期末易错精选题-2023-2024学年数学九年级上册华东师大版（含解析）

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期末易错精选题-2023-2024学年数学九年级上册华东师大版
一、单选题
1．随机抛掷一枚瓶盖1000次，经过统计得到“正面朝上”的次数为520次，则可以由此估计抛掷这枚瓶盖出现“反面朝上”的概率大约为（ ）
A． B． C． D．
2．下面几对图形中，相似的是（ ）
A． B．
C． D．
3．一架飞机在离地面6000米的上空测得某一建筑物底部的俯角为30°，此时这架飞机与这一建筑物底部之间的距离是（ ）
A．6000米 B．12000米 C．米 D．米
4．已知在中，，，，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．今年元旦期间，某种女服装连续两次降价处理，由每件400元调至140元，设平均每次的降价百分率为，则得方程（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，点，，均在正方形网格纸中的格点上，则的值是（ ）

A． B． C． D．
7．对于实数a，b定义运算“☆”为，例如：，则关于的方程的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
8．以点为位似中心，把放大为原来的2倍得到，下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．点、、三点共线
二、填空题
9．已知点是线段的一个黄金分割点，且，，那么 .
10．在中，点、分别在边、的延长线上，，，那么当 时，．
11．不透明的袋子中装有5个球，其中有2个红球、3个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率为 ．
12．如图，在中，，点是的重心，联结，如果，那么的余切值为 ．
13．如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，，则的长是 ．
14．如图，在中，，，，点D是的中点，点E是边上一动点，沿所在直线把翻折到的位置，交于点F．若为直角三角形，则的长为 ．
15．在中，，，为斜边的中点，为形外一动点且，若，，则的值为 ．
16．如图，已知，，，点在边上，连接，．有下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的有 ．（填写全部正确结论的序号）
三、解答题
17．解方程：
(1)；
(2)．
18．计算：．
19．某公司2月份销售新上市的产品20套，由于该产品的经济适用性，销量快速上升，4月份该公司销售产品达到45套．
(1)求2月到4月公司销售产品的月平均增长率；
(2)该公司4月份销售45套产品，每套利润是2万元，因为产品供不应求，公司决定适当的涨价，经市场调查发现，当产品每套的销售利润每涨价万元时，平均每月少售出1套，该公司要想在5月份获利100万元，而且尽可能让顾客得到实惠，产品每套应涨价多少万元？
20．如图，一楼房后有一假山，其坡度为：，山坡坡面上点处有一休息亭，测得假山坡脚与楼房水平距离米，与亭子距离米，小丽从楼房顶测得点的俯角为．注：坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比
(1)求休息亭的铅直高度；
(2)求楼房AB的高．(结果保留根号)
21．成都市某小学优化学校作业管理，探索减负增效新举措，学校就学生做作业时间进行问卷调查，将收集信息进行统计分成A、B、C、D四个层级，其中A：80分钟以上；B：60～80分钟；C：40～60分钟；D：40分钟以下．并将结果绘制成两幅不完整的统计图，请你根据统计信息解答下列问题：

(1)接受问卷调查的学生共有________人；
(2)扇形统计图中“C”层级的扇形的圆心角度数_______，并补全条形统计图；
(3)全校约有学生1500人，估计“A”层级的学生约有_________人．
(4)“A”层级的4名同学中恰好有2名女生和2名男生，从这4名同学中随机抽取2人参加现场深入调研，请用树形图或列表法求出恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
22．如图，在平面直角坐标系中，点在轴的左侧，点在轴的右侧，且，单位长度，且、满足，点从出发以1个单位长度/秒的速度沿轴向右运动，点从点出发以2个单位长度/秒的速度沿轴向左运动，当到达点时点也停止运动．

(1)直接写出点、的坐标：________，________
(2)点为线段的中点，、两点同时开始运动，设运动时间为秒，求用含的式子表示点的坐标；
(3)在（2）的条件下，点坐标为，是否存在，使满足．若存在，求出值；不存在，说明理由．
23．如图，中，，，点为边上一点．
(1)如图1，若，．
①求证：；
②若，求的值；
(2)如图2，点为线段上一点，且，，，求的长．
24．已知：如图，在菱形中，，点在边上，点在对角线上，且.
(1)如图1，连接，过点作交于点，求证：；
(2)探索线段，，之间的数量关系并证明；
(3)如图2，延长交边于点，交的延长线于点，作的平分线交边于点，若，，求线段的长.
参考答案：
1．D
【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
用得到“正面朝上”的次数除以抛掷总次数即可．
【详解】解：随机抛掷一枚瓶盖1000次，经过统计得到“正面朝上”的次数为520次，
所以由此估计抛掷这枚瓶盖出现“反面朝上”的概率为，最接近．
故选：D．
2．C
【分析】本题主要考查的是相似图形的判断，掌握相似图形的概念及特征是解决此题的关键；
根据形状相同对应角相等、对应边成比例的图形为相似图形，对各组图形逐一进行分析，即可得到结果；
【详解】根据题意得：C选项的两个图象，形状相同、对应角相等、对应边成比例，为相似图形，
故选：C．
3．B
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用．由题意可知，在直角三角形中，已知角的对边求斜边，可以用正弦函数来计算．
【详解】解：由题意，得：这架飞机与这一建筑物底部之间的距离是米；
故选B．
4．A
【分析】本题考查求锐角三角函数值．根据勾股定理求出的长，利用锐角三角函数的定义，逐一进行判断即可．熟记锐角三角函数的定义，是解题的关键．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，，，；
故选A．
5．C
【分析】本题考查一元二次方程的应用，关键设出两次降价的百分率，根据调价前后的价格列方程求解．
设调价百分率为x，根据售价从原来每件400元经两次调价后调至每件140元，可列一元二次方程即可．
【详解】解：设调价百分率为x，
则第一次为，
第二次为，
，
故选：C
6．A
【分析】本题考查了求正弦值，取格点，勾股定理求得的长，进而根据正弦的定义，即可求解．
【详解】解：如图所示，取格点，

在中，
∴
∴，
故选：A．
7．B
【分析】题考查了新定义下的实数运算，一元二次方程根的判别式，准确理解题意，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴方程为，
即，
，
∴有两个相等的实数根，
故选：B．
8．C
【分析】本题考查了位似，正确理解位似，确定对应关系是解题的关键．
【详解】A. ，正确，不符合题意；
B. ，正确，不符合题意；
C. ，错误，符合题意；
D. 点、、三点共线，正确，不符合题意；
故选：C．
9．/
【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．利用黄金分割的定义进行计算，即可解答．
【详解】解：∵点P是线段的一个黄金分割点，且，
∴，
故答案为：
10．2
【分析】本题考查平行线分线段成比例．根据如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边进行求解即可．
【详解】解：由题意，当，即：时，；
故答案为：2．
11．
【分析】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概率（A）事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【详解】解：从袋子中随机取出1个球，共有5种等可能结果，其中摸到的是红球的有2种结果，
所以从袋子中随机取出1个球，它是红球的概率为．
故答案为：．
12．
【分析】延长交于F，过G作于G，直线交于E，证明，得，同理可得，即有，根据G为的重心，，得，设，根据勾股定理列式计算可得答案．
【详解】解：过G作于G，延长交于点，如图：
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵G为的重心，
∴，
∵，
∴，
∴，
则在直角三角形中，，
故答案为：
【点睛】本题考查三角形的重心，涉及相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，难度较大，综合性较强，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形．
13．6
【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形中30度角所对的边是斜边的一半．连接，由题意得，由垂直平分线的性质得到，推出，由即可求．
【详解】解：如图，连接，
，，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
故答案为：6．
14．或
【分析】先解得到，，则，再由线段中点的定义得到；再分与两种情形利用勾股定理及折叠的性质分别画出图形求解即可
【详解】解：在中，，，，
∴，，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
如图中，当时．

∴，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
∴，,
∴，
∴；
如图中，当时，作交的延长线于．设．

由折叠的性质可得，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
综上所述，满足条件的的值为或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查翻折变换、勾股定理、解直角三角形、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考常考题型．
15．
【分析】将绕点逆时针旋转得到，作交的延长线于，证明，利用勾股定理求出即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，
∵，，为斜边的中点，，，
∴，，
将绕点逆时针旋转得到，作交的延长线于，
∴，，，
，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴的值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，四边形的内角和，角的直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是正确地作出辅助线．
16．①②④
【分析】本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的判定 和性质，特殊角的直角三角形．根据性质，注意计算证明判断即可．
【详解】∵，，，∴，，，
∴是等边三角形，
∴，
∴是等边三角形，
故①②④正确；
无法证明平分，
故③错误，
故答案为：①②④．
17．(1)，
(2)，
【分析】本题考查解一元二次方程，涉及公式法和因式分解法解一元二次方程，根据方程的结构特征公式法和提公因式因式分解是解决问题的关键．
（1）根据题中方程，先化为一般式，再由公式法求解即可得到答案；
（2）根据题中方程，移项后，提公因式因式分解求解即可得到答案．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，；
（2）解：，
，
，
，
，．
18．
【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算．熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键．
【详解】解：
．
19．(1)
(2)万元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设该公司销售A产品每次的增长率为x，根据2月份及4月份该公司A产品的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设每套A产品需涨价y万元，则平均每月可售出套，根据总利润=每套的利润×销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
【详解】（1）解：设该公司销售产品的月平均增长率为，
依题意，得，
解得，（不合题意，舍去），
答：该公司销售产品的月平均增长率为．
（2）解：设每套产品应涨价万元，则平均每月可售出套，
依题意，得，
整理方程，得，
解得，
尽可能让顾客得到实惠，
不合题意，舍去，
，
答：每套产品应涨价万元．
20．(1)9米；
(2)米．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用；
（1）过点作的延长线于，于点，根据，得出，进而即可求解；
（2）在中，，则米，进而根据，即可求解．
【详解】（1）解：过点作的延长线于，于点，
在中，，
，
米．
答：休息亭的铅直高度为米；
（2）解：∵米，，
∴，
∴米，
米，
在中，
，
米，
米．
答：楼房的高为米．
21．(1)40
(2)，图见解析
(3)150
(4)
【分析】本题考查条形图与扇形图的综合应用，树状图法求概率．
（1）用等级的人数除以所占的比例求出调查的人数即可；
（2）用等级的人数所占的比例，求出圆心角，求出等级的人数，补全条形统计图即可；
（3）用样本估计总体的思想进行求解即可；
（4）画出树状图，利用概率公式进行计算即可．
从统计图中有效的获取信息，是解题的关键．
【详解】（1）解：（人）；
故答案为：40；
（2）；
故答案为：；
等级的人数为：（人），补全图形，如图：

（3）（人）；
故答案为：150；
（4）设2名女生分别用甲、乙表示，2名男生分别用丙、丁表示，画树状图如图所示，

共有12种等可能的结果，其中抽到一男一女的结果有8种，
∴．
22．(1)，
(2)
(3)存在，的值为3或6
【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性求出x，y的值，计算出点A、B的横坐标，可得答案；
（2）根据题意表示出点、E的横坐标，再根据点为线段的中点计算出点P横坐标即可；
（3）根据点Q坐标可得，求出，可得，然后分三种情况：①当时，点D在y轴左侧；②当时，不存在，此情况舍去；③当时，点D在y轴右侧，分别求出和，根据已知得出方程，求出t的值即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，，
故答案为：，；
（2）∵，，点从出发以1个单位长度/秒的速度沿轴向右运动，点从点出发以2个单位长度/秒的速度沿轴向左运动，
∴秒后点横坐标为，点横坐标为，
∵点为线段的中点，
∴点的横坐标为，
∴点的坐标为；
（3）存在；
∵点坐标为，
∴，
由题意得：，
∴，
∵，，
∴，
①当时，点D在y轴左侧，

∴，，
∴，
∴，，
由得：，
解得：；
②当时，不存在，此情况舍去；
③当时，点D在y轴右侧，

∴，，
∴，
∴，，
由得：，
解得：，
综上，的值为3或6．
【点睛】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，坐标与图形性质，二次根式的乘法，一元一次方程的应用等知识，正确分类讨论是解题的关键．
23．(1)①见解析；②
(2)
【分析】（1）①由可证，可得；
②过点作，交延长线于点，先证是等腰直角三角形，得出，，再设，则，由勾股定理求出，然后通过证是等腰直角三角形，可得，即可求解；
（2）由旋转的性质可得，，，，由证，得，然后由勾股定理可求解．
【详解】（1）①证明：，
，
又，，
，
；
②解：如图1，过点作，交延长线于点，
则，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
设，
则，
，
在中，由勾股定理得：
，
，
，，
，
，
，
，
又，
是等腰直角三角形，
，
；
（2）解：，，
，
，，
，
如图2，将绕点顺时针旋转，得到，连接，过点作于点，
由旋转的性质得：，，，，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，，
，
又，，
，
，
设，
则，
，
，
，
，
解得：，
．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，本题综合性强，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型．
24．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】(1)根据菱形，得，结合，得到，结合，得到，设与的交点为O，则，继而得到，从而得到，证明即可．
(2)根据菱形，得，结合，得到，结合，得到，设与的交点为O，则，继而得到，从而得到，证明即可．
(3)利用菱形的性质，三角形相似的判定性质，求得，结合（2）的结论代入可得结论．
【详解】（1）∵菱形，
∴，
，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
设与的交点为O，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2），理由如下：
过点G作与点Q，
∵菱形，
∴，
，
∵，
∴，，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴
∴，，
∴，，，
∴，
设与的交点为O，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，即，
∵
∴，
∴，
∴．
（3）如图2，在菱形中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，过点C作于点K，延长交于点L，
则，，，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
设与的交点为O，
则，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴．
【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形相似的判定和性质，等边三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值，角的平分线，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键．
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