6月
D．2022年8月的原油产量低于2021年8月的原油产量
8.函数是定义在上的偶函数，且满足，当时，，若方程恰有三个不相等的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列说法正确的时（ ）
A.若 B.如果幂函数为偶函数，则图像一定经过点
C.的值域为 D.函数的零点为
10.甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取一个球放入乙罐，分别以A1，A2表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以B表示从乙罐中取出的球是红球的事件，下列结论不正确的是（ ）
A.事件B与事件A1相互独立 B.
C.事件B与事件A2相互独立 D.A1，A2互斥
11.某分层随机抽样中，有关数据为：第一层样本量为45，平均数为4，方差为2；第二层样本量为35，平均数为8，方差为1；第三层样本量为10，平均数为6，方差为3.
则下列叙述正确的是（结果保留两位小数） （ ）
A.第1、2层所有数据的均值为5.75 B.第1、2层所有数据的方差约为1.50 C.第1、2、3层所有数据的均值约为7.68 D.第1、2、3层所有数据的方差约为5.23
12.德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet，1805~1859）在数学领域成就显著.19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”，其中为实数集，为有理数集．则关于函数有如下四个命题，正确的为（ ）
A．对任意，都有
B．对任意，都存在，
C．若，，则有
D．存在三个点，，，使 ABC为等腰直角三角形.
第II卷（非选择题）
三、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.求的解集（集合或区间表示） .
14.已知函数，，则图像恒过定点的坐标为
.
15. 为充分挖掘“汉风古韵”文化内涵，汉中市创新策划了“汉风年，老家过”2024年迎新春系列文化活动，活动围绕“潮、赏、购、趣、游”5个主题开展。某公司计划从5个主题中选取2个主题制作吉祥物，则主题“游”当选的概率为 .
16.设集合，，函数，已知实数，且，则的取值范围为 .
四、解答题：本大题共6小题，17题满分10分，18—22题满分12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.计算：（1）；
（2）（其中为自然对数的底数，约为2.718…）
18.已知函数
(1)若不等式的解集为，求的值；
(2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围.
19.已知函数其中
求函数的定义域；
（2）若函数的最大值为2，求的值.
20.从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人（同一组的数据用该组区间的中点值为代表）.
(1)求第七组的频率；
(2)估计该校800名男生身高的平均数和50%分位数；
(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件，求．
21.已知函数是奇函数.
(1)求实数的值； (2)判断并用定义法证明函数的单调性；
(3)若，且当时，恒成立，求实数的取值范围.
22.．已知函数，，其中常数．
(1)当时，写出函数的单调区间（无需证明）；
(2)当时，方程有四个不相等的实根．
①求的乘积；
②是否存在实数，使得函数在区间单调，且的取值范围为，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
