人教版数学八年级下册同步练习17.1.1 勾股定理的发现和证明（含答案）
文档属性
| 名称 | 人教版数学八年级下册同步练习17.1.1 勾股定理的发现和证明（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 267.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-25 09:16:26 | ||
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文档简介
第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
第1课时 勾股定理的发现和证明
1.以直角三角形的三边为边向外作正方形，图中字母所代表的正方形的面积为175的选项为（ ）
2.[2023盘锦盘山期末]如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝2，EC＝5，则正方形ABCD的面积为（ ）
A.15 B.17
C.10 D.18
3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，若a＝9，b＝12，则c＝ ；若c＝2，则a2＋b2＝ .
4.如图，直线l经过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离分别是1，3，则正方形ABCD的面积是 .
5.如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”.只用没有刻度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出以格点为端点、长度为的线段 条.
6.[2023重庆B卷]如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，若AB＝5，BC＝6，则AD的长度为 .
7. [2023本溪模拟]如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为S1，S2，S3，S4.若S1＝48，S2＋S3＝135，则S4＝（ ）
A.183 B.87
C.119 D.81
8.意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理.若设如图中空白部分的面积为S1，右图中空白部分的面积为S2，则下列表示S1，S2的等式成立的是（ ）
A.S1＝a2＋b2＋2ab
B.S1＝a2＋b2＋ab
C.S2＝c2
D.S2＝c2＋ab
9.[2023扬州]我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成的.如图，直角三角形的直角边长为a，b，斜边长为c，若b－a＝4，c＝20，则每个直角三角形的面积为 .
10.[2023重庆渝中区期末]如图，将△ABC放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为1），点A，B，C恰好在网格图中的格点上，求△ABC的BC边上的高的长度.
11.△ABC中，∠ACB＝90°.
（1）如图①和图②，以直角三角形的三边为边向外分别作等边三角形和半圆，探究此时S1＋S2与S3的关系并选择其中之一证明.
（2）根据上面问题的启发，请尝试给出一个新的发现，并说明理由.
12.[2023南京模拟]如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，且AB＝2，分别以AB，AC，BC为直径画半圆，其中所得两个月形图案AFCD和BGCE（图中阴影部分）的面积之和等于（ ）
A.8 B.4
C.2 D.4
13.【学科素养 创新意识】勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同.其中的“面积法”给了小聪灵感.他发现：当两个全等的直角三角形如图①或图②所示摆放时，都可以用“面积法”来证明.下面是小聪利用图①证明勾股定理的过程：
将两个全等的直角三角形按图①所示的方式摆放，其中∠DAB＝90°，
求证：a2＋b2＝c2.
证明：连接DB， DC，过点D作BC边上的高DF，易得DF＝ EC＝b－a.
∵S四边形ADCB＝S△ACD＋S△ABC＝b2＋ab，
S四边形ADCB＝S△ADB＋S△DCB＝c2＋a（b－a），
∴b2＋ab＝c2＋a（b－a），
∴a2＋b2＝c2.
请参照上述证法，利用图②完成勾股定理的证明.
6
参考答案
1.A 2.B 3.15；4 4.10 5.8 6.4
7.B 点拨：由题意可知：S1＝AB2，S2＝BC2，S3＝CD2，S4＝AD2，连接BD，∵∠DAB＝∠BCD＝90°，∴BD2＝AD2＋AB2＝CD2＋BC2，即S1＋S4＝S3＋S2，因此S4＝135－48＝87，故选B.
8.B 9.96
10.解：根据图形可得：△ABC的面积为：16－×1×4－×3×2－×2×4＝7，
BC＝＝，
设△ABC中BC边上的高是x，则BC·x＝7，
∴x＝.
11.解：（1）S1＋S2＝S3.
证明如下：设BC＝a，AC＝b，AB＝c.
在图①中，易得S1＝b2，S2＝a2，S3＝c2，
则S1＋S2＝（a2＋b2），
因为a2＋b2＝c2，所以S1＋S2＝S3.
在图②中，S1＝πb2，S2＝πa2，S3＝πc2.
则S1＋S2＝π（a2＋b2），
因为a2＋b2＝c2，
所以S1＋S2＝S3.
（2）以直角三角形的三边为斜边向外分别作等腰直角三角形，同样满足S1＋S2＝S3.
易知S1＝AC2，S2＝BC2，S3＝AB2.
则S1＋S2＝（AC2＋BC2），
因为AC2＋BC2＝AB2，
所以S1＋S2＝S3.（答案不唯一）
12.C 点拨：在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝2，
∴AC2＋BC2＝AB2＝8＝2AC2，∴AC＝CB＝2，
∴S△ACB＝AC·BC＝2，
∴S阴影＝π＋S△ACB－π＝π＋2－π＝2，故选C.
13.证明：如图，连接BD，过点B作DE边上的高BF，易得BF＝b－a，
∵S五边形ACBED＝S△ACB＋S△ABE＋S△ADE＝ab＋b2＋ab，S五边形ACBED＝S△ACB＋S△ABD＋S△BDE＝ab＋c2＋a，
∴ab＋b2＋ab＝ab＋c2＋a（b－a），
∴a2＋b2＝c2.
17.1 勾股定理
第1课时 勾股定理的发现和证明
1.以直角三角形的三边为边向外作正方形，图中字母所代表的正方形的面积为175的选项为（ ）
2.[2023盘锦盘山期末]如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝2，EC＝5，则正方形ABCD的面积为（ ）
A.15 B.17
C.10 D.18
3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，若a＝9，b＝12，则c＝ ；若c＝2，则a2＋b2＝ .
4.如图，直线l经过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离分别是1，3，则正方形ABCD的面积是 .
5.如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”.只用没有刻度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出以格点为端点、长度为的线段 条.
6.[2023重庆B卷]如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，若AB＝5，BC＝6，则AD的长度为 .
7. [2023本溪模拟]如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为S1，S2，S3，S4.若S1＝48，S2＋S3＝135，则S4＝（ ）
A.183 B.87
C.119 D.81
8.意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理.若设如图中空白部分的面积为S1，右图中空白部分的面积为S2，则下列表示S1，S2的等式成立的是（ ）
A.S1＝a2＋b2＋2ab
B.S1＝a2＋b2＋ab
C.S2＝c2
D.S2＝c2＋ab
9.[2023扬州]我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成的.如图，直角三角形的直角边长为a，b，斜边长为c，若b－a＝4，c＝20，则每个直角三角形的面积为 .
10.[2023重庆渝中区期末]如图，将△ABC放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为1），点A，B，C恰好在网格图中的格点上，求△ABC的BC边上的高的长度.
11.△ABC中，∠ACB＝90°.
（1）如图①和图②，以直角三角形的三边为边向外分别作等边三角形和半圆，探究此时S1＋S2与S3的关系并选择其中之一证明.
（2）根据上面问题的启发，请尝试给出一个新的发现，并说明理由.
12.[2023南京模拟]如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，且AB＝2，分别以AB，AC，BC为直径画半圆，其中所得两个月形图案AFCD和BGCE（图中阴影部分）的面积之和等于（ ）
A.8 B.4
C.2 D.4
13.【学科素养 创新意识】勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同.其中的“面积法”给了小聪灵感.他发现：当两个全等的直角三角形如图①或图②所示摆放时，都可以用“面积法”来证明.下面是小聪利用图①证明勾股定理的过程：
将两个全等的直角三角形按图①所示的方式摆放，其中∠DAB＝90°，
求证：a2＋b2＝c2.
证明：连接DB， DC，过点D作BC边上的高DF，易得DF＝ EC＝b－a.
∵S四边形ADCB＝S△ACD＋S△ABC＝b2＋ab，
S四边形ADCB＝S△ADB＋S△DCB＝c2＋a（b－a），
∴b2＋ab＝c2＋a（b－a），
∴a2＋b2＝c2.
请参照上述证法，利用图②完成勾股定理的证明.
6
参考答案
1.A 2.B 3.15；4 4.10 5.8 6.4
7.B 点拨：由题意可知：S1＝AB2，S2＝BC2，S3＝CD2，S4＝AD2，连接BD，∵∠DAB＝∠BCD＝90°，∴BD2＝AD2＋AB2＝CD2＋BC2，即S1＋S4＝S3＋S2，因此S4＝135－48＝87，故选B.
8.B 9.96
10.解：根据图形可得：△ABC的面积为：16－×1×4－×3×2－×2×4＝7，
BC＝＝，
设△ABC中BC边上的高是x，则BC·x＝7，
∴x＝.
11.解：（1）S1＋S2＝S3.
证明如下：设BC＝a，AC＝b，AB＝c.
在图①中，易得S1＝b2，S2＝a2，S3＝c2，
则S1＋S2＝（a2＋b2），
因为a2＋b2＝c2，所以S1＋S2＝S3.
在图②中，S1＝πb2，S2＝πa2，S3＝πc2.
则S1＋S2＝π（a2＋b2），
因为a2＋b2＝c2，
所以S1＋S2＝S3.
（2）以直角三角形的三边为斜边向外分别作等腰直角三角形，同样满足S1＋S2＝S3.
易知S1＝AC2，S2＝BC2，S3＝AB2.
则S1＋S2＝（AC2＋BC2），
因为AC2＋BC2＝AB2，
所以S1＋S2＝S3.（答案不唯一）
12.C 点拨：在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝2，
∴AC2＋BC2＝AB2＝8＝2AC2，∴AC＝CB＝2，
∴S△ACB＝AC·BC＝2，
∴S阴影＝π＋S△ACB－π＝π＋2－π＝2，故选C.
13.证明：如图，连接BD，过点B作DE边上的高BF，易得BF＝b－a，
∵S五边形ACBED＝S△ACB＋S△ABE＋S△ADE＝ab＋b2＋ab，S五边形ACBED＝S△ACB＋S△ABD＋S△BDE＝ab＋c2＋a，
∴ab＋b2＋ab＝ab＋c2＋a（b－a），
∴a2＋b2＝c2.