期末预测模拟卷（一）2023-2024学年数学高二上学期人教A版（含答案）
文档属性
| 名称 | 期末预测模拟卷（一）2023-2024学年数学高二上学期人教A版（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 488.7KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-24 18:20:19 | ||
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文档简介
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期末预测模拟卷（一）2023-2024学年数学高二上学期人教A版
一、选择题
1．若直线与垂直，则（ ）
A．-2 B．2 C． D．
2． 空间直角坐标系中，经过点且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线l的方程为，阅读上面的材料并解决下列问题：现给出平面α的方程为，经过点的直线l的方程为，则直线l与平面α所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．点到双曲线的一条渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
4．已知双曲线的焦距为，点在的渐近线上，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
5． 已知双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于5，那么点P到另一个焦点F的距离等于（ ）
A．3 B．3或7 C．5 D．7
6． 已知是抛物线上的两点，与关于轴对称，，则的最小值为（ ）
A．9 B． C． D．8
7． 直线与圆交于A，B两点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8． 已知椭圆：离心率为，左顶点是A，左、右焦点分别是，，是在第一象限上的一点，直线与的另一个交点为.若，且的周长为，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．已知抛物线过点的焦点为.直线与抛物线交于两点（均不与坐标原点重合），且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．两点的纵坐标之积为-64 D．直线恒过点
10． 下列说法错误的是（ ）
A．圆的圆心在直线上
B．若曲线与恰有四条公切线，则实数m的取值范围为
C．若圆上有且仅有3个点到直线的距离为，则
D．已知圆，P为直线上一动点，过点Р向圆C引切线PA，其中A为切点，则切线长的最小值为2
11． 下列命题为真命题的是（ ）
A．若空间向量，，满足，则
B．若三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，必定共面
C．若空间向量，，则
D．对于任意空间向量，，必有
12． 已知正方体的棱长为1，则（ ）
A．直线与所成角的正弦值为
B．直线与平面所成角的正弦值为
C．点到直线的距离为
D．点到平面的距离为
三、填空题
13．若向量，，则 ．
14． 已知向量，，且与互相垂直，则实数 .
15．与两坐标轴都相切，且圆心在直线上的圆的标准方程是 .
16． 已知点在抛物线上，为抛物线的焦点，圆与直线相交于两点，与线段相交于点，且若是线段上靠近的四等分点，则抛物线的方程为 ．
四、解答题
17．如图，在四棱台中，底面是中点.底面为直角梯形，且.
（1）证明：直线平面；
（2）求二面角的正弦值.
18． 在平面直角坐标系中，已知，点M满足，记的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）设圆，若直线l过圆的圆心且与曲线交于两点，且，求直线l的方程.
19．如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PDC⊥平面ABCD，，，//，，E为PD中点.
（1）求证：//面PAB；
（2）点Q在棱PA上，设，若二面角P－CD－Q余弦值为，求.
20．在平面直角坐标系中，动点C到点的距离与到直线的距离相等.
（1）求动点C的轨迹方程；
（2）若直线与动点C的轨迹交于P，Q两点，当的面积为2时，求直线l的方程.
21．动点P与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，记点P的轨迹为E.
（1）求E的方程；
（2）已知，过点的直线与曲线E交于不同的两点A，B，点A在第二象限，点B在x轴的下方，直线，分别与x轴交于C，D两点，求四边形面积的最大值.
22．已知为椭圆的两个焦点，为椭圆上异于左 右顶点的任意一点，的周长为6，面积的最大值为：
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆的另一交点为，与轴的交点为.若，.试问：是否为定值？并说明理由.
答案解析部分
1．【答案】A
2．【答案】A
3．【答案】A
4．【答案】B
5．【答案】D
6．【答案】B
7．【答案】D
8．【答案】D
9．【答案】A,C,D
10．【答案】A,C
11．【答案】B,D
12．【答案】B,C
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】或
16．【答案】
17．【答案】（1）证明：因为底面底面，则，
由题意可知：，且平面，
所以平面，且平面，可得，
不妨设，由题意可得：，
可知：，即，
且平面，所以直线平面.
（2）解：如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，不妨设，
则，
可得，
设平面的法向量，则，
令，则，可得，
设平面的法向量，则，
令，则，可得，
可得，
设二面角为，则，
所以二面角的正弦值.
18．【答案】（1）解：设，由，
可得，因为，
所以，整理可得；
即曲线的方程为.
（2）解：易知可化为，
可得圆的圆心为，半径；
又直线l过圆的圆心，可设直线的方程为，显然，
由曲线的方程可知曲线是以为圆心，半径的圆，
又，所以可知到直线的距离，
即，解得；
所以直线方程的方程为
19．【答案】（1）解：取PA中点为F，连接EF，FB.因E，F分别为PD，PA中点，则
EF//DA//BC，，即四边形ECBF为平行四边形，
则，又平面PAB，平面PAB，则//面PAB；
（2）解：取CD中点为G，因，则.
又平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC平面ABCD，平面PDC，
则平面ABCD.过C点作BA平行线，交AD于M.因平面ABCD，
则.过C做PG平行线CN，则以C为原点，CM所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，CN所在直线为z轴，如图建立空间直角坐标系.
则
注意到，则，故.
则，，，
.
设平面PCD法向量为，则，取；
设平面CDQ法向量为，则，
令，则，故取.
因二面角P－CD－Q余弦值为，则，
即.
又，则.
20．【答案】（1）解：由题知，动点C的轨迹是以F为焦点，为准线的抛物线.
动点C的轨迹方程为.
（2）解：设，
由消去x，得.
由，得.
，.
由的面积，
.
，即.
，
或.
直线l的方程为或或.
21．【答案】（1）解：设点，依题意可得，
所以，
化简得，即E的方程为.
（2）解：如图所示：
设直线的方程为，，，，
联立方程组，可得，
则
，
由韦达定理有，，
且由求根公式有，
直线的方程为，，同理，
∵，，∴，
，
∴
，
又，且，
所以，
当且仅当时，四边形的面积最大，最大值为4.
22．【答案】（1）解：设椭圆的方程为，则
由椭圆的定义及的周长为6，知①，
由于为椭圆上异于左 右顶点的任意一点，得到轴距离最大为，
因为的面积的最大值为，
所以②，
又③，
联立①②③，得，
所以椭圆的方程为.
（2）解：为定值，理由如下：
根据已知条件作出图形如图所示，
设，则，
因为在椭圆内部，则直线与椭圆一定有两交点，
联立消去得：，
，
又，且，
所以，同理
所以.
所以为定值.
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期末预测模拟卷（一）2023-2024学年数学高二上学期人教A版
一、选择题
1．若直线与垂直，则（ ）
A．-2 B．2 C． D．
2． 空间直角坐标系中，经过点且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线l的方程为，阅读上面的材料并解决下列问题：现给出平面α的方程为，经过点的直线l的方程为，则直线l与平面α所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．点到双曲线的一条渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
4．已知双曲线的焦距为，点在的渐近线上，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
5． 已知双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于5，那么点P到另一个焦点F的距离等于（ ）
A．3 B．3或7 C．5 D．7
6． 已知是抛物线上的两点，与关于轴对称，，则的最小值为（ ）
A．9 B． C． D．8
7． 直线与圆交于A，B两点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8． 已知椭圆：离心率为，左顶点是A，左、右焦点分别是，，是在第一象限上的一点，直线与的另一个交点为.若，且的周长为，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．已知抛物线过点的焦点为.直线与抛物线交于两点（均不与坐标原点重合），且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．两点的纵坐标之积为-64 D．直线恒过点
10． 下列说法错误的是（ ）
A．圆的圆心在直线上
B．若曲线与恰有四条公切线，则实数m的取值范围为
C．若圆上有且仅有3个点到直线的距离为，则
D．已知圆，P为直线上一动点，过点Р向圆C引切线PA，其中A为切点，则切线长的最小值为2
11． 下列命题为真命题的是（ ）
A．若空间向量，，满足，则
B．若三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，必定共面
C．若空间向量，，则
D．对于任意空间向量，，必有
12． 已知正方体的棱长为1，则（ ）
A．直线与所成角的正弦值为
B．直线与平面所成角的正弦值为
C．点到直线的距离为
D．点到平面的距离为
三、填空题
13．若向量，，则 ．
14． 已知向量，，且与互相垂直，则实数 .
15．与两坐标轴都相切，且圆心在直线上的圆的标准方程是 .
16． 已知点在抛物线上，为抛物线的焦点，圆与直线相交于两点，与线段相交于点，且若是线段上靠近的四等分点，则抛物线的方程为 ．
四、解答题
17．如图，在四棱台中，底面是中点.底面为直角梯形，且.
（1）证明：直线平面；
（2）求二面角的正弦值.
18． 在平面直角坐标系中，已知，点M满足，记的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）设圆，若直线l过圆的圆心且与曲线交于两点，且，求直线l的方程.
19．如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PDC⊥平面ABCD，，，//，，E为PD中点.
（1）求证：//面PAB；
（2）点Q在棱PA上，设，若二面角P－CD－Q余弦值为，求.
20．在平面直角坐标系中，动点C到点的距离与到直线的距离相等.
（1）求动点C的轨迹方程；
（2）若直线与动点C的轨迹交于P，Q两点，当的面积为2时，求直线l的方程.
21．动点P与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，记点P的轨迹为E.
（1）求E的方程；
（2）已知，过点的直线与曲线E交于不同的两点A，B，点A在第二象限，点B在x轴的下方，直线，分别与x轴交于C，D两点，求四边形面积的最大值.
22．已知为椭圆的两个焦点，为椭圆上异于左 右顶点的任意一点，的周长为6，面积的最大值为：
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆的另一交点为，与轴的交点为.若，.试问：是否为定值？并说明理由.
答案解析部分
1．【答案】A
2．【答案】A
3．【答案】A
4．【答案】B
5．【答案】D
6．【答案】B
7．【答案】D
8．【答案】D
9．【答案】A,C,D
10．【答案】A,C
11．【答案】B,D
12．【答案】B,C
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】或
16．【答案】
17．【答案】（1）证明：因为底面底面，则，
由题意可知：，且平面，
所以平面，且平面，可得，
不妨设，由题意可得：，
可知：，即，
且平面，所以直线平面.
（2）解：如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，不妨设，
则，
可得，
设平面的法向量，则，
令，则，可得，
设平面的法向量，则，
令，则，可得，
可得，
设二面角为，则，
所以二面角的正弦值.
18．【答案】（1）解：设，由，
可得，因为，
所以，整理可得；
即曲线的方程为.
（2）解：易知可化为，
可得圆的圆心为，半径；
又直线l过圆的圆心，可设直线的方程为，显然，
由曲线的方程可知曲线是以为圆心，半径的圆，
又，所以可知到直线的距离，
即，解得；
所以直线方程的方程为
19．【答案】（1）解：取PA中点为F，连接EF，FB.因E，F分别为PD，PA中点，则
EF//DA//BC，，即四边形ECBF为平行四边形，
则，又平面PAB，平面PAB，则//面PAB；
（2）解：取CD中点为G，因，则.
又平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC平面ABCD，平面PDC，
则平面ABCD.过C点作BA平行线，交AD于M.因平面ABCD，
则.过C做PG平行线CN，则以C为原点，CM所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，CN所在直线为z轴，如图建立空间直角坐标系.
则
注意到，则，故.
则，，，
.
设平面PCD法向量为，则，取；
设平面CDQ法向量为，则，
令，则，故取.
因二面角P－CD－Q余弦值为，则，
即.
又，则.
20．【答案】（1）解：由题知，动点C的轨迹是以F为焦点，为准线的抛物线.
动点C的轨迹方程为.
（2）解：设，
由消去x，得.
由，得.
，.
由的面积，
.
，即.
，
或.
直线l的方程为或或.
21．【答案】（1）解：设点，依题意可得，
所以，
化简得，即E的方程为.
（2）解：如图所示：
设直线的方程为，，，，
联立方程组，可得，
则
，
由韦达定理有，，
且由求根公式有，
直线的方程为，，同理，
∵，，∴，
，
∴
，
又，且，
所以，
当且仅当时，四边形的面积最大，最大值为4.
22．【答案】（1）解：设椭圆的方程为，则
由椭圆的定义及的周长为6，知①，
由于为椭圆上异于左 右顶点的任意一点，得到轴距离最大为，
因为的面积的最大值为，
所以②，
又③，
联立①②③，得，
所以椭圆的方程为.
（2）解：为定值，理由如下：
根据已知条件作出图形如图所示，
设，则，
因为在椭圆内部，则直线与椭圆一定有两交点，
联立消去得：，
，
又，且，
所以，同理
所以.
所以为定值.
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