期末易错精选题-2023-2024学年数学九年级上册湘教版（含解析）

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期末易错精选题-2023-2024学年数学九年级上册湘教版
一、单选题
1．下列各点中，在反比例函数的图象上的是（ ）
A． B． C． D．
2．用配方法解方程，下列配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．若，相似比为，则与对应的高线之比为（ ）
A． B． C． D．
4．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为23万元，4月份售价为18.63万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，以点为位似中心，将缩小后得，已知，则与的面积比为（　　）
A． B． C． D．
6．2023年，双峰县第十三次党代会明确了建设“文明双峰”的行进方向，提出了创建全国文明城市（县级）的具体目标，为宣传环保意识，周末小明对到县内某景区游玩人群的垃圾处理习惯（A就地扔掉、B带回处理、C丢入垃圾桶，三者任选其一）进行了随机抽样调查. 小明根据调查情况进行统计，绘制的扇形统计图和条形统计图尚不完整，如图所示. 请结合统计图中的信息，判断下列说法错误的是（ ）
A．抽样调查的样本数据是240
B．“A就地扔掉”所在扇形的圆心角为
C．样本中“C丢入垃圾桶”的百分比为
D．周末到景区游玩的1000名游人中，“C丢入垃圾桶”垃圾的人数大约为168人
7．如图，直线与双曲线交于两点，点在轴上，连接，且，已知的面积为，则的值为（ ）

A． B． C． D．
8．如图，已知直线，且相邻两平行线间的距离均相等，等腰直角三角形中，．若点在上，点在上，点在上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．已知一元二次方程的一个根为，则另一个根的值为 ．
10．为贯彻落实党中央关于全面建成小康社会的战略部署，某贫困地区的广大党员干部深入农村积极开展“精准扶贫”工作．经过多年的精心帮扶，截至年底，按照农民人均年纯收入元的脱贫标准，该地区只剩少量家庭尚未脱贫：现从这些尚未脱贫的家庭中随机抽取户，统计其年的家庭人均年纯收入，得到如下图所示的条形图．
估计2021年该地区尚未脱贫的家庭人均年纯收入的平均值为 千元．
11．如图，在中，点、分别在边、上，，，，那么 ．
12．已知点都在反比例函数的图象上，若，则的大小关系是 ．（用“>”连接）
13．如图，在港口的南偏西方向有一座小岛，一艘船以每小时12海里的速度从港口出发，沿正西方向行驶，行了30分钟时这艘船在处测得小岛在船的正南方向，那么小岛与处的距离 海里（结果保留根号）．
14．如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，，过点O作交于点E，连接．已知，，则的周长是 ．

15．如图，为直角三角形，，，，是边上的中点，将绕着点逆时针旋转，使点落在线段上的点处，点的对应点为，边与边交于点，则的长是 ．
16．如图，一次函数图像与反比例函数图像交于点，，则不等式的解集是 ．

三、解答题
17．我市某著名旅游“网红打卡地”景区在2021年国庆长假期间，共接待游客达26万人次，预计在2023年国庆长假期间，将接待游客达万人次．
(1)求该景区2021至2023年国庆长假期间接待游客人次的年平均增长率；
(2)该景区某商店销售一款旅游纪念品，每件纪念品成本价为10元，根据销售经验，在旅游旺季，若每件纪念品定价25元，则平均每天可销售300件，若每件价格降低1元，则平均每天可多销售30件．2023年国庆期间，店家决定进行降价促销活动，则当每件售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在销售此款纪念品实现平均每天4680元的利润？
18．某中学开展“每天阅读一小时”活动，根据学校实际情况，有以下四类读物供学生选择（每位学生必选一项）：A：科普类，B：文艺类，C：文学类，D：其他类．为了了解学生最喜欢哪一类读物，随机抽取了部分学生调查，将调查结果绘制了如下不完整的统计图．请根据统计图回答下列问题：
(1)本次调查的样本容量为 ．
(2)补全条形统计图．
(3)扇形统计图中，“文艺类”所对应的扇形圆心角的度数为 度．
(4)该学校计划订购20000册上述四类课外读物，根据学生爱好，为满足学生需求，学校大约订购 本“文学类”课外读物．
19．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与轴相交于点．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)若点与点关于轴对称，求的面积；
(3)观察图象直接写出不等式的解集．
20．某学校在“美化校园，幸福学习”活动中，计划利用如图所示的直角墙角（阴影部分，两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围两边）．
(1)若花园的面积为，求的长；
(2)若在直角墙角内点P处有一棵桂花树，且到墙的距离为，若要将这棵树围在矩形花园内（含边界，不考虑树的粗细），问该花园的面积能否为？若能，求出的长；若不能，请说明理由．
21．如图所示，点在函数图像的第一象限内的分支上．
、
(1)求函数的解析式；
(2)在x轴上是否存在点P，使为直角三角形？若存在，求P点的坐标．
22．如图，在四边形中，，垂足为点．
(1)求的值；
(2)交于点，如果，求的长．
23．如图1，在和中，，，，.
(1)求证：；
(2)已知点在边上一点（与点不重合），且，交于点，交的延长线于点.
①如图2，设，，求与的函数关系式，并写出定义域：
②当是等腰三角形时，求的长.
参考答案：
1．A
【分析】本题考查了判断点是否在给出的反比例函数的图象上，将各点坐标代入解析式即可求解．
【详解】解：∵，
∴，即反比例函数图象上的点横纵坐标乘积为，
，故A符合题意；
，故B不符合题意；
，故C不符合题意；
，故D不符合题意；
故选：A
2．C
【分析】此题考查了解一元二次方程 配方法，利用此方法解方程时，首先将二次项系数化为1，常数项移动方程右边，然后左右两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方转化为两个一元一次方程来求解．方程常数项移动右边，左右两边都加上16，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
【详解】解：方程，
移项得：
∴，
即．
故选：C．
3．B
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形对应边上的高线之比等于相似比是解题的关键．
【详解】解：∵，相似比为，
∴与对应的高线之比为，
故选B．
4．A
【分析】本题考查列一元二次方程，由题意可得3月份的售价为万元，4月份售价为万元，由此列方程即可．
【详解】解：设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，
由题意得：，
故选：A．
5．D
【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质，“如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心”．根据位似变换的性质得到，，，求出与的相似比，根据相似三角形的性质得到面积比．
【详解】解：由位似变换的性质可知，，，，
，
，
，
，
与的相似比为，
与的面积的比，
故选：D．
6．D
【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了用样本估计总体的思想．
【详解】解：A、调查的总人数是：25%=240（人），故本选项正确，不合题意；
B、“A就地扔掉”所在扇形的圆心角为：，故本选项正确，不合题意；
C、样本中“C丢入垃圾桶”的所占百分比是：，故本选项正确，不合题意；
D、样本中“C丢入垃圾桶”垃圾的人数占调查总人数的，所以估计“五一”假期间的白家湾玩的1000名游人中“就地扔掉”垃圾的人数大约为：人．故本选项错误，符合题意；
故选：D．
7．A
【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，直角三角形的性质，设点为，求出，根据点和点关于原点对称得到，，由直角三角形的性质得到，根据，得到关于方程，解方程即可求解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．
【详解】解：设点，
则,
∵，
∴，
∵点和点关于原点对称，
∴，，
∴，
∵的面积为，
∴，
∴，
整理得，，
解得，（不符合题意，舍去），
∴，
∴，
故选：．
8．B
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．过点作于，过点作于，根据同角的余角相等求出，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后利用勾股定理列式求出，由锐角的余弦定义即可求解．
【详解】解：如图，过点作于，过点作于，
设相邻两平行线间的距离为，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
．
故选：B．
9．
【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．先把代入方程中，得出关于的方程求出的值，然后再根据根与系数的关系得出另一个根的值．
【详解】解：把代入方程中，
得：，
解得，
方程化为，
，
，
解得：，
故答案为：．
10．
【分析】本题考查加权平均数的应用，样本估计总体，解题的关键掌握加权平均数的计算方法．据此解答即可．
【详解】解：（千元）；
∴估计2021年该地区尚未脱贫的家庭人均年纯收入的平均值为千元．
故答案为：．
11．
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，根据，得到，证明，进而得到，即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴两个三角形的相似比为：，
∴，
∴．
故答案为：3．
12．
【分析】本题考查了根据反比例函数的增减性比较反比例函数值或自变量的大小，；对于反比例函数，当时，图象在一、三象限均有随的增大而减小；当时，图象在二、四象限均有随的增大而增大．据此即可求解．
【详解】解：∵，
∴反比例函数二、四象限均有随的增大而增大
∵
∴
即：
故答案为：．
13．
【分析】本题考查解直角三角形的应用．连接，由题意，，利用速度乘以时间求出的长，利用锐角三角函数，求出的长即可．
【详解】解：连接如图，
由题意，得：，
∴在中，；
故答案为：．
14．
【分析】根据平行四边形的性质，得到，，根据勾股定理得，利用平行线分线段成比例定理，得，得，利用勾股定理，计算周长即可．
【详解】∵平行四边形，，，，，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
的周长是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，直角三角形的性质，平行线的判定，熟练掌握勾股定理，平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理是解题的关键．
15．/
【分析】先证，由锐角三角函数可求，的长，由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，通过证明，可得，可求的长，通过证明，由相似三角形的性质可求解．
【详解】解：如图，过点作于，过点作于，
，，，
，
是边上的中线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
将绕着点逆时针旋转，
，，
，，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．
16．或
【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数图象的综合判断.利用函数图象得到当一次函数图象不在反比例函数图象上方时x的取值即可．
【详解】解：由函数图象可知，当一次函数图象不在反比例函数图象上方时，x的取值范围是：或．
故不等式的解集是： 或，
故答案为： 或.
17．(1)该景区2021至2023年国庆长假期间接待游客人次的年平均增长率为；
(2)当每件售价定为元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在销售此款纪念品实现平均每天4680元的利润额．
【分析】本题考查一元二次方程在实际问题中的应用．
（1）设年平均增长率为，由题意得关于的一元二次方程，解方程并根据问题的实际意义作出取舍即可；
（2）设每件售价定为元，由题意得关于的一元二次方程，解方程并根据问题的实际意义作出取舍即可．
【详解】（1）解：设年平均增长率为，由题意得：
，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：该景区2021至2023年国庆长假期间接待游客人次的年平均增长率为；
（2）解：设当每件售价定为元时，店家在销售此款纪念品实现平均每天4680元的利润额，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
∵让顾客获得最大优惠，
∴．
答：当每件售价定为元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在销售此款纪念品实现平均每天4680元的利润额．
18．(1)200
(2)图见详解
(3)54
(4)4000
【分析】本题主要考查样本容量、条形统计图与扇形统计图，解题的关键是理清图中所给数据；
（1）根据A：科普类的人数及所占百分比可进行求解；
（2）由（1）及条形统计图可进行求解；
（3）根据（1）及题意可直接进行求解；
（4）先得出“文学类”所占百分比，然后问题可求解．
【详解】（1）解：由统计图可知：，
∴样本容量为200；
故答案为200；
（2）解：由（1）及题意可知：“文学类”的人数为（名），
故补全条形统计图如下：
（3）解：由题意得：“文艺类”所对应的扇形圆心角的度数为；
故答案为54；
（4）解：由题意得：学校大约订购“文学类”课外读物为（本）；
故答案为4000．
19．(1)，
(2)的面积为3
(3)或
【分析】（1）利用待定系数法求解反比例函数解析式，再求出点A的坐标，再用待定系数法求出一次函数表达式即可；
（2）分别求出C，D的坐标，再求出点到的距离，根据三角形面积公式计算即可；
（3）根据图象，数形结合求解即可．
【详解】（1）反比例函敕的图象经过点，
，则反比例函数解析式为：，
点在上，
，
．
把，坐标代入，则，
解得，
一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；
（2）由（1）知直线，，
直线交轴于，
，
，关于轴对称，
，
，
轴，即．
点到的距离为．
．
（3），，
∴根据图象得：不等式的解集为或．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式、利用数形结合的思想求不等式的解集等知识，灵活利用数形结合的思想是解题的关键．
20．(1)5米或15米
(2)不能，理由见解析
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．
（1）米，则米，由矩形面积公式得出方程，解方程即可；
（2）根据题意可得方程，求出x的值，然后再根据P处这棵树是否被围在花园内进行分析即可．
【详解】（1）解：米，则米，
由题意得：，
解得：，，
答：的长为5米或15米；
（2）解：花园的面积不能为，理由如下：
米， 米，
由题意得：，
解得：，
当时，，
即当米，米米，这棵树没有被围在花园内，
将这棵树围在矩形花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园的面积不能为．
21．(1)
(2)或
【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，勾股定理：
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）当时，则，可得；当时，设，则，，，由勾股定理建立方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：把代入中得：，
∴，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：当时，则，
∵，
∴；
当时，设，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴；
综上所述，点P的坐标为或．
22．(1)
(2)
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定、解直角三角形：
（1）根据，得证明，结合相似三角形的性质，得的值；
（2）根据相似三角形的性质且，得，，再证明，列式代数计算，即可作答．
【详解】（1）解：∵
∴
∴
∴
则
（2）解：如图：
∵，，
∴，
∴，
∴，
得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
解得．
23．(1)见解析
(2)（2）①，定义域：；②10或7或12.5.
【分析】（1）由勾股定理得，再证，然后证，即可得出结论；
（2）①证，得，则，然后证，得，即可得出结论；②当是等腰三角形时，也是等腰三角形，分三种情况，当时；当时；当时，分别求出的长，即可解决问题．
【详解】（1）证明：
与都是直角三角形
在中，
，，
，
，
在中，，
，
，
；
（2）解：①，又
又
在中，，
，，
，
定义域：；
②当是等腰三角形时，分三种情况：
第一种：当时，则，解得：，
第二种：当时，则，过点，垂足为，
，
∴，，则，解得：，
第三种：当时，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵是直角三角形，
同理可得，
∴，
所以，即，
则解得，，
综上所述：当是等腰三角形时，的长为10或7或12.5．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的判定与性质、三角形面积以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握勾股定理和等腰三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．
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