广东省深圳市罗湖区2023-2024学年高二上学期期末质量检测数学试题（含答案）

罗湖区2023—2024学年度第一学期期末质量检测
高二 数学
2024.1
注意事项：
1．本试卷共4页，共22题，满分150分，考试用时120分钟。
2．答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码。
3．作答选择题时，用2B铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑。
4．非选择题的答案写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液。
5．考试结束后，考生上交答题卡。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．已知直线l的方向向量为，则l的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
3．设平面和的法向量分别为．若，则（ ）
A．4 B． C．10 D．
4．已知等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．18 B．19 C．20 D．
5．双曲线名的离心带为，则其渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
6．正方体中，M是中点，则异面直线CM与所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
7．已知椭圆的左，右焦点分别为，点P为E的上顶点，点Q在E上且满足，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．己知是公比不为1的等比数列的前n项和，则“成等差数列”是“对任意，，，成等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点．则下列各式成立的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知直线与圆交于A，B两点，则（ ）
A．圆D的面积为 B．l过定点
C．面积的最大值为 D．
11．已知等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A． B． C．的最小值为 D．的最小值为
12．过抛物线上一点作两条相互垂直的直线，与E的另外两个交点分别为A，B，则（ ）
A．E的准线方程为 B．过点M与E相切的直线方程为
C．直线AB过定点 D．的最小值为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若直线与直线平行，则_____________．
14．圆与圆的公共弦的长为_____________．
15．知数满足，则数列的通项公式_____________．
16已知分别是双曲线的左右焦点，过的直线l与C只有一个公共点P，且，则C的离心率为_____________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（10分）
已知公差不为零的等差数列的前n项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
2）令，求数列的前n项和．
18．（12分）
如图，正方体的棱长为2，O为的中点，点E在棱上，且．
（1）证明：平面ABCD；
（2）求直线与平面所成角的余弦值．
19．（12分）
己知动点P到直线的距离比到点距离多2个单位长度，设动点P的轨迹为E．
（1）求E的方程；
（2）已知过点的直线l交E于A，B两点，且（O为坐标原点）的面积为32，求l的方程．
20．（12分）
已知数列的前n项和为，满足，且．
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
21．（12分）
如图，在三棱柱中，底面侧面．
（1）证明：平面；
（2）若三棱锥的体积为为锐角，求平面与平面，的夹角的余弦值．
22．（12分）
已知椭圆的短轴长，离心率为．
（1）求C的标准方程：
（2）过点的直线与C交于P，Q两点，P关于x轴对称的点为R，求面积的最大值．
罗湖区2023—2024学年第一学期期末学业质量监测
高二数学参考答案
一、单项选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B C C C D A C
二、多项选择题
题号 9 10 11 12
答案 AC ABD ACD BD
三、填空题
13． 14． 15． 16．
四、解答题
17．解：（1）设等差数列的公差为，又，
所以，解得， 3分
所以的通项公式． 5分
（2）， 6分
所以 8分
． 10分
18．（1）（法一）证：为的中点，，
为等腰三角形，且，
又，
，
． 3分
取中点为F，则，
又平面ABCD，平面ABCD，
平面ABCD，
为的中点，F为中点，
，
平面ABCD，平面ABCD，
平面ABCD．
．平面OEF，
平面平面ABCD， 5分
平面OEF，
平面ABCD． 6分
（法二）证：设，以D为原点，DA，DC，的方向分别为x，y，z三轴的正方向建立空间直角坐标系，如图 2分
．
，
，可得，
， 4分
平面ABCD，
为平面ABCD的法向量，
，
平面ABCD，
又平面ABCD，
平面ABCD． 6分
（2）解：以D为原点，DA，DC，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系如图，
，
， 8分
设平面的法向量为，
则，即，
令，可得， 9分
设直线与平面所成角为，
， 11分
直线与平面所成角的余弦值为． 12分
19．解：（1）因为动点P到直线的距离比到点距离多2个单位长度，
所以动点P到直线的距离和到点距离相等， 2分
曲线E是以为焦点，直线为准线的抛物线，
所以曲线E的方程为． 6分
（2）设，
设直线l的方程为，
联立，消去x得，， 8分
所以，
， 10分
解得
所以直线l的方程为或． 12分
20．解：由可得，当时，，
以上两式相减可得， 2分
当时，，满足， 3分
所以数列是以4为首项，3为公比的等比数列， 4分
故． 6分
（2）， 7分
，
， 9分
两式相减，得
所以． 12分
21．（1）证：平面平面，平面平面，
平面， 2分
平面，
， 3分
，
， 4分
四边形为菱形，
， 5分
平面，
平面． 6分
（2）解：平面ABC，
，
，可得，
又，
，
为锐角，
7分
以C为原点，CA，CB及平面ABC过点C的垂线分别为x，y，z，轴，建立空间直角坐标系，
， 8分
平面，
即为平面的法向量， 9分
设平面的法向量为，
则，即，
令，可得， 10分
，
∴平面与平面的夹角的余弦值为． 12分
22．解：（1）由题意知，解得，
所以C的标准方程为． 4分
（2）设，设直线PQ的方程为，
联立消去y得，， 5分
所以， 6分
，
， 9分
当且仅当，即时取等号， 11分
所以面积的最大值为． 12分