期末易错精选题-2023-2024学年数学八年级上册苏科版（含解析）

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期末易错精选题-2023-2024学年数学八年级上册苏科版
一、单选题
1．点A，B的坐标分别为，，点P在x轴上，的值最小时，点P的坐标为( )．
A． B． C． D．
2．已知一次函数的图象不过第三象限，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
3．已知点和点都在直线上，若，则的关系（　　）
A． B． C． D．不能比较
4．如图，和中，，，添加下列哪一个条件无法证明（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点．已知的周长为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．将个面积都是的正方形按如图所示的方法摆放，点、……分别是各正方形的中心，则个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为（ ）
A． B． C． D．
7．四边形中，，，在上分别找一点M、N，当的周长最小时，的度数为（ ）

A． B． C． D．
8．如图，等腰直角三角形中，，点M，N在边上，且，若，则的长为（　　）．
A． B．2 C． D．
二、填空题
9．计算： ．
10．在边长为的等边三角形中，于点，点在直线上，且，则的长为 ．
11．已知与成正比例，当时，，那么与函数解析式为 ．
12．在平面直角坐标系中，直线沿轴的方向向上平移了个单位长度后，该直线与坐标轴围成的三角形的面积增加了2，则的值为 ．
13．如图，在中，，．是斜边上的高线，是的角平分线．是边的垂直平分线，分别交边，边于点，点．若，则＝ ．

14．如图，，与相交于点C．，．点P从点A出发，沿方向以的速度运动，同时点Q从点D出发，沿方向以的速度运动，当点P回到点A时，P，Q两点同时停止运动．
（1）的长为 ；
（2）连接，当线段经过点C时，点P的运动时间为 s．
15．如图，一次函数的图像与x轴、y轴交于A、B两点，P是x轴正半轴上的一个动点，连接，将沿翻折，点O恰好落在上，则点P的坐标为： ．
16．如图，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长为1个单位长度，第1个正方形的边上有4个格点（小方格的顶点），第2个正方形的边上有8个格点，第3个正方形的边上有12个格点……，第9个正方形有 个格点，则第9个正方形的一个顶点的坐标为 .
三、解答题
17．已知：的立方根是3，的算术平方根是2，c的平方根是它本身．
(1)求a，b，c的值；
(2)求的平方根．
18．在中，，，点M为的中点，连接，点D为线段上一动点，过点D作，且，（点E在的上方），连接，过点E作的垂线交边于点F．
(1)如图1，当点D为的中点时，
①依题意补全图形；
②直接写出和的数量关系为______；
(2)当点D在图2的位置时，用等式表示线段和之间的数量关系，并证明．
19．在学习等腰三角形的性质时，林林进一步探究发现：三角形一个角的平分线与其对边的高重合时，这个三角形是等腰三角形，他通过证明三角形全等得到结论，请根据他的思路完成以下作图与填空：
(1)用直尺和圆规，作的角平分线交于D．（只保留作图痕迹）
(2)已知：如图：在中，是的角平分线，．
求证：．
证明：是的角平分线，
①___________．
，
②____________，
，
③__________．
林林根据垂直平分线的性质进一步发现：三角形一边上的④________________重合时，这个三角形是等腰三角形．
20．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为 ．
(1)画出关于x轴对称的；
(2)点的坐标为 　 ，点的坐标为　 ；
(3)点与点Q关于y轴对称，若，求点P的坐标．
21．荡秋千(图1)是中国古代北方少数民族创造的一种运动． 有一天，赵彬在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度 ，将它往前推送 (水平距离 )时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度．

22．如图①，在中，，G为三角形外一点，且为等边三角形．
(1)求证：直线垂直平分；
(2)以为一边作等边三角形（如图②），连接，．若，，求的长．
23．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，已知点，点，直线经过点．
(1)请计算的面积．
(2)求直线的解析式．
(3)若在x轴上有一动点，当线段的长度最小时，求此时点的坐标．
24．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点P是射线上的动点，过点B作直线的垂线交x轴于点Q，垂足为点C，连接．

(1)当点P在线段上时，
①求证：；
②若点P为的中点，求的面积．
(2)在点P的运动过程中，是否存在某一位置，使得成为等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．C
【分析】考查最短路线问题，得到点A关于x轴的对称点的坐标，可得到直线的解析式，求得与x轴的交点即为所求点的坐标．
【详解】解：∵点，
∴点A关于x轴的对称点的坐标为，
设直线的解析式为
，
解得
∴
∴P的坐标为．
故选：C．
2．D
【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，要熟练掌握，根据一次函数的图象不经过第三象限，可得，据此求出m的取值范围即可．
【详解】解：∵一次函数的图象不经过第三象限，
∴，
解得：，故D正确．
故选：D．
3．C
【分析】本题主要考查了比较一次函数值的大小，根据一次函数解析式可得在中y随x增大而增大，据此可得答案．
【详解】解：∵在中，，
∴在中y随x增大而增大，
∵点和点都在直线上，且，
∴，
故选C．
4．C
【分析】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定方法对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、可以求出，符合“” 能证明,故A选项不符合题意；
B、时符合“”能证明；故B选项不符合题意；
C、是“”，不能证明，故C选项符合题意；
D、由可得，符合“”，能证明，故D选项不符合题意．
故选：C．
5．D
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，利用线段垂直平分线的性质可得，，然后利用等量代换可得的周长，即可解答．
【详解】解：∵是的垂直平分线，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∵的周长，
∴，
∴，
∴，
∴的长为；
故选D．
6．D
【分析】本题考查了正方形中的规律，根据每个阴影面积是正方形面积的即，根据规律一共有n个，计算即可．
【详解】如图，设第一个正方形的一个顶点为Ｆ，两个正方形的边的交点分别为点Ｄ和点Ｅ，过点作于点Ｂ，作于点Ｃ，
∵是正方形的中心，且每个大正方形的面积都是2，
∴，四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵两个正方形构成一个1阴影，3个正方形构成2个阴影，4个正方形构成3个阴影，
∴个正方形构成n个阴影，
∴它们的和为，
故选：D．
7．B
【分析】本题考查对称的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理等知识，利用对称作辅助线是解决最短的关键．
延长到使得，延长到使得，连接与分别交于点M、N，此时周长最小，推出，进而得出的度数．
【详解】解：如图，延长到使得，延长到使得，连接与分别交于点M、N．

，
关于对称，关于对称，
此时的周长最小，
，
，
同理：，
，
，
，
，
，
．
，
故选：B．
8．C
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的运用，把沿翻折至，连接，则，，，，再证明得到， ，接着证明，则，．
【详解】解：把沿翻折至，连接，
∴，，，，
又∵，
∴，
∵，
，
∴，
又∵，
∴，
∴， ，
∴，
在中， ，
，
故选：C．
9．
【分析】本题考查了实数的混合运算，先求出立方根，再计算加减即可，熟练掌握实数的混合运算法则是解此题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
10．或
【分析】本题考查了等边三角形的性质和线段和差，由等腰三角形“三线合一”可得，再通过线段和差即可求解，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质的应用．
【详解】解：∵是等边三角形，，
∴，
∴或，
故答案为：或．
11．
【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式；设出关系式，将，代入求出的值，即可确定出解析式，即可求解．
【详解】解：依题意，设，将，代入
，
解得：
∴
故答案为：．
12．2
【分析】本题考查一次函数的平移，一次函数的图象与坐标轴的交点问题．根据平移，得到新的函数解析式为，根据直线与坐标轴围成的三角形的面积增加了2，列出方程求解即可．
【详解】解：∵，
∴当时，，当时，，
∴直线与坐标轴的交点坐标为：，
∴直线与坐标轴围成的三角形的面积为；
把直线沿轴的方向向上平移了个单位长度后，得到的新函数解析式为：，
当时，，当时，，
∴∴直线与坐标轴的交点坐标为：，
∴直线与坐标轴围成的三角形的面积为；
∴，
∴，
∴或（不合题意，舍去）；
故答案为：2．
13．
【分析】连接，根据是斜边上的高线，易证．由角平分线定义可求出，即可得出．由是边的垂直平分线，即可得出，从而可得出，再由三角形外角性质可求出，即证明为等腰直角三角形，结合勾股定理即得出．
【详解】如图，连接，

∵是斜边上的高线，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴．
∵是边的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，即．
故答案为：．
【点睛】本题考查角平分线定义，线段垂直平分线的性质，三角形外角性质，等腰直角三角形的判定和性质以及勾股定理．连接常用的辅助线是解题关键．
14． 8 2或4
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是注意分情况讨论．
（1）证，可得答案；
（2）当线段经过点C时，证明，推出，分点P沿方向运动和沿方向运动两种情况，分别列式求解．
【详解】解：（1）∵，
∴，
在和中，
，
，
，
（2）当线段经过点C时，如下图所示：
在和中，
，
，
，
当点P沿方向运动时，，，
，
，
解得；
当点P沿方向运动时，，，
，
，
解得；
综上可知，t的值为或，
故答案为：（1）8；（2）2或4．
15．
【分析】此题主要考查了翻折的性质，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点及应用，正确掌握各知识点是解题的关键．根据一次函数的解析式求出点A，B的坐标，根据勾股定理求出，由翻折的性质得到，，设，根据勾股定理，列方程求出，得到．
【详解】解：令中，得；令，得，
∴，
∴，
根据勾股定理得，
∵将沿翻折，点恰好落在上的点D处，
∴，，
∴，
设，则，
根据勾股定理，
∴，
解得，
∴．
故答案为：．
16． 36
【分析】本题考查了点的坐标的规律的探究，观察图形并得出点的坐标的特点是解题关键．每个正方形上有4个顶点，由正方向边上格点数得到规律，再判断顶点应为，根据顶点规律即可得出答案．
【详解】解：由题可知，第1个正方形的边上有4个格点；第2个正方形的边上有8个格点；第3个正方形的边上有12个格点；则第个正方形的边上有个格点，
∴第9个正方形有个格点；
∵点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，
∴第9个正方形的一个顶点的坐标为．
故答案为：36；．
17．(1)，，
(2)
【分析】（1）根据立方根，算术平方根，平方根的概念即可求出答案；
（2）根据（1）中所求，，的值代入代数式中即可求出答案．
【详解】（1）解：根据题意可得：，，，
，，；
（2），，
，
∴的平方根为，
即的平方根为．
【点睛】本题主要考查了立方根、平方根、算术平方根及代数式的求值，熟练掌握相关概念进行求解是解决本题的关键．
18．(1)①见解析；②
(2)当点D在图2位置时，仍满足，见解析
【分析】（1）①根据题意补全图形即可；②分别证明，是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质即可证明；
（2）设与交于点N，连接，证明，利用等腰三角形的性质即可证明．
【详解】（1）解：①补图．
②如图1，过点E作的垂线交边于点F．
，，点M为的中点，
，，
，
是等腰直角三角形，
点M，F重合，
，
，
是等腰直角三角形，
，且，
，
，
故答案为：；
（2）解：当点D在图2位置时，仍满足，
证明：如图，设与交于点N，连接，
∵，，M为中点，
∴，，
∵，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵在和中，，，，
∴（即），
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
19．(1)详见解析；
(2)高与中线．
【分析】本题考查了作图 基本作图，等腰三角形判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识点，
（1）根据角平分线的基本作法作出图形即可；
（2）根据证明即可得出结论；
证明是解题的关键．
【详解】（1）如图所示；
（2）∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∵
∴．
∴．
林林根据垂直平分线的性质进一步发现：三角形一边上的高与中线重合时，这个三角形是等腰三角形，
故答案为：高与中线．
20．(1)图见解析
(2)，
(3)点P的坐标为（4，2）或（﹣4，﹣6）
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，熟知关于x轴对称，关于y轴对称的点的坐标特征是解题的关键．
（1）首先确定，，三点关于轴对称点的位置，然后依次连接即可；
（2）根据（1）所画图形写出对应点坐标即可；
（3）根据点关于关于轴对称的点的坐标为，即可确定点的坐标，再由，求出a的值，进而确定点的坐标．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：由图可知，，，
故答案为：，；
（3）解：∵点与点关于轴对称，
∴点的坐标为，
又∵，
∴，
∴或，
∴当时，；当时，，
∴点的坐标为或．
21．
【分析】本题考查了勾股定理的应用，设绳索的长度为，则，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．由勾股定理得出方程是解题的关键．
【详解】解：由题意得：，
在中，由勾股定理得：，
设绳索的长度为，则，
∴，
解得：，
答：绳索的长度是．
22．(1)证明见解析
(2)4
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）由，证明即可；
（2）证明，由全等三角形的性质证明，由勾股定理计算即可．
【详解】（1）证明：为等边三角形，
，
点G在的垂直平分线上，
又，
点A在垂直平分线上，
直线垂直平分；
（2）解：和为等边三角形，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
．
23．(1)3
(2)
(3)
【分析】本题是一次函数的综合题，涉及最短路径问题，待定系数法求函数解析式，坐标轴上点的坐标特征，解题的关键是掌握待定系数法求一次函数的解析式．
（1）由点得，由点得的边上的高为，利用三角形的面积公式即可求解；
（2）利用待定系数法可求得直线的解析式；
（3）作点关于轴的对称点，则点的坐标，连接与轴交于点，根据最短路径问题得：此时，线段的长度最小，由直线经过点得点，利用待定系数法可求得直线的解析式，根据轴上点的坐标特征求出点的坐标．
【详解】（1）解：，点．
，的边上的高为，
；
（2）直线与轴交于点，与轴交于点，已知点，点，
，
解得，
直线的解析式为；
（3）作点关于轴的对称点，连接与轴交于点，此时，线段的长度最小，
，
点的坐标，
直线经过点．
，
点，
设直线的解析式为，
则，
解得，
直线的解析式为，
点在轴上，当时，，
点的坐标为．
24．(1)①见解析，②
(2)或或
【分析】本题考查了一次函数与几何图形综合，熟练掌握全等三角形的性质与判定，坐标与图形是解题的关键．
（1）①根据一次函数解析式得出，根据垂直关系以及等角的余角相等，得出，进而证明；
②由①知：，则，直线的解析式为：，同理可得：直线的解析式为：，联立得出，进而根据三角形面积公式即可求解；
（2）分当点在线段上时，当点在的延长线上时，根据等腰三角形的定义，即可求解．
【详解】（1）①证明：当时，，
，
当时，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②解：，点是 的中点，
，
由①知：，
，
，
设直线的解析式为：，
，
，
同理可得：直线的解析式为：，
由得，
，
，
；
（2）解：如图1，

当点在线段上时，
若，由于，则有，
即当时，是等腰三角形；，
若，由于，则有，
过点C作轴于点H，显然，
即不可能，
当是等腰三角形时，只有，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
如图2，

当点在的延长线上时，
同理可得：，
综上所述：或或．
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