期末预测模拟卷（二）2023-2024学年数学高三上学期人教A版（含答案）

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期末预测模拟卷（二）2023-2024学年数学高三上学期人教A版
一、选择题
1．已知为虚数单位，则（　　）
A． B． C．-1 D．1
2．已知任何大于1的整数总可以分解成素因数乘积的形式，且如果不计分解式中素因数的次序，这种分解式是唯一的.如，则2000的不同正因数个数为（　　）
A．25 B．20 C．15 D．12
3．已知圆锥的侧面展开图是面积为的半圆，过圆锥高的中点且与底面平行的平面截此圆锥所得的圆台体积是（　　）
A． B． C． D．
4．直三棱柱中，，P为BC中点，，Q为上一点，，则经过A，P，Q三点的平面截此三棱柱所成截面的面积是（　　）
A． B．4 C． D．5
5． 过正四棱锥的高的中点作平行于底面的截面，若四棱锥与四棱台的表面积之比为，则直线与底面所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
6． 下列函数的图象不可能与直线相切的是（　　）
A． B． C． D．
7． 已知函数且为奇函数，则（　　）
A． B． C．2 D．4
8． 设函数在处的切线与直线平行，则（　　）
A． B．2 C． D．1
二、多项选择题
9．已知抛物线，倾斜角为锐角的直线过其焦点并与抛物线交于两点，下列正确的是（　　）
A．抛物线上的点到点的距离最小值为　　　　
B．三角形（为原点）面积最小值为
C．抛物线在点处的切线方程为　　
D．若，则
10．设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，为的准线，则（　　）
A． B．
C．以为直径的圆与相切 D．为等腰三角形
11．若一组不完全相同的数据的平均数为，极差为，中位数为，方差为，在这组数据中加入一个数后得到一组新数据，其平均数为，极差为，中位数为，方差为，则下列判断一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
12．如图，在正方体中，，点分别在棱和上运动（不含端点），若，则下列说法正确的是（　　）
A．直线与直线所成角为 B．平面
C． D．线段长度的最大值为
三、填空题
13．在正三棱台中，，，，则该棱台的体积为　 　.
14．函数有且只有3个零点，则实数的取值范围是　 　．
15．正方体的棱长为3，点分别在线段和线段上，且，点是正方形所在平面内一动点，若平面，则点的轨迹在正方形内的长度为　 　.
16．已知斜率为的直线过抛物线的焦点，且与该抛物线交于两点，若为该抛物线上一点，为圆上一点，则的最小值为　 　.
四、解答题
17．第19届亚运会于2023年9月23日至2023年10月8日在杭州举行.这是中国为世界呈现的体育盛会，也是亚洲人民携手写就的崭新篇章.现有某场乒乓球比赛采用5局3胜制，先赢3局的一方获胜，比赛结束.若参加比赛的甲每局比赛战胜对手乙的概率均为.假设各局比赛结果相互独立.
（1）求比赛恰好进行4局甲获胜的概率；
（2）设比赛进行的总局数为，求的分布列和数学期望；
（3）如果某场比赛赛前有3局2胜制和5局3胜制两种方案供选手选择，从概率角度考虑，乙如何选择对自己有利？请直接写出选择方案.
18．已知数列是递增的等差数列，数列是等比数列，且，、成等比数列，，，
（1）求数列和的通项公式
（2）若，求数列的前n项和．
19．如图，在五面体中，已知平面，且.
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的余弦值.
20．已知椭圆经过点，且离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）是椭圆上的两个动点（与点不重合），直线的斜率之和为4，作于.是否存在定点，使得为定值.若存在，求出定点的坐标及的值；若不存在，请说明理由.
21． 已知函数，其中．
（1）讨论的单调性；
（2）设，若不等式对恒成立，求的取值范围．
22． 某科研机构为了研究某种药物对某种疾病的治疗效果，准备利用小白鼠进行科学试验．研究发现，药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同．若使用注射方式给药，则在注射后的4小时内，药物在白鼠血液内的浓度（单位：毫克/升）与时间t（单位：小时）满足关系式（，a为常数）；若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度（单位：毫克/升）与时间t（单位：小时）满足关系式现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，且注射药物和口服药物的吸收与代谢互不干扰．假设同时使用两种方式给药后，小白鼠血液中药物的浓度等于单独使用每种方式给药的浓度之和．
（1）若，求4小时内，该小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值；
（2）若要使小白鼠在用药后4小时内血液中的药物浓度都不低于4毫克/升，求正数a的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】B
3．【答案】A
4．【答案】C
5．【答案】A
6．【答案】D
7．【答案】D
8．【答案】D
9．【答案】C,D
10．【答案】A,C
11．【答案】A,B
12．【答案】B,D
13．【答案】/
14．【答案】
15．【答案】
16．【答案】/
17．【答案】（1）解：比赛进行4局后甲获胜，则甲在前3场需要胜2局，第4局胜，
（2）解：由题意知，的取值可能为.
，
，
的分布列为：
3 4 5
（3）解：乙应该选择3局2胜制.
附理由如下：（供研究使用，考生无需在答题卡上计算）
“3局2胜制”，乙可能2：0，2：1两种方式获胜，获胜概率：
“5局3胜制”，乙可能3：0，3：1，3：2三种方式获胜，获胜概率：
因为，所以乙应该选择3局2胜制对自己更有利.
18．【答案】（1）解：
递增，
（2）解：．
．
19．【答案】（1）证明：分别取的中点，连接，
分别是的中点，，且，
又，且，
且，可得四边形是平行四边形，可知，
，
平面平面，
平面，
平面，结合，得平面，
又平面平面平面.
（2）解：由（1）知平面即，
以所在直线为轴 轴 轴，建立空间直角坐标
系，如图所示，可得.
所以，设是平面的法向量，可得得，取，得是平面的一个法向量，
.
若与平面的所成角为，则，可得.
直线与平面的余弦值为.
20．【答案】（1）解：由题意可得解得椭圆的方程为
（2）解：设直线为，联立椭圆整理得：
，设，又，
则且，即，
，
直线可化为，即，
直线过定点.
又于，
为直角三角形，且斜边，
存在的中点，使得.
21．【答案】（1）解：答案略
（2）解：
22．【答案】（1）解：当时，药物在白鼠血液内的浓度y与时间t的关系为
①当时，．
②当时，因为（当且仅当时，等号成立），
所以．
故当时血液中药物的浓度最高，最大值为6．
（2）解：由题意得
①当时，，
设，则，，则，故；
②当时，，
由，得，
令，则，，则，故．
综上，．
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