山东省烟台爱华高级中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题（含解析）

烟台爱华高级中学2023-2024学年高二上学期期末考试
数学试题
一、单选题
1．已知数列，，，，…则该数列的第211项为（ ）
A． B． C． D．
2．在等比数列中，，是方程的根，则（ ）
A． B． C． D．或
3．已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，且的周长为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
4．过双曲线（）的左焦点作轴的垂线交双曲线于点，为右焦点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．已知数列满足，且，则（ ）
A．2 B．3 C．5 D．8
6．已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两个不同的点，若，则线段的中点到轴的距离为（ ）
A．3 B． C．5 D．
7．若数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图，从某个角度观看篮球，可以得到一个对称的平面图形如下图，篮球的外轮廓为圆，将篮球表面的粘合线视为坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长八等分，且，则该双曲线的方程为（ ）
B．
C． D．
二、多选题
9．已知曲线C：（其中，为参数），下列说法正确的是（ ）
A．若，则曲线C表示圆
B．若，则曲线C表示椭圆
C．若，则曲线C表示双曲线
D．若，，则曲线C表示两条直线
10．在等比数列中，，，则（ ）
A．该数列的第5项
B．该数列的通项公式
C．数列是等比数列
D．设数列的前项和为，则
11．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，且的最大值为4，最小值为2，则（ ）
A．椭圆C的离心率为
B．的周长为8
C．若，则的面积为8
D．若，则
12．已知是数列的前n项和，若，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．数列为等差数列 C． D．
三、填空题
13．等差数列中，是其前项和，，，则的值为 ．
14．已知抛物线的焦点为，定点，点是抛物线上一个动点，则的最小值为 ．
15．已知数列满足，，，则数列的前20项和为 .
16．如图，，分别是双曲线C：的左 右焦点，以为直径的圆与C交于点B，弦与C交于A点，连接，若，则C的离心率为 .
四、解答题
17．已知等比数列的前n项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
18．已知圆的圆心是抛物线的焦点．
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线交抛物线于两点，且点是弦的中点，求直线的方程．
19．已知是各项均为正数的等比数列，其前项和为，，，，成等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
20．已知点在双曲线上，且双曲线的一条渐近线的方程是．
(1)求双曲线的方程；
(2)若过点且斜率为的直线与双曲线仅有一个交点，求实数的值．
21．记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
22．已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点连线构成等边三角形，且椭圆的短轴长为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)是否存在过点的直线与椭圆相交于不同的两点，且满足（为坐标原点）若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
参考答案：
1．A【详解】由题意，该数列可表示为，
该数列的通项公式为，所以，故选：A.
2．D【详解】等比数列的公比设为，，是方程的根，
可得，即有，即有，则故选：D.
3．D【详解】设椭圆的长轴长为，焦距为，则，，
由椭圆定义可知，的周长为，，
，解得，故选D．
4．B【详解】依题意可得，是等腰直角三角形
所以则．
根据双曲线的几何定义可得，，所以，则， 故选：B
5．D【详解】因为所以，，，.故选：D
6．B【详解】由抛物线方程，得其准线方程为.设，，由抛物线的定义，得，即，所以线段中点的横坐标为，线段的中点到轴的距离为．故选：B.
7．A【详解】解：由题意， ，
在数列中，，
∴.故选：A.
8．B【详解】
如图在直角坐标系在中，作双曲线和圆在第一象限的交点，
作轴于点，
由坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长八等分，
则，由，所以，
所以点坐标为，
由双曲线的标准方程为，则，
代入可得，即，
所以双曲线方程为，故选：B.
9．ACD【详解】对于A项，由，是以原点为圆心，为半径的圆，故A正确；
对于B项，显然时，不是椭圆，故B错误；
对于C项，若，若，两种情况都表示双曲线，故C正确；
对于D项，若，若，两种情况均表示两条直线，故D正确.故选：ACD.
10．AC【详解】由题意数列的公比，所以，所以，故A正确，B错误；
而，所以，即数列是等比数列，故C正确；
又，所以，故D错误.故选：AC.
11．AB【详解】对于A，由题意得，解得，所以离心率为，故A正确；
对于B，的周长为，故B正确；
对于C，由A得，，
当点为上顶点时，最大，即，
，
所以的面积不可能为8，故C错误；
对于D，由且得，，
所以，即，故D错误；故选：AB．
12．ACD【详解】A：当时，，又，
所以，故A正确；
B：当时，由，得，
两式相减得，
由，得，所以，
所以，得，则，
即，所以数列不为等差数列，故B错误；
C：由选项B可知，所以，故C正确；
D：由选项B可知，所以，
即数列的奇数项为首项是1，公差是3的等差数列，
偶数项为首项是2，公差是3的等差数列，
所以
所以
故，故D正确.故选：ACD
13．0【详解】设等差数列的公差为，
因为，
所以，
所以，所以，得，
所以，故答案为：0
14．【详解】抛物线的准线为，
如图，过点作垂直准线于点，则，
所以，当且仅当三点共线时取等号，
所以的最小值为.故答案为：.
15．330【详解】由题意，当为奇数时，，
所以数列是公差为，首项为的等差数列，
所以，当为偶数时，，所以数列是公差为，首项为的等差数列，所以，
，故答案为：330
16．【详解】因为以为直径的圆与C交于点B，
所以，.设，则，.
因为A，B是C上的点，所以，
则，.在中，，即，
则，所以C的离心率为.故答案为：
17．(1)
(2)
【详解】（1））设等比数列的公比为，因为，所以，
则，解得，
所以数列的通项公式.
（2）
所以，
则，
两式相减，得
则.
18．(1)
(2)
【详解】（1）圆的方程可化为，
故圆心的坐标为．
设抛物线的方程为()，所以，所以，
所以抛物线的方程为．
（2）设，，则两式相减，
得，即，
所以直线的斜率．
因为点是的中点，所以，所以．
所以直线的方程为，即．
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列可得，再由等比数列的基本公式计算可得公比的值，从而得数列的通项公式；
（2）根据裂项相消法直接求数列的前项和即可.
【详解】（1）设等比数列的公差为，则，
由，，成等差数列可得，即，
又，所以，即，解得或（舍），
所以；
（2）由（1）可得，所以，
所以.
20．(1)
(2)或
【分析】（1）由渐近线公式，以及代入点的坐标，即可求解双曲线方程；
（2）直线方程与双曲线方程联立，根据交点个数，求实数的取值范围.
【详解】（1）由条件可知，，且，解得：，，
所以双曲线方程为；
（2）设直线的方程为，
联立，，
时，，得；
当时，时，，得，满足条件，
综上可知，或.
21．(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（1）依题意可得，根据，作差即可得到，从而得证；
（2）法一：由（1）及等比中项的性质求出，即可得到的通项公式与前项和，再根据二次函数的性质计算可得．
【详解】（1）因为，即①，
当时，②，
①②得，，
即，
即，所以，且，
所以是以为公差的等差数列．
（2）[方法一]：二次函数的性质
由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，所以，
所以，当或时，．
[方法二]：【最优解】邻项变号法
由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，即有.
则当或时，．
【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出的最小值，适用于可以求出的表达式；
法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．
22．(1)
(2)存在，
【分析】（1）依题意列式求出即可；
（2）依题意联立方程，运用韦达定理即可求解.
【详解】（1）由题意得：，
解得，
椭圆的标准方程是.
（2）当直线的斜率不存在时，，，不符合题意，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由消去整理得：，
，
解得或，
由韦达定理得
，
，
，
解得，满足，
所以存在符合题意的直线，其方程为.