梅州市高二第一学期期末联考（2024.1）
数学参考答案与评分意见
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
B D C B A C A B
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求。全部选对的得 5分，有选错的得 0分，部分选对的得 2分。
9 10 11 12
BC BD AB ABD
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分。
7 1
13. 14. 15. 14 135 16. [ 7, 7]2
四、解答题：本题共 6小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分 10 分）
解：（1）由题设： AB ( 2,2,1)， AC ( 1, 1,1)， .......................1 分
AB AC ( 2) ( 1) 2 ( 1) ( 1) 1 1， .......................3 分
AB ( 2)2 22 ( 1)2 3， AC ( 1)2 ( 1)2 12 3， ..........5 分
所以 cos BAC AB AC 1 3 . .......................6 分
AB AC 3 3 9
（2）sin BAC 1 cos2 BAC 78 ， .......................8 分
9
S 1 ABC AB AC sin BAC ， .......................9 分2
1 3 3 78 26 . .......................10 分
2 9 2
{#{QQABBQAEggCIAAJAAQgCEwG4CAAQkBAAACoGAEAEsAAAiAFABAA=}#}
18.（本小题满分 12 分）
（1）解：由题设知 a1 3 1 2， .......................1 分
当 n 2 a 2a na 3n时，由 1 2 n 1，
得a1 2a2 (n 1)a 3
n 1
n 1 1， .......................2 分
得nan (3
n 1) (3n 1 1) 2 3n 1， .......................3 分
取n 2，得 2a2 2 3
2 1 a 3， .......................4 分
，即 2
1 1
当 n 1时，a1 2
2 3
也符合上式， .......................5 分
1
n N a 2 3
n 1
因此，对任意 ， n . .......................6 分n
2 3n 1
（2）证明：由（1）得：an ，n
2 3n
于是an 1 ， .......................7 分n 1
2 3n
an 1 n 1 3nn 1 .......................8 分an 2 3 n 1
n
3
3 ， .......................9 分
n 1
3 3 3 1， .......................10 分
1 1 2
即对任意 n N ，都有 an 1 an ， .......................11 分
所以数列 an 为单调递增数列. .......................12 分
19.（本小题满分 12 分）
解：（1）抛物线C : y2 4x的焦点F的坐标为 (1,0)，准线 l方程为 x 1， ................1 分
设点 P的坐标为 (x0, y0)，
因为点P到抛物线C的焦点F的距离等于其准线 l的距离，
所以依题意，有 x0 1 5， .......................2 分
因此 x0 4， .......................3 分
{#{QQABBQAEggCIAAJAAQgCEwG4CAAQkBAAACoGAEAEsAAAiAFABAA=}#}
进而点 P的纵坐标 y 20 4 4，又 y0 0，所以 y0 4， .......................4 分
点P的坐标为 (4,4) . .......................5 分
（2）显然 x 4不是抛物线C的切线，
可设抛物线C在点P处的切线方程为 y 4 k(x 4)， .......................6 分
y 4 k(x 4)
联立方程 ， .......................7 分2
y 4x
消元得：[k(x 4) 4]2 4x k2 x2 (8k 8k2 4)x (4 4k )2 0， ...............8 分
因为相切，
[8k 8k2 4]2 4k2 (4 4k )2 16(2k2 2k 1)2 64k2 (1 k )2 0， ...............9 分
化简得：4k 2 4k 1 (2k 1)2 0， .......................10 分
1
解得：k ， .......................11 分2
因此抛物线C在点 P处的切线方程为 y 4 1 (x 4)，即： x 2 y 4 0 . .........12 分
2
20.（本小题满分 12 分）
解：（1）作 AM BC 交 BC于点M ，交 DE于点 N ，
S 1 3 ABC ( 4) 4 4 3 ， ...................1 分2 2
因为D,E为AB, AC中点，
S 3所以 梯形BCED S ABC 3 3， ...................2 分4
因为平面A1DE 平面BCED，而 A1N DE，A1N 平面A1DE，平面A1DE 平面BCED DE
所以 A1N 平面BCED， ...................3 分
V 1A1 BCED S梯形BCDE A1N3
1
3 3 3 3. ...................4 分
3
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（2）法一：由（1） A1N 平面BCED，又MN NE
以 N 为原点， NM、NE、NA1分别为 x, y, z轴，
建立空间直角坐标 N xyz，如图所示
A1 0,0, 3 ,D 0, 1,0 ,E 0,1,0 ,B 3, 2,0 ,C 3,2,0 ，
...................6 分
DA1 0,1, 3 ,EA1 0, 1, 3 ,DB 3, 1,0 ,EC 3,1,0
n1 DA1 y 3z 0设平面 A1BD的法向量为 n1 x, y, z 有： ， ...............7 分， n1 DB 3x y 0
令 x 1，则 y 3, z 1， ...................8 分
n1 1, 3, 1 是平面 A1BD的一个法向量， ...................9 分
同理， n2 1, 3,1 是平面 A1CE的一个法向量， ...................11 分
设平面与平面的夹角为 ，平面 A1BD与平面 A1CE的夹角的余弦值为
cos cos n n1,n2 1
n 2 1 3 1 1 ，
n 51 n2 5 5
所以，平面 A1BD与平面 A1CE
1
的夹角的余弦值为 . ...................12 分
5
法二：延长 BD,CE交于一点，即点 A，
平面A1BD 平面A1CE AA1， .....................5 分
A1N 平面BCDE,NC 平面BCDE， A1N NC，
Rt NMC中,NC MN 2 MC 2 7 ，......6 分
Rt A1NC中, A1C A1N
2 NC 2 10 ，......7 分
在 CA1F中, A1E AE CE ，
所以 AA1C 是一个直角三角形，即有CA1 AA1 ， .......................8 分
同理 BA1 AA1 ，且 BA1 CA1 10 ， .......................9 分
所以 BA1C 为平面 A1BD 与平面 A1CE 所成角的平面角， ............10 分
{#{QQABBQAEggCIAAJAAQgCEwG4CAAQkBAAACoGAEAEsAAAiAFABAA=}#}
在 BA1C 中，
A 2 2cos BA C 1B A1C BC
2 10 10 16 1
1 2 A ，1B A1C 2 10 10 5
1
所以平面 A1BD 与平面 A1CE 夹角的余弦值为 . .......................12 分5
21.（本小题满分 12 分）
解：（1）由已知 3 3 2 02 72，故点 N在圆M 内部，
所以圆 P与圆M 内切， .......................1 分
设 P x, y ，则 PM PN 72 6 MN ，
因此 P 为以M 3, 0 ,N 3, 0 焦点的椭圆， .......................2 分
设该椭圆长半轴长为 a，短半轴长 b，半焦距为 c
且知 2a 72 6 2 a 3 2 ， .......................3 分
2
于是 b2 a 2 c 2 3 2 32 9 ， .......................4 分
x 2 y 2
因此轨迹W 的方程为 1． .......................5 分
18 9
（2）设 y轴上存在定点T 0, y0 ，使以 AB为直径的圆恒过这个点T
设直线的方程为 l : y kx 1
y kx 1
联立方程 x2 y2 ， .......................6 分
1 18 9
整理得 1 2k 2 x2 4kx 16 0，
16k 2 64 1 2k 2 0，
设 A x1 , y1 , B x2 , y2 ，
4k 16
则 x1 x2 x x ， .......................7 分1 2k2 ， 1 2 1 2k 2
设 A x1, y1 ,B x2 , y2 ，
TA x1, y1 y0 ,TB x2 , y2 y0 ，
则TA TB x1x2 y1 y0 y2 y0 0，
{#{QQABBQAEggCIAAJAAQgCEwG4CAAQkBAAACoGAEAEsAAAiAFABAA=}#}
即有： x1x
2
2 y1y2 y0 y1 y2 y0 0， .......................8 分
而 y1 y2 kx1 1 kx2 1 k2x1x2 k x1 x2 1
k 2 16
2
k 4k 1 18k 1 ， .......................9 分
1 2k 2 1 2k 2 1 2k 2
y y kx 1 kx 1 k x x 2 4k
2 2
1 2 1 2 1 2 2 ，1 2k 2 1 2k 2
2 2 3 6k 2 5
代入上式得 y0 y0 0， .......................10 分1 2k 2 1 2k 2
整理可得：2k2(y0 3)(y0 3) (y0 3)(y0 5) 0， .......................11 分
可见 y0 3总满足上面等式，
即 y轴上存在定点T 0,3 ，使以 AB为直径的圆恒过这个点. .................12 分
22.（本小题满分 12 分）
14 14
解：（1）由题可知： S2 S1 900 840， .......................1 分15 15
I 1 42 S1 I
1 900 41 100 60 80 140，.......................2 分15 5 15 5
I 1 4 13 S2 I2 840
4
140 56 112 168， .....................3 分
15 5 15 5
14
因为 Sn 1 Sn， S1 900，15
所以数列{Sn}是以900
14
为首项，以 为公比的等比数列，.....................4 分
15
14 n 1S 900 所以 n . .......................5 分
15
I 1 S 4 I 4 14
n 1
（2）由（1）知 n 1 I 60 ， .......................6 分15 n 5 n 5 n 15
I 14
n
4 I 14
n 1
利用待定系数法，设： n 1 n ，
15 5 15
4 14 4 14 n 1I I 移项可得： n 1 5 n
15 5
， .......................7 分
15
14 4 2对照可知： 60，
15 5 15
{#{QQABBQAEggCIAAJAAQgCEwG4CAAQkBAAACoGAEAEsAAAiAFABAA=}#}
14 n 4 14 n 1
因此 450 ， In 1 450 In 450
. ......8 分
15 5 15
I 450 14
1 1
又 1
350，
15
I 450 14
n 1
4
所以数列 n 是首项为 350，公比为 的等比数列， ......9 分
15 5
n 1 n 1
于是有： I 450 14 350 4 n ， .......................10 分
15 5
n 1
I 450 14 350 4
n 1
即 n ， .......................11 分
15 5
R 1000 S I 1000 350 4
n 1 n 1
因此 n n n 1350
14 ． ...........12 分
5 15
{#{QQABBQAEggCIAAJAAQgCEwG4CAAQkBAAACoGAEAEsAAAiAFABAA=}#}梅州市高中期末考试试卷（2024.1）
高二数学
注意事项：本试卷共6页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．
1．答卷前，考生务必用黑色字迹铜笔或签字笔将自己的学校、班级、考生号、姓名和座号填写在答题卡上，
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3．作答必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．在空间直角坐标系中，已知点，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．若过点的直线的倾斜角为，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
3．已知五个数成等差数列，则（ ）
A．21 B．24 C．27 D．30
4．如图，在三棱台中，分别为的中点，设，则可用表示为（ ）
A． B． C． D．
5．已知定点为圆的动点，则线段的中点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
6．已知点，点为椭圆上一动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．空间直角坐标系中，已知点，向量，则过点且以为法向量的平面方程为（ ）
A． B． C． D．
8．已知“整数对”按如下规律排成一列：，……，则第60个数对是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全得2分，有选错的得0分．
9．关于双曲线，下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的焦点坐标为和
B．双曲线的离心率是
C．双曲线与双曲线的离心率相等
D．双曲线的渐近线方程为
10．已知数列，记的前项和为，下列说法正确的是（ ）
A． B．是一个等差数列 C． D．
11．设圆与直线相交，交点为，则（ ）
A．当时，直线平分圆 B．
C．弦长的最小值为 D．只能是钝角三角形
12．将个互不相等的数排成下表：
记，
，则下列判断中，一定不成立的是（ ）
（注：分别表示集合最大值和最小值．）
A． B． C． D．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知数列是一个等比数列，且，则_____________．
14．天宫空间站的建成，标志着我国独立掌握了近地轨道大型航天器在轨组装建造技术，具备了开展空间长期有人参与科学技术实（试）验的能力，为不断推动我国空间科学、空间技术的创新发展，为建设航天强国、提升我国在国际载人航天领域的影响力提供了重要支墇．设某航天器轨道可近似为一个以地心为其中一个焦点的椭圆，其近地点距地面约为，远地点距地面约为，地球半径约为，则此航天器轨道的离心率为_____________．
15．如图，在三棱锥中，是直二面角，，，则异面直线与所成角的余弦值为_____________．
16．已知圆和点，若圆上存在两点使得，则实数的取值范围为_____________．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）在空间直角坐标系中，．
（1）求的余弦值；
（2）求三角形的面积．
18．（12分）已知数列满足．
（1）求和；
（2）证明：数列为单调递增数列．
19．（12分）已知抛物线的焦点为，点是抛物线在第一象限上的点，且其到焦点的距离为5．
（1）求点的坐标；
（2）求抛物线在点处的切线方程．
20．（12分）如图，在边长为4的等边中，分别为上的中点，将沿折起到的位置，使得平面平面
图1 图2
（1）求四棱锥的体积；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值．
21．（12分）已知圆，点，动圆经过点，且与圆相切，记动圆圆心的轨迹为．
（1）求轨迹的方程；
（2）过点的动直线交曲线于两点，在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
22．（12分）在一个传染病流行的群体中，通常有3类人群：
类别 特征
类（Susceptible） 易感染者，体内缺乏相关抗体，与类人群接触后易变为类人群．
类（Infectious） 感染者，可以接触类人群，并把传染病传染给类人群；康复后成为类人群．
类（Recovered） 康复者，指病愈而具有免疫力的人群，或被隔离者；若抗体存在时间有限，可能重新转化为类人群．
在一个1000人的封闭环境中，设第天类，类，类人群人数分别为．其中第1天．为了简化模型，我们约定各类人群每天转化的比例参数恒定：
日感染率 日治愈率 日消抗率
类类占当天类比例 类类占当天类比例 类类占当天类比例
已知对于某类传染病有：（即：产生抗体后永久免疫）．
（1）求和；
（2）求证存在，使得是一个等比数列，并求出和．
