2018~2019学年3月四川成都锦江区北京师范大学成都实验中学高一下学期月考数学试卷（PDF版含解析）

2018~2019学年3月四川成都锦江区北京师范大学成都实验中学高一下学期
月考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1、若 ， ， ， ，则下面四个命题中，正确的命题是（ ）．
A.若 ， ，则
B.若 ，则
C.若 ，则
D.若 ， ，则
2、在等差数列 中， ， ，则 的值是（ ）．
A.
B.
C.
D.
3、在 中，已知 ， ， ，则 等于（ ）．
A.
B.
C.
D.
4、各项均为正数的等比数列 中，若 ，则 （ ）．
A.
B.
C.
D.
5、在 中，若 ， ， ，则 （ ）．
A.
B.
C.
D.
6、在数列 中， ， ，则 （ ）．
A.
B.
C.
D.
7、设变量 ， 满足 ，则 的最大值为（ ）．
A.
B.
C.
D.
8、已知 ，则函数 的最小值为（ ）．
A.
B.
C.
D.
9、函数 ，若 ，则 的值是（ ）．
A.
B.
C. 或
D. 或
10、已知数列 中， ，前 项和为 ，且点 在直线 上，则
（ ）．
A.
B.
C.
D.
11、若函数 且 ，则 、 、 的大小关系是（ ）．
A.
B.
C.
D.
12、已知函数 ，函数 ．关于 的零点，下列
判断不正确的是（ ）．
A.若 ， 有一个零点
B.若 ， 有两个零点
C.若 ， 有三个零点
D.若 ， 有四个零点
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
13、已知向量 ， 不共线，若 ， ， // ，则实数 ．
14、在 中，角 ， ， 所对的边长分别为 ， ， ．若 ，则 的形状是 ．
15、已知 ， ，则 ．
16、已知数列 满足： ，定义使 为整数的数
叫做企盼数，则区间 内所有的企盼数的和为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、关于 的不等式 ．
(1)、若不等式的解集是 或 ，求 的值．
(2)、若不等式的解集为 ，求 的取值范围．
18、已知 ， ， 分别为 三个内角 ， ， 的对边， ．
(1)、求 ．
(2)、若 ， 的面积为 ，求 ， ．
19、已知数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)、求数列 的通项公式.
(2)、在数列 中， ， ，求数列 的通项公式．
20、已知向量 ， ， ，函数 ，且最小正周期为 ．
(1)、求 的值．
(2)、设 ， ， ， ，求 的值．
(3)、若 ，求函数 的值域．
21、已知等差数列 的首项 ，且公差 ，它的第 项，第 项，第 项分别是等比数列 的第 ，
， 项．
(1)、求数列 与 的通项公式．
(2)、令 ，记数列 的前 项和为 ，若对于任意 ，都有 成立，求实
数 的取值范围．
(3)、设数列 对任意正整数 均有 成立，求 的值．
22、已知函数 ， ．
(1)、当 时，写出函数 的单调递增与单调递减区间（不要求过程）．
(2)、当 时，函数 在区间 上的最大值为 ，求实数 的取值范围．
(3)、当 时，若不等式 对任意 ， 恒成立，求
实数 的取值范围．
参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1、
【答案】
B
【分析】
A．如 ， ， ，满足 ， ，且 ，故错误；
C．若 ，当 ，则 ，故错误；
D．如 ， ， ， ，满足 ， ，但 ，故错误．
2、
【答案】
A
【分析】
∵ 为等差数列，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
，
，
∴ ，
，
．
故选A．
3、
【答案】
D
【分析】
余弦定理： ，代入数据得 ．
4、
【答案】
B
【分析】
利用等比数列性质: ， ．
故选B．
5、
【答案】
B
【分析】
由正弦定理得 ，即 ，所以 ．
故选B．
6、
【答案】
A
【分析】
由 ，得 ．
则当 时，
，当 时，此式也成立．
7、
【答案】
D
【分析】
满足约束条件 的平面区域如图阴影部分所示：
令 ，可得 ，则 为直线 在 轴上的截距，截距越大， 越大，
作直线 ，
把直线 向上平移可得过点 时 最大，
由 可得 ， ，此时 ．
故选D．
8、
【答案】
C
【分析】
，
∴ ， ，
当且仅当 ，即 时取等号．
故选C．
9、
【答案】
C
【分析】
∵ ，
∵ ，
∴①当 时， ，
②当 时， ， ， ，
又∵ ，
∴ ，
综上， 或 ．
故选C．
10、
【答案】
C
【分析】
∵点 在直线 上，
∴ ，
∴数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
．
故选C．
11、
【答案】
B
【分析】
由题意可得，
、 、 分别看作函数 图象上点 ， ， 与原点连线的斜
率，
结合图象可知当 时， ．
故选B．
12、
【答案】
D
【分析】
函数 的图象如下图所示：
令 ， 时， 有两根， 时， 有一根，
若 ，则 ．
此时 ，由上图可得，此时函数 有一个根，
即 有一个零点，故A正确；
若 ，则由 得 ， ，
此时 有三个根，
即 有三个零点，故C正确；
若 ，则 有两个根，但均小于 ．
此时， 有两个根，故B正确；
若 ，则 有两个根，一个大于 ，一个小于 ．
此时， 有三个根，故D错误；
故选D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
13、
【答案】
【分析】
// ， ， ．
故答案为： ．
14、
【答案】
等腰或直角三角形
【分析】
，∴ ，∴ ，
∴ 或 或 ．
15、
【答案】
【分析】
∵
∴ ，
结合 可得 ， ，
又∵ ，
∴ ， ， ， ．
∴ ．
16、
【答案】
【分析】
，
要使结果为整数 ，则应有 ，
令 ，解得 ，
之后相当于求解一个数列前十项和即可．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、
【答案】
(1)、
．
(2)、
．
【分析】
(1)、因为不等式的解集为 或 ，
所以 ，
即 ．
(2)、若不等式的解集为 ，
则 ，
即 ．
解得： ．
18、
【答案】
(1)、
．
(2)、
．
【分析】
(1)、 ，由正弦定理有：
，即 ，
又， ，
所以 即 ,
所以 ．
(2)、 , 所以 ，
，由余弦定理得： ，即 ，
即有
解得 .
19、
【答案】
(1)、
.
(2)、
.
【分析】
(1)、当 时， ，∴ ；
当 时， ，① ，②
① ②得： ，即 ，
数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
．
(2)、 ，
当 时， ，
，
，
，
累加得 ．
当 时， ，
．
20、
【答案】
(1)、
．
(2)、
．
(3)、
．
【分析】
(1)、由已知，易得 ，
的最小正周期为 ，即 ，解得 ．
(2)、由（ ），知 ，
则 ，
所以 ，又 ，所以 ，
同理 ，
所以 ，又 ，所以 ，
所以 ．
(3)、当 时， ，
令 ，则 ，
则函数可化为 ， ，
当 时， ，
当 时， ，
所以，函数 的值域为： ．
21、
【答案】
(1)、
， ．
(2)、
或 ．
(3)、
．
【分析】
(1)、 ，
∴ ， ， ，
∴ ， ， ，公比 ，
∴ ．
(2)、 ，
∴ ，
恒成立，即 恒成立，
恒成立， ，
∴ 或 ．
(3)、 ①，
∴ ②，
由① ②得 ，
∴ ，
∴ ．
设
③，
④，
③ ④得：
，
∴ ．
22、
【答案】
(1)、
单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 和 ．
(2)、
．
(3)、
．
【分析】
(1)、单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 和 ．
(2)、∵ ，
∴ 在 上递减，在 上递增，
又∵ 在区间 上的最大值为 ，
∴ ，得 ，
∴ ，即 ．
(3)、∵ ，
∴ 恒成立，
令 ，
∴ 在 上递增．
对于 ，
（ ）当 时， ，
①当 时， 在 上递增，所以 符合；
②当 时， 在 上递增，所以 符合；
③当 时，设 ， ，
欲 恒成立，只需 即可，即 ．
当 ， 都趋向于 时， 最大，
∴ ，
即只需 ，即 ，
∴ ，
∴ ．
（ ）当 时， ，
①当 时， 在 上递减，所以 不合；
②当 时， 在 上递减，所以 不合；
③当 时，同样由单调性定义可得，只需 ，即
，
∴ ，
又 为连续函数， ．
综上可知： ．