一、选择题
CABBA CABC
二、填空题
10.号11.15
12.V3
130
124
125
14号
-615.(1,3)
三、解答题
16.解：(1)△ABC中，2c=Va+2 bcosA,
由正弦定理得2sinC=V③sinA+2 sinBcosA:
又C=π-A+B
所以2 sinAcosB+cosAsinB)=V3slnA+2 sinBcosA,
所以2 sinAcosB=V③3sinA1
又A∈Oπh所以sinA≠O,
所以cosB=号
又B∈O,π，
所以B=君
(2若cosA=子A∈(0，m队
所以snA=√1-cosA=里，
所s以n24=2 iAcoA=2x零×-
c0s2A=20sA-1=2x名-1=-6
所以sin(2A+B)=sin2 AcosB+cos2 AsinB
V1.V371
8
×2-8×2
=3V3-7
16
(3)若c=7,bsinA=√3，
高三数学1
由品a=品将asin=baina3
所以a品·冷-a
所以b2=c2+a2-aosB=40+12-2X7xa√3x学=2
解得b=√I丽
17.【控案】但脏明，建立如图所示的直角坐标系，
则A000叭、D02队P00:
在RE△BAD中，AD=ZBD=V2
÷AB=2÷B200叭C22,0吵
÷丽-002弘AC=228丽=(-220)
÷BDA下=0，BDAC=0,
即BD⊥AP,BD⊥AC,
又因为APnAC=A,AP,ACC平面PAC,
·BD⊥平面PAC
2懈：由4得P元=02-2头c币=(-200.
设平面PCD的法向量为河=么，y,h(
2x.
故平面PCD的法向量可取为T=O,1,)
:PA⊥平面ABCD,
·A丽=(，2为平面ABCD的法向量.
设二面角P-CD一B的大小为8，O高三数学2
依题意可得c0s9=号，
二面角P一CD一B的大小是翠
3懈：由得PE=2,0-2P币=0,2-2)
同理，可得平面PBD的法向量为=亿，1,1).
PC=22-2
G到面P8D的距离为d=#希/=号
18解：由题意知，椭图离心率为-号
得a=V2c,又2a+2c=4W2+1,
所以a=2W2,c=2,所以b2=a2-c2=4,
所以椭圆的标准方程为号+苦-：
所以椭圆的焦点坐标为（士2,0，
因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，
所以该双曲线的标准方程为号-苦=1。
(2设点Pka,yo
则%。k2=总
0-2
“kk2=h0
广x0+2x0-2“心
又点P:ayo在双曲线上，
4量经=，即y%=场-4，
A
k1·k2=
3假设存在常数，使得得AB/+CD/=ABCD恒成立，
则由(2知k1·k2=1,
设直线AB的方程为y=k:+2弘则直线CD的方程为y=:一2》
由方程组借+号-1端)喝：x+安+x+2-8=
设A:,yB:2y2河东区 2023~2024学年度第一学期期末质量检测
高三数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题) 两部分，共150分，考试用时 120分钟.
第Ⅰ 卷(选择题 共45分)
一、选择题：(本题共9个小题，每小题5分，共45分.每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求)
1. 已知集合U ={x|x ∈ N, 且x≤5}, A = {2,4}, B = {2,3}, 则
A.{1,5} B.{2} C.{0,1,5} D.{3,4}
是 的条件( )
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要
3. 设 a,b ,c 的大小关系是( )
4. 设函数 则函数f(x)的图象可能为( )
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5. 已知函数的部分图象如图所示. 有下列四个结论:
②在 上单调递增；
③的最小正周期
④的图象的一条对称轴为
其中正确的结论有( )
A.②③ B.②④ C.①④ D.①②
6. 已知等比数列{}各项均为正数， 则 的值为( )
A.76 B.74 C.72 D.70
7.根据下表中的数据可以得到线性回归方程则实数m，n应满足( )
x 3 m 5 6
y 2.5 3 4 n
A. n-0.7m = 1.7 B. n-0.7m= 1.5 C. n+0.7m= 1.7 D. n +0.7m= 1.5
8. 已知正三棱锥P—ABC的四个顶点都在半径为R的球面上，且AB =2， 若三棱锥P—ABC体积为 则该球的表面积为( )
9. 已知F ，F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且 线段PF 的垂直平分线过F ，若椭圆的离心率为e ，双曲线的离心率为，则 的最小值为( )
B.3 C.6 D.
二、填空题(本大题共6个小题，每小题5分，共30分)
10. 已知i为虚数单位，若复数 是实数，则实数m的值为 .
的展开式中的常数项为 .
12. 已知抛物线C: 的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线l与C交于A，B两点，则以线段AB为直径的圆被y轴所截得的弦长为 .
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13.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的 2个球中，若都是红球，则获一等奖：若只有1个红球，则获二等奖：若没有红球， 则不获奖.求顾客抽奖1 次能获奖的概率 ； 若某顾客有 3 次抽奖机会，则该顾客在3 次抽奖中至多有两次获得一等奖的概率 .
14.在平面四边形ABCD中, 向量AB在向量 上的投影向量为 则∠BAD= ; 若 点E为线段BD上的动点，则 的最小值为 .
15.设函数若方程有三个不同的实数根,,,则实数a的取值范围为 .
三、解答题：(本大题5个题，共75分)
16.(14分) 已知△ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c, 满足
(1) 求角B;
(2) 若 求 sin(2A +B)的值;
(3) 若c = 7, bsinA = ,求b的值.
17. (15分) 如图, 棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形, PA⊥平面ABCD, PA = AD =2,
(1) 求证: BD⊥平面PAC;
(2) 求二面角P-CD-B的大小;
(3) 求点C到平面PBD的距离.
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18.(15 分) 如图, 已知椭圆 的离心率为 以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为 一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线与椭圆的交点分别为A，B和C，D.
(1) 求椭圆和双曲线的标准方程；
(2) 设直线的斜率分别为证明
(3)是否存在常数λ，使得 |恒成立 若存在，求λ的值； 若不存在，请说明理由.
19.(15分) 已知数列{}的前n项和为Sn, 满足. 数列 满足 且
(1) 求数列{}的通项公式;
(2) 求证: 数列 是等差数列，求数列{ }的通项公式；
(3) 若 数列{{}}的前n项和为, 对任意的,
都有 求实数a的取值范围.
20.(16分) 已知函数
(1) 若 求函数的极值;
(2) 设函数 = -, 求函数h(x)的单调区间;
(3) 若存在 使得 成立，求a的取值范围.
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