2018~2019学年5月湖南长沙天心区明德天心中学初三下学期月考A卷数学试卷（含解析）

2018~2019学年5月湖南长沙天心区明德天心中学初三下学期月考A卷数学
试卷
一、选择题（本大题共12题，每小题3分，共计36分。）
1、 等于（ ）．
A.
B.
C.
D.
2、下列计算正确的是（ ）．
A.
B.
C.
D.
3、我国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界一些国家的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口
为 人，这个数用科学记数法表示为（ ）．
A.
B.
C.
D.
4、如图，有一块含有 角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上，如果 ，那么 的度数是（
）．
A.
B.
C.
D.
5、下列说法正确的是（ ）．
A.“明天降雨的概率为 ”，意味着明天一定有半天都在降雨
B.了解全国快递包裹产生的包装垃圾数量适合采用全面调查（普查）方式
C.掷一枚质地均匀的骰子，骰子停止转动后， 点朝上是必然事件
D.一组数据的方差越大，则这组数据的波动也越大
6、如图所示的几何体的左视图是（ ）．
A.
正视方向
B.
C.
D.
7、如图， 是⊙ 的直径， 是⊙ 上的一点， ，则 的度数是（ ）．
A.
B.
C.
D.
8、如图，在Rt 中， ， ， ， ， 分别为 ， ， 的中点，若 ，
则 的长度为（ ）．
A.
B.
C.
D.
9、在平面直角坐标系中，点 ， ，以原点 为位似中心，相似比为 ，把 缩小，则
点 的对应点 的坐标是（ ）．
A.
B.
C. 或
D. 或
10、二次函数 的图象如图所示，则反比例函数 与一次函数 在同一坐标系内的
大致图象是（ ）．
A.
B.
C.
D.
11、若点 ， ， 在双曲线 上，则 ， ， 的大小关系是（ ）．
A.
B.
C.
D.
12、如图，在正方形 中， 是等边三角形， 、 的延长线分别交 于点 、 ，连接 、
、 与 相交于点 ，给出下列结论：
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ，其中正确
的是（ ）．
A.①②③④
B.①③④⑤
C.①②④⑤
D.②③④⑤
二、填空题（本大题共6题，每小题3分，共计18分。）
13、已知函数 ，则自变量 的取值范围是 ．
14、因式分解： ．
15、若正多边形的每一个外角为 ，则这个正多边形的边数是 ．
16、圆锥的底面半径为 cm，母线长为 cm，则这个圆锥的侧面积是 ．
17、如图，正方形 的边长为 ，点 在边 上， ， 两点关于对角线 对称，若 ，则
．
18、如图，反比例函数 的图象经过平行四边形 对角线的交点 ，已知点 ， ，
在坐标轴上， ，平行四边形 的面积为 ，则 ．
y
O x
三、解答题（本大题共8题，共计66分。）
19、计算： ．
20、先化简，再求值： ，请选择一个适当的数代入求值．
21、某中学为了解学生对新闻、体育、娱乐、动画四类电视节目的喜爱情况，进行了统计调查．随机调查了某
班所有同学最喜欢的节目（每名学生必选且只能选择四类节目中的一类）并将调查结果绘成如下不完整的统计
图．，根据两图提供的信息，回答下列问题：
新闻 学生人数
娱乐
体育
动画
新闻 体育 娱乐 动画 节目类型
(1)、最喜欢娱乐类节目的有 人，图中 ．
(2)、请补全条形统计图．
(3)、在全班同学中，有甲、乙、丙、丁等同学最喜欢体育类节目，班主任打算从甲、乙、丙、丁 名同学中选
取 人参加学校组织的体育知识竞赛，请用列表法或树状图求同时选中甲、乙两同学的概率．
22、如图，为了测量山坡上一棵树 的高度，小明在点 处利用测角仪测得树顶 的仰角为 ，然后他沿着
正对树 的方向前进 m到达点 处，此时测得树顶 和树底 的仰角分别是 和 ，设 垂直于 ，且
垂足为 ．
(1)、求 的度数．
(2)、求树 的高度（结果精确到 m， ）．
23、某文具店购进一批纪念册，每本进价为 元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于 元且不高于
元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量 （本）与每本纪念册的售价 （元）之间满足一次函数关系且
为正整数：当销售单价为 元时，销售量为 本；当销售单价为 元时，销售量为 本．
(1)、求出 与 的函数关系式．
(2)、当文具店每周销售这种纪念册获得 元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？
(3)、设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为 元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店
每周销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？
24、如图， 是⊙ 的直径，点 ， 在⊙ 上， ，点 在 的延长线上， ．
(1)、求证： 是⊙ 的切线．
(2)、连接 ，求证： ．
(3)、若 ， ，求⊙ 的半径长．
25、如图，在平面直角坐标系中，分别过曲线段 的两个端点作 轴的垂线交 轴
于点 、 ，我们把线段 叫做曲线段 在 轴上的“射影”，线段 的长
度叫做曲线段 在 轴上的“射影长度”，在 轴上的“射影范围”为点 、 横坐标之间的范围；同理，分别过
曲线段 的两个端点作 轴的垂线交 轴于点 、 ，我们把线段 叫曲线段 在 轴上的“射影”，例
如，若图中 ， 在 轴上的“射影”分别 ， ，则曲线段 在 轴上的“射影长
度”为 ，在 轴上的“射影范围”为 ．
(1)、反比例函数 的部分图像在 轴上的“射影范围”为 ，求此时在 轴上的“射影长度”．
(2)、当 时，若二次函数 的部分图象在 轴的“射影范围”为 时，在 轴上
的“射影”最高点为 ，求 的值．
(3)、二次函数 ，其中 ，与一次函数 的交点为 、 ，求线
段 在 轴上的“射影长度”的取值范围．
26、如图 ，在平面直角坐标系中，抛物线 经过 ， ， ，顶点为 ．
图
(1)、求抛物线的解析式．
(2)、假设点 是直线 上方抛物线上一动点，过点 作 ，求当 取得最大值时，点 的坐标．
(3)、连接 、 、 ，设 沿 轴正方向平移 个单位长度（ ）时， 与 重叠部
分的面积为 ，求 与 之间的函数关系式，并指出 的取值范围．
备用图 备用图
参考答案
一、选择题
1、
【答案】
A
【分析】
．
故选A．
2、
【答案】
D
【分析】
，A错误；
，B错误；
，C错误；
，D正确；
故选：D．
3、
【答案】
C
【分析】
．
4、
【答案】
B
【分析】
如图：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选：B．
5、
【答案】
D
【分析】
略
6、
【答案】
B
【分析】
从左边观察几何体，能够看到的线用实线，看不到的线用虚线，所以图中几何体左视图应选B．
故选B．
7、
【答案】
C
【分析】
∵ ，
∴ ，
∵ 是直径，
∴ ．
故选C．
8、
【答案】
A
【分析】
∵ ， 为 的中点，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ， 分别为 ， 的中点，
∴ ．
故选A．
9、
【答案】
D
【分析】
∵ 的一个顶点 的坐标是 ，
以原点 为位似中心，相似比为 ，
将 缩小得到它的位似图形 ，
∴点 的坐标是 或 ，
即 或 ，
故选D．
10、
【答案】
D
【分析】
∵二次函数的图象开口向上，即 ，
∴反比例函数 的图象必在第一、三象限，故A，B错误，
∵二次函数的图象与 轴交点的纵坐标小于 ，
∴ ，
∴一次函数 的图象与 轴的交点必在 轴下方，故C错误，D正确．
故选D．
11、
【答案】
C
【分析】
∵ ，
∴ 的图象必经过二、四象限．
∵点 ， ， 在双曲线 上，
∴ ， 分布在第二象限，
在第四象限，每个象限内，
随 的增大而增大，
∴ ．
故选C．
12、
【答案】
B
【分析】
①∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
在正方形 中，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故①正确；
②∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故②错误；
③∵ ，
，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，故③正确；
④∵ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故④正确；
⑤如图，过 作 ， ，设正方形 的边长是 ， 为正三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
，故⑤正确；
故答案为：①③④⑤．
故选：B．
二、填空题
13、
【答案】
且
【分析】
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴自变量 的取值范围是 且 ．
14、
【答案】
【分析】
．
15、
【答案】
【分析】
∵正多边形外角和为 ，
∴正多边形边数为 ，
故答案为： ．
16、
【答案】
cm
【分析】
圆锥的侧面积 底面周长 母线长 ，
∵底面半径为 cm，
∴底面周长为 cm，
∴侧面积 cm ．
故答案为： cm ．
17、
【答案】
【分析】
在正方形 中， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， 两点关于对角线 对称，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
18、
【答案】
【分析】
连接 ，
y
O x
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∵ 平行四边形 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
三、解答题
19、
【答案】
．
【分析】
．
20、
【答案】
； 时，原式 ．
【分析】
原式
，
∵ ，
∴ ，
把 代入得 ．
21、
【答案】
(1)、 ;
(2)、
画图见解析．
(3)、
．
【分析】
(1)、∵被调查的总人数为 （人），
∴最喜欢娱乐类节目的有 （人），
，即 ，
故答案为： ， ．
(2)、补全条形统计图如下：
学生人数
新闻 体育 娱乐 动画 节目类型
(3)、画树状图得：
开始
甲 乙 丙 丁
乙丙 丁 甲 丙 丁 甲 乙丁 甲 乙 丙
∵共有 种等可能的结果，恰好同时选中甲、乙两位同学的有 种情况，
∴恰好同时选中甲、乙两位同学的概率为 ．
22、
【答案】
(1)、
．
(2)、
米．
【分析】
(1)、∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
(2)、设 m，
∵ ， ，
∴ m， m，
∵ ，
∴ m，
∴ m，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ m，
∵ m，
∴ ，
解得： （米），
∴ （米），
故树 的高度约为 米．
23、
【答案】
(1)、
．( ， 为整数)
(2)、
．
(3)、
将该纪念册销售单价定为 元时，才能使文具店每周销售该纪念册所获利润最大，最大利润是 元．
【分析】
(1)、设 ，
把 与 代入得： ，
解得： ，
则 ．
(2)、设当文具店每周销售这种纪念册获得 元的利润时，每本纪念册的销售单价是 元，
根据题意得： ，
则 ，
整理得： ，
，
解得： ， （不合题意舍去），
答：每本纪念册的销售单价是 元．
(3)、由题意可得：
，
此时当 时， 最大，
又 售价不低于 元且不高于 元，
时， 随 的增大而增大，即当 时， 最大 （元）．
答：该纪念册销售单价定为 元时，才能使文具店每周销售该纪念册所获利润最大，最大利润是 元．
24、
【答案】
(1)、
证明见解析．
(2)、
证明见解析．
(3)、
．
【分析】
(1)、连接 ，
则 ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ 是直径，
∴ ，
∴ 与 相切．
(2)、连接 ， ，
∵ 与 是同弧所对的圆周角，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
(3)、连接 ，
则 ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
， ，
∴ ，
∴ ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
25、
【答案】
(1)、
．
(2)、
．
(3)、
．
【分析】
(1)、反比例函数 在第一象限内随 随 增大而减小，
∴为 时， ，当 时， ，
∴当 时， ，
∴此时在 轴的“射影长度”为 ．
(2)、当 时，二次函数 ，
∴二次函数的对称轴为直线 ，
∵二次函数在 轴的“射影范围”为 时，在 轴的“射影”最高点为 ，
∴当 时，二次函数 的最大值为 ，根据题意，分两种情况讨论．
当 时，在 时，二次函数取最大值，即 不成立，
当 时，在 时，二次函数取最大值，即 ．
所以， ，解得， ， （舍去）．
综上可得， ．
(3)、设 ， 两点坐标分别为 、 ，则 ， 是一元二次方程， 的
两个根，
所以， ， ， ， 可知， ， ， ，
∴ ，
因此， ，
所以 ．
设线段 在 轴的“射影长度”为 ，则
．
所以，当 时， ．
26、
【答案】
(1)、
．
(2)、
．
(3)、
．
【分析】
(1)、由题意得，设抛物线解析式为 ，
将 代入上式， ，
解得 ，
∴ ．
(2)、如图 ，
图
∵ ， ， ，
∴ ，
即 是等腰直角三角形，且珍惜 的解析式为： ，
过点 作 轴，交 于点 ，则有 轴，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴当 时， ．取得最大值，即 取得最大值，
此时，点 的坐标为 ．
(3)、设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入，得 ，
解得 ，
则直线 的解析式为 ，
过 点作射线 轴交 于点 ，
当 时，得 ，
故 ，
情况一：如图 ，
图
当 时，设 平移到 的位置， 交 于点 ， 交 于点 ，
则 ，
过点 作 轴于点 ，交 于点 ，
由 ，得 ，即 ，
解得： ，
∴ 阴
，
情况二：如图 ，
图
当 时，
设 平移到 的位置，
交 于点 ，交 于点 ，
由 ，得 ，即 ，
解得： ，
∴ 阴
，
综上所述： ．