邵阳市重点中学 2024 年 1 月份高二期末检测
数 学
(考试范围:人教 A 版必修 1～选修三 6.2.1)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 8 页。时量
120分钟,满分 150分。
第Ⅰ卷
一 选择题(本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项
中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合 A = x log 22 x, x 2 , B = x x x 6 0 ,则 A∩B =
A. x 0 x 4 B. x 2 x 4
C. x 0 x 3 D. x x 0或x 3}
2.已知复数 z满足 z (1 i) = 3+ 5i ,则 z的共轭复数 z =
A. 4+4i B. 4 4i C. 1+4i D. 1 4i
3.在三棱柱 ABC-A B C 中,M为 B C 中点,若 AB = a,CA = b , A1A = c,则下列向
量中与 BM 相等的是
1 1 1 1
A. a b c B. a + b + c
2 2 2 2
1 1 1 1
C. a b + c D. a b + c
2 2 2 2
3a
4.已知数列 a n *n 中, a1 =1且 an+1 = (n N ) ,则a22为
an + 3
1 1 1 1
A. B. C. D.
8 6 3 2
5.第 19届亚运会于 2023年 9月 28日至 10月 8日在杭州举行,本届亚运会
的吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人:“琮琮”“莲莲”和“宸宸”,分别代
表世界遗产良渚古城遗址、西湖和京杭大运河. 某同学买了 6个不同的
吉祥物,其中“琮琮”“莲莲”和“宸宸”各 2个,现将这 6个吉祥物排成一排,
且名称相同的两个吉祥物相邻,则排法种数共为
A. 48 B. 24 C. 12 D. 6
高二数学试题，第1页（共 8页）
{#{QQABJQiEggAgAAIAAAhCAw14CgKQkAEAAAoGgEAMsAIACAFABAA=}#}
学 校____________________ 班 级____________________ 姓 名____________________ 学 号 ____________________
密 封 线 内 不 要 答 题
6.在△ABC中,ABC=90,|AB|=12,|BC|=5,以顶点 A,B为焦点且过点 C的双曲
线离心率记为 e ,以顶点 B,C 为焦点且过点 A 的双曲线离心率记为 e ,
则 e e =
10 60 15 65
A. B. C. D.
3 13 2 12
7.正割（Secant）及余割（Cosecant）这两个概念是由伊朗数学家、天文
学家阿布尔威发首先引入,sec,csc 这两个符号是荷兰数学家基拉德在
《三角学》中首先使用,后经欧拉采用得以通行.在三角中,定义正割
1 1 3 1
sec = ,余割 csc = ,则函数 f (x) = + 的值域为
cos sin secx cscx
A.{ f (x) | -2≤ f (x) ≤2}
B.{ f (x) | -2≤ f (x) ≤2且 f(x)≠±1且 f (x) 3}
C.{ f (x) | -2≤ f (x) ≤2且 f (x) 3}
D.{ f (x) | -1< f (x) <1}
8.已知函数 f (x)及其导数 f (x)的定义域为R, 记 g(x)= f (x) , 且 f (x),g (x+1)
都为奇函数.若 f (-5)=2,则 f (2023)=
1
A. 0 B. C. 2 D. -2
2
二、多选题(共 4小题，每小题 5分，共 20分，在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错
的得 0 分)
9. 已知函数 f (x) = Asin ( x + )(A 0, 0, ) 的部分象如图象
2
示,下列说法正确的是
A. ω=2
B. 函数 y = f x 为偶函数
6
5
C. 函数 y=f (x)的象如关于直线 x = 对称
12
D. 函数 y=f (x)在 , 上的最小值为 3
3 12
10. 若实数 m,n>0, 满足 2m+n=1, 以下选项中正确的有
1 1 1
A. mn的最大值为 B. + 的最小值为 4 2
8 m n
2 9
1
C. + 的最小值为 15 C. 4m2 + n2 的最小值为
m +1 n + 2 2
高二数学试题，第2页（共 8页）
{#{QQABJQiEggAgAAIAAAhCAw14CgKQkAEAAAoGgEAMsAIACAFABAA=}#}
11.图象 示, 在棱长为 2 的正方体 ABCD-A B C D 中,P是线段 C D 上的
动点,则下列说法正确的是
A. 平面 BB P⊥平面 ABCD
B. BP的最小值为 2 2
15 1
C. 若直线 B P与 BD 成角的余弦值为 , 则 D1P =
5 2
4 5
D. 若 P是 C D 的中点, 则 AA 到平面 BB P的距离为
5
12.1202 年,意大利数学家斐波那契出版了他的《算盘全书》,在书中收录
了一个有关兔子繁殖的问题.他从兔子繁殖规律中发现了“斐波那契数
列”,具体数列为:1,1,2,3,5, 8,13,…,即从数列的第三项开始,每个数字都等
于前两个相邻数字之和. 已知数列 an 为斐波那契数列,其前 n项和为 Sn,
并且满足( a =1,a = 1, an = an 1 + an 2 (n 3,n N * ) , 则关于斐波那契数列,以
下结论正确的是
A.a8 = 34 B.3an = a
*
n 2 + an+2 (n 3,n N )
C.an = Sn 2 +1(n 3,n N * ) D.a2 + a4 + a6 + + a2022 = a2023
选择题答题卡
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案
题号 8 9 10 11 12 得分
答案
第Ⅱ卷
三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）
13.已知函数 y = loga (kx2 4kx +1 k )的定义域为 R,则实数 k 的取值范围
是 .
14.“莺啼岸柳弄春晴,柳弄春晴夜月明:明月夜晴春弄柳,晴春弄柳岸啼莺.”
这是清代女诗人吴绛雪的一首回文诗,“回文”是汉语特有的一种使用语
序回环往复的修辞手法,而数学上也有类似这样特征的一类“回文数”,图
232, 251152 等,那么在 有五位正整数中,有且仅有两位数字是偶数的
“回文数”共有 个.
高二数学试题，第3页（共 8页）
{#{QQABJQiEggAgAAIAAAhCAw14CgKQkAEAAAoGgEAMsAIACAFABAA=}#}
x2 y2
15.已知椭圆 C : + =1(ab 0)的左右焦点为 F ,F .直线 y=kx与椭圆 C
a2 b2
2
相交于 P,Q 两点,若 PF = 2 QF , 且 PFQ = , 则椭圆 C 的离心率1
3
为 .
16.意大利著名画家 数学家 物理学家达·芬奇在他创作《抱银貂的女子》
时思考过这样一个问题:固定项链的两端,使其在重力的作用下自然下垂,
那么项链 形成的曲线是什么 这就是著名的悬链线问题,连接重庆和
湖南的世界第一悬索桥——矮寨大桥就采用了这种方式设计. 经过计算,
ex + e x
悬链线的函数方程为 cosh (x) = , 并称其为双曲余弦函数. 若
2
cosh(sinθ+cosθ)≥cosh(m-sinθcosθ)对 0, 成成 ,则实数 m 的取值
2
范围为 .
四、解答题（本题共 6小题，共 70分.解答应写出必要的文字说明、证明
过程或演算步骤）
17.已知锐角三角形 ABC的内角 A,B,C的对边分别为 a, b, c,
3cosA
tanB + tanC = .
cosBcosC
（1）求 A;
（2）若 a = 6,求 b+c的取值范围.
高二数学试题，第4页（共 8页）
{#{QQABJQiEggAgAAIAAAhCAw14CgKQkAEAAAoGgEAMsAIACAFABAA=}#}
18.图象,在四棱锥 P-ABCD中,△PAD为等边三角形, AD ⊥ CD,AD//BC,
且 AD = 2BC = 2,CD = 3, PB = 6, E为 AD中点.
（1）求证: 平面 PAD⊥平面 ABCD;
（2）若线段 PC上存在点 Q, 使得二面角 Q-BE-C的大小为 60°, 求 60 ,
CQ
的值.
CP
19.已知数列 an 是增的的等数数列,数列 bn 是等数数列,且 a1 = 3
a1 1、 a2 1、 a3 +1成等数数列, b1 =1 a5 2b2 = a3
（1）求数列 an 和 bn 的通项公式
an
（2）若 cn = bn + log2 ,求数列 cn的前 n项和 Sn.
an+1
高二数学试题，第5页（共 8页）
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20.2020年 1月 15日教育部制定出台了“强基计划”,2020年起不再组织开
展高校自主招生工作,改为实行强基计划,强基计划主要选拔培养有志于
服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生,据悉强
基计划的校考由试点高校自主命题,校考过程中通过笔试,进入面试环节.
现随机抽取了 100名同学的面试成绩,并分成五组:第一组[45,55), 第二组
[55,65), 第三组[65,75), 第四组[75,85), 第五组[85,95], 绘制成图象 示的
频率分布直方象. 已知第三 四 五组的频率之和为 0.7,第一组和第五组
的频率相同.
（1）求 a, b的值;
（2）估计这 100 名同学面试成绩的众数和 60%分位数（百分位数精确到
0.1）;
（3）在第四、第五两组中,采用分层抽样的方法从中抽取 5 人,然后再从
这 5人中选出 2人,求选出的两人来自不同组的概率.
高二数学试题，第6页（共 8页）
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21.已知抛物线 C ： y2 = 2 px ( p 0)的焦点为 F, M（m,-2）为抛物线上一
点, MF = 2.
（1）求抛物线 C的标准方程;
（2）已知点 A（-2,0）, 点 B（2,1）, 过点 A的直线与抛物线交于 P, Q
两点, 连接 PB交抛物线于另一点 T, 证明:直线 QT 过定点,并求出定
点坐标.
高二数学试题，第7页（共 8页）
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22. 已知函数 f (x) = ex sin x . （e是自然对数的底数）
（1）求 f (x)的单调增减区间;
（2）记 g ( x) = f ( x) ax, ,若 0
高二数学试题，第8页（共 8页）
{#{QQABJQiEggAgAAIAAAhCAw14CgKQkAEAAAoGgEAMsAIACAFABAA=}#}高二期末考试试卷（数学）参考答案
1．C
【分析】解不等式，求出 A，B的交集即可．
【详解】解：∵ A x | log2 x 2 x | 0 x 4 ， B x | x2 x 6 0 x | 2 x 3 ，
∴ A B x | 0 x 3 ，
故选：C．
2．D
【分析】借助复数的基本概念和运算即可得.
3 5i 1 i
【详解】 z
3 5i 2 8i
1 4i
1 i 1 i 1 ，故 i 2 z 1 4i .
故选：D.
3．A
【分析】根据空间向量的线性运算可得解.
【详解】
如图所示，
在三棱柱 ABC - A1B1C1中， AA1 BB1 ， B1C1 BC ，
1 1 1 1 1 依题意 BM BB1 B1M AA1 B1C1 AA1 BC BA AC A A 1 1 1 AB CA A1A a b c2 2 ，2 2 2 2 2
故选：A.
4．A
1
【分析】采用倒数法可证得数列 为等差数列，根据等差数列通项公式可推导得到 an ，得解.
an
3an 1 an 3 1 1
【详解】由 an 1 得： an 3 a 3a a 3
，
n 1 n n
答案第 1页，共 15页
{#{QQABJQiEggAgAAIAAAhCAw14CgKQkAEAAAoGgEAMsAIACAFABAA=}#}
1 1 = 1 又 ，
1
a 数列 是以 1为首项， 为公差的等差数列，1 an 3
1 1
1 (n 1) n 2
a ，n 3 3
3
an n ，
*，
2 n N
a 1 22 ，8
故选：A．
5．A
【分析】根据相邻元素采用捆绑法可得结果.
3
【详解】由题意，因名称相同的两个吉祥物相邻，分别看成一个元素共有A3种排法，
2 2 2
相邻元素内部再排共有A2 A2 A2 种排法，
故共有A33 A22
3
48种排法，
故选：A．
6．C
【分析】根据已知求得 | AC | 13，结合双曲线定义及离心率公式求结果.
【详解】因为 ABC 90 ,| AB | 12,| BC | 5，所以 | AC | 13，
| AB | 12 3 | BC | 5
根据双曲线定义得 e1 e 5| AC | | BC | 13 ， 5 2 2 | AC | | AB | 13 ， 12
3
所以 e1e2 5
15
.
2 2
故选：C
7．B
【分析】利用辅助角公式得到 f (x) 2sin x
π
，且 sin x 0且 cos x 0，从而求出值域.
3
【详解】 f (x)
3 1
3 cos x sin x 2 3 cos x 1 sin x 2sin x π ，
sec x csc x 2 2 3
其中 sin x 0且 cos x 0，
2 f (x) 2且 f (x) 1且 f (x) 3 .
故选：B.
8．C
答案第 2页，共 15页
{#{QQABJQiEggAgAAIAAAhCAw14CgKQkAEAAAoGgEAMsAIACAFABAA=}#}
【分析】根据 g x 的性质结合导数运算分析可知 f x 的图象关于 x 1对称，结合奇函数分析可知 f x 的
周期为 4，根据周期性运算求解.
【详解】因为 g x 1 为奇函数，则 g 1 x g 1 x ，
即 g 1 x g 1 x 0，可知 g x f x 的图象关于点 1,0 对称，
可得 f 1 x c f 1 x c，即 f 1 x f 1 x ，
可知 f x 的图象关于 x 1对称，则 f x f 2 x ，
又因为 f x 为奇函数，则 f x f x ，
可得 f x 4 f x 2 f x ，可知 f x 的周期为 4，
所以 f 2023 f 507 4 5 f 5 2 .
故选：C．
9．ACD
【分析】选项 A，由函数图象的顶点坐标求出 A，再由周期求出 即可判断；选项 B，由五点法求出 ，进
π
而得出 f (x)的解析式，再求出 y f x 即可判断；选项 C，根据正弦函数的性质即可判断；选项 D，
6
y f (x) π在 ,
π
上单调，求出最小值即可. 3 12
1 1 2π π π π
【详解】由函数的图象可得 A 2，由 T = ，解得 2，从而 A正确；
4 4 3 12 4
π π
再根据五点法可得 2 2kπ,k Z，
12 2
又因为 | |
π
，解得 ，
2 3
π π
从而 f (x) 2sin 2x ，所以 y f x 2sin 2x ，
3 6
即函数 y f x
π
为奇函数，从而 B错误；
6
x 5π π π
5π
当 时， 2x ，所以 f 2是最值，所以 C正确；12 3 2 12
x π , π 2x π π , π因为
时， 3 12 3
，
3 2
π , π π π因为
, ，所以 y f (x)单调递增， 3 2 2 2
π π
所以当 x 时 f x f 3min ，从而 D正确.3 3
答案第 3页，共 15页
{#{QQABJQiEggAgAAIAAAhCAw14CgKQkAEAAAoGgEAMsAIACAFABAA=}#}
故选：ACD
10．AD
【分析】利用基本不等式解决含有条件的最值问题，求解和为定值或乘积为定值.
【详解】对于选项 A:因为实数m,n 0，满足2m n 1，所以1 2m n 2 2mn ，
mn 1 1 1 1即 ，当且仅当2m n时，即m ,n 时，mn取得最大值 ，故 A正确；
8 4 2 8
对于选项 B: 因为实数m,n 0，满足2m n 1，
1 1 2m n 2m n n 2m
所以 3 2 n 2m 3 3 2 2，
m n m n m n m n
n 2m 2 2 1 1
当且仅当 时，即m ,n 2 1时， 取得最小值
m n 3 2 2
， 故 B错误；
2 m n
对于选项 C: 因为实数m,n 0，满足2m n 1，所以2 m 1 n 2 5，
2 9 1 2 n 2 18 m 1
2 m 1 n 2
2 9 1 13 1 13 2 36 5,
m 1 n 2 5 m 1 n 2 5
m 1 n 2
5
2 n 2 18 m 1
当且仅当 时，即m 0,n 1
2 9
时，又m,n 0，所以 5，故 C错误；
m 1 n 2 m 1 n 2
对于选项 D:因为实数m,n 0，满足2m n 1，
所以 2m 2 n 4m 2 n 2 4mn 4m 2 n 2 2 4m 2 n 2 2 4 m 2 n 2 ，
4m2 n2 1 1 1则 1，当且仅当 4m2 n2时，即m ,n 时， 4m2 n2 取得最小值为 2 ，故 D正确；2 4 2
故选：AD.
11．ABD
【分析】根据面面垂直的判定定理即可判断 A；结合正方体结构特征判断当点 P与C1重合时，BP取最小值，
即可判断 B；建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，根据空间角的向量求法可判断 C；将线面距离转化为
点面距离，根据空间距离的向量求法求得点A到平面 BB1P的距离，即可判断 D.
【详解】在正方体 ABCD A1B1C1D1中，因为 BB1 平面 ABCD，BB1 平面 BB1P，
所以平面 BB1P 平面 ABCD，故 A正确；
连接 BC1，由D1C1 平面 BB1C1C，BC1 平面 BB1C1C，得D1C1 BC1，
故在Rt△D1C1B中，当点 P与C1重合时， BP取最小值 2 2，故 B正确；
如图，以DA、DC、DD y1所在直线分别为 x轴， 轴， z轴，建立空间直角坐标系D xyz，
答案第 4页，共 15页
{#{QQABJQiEggAgAAIAAAhCAw14CgKQkAEAAAoGgEAMsAIACAFABAA=}#}
则 B 2,2,0 ，B1 2,2,2 ，D1 0,0,2 ，设 P 0,m, 2 ，0 m 2，
则 B1P 2,m 2,0 ，BD1 2, 2,2 ，
P B P BD 15假设存在点 ，使直线 1 与 1所成角的余弦值为 ，
5
B1P BD1 8 2m
则 cos B1P,BD
15
1 ，
B1P BD1 4 2 m 2 2 3 5
解得m 2（舍去），或m 1，此时点 P是C1D1中点， D1P 1，故 C错误；
由 AA1 BB1且 AA1 平面 BB1P， BB1 平面 BB1P，知 AA1∥平面 BB1P，
则 AA1到平面 BB1P的距离，即为A到平面 BB1P的距离；
P是C1D1的中点，故P 0,1,2 ， AB 0,2,0 ， B1P 2, 1,0 ， BB1 0,0,2 ，
m B1P 0m x, y, z 2x y 0设平面 BB1P的法向量为 ，则 ，即 ，
m
BB 0 2z 01
取 x 1，则 y= 2
， z 0，故m 1, 2,0 ，
AB m
A BB P 4 4 5所以点 到平面 1 的距离为 ，m 5 5
4 5
即 AA1到平面 BB1P的距离为 ，D正确．
5
故选：ABD
12．BC
【分析】根据斐波那契数列 an 满足的条件，结合累加法，逐项计算判断即得.
【详解】斐波那契数列 an 中， a1 1， a2 1，an an 1 an 2(n 3, n N*)，
a3 2,a4 3,a5 5,a6 8,a7 13,a8 21 ，A错误；
答案第 5页，共 15页
{#{QQABJQiEggAgAAIAAAhCAw14CgKQkAEAAAoGgEAMsAIACAFABAA=}#}
当 n 3, n N*时， an an 1 an 2 ， an an 1 an 1,an an 2 an 1，三个式子相加，得：3an an 2 an 2 ，B
正确；
当 n 3, n N*时， an an 1 an 2 ，则 an (an an 1) (an 1 an 2) (a 2 a1) a1
an 2 an 3 a2 a1 1 Sn 2 1，C正确；
当 n 3, n N*时， an an 2 an 1，则 a2023 (a2023 a2021) (a2021 a2019 ) (a5 a3 ) (a3 a1) a1
a2022 a2020 a4 a2 1，D错误.
故选：BC
0, 113 ．
5
【分析】根据题意，将问题转化为 kx2 4kx 1 k 0恒成立求参数，再结合二次函数性质即求解.
【详解】因为函数 y log 2a kx 4kx 1 k 的定义域为R ，
所以 kx2 4kx 1 k 0在R上恒成立，
则当 k 0时，1 0满足题意；
k 0 1
当 k 0时， ，解得0 k .
Δ 4k
2 4k 1 k 0 5
1 1
综上所述，0 k ，即 k 0, .5 5
1
故答案为： 0, . 5
14．225
【分析】根据给定的信息，确定五位正整数中的“回文数”特征，再分别求出各位上的种数，先用乘法原理求
出各类种数，再由加法原理即得.
【详解】依题意，五位正整数中 “回文数”具有：
万位与个位数字相同，且不为 0，千位与十位数字相同，
求有且仅有两位数字是偶数的“回文数”的个数有两类办法：
第一类：万位数字为偶数且不为 0有 4种，千位选一个奇数有 5种，
百位选一个奇数有 5种，
不同 “回文数”的个数为 4 5 5 100个，
第二类：万位数字为奇数有 5种，千位选一个偶数有 5种，百位选一个奇数有 5种，
不同 “回文数”的个数为5 5 5 125，
答案第 6页，共 15页
{#{QQABJQiEggAgAAIAAAhCAw14CgKQkAEAAAoGgEAMsAIACAFABAA=}#}
由分类加法原理得，
在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是偶数的“回文数”共有：100 125 225个.
故答案为：225
15 3．
3
【分析】由椭圆的对称性可得四边形 PF1QF2 为平行四边形，再根据椭圆的定义求出 PF1 , PF2 ，再在△PF1F2
中，利用余弦定理求出 a,c的关系即可得解.
【详解】
由椭圆的对称性可得四边形 PF1QF2 为平行四边形，则 PF2 QF1 ，
PF 2π π由 1Q ，得 F1PF2 ，3 3
因为 PF1 2 QF1 ，所以 PF1 2 PF2 ，
4a 2a
又 PF1 PF2 2a，所以 PF1 , PF2 ，3 3
在△PF 2 2 21F2中，由余弦定理得 F1F2 PF1 PF2 2 PF1 PF2 cos F1PF2 ，
16a2 4a2 4a 2a 1 4a2
即 4c2 2 ，
9 9 3 3 2 3
c 3
所以 ，
a 3
c 3
即椭圆的离心率 e .
a 3
3
故答案为： .
3
16． 1 2,1
ex e x
【分析】先判断函数cosh x 的奇偶性和单调性，根据函数的单调性和奇偶性，结合换元法、正弦
2
型函数的性质、同角的三角函数关系式进行求解即可.
答案第 7页，共 15页
{#{QQABJQiEggAgAAIAAAhCAw14CgKQkAEAAAoGgEAMsAIACAFABAA=}#}
x x x x
【详解】因为 cosh x e e cosh x e e，所以函数cosh x 是偶函数，
2 2
设 x1, x2是 0, 上任意两个实数，且 x1 x2，即 x2 x1 0
ex1 e x1 ex2 x2 x1 x2cos h x1 cos h x2
e 1
(e x e x ) e e 11 2 ，
2 2 2 e x1ex2
因为 x2 x1 0，所以 ex1 ex2 ,ex1ex2 0,ex1ex2 ex1 x2 e 0 1 ，
1 x1 x2
因此 (ex1 ex ) e e 12 x x 0，即 cosh x1 cosh x2 0 cosh x1 cosh x2 e e 2
，
1 2
cosh x e
x e x
所以函数 是偶函数，且在 0, 是增函数，
2
cos h sin cos cos h m sin cos cos h sin cos cos h m sin cos
若 cosh sin cos cosh m sin cos 在 0, 上恒成立， 2
sin cos 2 sin m sin cos ，
4
2 sin 3 又因为 0
，
4
,
4 4 4
，
所以 sin cos 2 sin m sin cos 2 sin
在 0,
恒成立，
4 4 2
2
令 t sin cos 2 t 1 1, 2 ，而1 2sin cos t sin cos 2
由 y sin cos sin cos 1 t 2 t 1 ， t 1, 2
1
2 2
，故 t 2 时 ymax 2，2
由 y sin cos sin cos 1 1 t 2 t ， t 1, 2 ，故 t 1时， ymin 2，2 2
m 1 所以 的取值范围为 2,2 ． 2
1
故答案为： 2,2 2
ex e x
【点睛】关键点睛：判断函数 cosh x 的奇偶性和单调性，运用换元法进行求解是解题的关键.
2
17．(1) A π
3
(2) 3 2,2 6
答案第 8页，共 15页
{#{QQABJQiEggAgAAIAAAhCAw14CgKQkAEAAAoGgEAMsAIACAFABAA=}#}
【分析】（1）根据结合三角恒等变换分析运算；
（2）利用正弦定理进行边化角，再利用三角恒等变换结合正弦函数分析运算.
【详解】（1）∵ tan B tanC 3 cos A sin B sinC 3 cos A ，即 ，
cosBcosC cos B cosC cos B cosC
由于 B,C
π
0, ，则 cos B 0,cosC 0，即 cosBcosC 0，
2
两边同乘以 cosBcosC可得： 3 cos A sin BcosC cosBsinC sin B C sin A，
π π
则 tan A 3，且 A 0, ，解得 A .
2 3
b c a
（2）由题意及正弦定理 2 2，得 ，
sin B sinC sin A b 2 2 sin B c 2 2 sinC
，
则b c 2 2 sin B 2 2 sinC 2 2 sin B 2 2 sin A B
2 2 sinB 2 sinB 6 cosB 3 2 sinB 6 cosB π 2 6 sin B
，
6
π
由（1）可知 A ，且 ABC为锐角三角形，
3
0 B
π
2 π B π则 π ，解得
，
A B π 6 2
2
π
则 B
π 2π
，所以 sin B
π 3
,1 ，3 6 3 6 2
故b c的取值范围是 3 2,2 6 .
18．(1)证明见解析
(2) 12
【分析】（1）首先连接 PE，根据线面垂直的判定定理证明 PE 平面 ABCD，再利用面面垂直的判定定理
证明平面 PAD 平面 ABCD .
CQ 1 CQ
（2）设 0 1 ,再利用向量法求二面角Q BE C 的平面角，再列方程得到 ，即得
CP 2 CP
的值．
【详解】（1）证明：连接 PE，
答案第 9页，共 15页
{#{QQABJQiEggAgAAIAAAhCAw14CgKQkAEAAAoGgEAMsAIACAFABAA=}#}
QVPAD是边长为 2的等边三角形， E是 AD的中点，
∴PE AD， PE 3，
DE // BC，DE BC， AD CD，
四边形 BCDE是矩形， BE CD 3，
PE 2 BE 2 PB2 ， PE BE，
又 AD BE E， AD， BE 平面 ABCD，
PE 平面 ABCD，
又 PE 平面 PAD，
平面 PAD 平面 ABCD．
（2）以 E为原点，以 EA， EB， EP为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则 P 0，0，3 ，C 1，3，0 ， B 0，3，0 ， E 0,0,0
EB 0，3，0 ，BC 1，0，0 ，CP 1， 3，3 ，
CQ
设 0 1 ，
CP
则 BQ BC CQ BC CP 1， 3 ，3 ，
设平面QBE的法向量为m x, y, z ，
m EB 0 3y 0，
则 ，即
m BQ 0 1 x 3 y 3 z 0，
令 z 1，得m 3 ，0，1 ，
又 PE 平面 ABCD，
n 0，0，1 为平面 BEC的一个法向量，
答案第 10页，共 15页
{#{QQABJQiEggAgAAIAAAhCAw14CgKQkAEAAAoGgEAMsAIACAFABAA=}#}
cos m m n 1 ，n
m n 2 ，3 (1 )2
二面角Q BE C 的大小为60 ，
1 1
3 2 (1 )2 2
，
1解得 ．
2
CQ 1
．
CP 2
19．(1) a 2n 1 b 2n 1n ； n
3
(2) Sn 2
n 1 log2 2n 3
【分析】（1）先由已知求d 和q，然后根据等差数列和等比数列的通项公式求解即可；
（2）利用对数的运算先裂项，然后分组求和.
【详解】（1）设等差数列 an 的公差为d ，
因为 a1 1、 a2 1、 a3 1成等比数列，
所以 a1 1 a3 1 a 1
2
2 ，
解得 d 2或 d 2，
因为 an 是递增数列，所以 d 2，所以 an 2n 1，
设等比数列 bn 的公比为q，
因为 a5 2b2 a3，所以 a1 4d 2b1q a1 2d ，
即 q= 2，所以b 2n 1n ；
（2）由（1）知 an 2n 1，所以 an 1 2n 3，
b 2n 1又 n ，
所以
cn b log
an 2 n 1 log 2n 1n 2 2 2
n 1 log2 2n 1 loga 2n 3 2 2 n 3
，
n 1
S 20 21 22n 2n 1 log23 log25 log25 log27 log2 2n 1 log2 2n 3
答案第 11页，共 15页
{#{QQABJQiEggAgAAIAAAhCAw14CgKQkAEAAAoGgEAMsAIACAFABAA=}#}
20 2n 1 2
log 3 log 2n 3 2 n 1 log 3 ，
1 2 2 2 2 2 n 3
n
所以 Sn 2 1 log
3
2 .2n 3
20．(1) a 0.005，b 0.025
(2)估计众数为 70，60%分位数为71.7
2
(3)
5
【分析】（1）由第三、四、五组的频率之和为 0.7，各组频率之和为1，建立方程组求解 a,b；
（2）由频率分布直方图可知最高的矩形组为第三组，取中点可得众数，求前两组与前三组频率之和，确定
第60%分位数所在组，再由比例关系求解；
（3）由抽样比可得两组选取人数，列举法得 n ，n A ，再由古典概型概率公式可求.
【详解】（1）由题意可知：10(a 0.045 0.020) 0.7 ， 2a b 0.045 0.020 10 1，
解得 a 0.005，b 0.025；
65 75
（2）由频率分布直方图估计众数为 70，
2
前两个分组频率之和为 0.3，前三个分组频率之和为 0.75，
65 0.6 0.3 20则估计第60%分位数为 10 65 71.7 ；
0.75 0.3 3
0.02
（3）根据分层抽样， 75,85 和 85,95 的频率比为 4
0.005
故在 75,85 和 85,95 中分别选取 4人和 1人，分别设为 a1,a2 ,a3 ,a4 和b1
则在这 5人中随机抽取两个的样本空间 包含的样本点有
a1a2 ,a1a3 ,a1a4 ,a1b1,a2a3 ,a2a4 ,a2b1,a3a4 ,a3b1,a4b1共 10个，
即 n 10，记事件 A “两人来自不同组”，
则事件A包含的样本点有
a1b1,a2b1,a3b1,a4b1共 4个，即 n A 4，
n A
所以 P A
4 2
n . 10 5
21．(1) y2 4x
答案第 12页，共 15页
{#{QQABJQiEggAgAAIAAAhCAw14CgKQkAEAAAoGgEAMsAIACAFABAA=}#}
(2)证明见解析，定点 2,8
【分析】（1）利用焦半径的定义可得 p的值，进而即可得到答案；
8
（2）设 P x1, y1 ，Q x2 , y2 ，T x3, y3 ，则根据直线方程及题意可得到 y1 y ①，同理可得到2
4
y3 y1 8 y1y3 ②，同理也可得到 QT的直线方程为 y x 2 8y y ，进而即可证明直线 QT过定点，3 2
并得出定点坐标．
4 2
【详解】（1）因为M m, 2 为抛物线C : y2 2 px( p 0)上一点，所以m 2p p ，
2 p
又因为 MF 2
p
，所以 2 m ，即 2，解得 p 2
2 p 2 ，
所以抛物线 C的标准方程为 y2 4x．
（2）设 P x1, y1 ，Q x2 , y2 ，T x3, y3 ，
y y
则 PQ 2 1的直线方程为 y y1 x x x 1 ，2 x1
y2 y1 x2y1 x1y2
化简得 y x x2 x1 x2 x
，
1
P 2 2又 ，Q在抛物线上，得 y1 4x1， y2 4x2，
y 2 22 y1
y y y1 y2
代入 PQ直线得 y 2 1 x 4 4y 2 y 2 y 2 y 2 ，2 1 2 1
4 4 4 4
4 y1y2
化简得 y x y2 y1 y2 y
，
1
8代入点 A 2,0 ，得 y1y2 8，则 y1 y ①，2
4 y1y3
同理的 PT的直线方程为 y x y3 y1 y3 y
，
1
代入点 B 2,1 ，得 y3 y1 8 y1y3 ②，
8 8
由①②得 y3 8 y3，即 y2 y3 8 8 y2 yy y 3 ③，2 2
y 4 x y2 y同理可得 QT 3的直线方程为 y3 y2 y3 y
，
2
4 8 y2 y3 8 4
代入③得 y x ，即 y x 2 8，
y3 y2 y3 y2 y3 y2
答案第 13页，共 15页
{#{QQABJQiEggAgAAIAAAhCAw14CgKQkAEAAAoGgEAMsAIACAFABAA=}#}
故直线 QT过定点 2,8 ．
3π 7π
22．(1) 2kπ, 2kπ k Z
4 4
(2)1个
【分析】（1）求出 f x 及函数 f x 的定义域，解不等式 f x 0，可得出函数 f x 的单调递减区间；
（2）利用导数分析函数 g x 在 0, π 上的单调性，结合零点存在定理可得出结论.
x
【详解】（1）解：函数 f x e sinx的定义域为R .
且 f x ex sinx cosx 2exsin π x .
4
f x 0 sin x π由 π得 0，可得 2kπ π x 2kπ 2π k Z ，
4 4
2kπ 3π x 7π解得 2kπ k Z .
4 4
3π 7π
所以，函数 f x 的单调递减区间为 2kπ, 2kπ k Z .
4 4
（2）解：由已知 g x exsinx ax .所以， g x ex sinx cosx a，
h x g x h x ex令 ，则 sin x cos x ex cos x sin x 2ex cos x .
π
因为 0 x π，当 0 x 时， h x 0，函数 h x 2 单调递增，
π
当 x π时， h x 0，函数h x 单调递减，
2
g x 即 在 0, π
π
2 上单调递增，在
, π 上单调递减.
2
因为 g 0 1 a， g π e a 0 .
π π
当0 a 1 时， g 0 0， g e2 a 0 .
2
π
所以，存在 x0 ,π
，使得 g x0 0，
2
当 x 0, x0 时， g x 0；当 x x0 , π 时， g x 0，
所以，函数 g x 在 0, x0 上单调递增，在 x0 , π 上单调递减.
因为 g 0 0， g x0 g 0 0，故函数 g x 在 0, x0 上无零点，
又因为 g π aπ 0，由零点存在性定理可得，则 g x 在 x0 , π 上有且只有一个零点，
答案第 14页，共 15页
{#{QQABJQiEggAgAAIAAAhCAw14CgKQkAEAAAoGgEAMsAIACAFABAA=}#}
综上所述，当0 a 1时，函数 g x 在 0, π 上仅有一个零点.
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，
然后将问题转化为函数图象与 x轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思
想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由 f x 0分离变量得出 a g x ，将问题等价转化为直线 y a与函数 y g x 的图
象的交点问题.
答案第 15页，共 15页
{#{QQABJQiEggAgAAIAAAhCAw14CgKQkAEAAAoGgEAMsAIACAFABAA=}#}