浙江省杭州市富阳区2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 浙江省杭州市富阳区2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 630.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-23 22:20:20 | ||
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文档简介
富阳区2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题
学号____________ 姓名____________
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1．设集合，，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知，则 （ ）
A． B． C． D．
3．已知直线和，则“”是“”的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知，，且，，则 （ ）
A． B． C． D．
5．已知双曲线，若存在圆心在双曲线的一条渐近线上的圆，它与另一条渐近线、轴都相切，则该双曲线的离心率为 （ ）
A．3 B． C． D．2
6．现有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．事件“第一次取出的球的数字是3”，事件“第二次取出的球的数字是2”，事件“两次取出的球的数字之和是7”，事件“两次取出的球的数字之和是6”，则 （ ）
A．与相互独立 B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立
7．已知函数和都是定义在上的偶函数，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知实数，满足，则的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的或不选的得0分.
9．已知把函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数图象，（ ）
A． B．
C． D．
10．已知为坐标原点，点，，，，则 （ ）
A． B． C． D．
11．在平面直角坐标系中，三点，，，动点满足，则 （ ）
A．点的轨迹方程为 B．面积最大时
C．最大时， D．到直线距离最小值为
12．正三棱柱中，，点满足，其中，，则（ ）
A．当时，的周长为定值 B．当时，三棱锥的体积为定值
C．当时，有且仅有一个点，使 D．当时，有且仅有一个点，使平面
三、填空题：本大题共4小题，每题5分，双空题第一空2分，第二空3分，共20分.
13．在中，已知，，，则 ．
14．表面积为16π的球的内接轴截面为正方形的圆柱的体积为__________.
15．已知是椭圆的左右顶点，点分别在矩形的边上，，且与的交点在椭圆上（第一象限内），则_______．
16．如图，在三棱锥中，若底面是正三角形，侧棱长，、分别为棱、的中点，并且，则直线与面所成角的正切值为 ；三棱锥的外接球的体积为 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.(本题10分)近年来，在新高考改革中，打破文理分科的“3＋3模式初露端倪，其中，语、数、英三门为必考科目，剩下三门为选考科目（物理、化学、生物、政治、历史、地理）.选考科目采用赋分”，即原始分不直接使用，而是按照学生在本科目考试的排名来划分等级，并以此打分得到最后的得分，假定某省规定：选考科目按考生原始分数从高到低排列，按照占总体15%，35%，35%，13%和2%划定A、B、C、D、E五个等级，并分别赋分为90分、80分、70分、60分和50分.该省某高中高二（11）班（共40人）进行了一次模拟考试选考科目全考，单科全班排名，（已知这次模拟考试中历史成绩满分100分）的频率分布直方图和地理成绩的成绩单如下所示，李雷同学这次考试中历史82分，地理70多分.
（Ⅰ）采用赋分制后，求李雷同学历史成绩的最终得分；
（Ⅱ）采用赋分制后，若李雷同学地理成绩最终得分为80分，那么他地理成绩原始分的所有可能值是多少？
（Ⅲ）若韩梅同学必选历史，从地理、政治、物理、化学、生物五科中等可能地任选两科，则她选考科目中包含地理的概率是多少？
18．(本题12分)在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.
已知在中，，，分别是角，，的对边，___________.
（1）求； （2）AB=4，求面积的最大值。
19．(本题12分)如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，若M是AA1的中点.
（Ⅰ）求证：//平面MBD；
（Ⅱ）求的长为；
（Ⅲ）求直线与直线DM所成角的余弦值.
20.（本题12分）如图，已知长方形中，，，M为DC的中点.将沿折起，使得平面⊥平面.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若点是线段上的一动点，问点在何位置时，二面角的余弦值为.
21. （本题12分）如图，直线与圆相切于点，与抛物线相交于不同的两点，与轴相交于点.
（Ⅰ）若是抛物线的焦点，求直线的方程；
（Ⅱ）若，求的值.
22. （本题12分）设，已知函数，的零点分别是，，且．
（Ⅰ）若，求a的取值范围；
（Ⅱ）若，证明：；
（Ⅲ）若，证明：．
参考答案
1-8 BCBCD ADA 9. AC 10 .AC 11. ABD 12. BD
13. 或， 14. 15. 16.
17.解（1）80分以上的占，属于级，赋分制得分为90分.
（2）采用赋分制后，李雷同学地理成绩的最终得分为80分，故成绩在到之间，
，，故成绩在名和名之间，即到之间，
地理70多分，故可能的原始分数为76,77,78.
（3）记地理、政治、物理、化学、生物分别为，
共有10种情况，
满足条件的有4种，故.
18（1）方案一：选条件①.∵，∴，
∵，∴，即，
∵，∴，即，∵，∴.
方案二：选条件②.∵，∴.
∴，即，∴，∵，∴.
方案三：选条件③.由及正弦定理得，
∵，∴，∴，即，得，
故，又，∴.
（2）
19.解（1）连交于，连，则为的中点，又是的中点，所以，
又平面，平面，所以平面.
（2）因为，
所以
.
（3）设直线与直线DM所成角为，则，
因为，所以
，
因为，，
所以
.
所以直线与直线DM所成角的余弦值为.
20. （1）证明：∵长方形ABCD中，AB=，AD=，M为DC的中点，
∴AM=BM=2，∴BM⊥AM.
∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM 平面ABCM
∴BM⊥平面ADM
∵AD 平面ADM ∴AD⊥BM.
（2）建立如图所示的直角坐标系
设，则平面AMD的一个法向量，
，
设平面AME的一个法向量则
取y=1，得
所以，因为，求得，
所以E为BD的中点.
21. 解：（1）因为是抛物线的焦点，所以，即，
设直线的方程为，由直线与圆相切，得，即，
所以，直线的方程为.
（2）设直线的方程为，，，，
由，得，，，
∴.
由直线与圆相切，得，即.
由，，得.
所以，又，解得.
由直线与互相垂直，得，
.
22. 解：（Ⅰ）因为在上单调递增，且，所以，且．
所以，，且，所以，．所以实数a的取值范围．
（Ⅱ）当时，在上单调递增，且，所以，．
因为在上单调递增，，所以，．
所以，对任意的恒成立，
所以，，所以，．
（Ⅲ）当时，在上单调递增，且，
所以，，因为在上单调递增．所以，，因为，
，所以，
，故，．
试卷第6页，共7页
学号____________ 姓名____________
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1．设集合，，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知，则 （ ）
A． B． C． D．
3．已知直线和，则“”是“”的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知，，且，，则 （ ）
A． B． C． D．
5．已知双曲线，若存在圆心在双曲线的一条渐近线上的圆，它与另一条渐近线、轴都相切，则该双曲线的离心率为 （ ）
A．3 B． C． D．2
6．现有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．事件“第一次取出的球的数字是3”，事件“第二次取出的球的数字是2”，事件“两次取出的球的数字之和是7”，事件“两次取出的球的数字之和是6”，则 （ ）
A．与相互独立 B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立
7．已知函数和都是定义在上的偶函数，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知实数，满足，则的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的或不选的得0分.
9．已知把函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数图象，（ ）
A． B．
C． D．
10．已知为坐标原点，点，，，，则 （ ）
A． B． C． D．
11．在平面直角坐标系中，三点，，，动点满足，则 （ ）
A．点的轨迹方程为 B．面积最大时
C．最大时， D．到直线距离最小值为
12．正三棱柱中，，点满足，其中，，则（ ）
A．当时，的周长为定值 B．当时，三棱锥的体积为定值
C．当时，有且仅有一个点，使 D．当时，有且仅有一个点，使平面
三、填空题：本大题共4小题，每题5分，双空题第一空2分，第二空3分，共20分.
13．在中，已知，，，则 ．
14．表面积为16π的球的内接轴截面为正方形的圆柱的体积为__________.
15．已知是椭圆的左右顶点，点分别在矩形的边上，，且与的交点在椭圆上（第一象限内），则_______．
16．如图，在三棱锥中，若底面是正三角形，侧棱长，、分别为棱、的中点，并且，则直线与面所成角的正切值为 ；三棱锥的外接球的体积为 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.(本题10分)近年来，在新高考改革中，打破文理分科的“3＋3模式初露端倪，其中，语、数、英三门为必考科目，剩下三门为选考科目（物理、化学、生物、政治、历史、地理）.选考科目采用赋分”，即原始分不直接使用，而是按照学生在本科目考试的排名来划分等级，并以此打分得到最后的得分，假定某省规定：选考科目按考生原始分数从高到低排列，按照占总体15%，35%，35%，13%和2%划定A、B、C、D、E五个等级，并分别赋分为90分、80分、70分、60分和50分.该省某高中高二（11）班（共40人）进行了一次模拟考试选考科目全考，单科全班排名，（已知这次模拟考试中历史成绩满分100分）的频率分布直方图和地理成绩的成绩单如下所示，李雷同学这次考试中历史82分，地理70多分.
（Ⅰ）采用赋分制后，求李雷同学历史成绩的最终得分；
（Ⅱ）采用赋分制后，若李雷同学地理成绩最终得分为80分，那么他地理成绩原始分的所有可能值是多少？
（Ⅲ）若韩梅同学必选历史，从地理、政治、物理、化学、生物五科中等可能地任选两科，则她选考科目中包含地理的概率是多少？
18．(本题12分)在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.
已知在中，，，分别是角，，的对边，___________.
（1）求； （2）AB=4，求面积的最大值。
19．(本题12分)如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，若M是AA1的中点.
（Ⅰ）求证：//平面MBD；
（Ⅱ）求的长为；
（Ⅲ）求直线与直线DM所成角的余弦值.
20.（本题12分）如图，已知长方形中，，，M为DC的中点.将沿折起，使得平面⊥平面.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若点是线段上的一动点，问点在何位置时，二面角的余弦值为.
21. （本题12分）如图，直线与圆相切于点，与抛物线相交于不同的两点，与轴相交于点.
（Ⅰ）若是抛物线的焦点，求直线的方程；
（Ⅱ）若，求的值.
22. （本题12分）设，已知函数，的零点分别是，，且．
（Ⅰ）若，求a的取值范围；
（Ⅱ）若，证明：；
（Ⅲ）若，证明：．
参考答案
1-8 BCBCD ADA 9. AC 10 .AC 11. ABD 12. BD
13. 或， 14. 15. 16.
17.解（1）80分以上的占，属于级，赋分制得分为90分.
（2）采用赋分制后，李雷同学地理成绩的最终得分为80分，故成绩在到之间，
，，故成绩在名和名之间，即到之间，
地理70多分，故可能的原始分数为76,77,78.
（3）记地理、政治、物理、化学、生物分别为，
共有10种情况，
满足条件的有4种，故.
18（1）方案一：选条件①.∵，∴，
∵，∴，即，
∵，∴，即，∵，∴.
方案二：选条件②.∵，∴.
∴，即，∴，∵，∴.
方案三：选条件③.由及正弦定理得，
∵，∴，∴，即，得，
故，又，∴.
（2）
19.解（1）连交于，连，则为的中点，又是的中点，所以，
又平面，平面，所以平面.
（2）因为，
所以
.
（3）设直线与直线DM所成角为，则，
因为，所以
，
因为，，
所以
.
所以直线与直线DM所成角的余弦值为.
20. （1）证明：∵长方形ABCD中，AB=，AD=，M为DC的中点，
∴AM=BM=2，∴BM⊥AM.
∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM 平面ABCM
∴BM⊥平面ADM
∵AD 平面ADM ∴AD⊥BM.
（2）建立如图所示的直角坐标系
设，则平面AMD的一个法向量，
，
设平面AME的一个法向量则
取y=1，得
所以，因为，求得，
所以E为BD的中点.
21. 解：（1）因为是抛物线的焦点，所以，即，
设直线的方程为，由直线与圆相切，得，即，
所以，直线的方程为.
（2）设直线的方程为，，，，
由，得，，，
∴.
由直线与圆相切，得，即.
由，，得.
所以，又，解得.
由直线与互相垂直，得，
.
22. 解：（Ⅰ）因为在上单调递增，且，所以，且．
所以，，且，所以，．所以实数a的取值范围．
（Ⅱ）当时，在上单调递增，且，所以，．
因为在上单调递增，，所以，．
所以，对任意的恒成立，
所以，，所以，．
（Ⅲ）当时，在上单调递增，且，
所以，，因为在上单调递增．所以，，因为，
，所以，
，故，．
试卷第6页，共7页
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