绝密★启用的
试卷类型：A
2023-2024学年度第一学期期末质量检测
7.设函数八)=+-x+1,g()=（x≥0，它们在同-坐
0
标系的图象如图所示，则下列结论正确的为
高一数学
2024.1
A.a<-1
B a<-
注意耶项：
1.本试叁共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟，
C.-lcas-
0.-
2.答叁前，考生齐必将自己的学校，啦极和姓名埃在答题卡上，正确粘贴条形码。
3.作答达拜题时，用2B铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑.
8已知函数)=8+2
+少+中'8)+x,则下列结论正确的为
4.非选拜题的答泰必须写在答题卡各题目的指定区城内相应位五上，不准使用铅笔和
涂文液，
A.(x)与g(x)均为单调函数
5。考试地来后，考生上交答题卡。
B.若f(@)0
C.若f(@)=g(),则a+b=I不可能成立
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只
D,存在关于y轴对称的点P,卫分别在(x),g(x)的图象上
有一项是符合题目要求的。
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中.有多
L.已知集合A={r0≤x≤3引，B={x(x-2Xx+)<0),则AnB=
项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，
A0,2)
B.(0,2)
C.[0,3]
D.(-l,3)
9.下列等式正确的为
2.命题"3x>0,x-e121“的否定为
A.g3=6
B.lg2+g5=1(02'=-3
Dawa=√a
A.r≤0，x-e-121
B.r>0,x-e<1
10.在△ABC中，下列结论正确的为
C 3xs0,r-eD.3r>0,x-e4A.cos A-cos B-cosC>0
3.已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x∈(0，时，(x)=x+2r2,则八x)在区间
B生9=or9
[-1.0]上
C.sinC=sin AcosBcos Asin B
D.cosC=cos Acos B-sin Asin B
A单调递增，且最小值为-3
B单调递减，且最小值为-3
11.已知定义在(0，+o)上的通数(x)满足：①x,y∈(0，o),f八)=f心y)+f(x):
C.单调递增，且最大值为-3
D.单调递诚，且最大值为-3
②re(l,四)，(x)>0,则下列结论正确的为
4.已知a=log3,b=log.8，c=(白)，则
A fl)=0
B.f(xr)=xf（x)
A.aB.bC.cD、cC.re(0,),(x)<0
D.(x)在区间，o)上单调递减
互若s如a名-片则co写-2a
12.已知函数f(x)=2W5cos2x+2 sinxcosx--√5，则下列结论正确的为
3
A.函数（()的最小正周期为2x
A号
号
9
6.八在区间0，刊上的所有零点之和为区
6
6.已知x,yeR,则使x>y成立的充分条件为
c若制/a@>0在区同(-爱孕上单调.则oe个时
A.-
B.1>1
y x-l
c.x2>0+2
0x-1'>y
D.若，占为f心)=号在区间0，)上的两个银，则co,点)=5
2
4
2023-2024学年度第一学期期末质量检测高一数学试卷第1页共4页
2023一2024学年度弟一季期期木质量检渊高一数学试卷第2页共4页绝密★启用前 试卷类型：A
2023-2024 学年上学期高一期末检测试题
数学试题答案及评分参考 2024.1
一、单项选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B A C C D D C
8 2
8．已知函数 f (x) = + ， g(x) = x3 + x ，则下列结论正确的为
(x +1)3 x +1
A． f (x) 与 g(x)均为单调函数
B．若 f (a) g(b) ，则 ab + b 2 0
C．若 f (a) = g(b) ，则 a + b =1不可能成立
D．存在关于 y 轴对称的点P，Q 分别在 f (x) ， g(x)的图象上
2
解析：考查选项 A： 可以看出 f (x) = g( )， g(x)在R 上单调递增，由复合函数单
x +1
8 2
调性知， f (x) = + 在 ( ， 1)3 ，( 1，+ ) 上单调递减，但 f (x) 非单调函数，∴(x +1) x +1
A 选项错误；
2 2 2
考查选项 B： f (a) g(b) ( )3 + b3 + b ，即 g( ) g(b)，由 g(x)的单调性
a +1 a +1 a +1
2
可知 b，当 a +1 0时，有 ab + b 2 0；当 a +1 0时，有 ab + b 2 0，∴B 选
a +1
项错误；
2 3 2 3 2
考查选项 C： f (a) = g(b) ( ) + = b + b ，即 g( ) = g(b)，
a +1 a +1 a +1
2 2
易知 = b，若 a + b =1，则 =1 a，此时 a2 = 1，显然不可能，∴C 选项正确，
a +1 a +1
考查选项 D：若点 P ，Q 分别在 f (x) ， g(x)的图象上，且 P ，Q 关于 y 轴对称，则存在
2 2 2
实数 t ，使得 f (t) = g( t) ，即 ( )
3 + = ( t)3 + ( t) ，即 g( ) = g( t) ，
t +1 t +1 t +1
2
∴ = t ，即 t2 + t + 2 = 0 ，此时方程无实数解，∴D 选项错误．
t +1
二、多项选择题：
高一数学参考答案及评分标准 第 1 页 共 9 页
{#{QQABRQCAggggABBAAQhCAwG4CAMQkAGAAKoGBEAEsAAACAFABAA=}#}
题号 9 10 11 12
答案 BD BC AC BCD
12．已知函数 f (x) = 2 3 cos 2x + 2sin xcos x 3 ，则下列结论正确的为
A． f (x)的最小正周期为 2π
7π
B. f (x) 在区间 (0,π)上的所有零点之和为
6
π π 1
C．若 | f ( x) | ( 0)在区间 ( , ) 上单调，则 (0, ]
6 4 3
3 x x 2
D．若 x1， x2为 f (x) = 在区间 (0,π)上的两个根，则 cos(
1 2 ) =
2 2 4
解析：∵ f (x) = 2 3 cos 2x + 2sin xcos x 3 ，
π
∴ f (x) = 3(2cos 2x 1) + sin 2x = 3cos2x + sin 2x = 2sin(2x + ) ，
3
π 2π
考察 A 选项，∵ f (x) = 2sin(2x + )，∴ f (x) 的最小正周期为 = π，∴A 选项错误；
3 2
π π 7π
考察 B 选项，当 x (0,π)时， t = 2x + ( , ) ，
3 3 3
记 f (x) 在区间 (0,π)上的零点分别为 xa ， xb (xa xb ) ，
π π
∴ ta = 2xa + = π， tb = 2xb + = 2π，
3 3
2π 7π 7π
∴ 2(xa + xb ) + = 3π，∴ xa + xb = ，即所有零点之和为 ，B 选项正确；
3 6 6
π π π
考察 C 选项， | f ( x) |=| 2sin(2 x + ) |，当 x = 0 时， 2 x + = ，
3 3 3
π π π
2 + ,
4 3 2
1
∵ 0，∴ 解得 (0, ]，C 选项正确.
π π 32 ( ) + 0,
6 3
π π 7π
考察 D 选项，当 x (0,π)时， t = 2x + ( , ) ，
3 3 3
π 3 3 3 π
∵ f (x) = 2sin(2x + ) = ，即 sin t = = sin ，
3 2 4 2 3
π π 3π
∴ t1 = 2x1 + 与 t2 = 2x2 + 关于 t = 对称，
3 3 2
π π 7π
∴ t1 + t2 = 2x1 + + 2x2 + = 3π，∴ x1 + x2 = ，
3 3 6
高一数学参考答案及评分标准 第 2 页 共 9 页
{#{QQABRQCAggggABBAAQhCAwG4CAMQkAGAAKoGBEAEsAAACAFABAA=}#}
7π 3π π π 3
∴ cos(x1 x2 ) = cos( 2x2 ) = cos[ (2x2 + )] = sin(2x2 + ) = ，
6 2 3 3 4
x
∵ x x 1
x2 π π
1 2 ( π,π)， ( , ) ，
2 2 2
x1 x2 1+ cos(x x ) 2∴ cos( ) = 1 2 = ，D 选项正确.
2 2 4
综上所述，应选 BCD.
三、填空题：
61
13. [0,1)； 14. 6π； 15. 3 ； 16. 1，[1, )
9
log3x , x 0,
16．已知函数 f (x) = 3 若关于 x的方程 f (x) = a 恰有四个相异实
sinπx 3cosπx, x 0,
2
数解 x1， x2 ， x3 ， x4 ，则实数 a 的最小值为 ； x1 + x2 + x3 + x4 的取值范围
为 ．（本小题第一空 2 分，第二空 3 分）
log3x , x 0,
解析：由题意知 f (x) = 3
sinπx 3cosπx, x 0,
2
3 π
当 x 0 时， f (x) = sinπx 3cosπx = 2sin(πx ) ，
2 3
π 3π 7
令 πx = ，则 x = ；
3 2 6
3 3 3 π
当 x = 时， f ( ) = 2sin( π ) =1；
2 2 2 3
当 x 0 时， f (x) = log3x ，
1 1
令 log3x = 2，则 x = 或 9；令 log3x =1，则 x = 或 2；
9 3
由此可作出函数 f (x)的图象如图：
高一数学参考答案及评分标准 第 3 页 共 9 页
{#{QQABRQCAggggABBAAQhCAwG4CAMQkAGAAKoGBEAEsAAACAFABAA=}#}
由于方程 f ( x) = a恰有四个相异实数解 x1， x2 ， x3 ， x4 ，
故 f (x)的图象与直线 y = a 有 4 个不同的交点，由图象可知1 a 2 ，故 a 的最小值为 1；
1
不妨设 x1 x2 x3 x4 ，则 x1 x2 0 x3 3 x4 9 ，
3
7 7
且 x1， x2关于 x = 对称，所以 x1 + x2 = ，
6 3
又 | log3 x3 |=| log3 x4 |，即 log3 x3 = log3 x4 ，则 log3 x3 + log3 x4 = 0 ，∴ x3x4 =1，
7 1
故 x1 + x2 + x3 + x4 = + + x4 ．
3 x4
1 10 1 82
由于 y = x + 在[3,9)上单调递增，故 + x4 ，
x 3 x4 9
61 61
所以1 x x + x + x + x1 + x2 + x3 + x4 ，故 1 2 3 4的取值范围是[1, ) .
9 9
三、解答题：本大题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）
4
己知点 (a,3) 在角 的终边上，且 cos = ．
5
(1) 求 tan 的值；
sin(π + ) + cos(π )
(2) 求 π 的值．
sin( + )
2
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{#{QQABRQCAggggABBAAQhCAwG4CAMQkAGAAKoGBEAEsAAACAFABAA=}#}
4
解：(1) ∵点 (a,3) 在角 终边上，且 cos =
5
a 4
∴ a 0 且 cos = = ，解得 a = 4 ； ……………………………3 分
a2 + 9 5
3
∴ tan = . ……………………………………………………5 分
4
sin(π + ) + cos(π ) sin cos
=
(2) 由诱导公式得 π cos ……………………8 分
sin( + )
2
7
= tan 1= …………………10 分
4
18．（12分）
1
已知集合 A ={x | 2
x 16}， B ={x | m 3 x m2 + 3}．
16
(1) 当m = 2时，求 R (A B)；
(2) 若“ x A ”是“ x B ”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
1 x
解：(1) 对于集合 A，∵ 2 16 ，
16
∴ 4 x 4 ， …………………………………………………………………………………2 分
∴集合 A={x | 4 x 4}，
当 m = 2 时，集合 B ={x | 1 x 7}，…………………………………………………………3
分
∴ A B ={x | 4 x 7}，……………………………………………………………………4 分
∴ R (A B) ={x | x 4或x 7} . ……………………………………………………………5 分
(2) ∵“ x A ”是“ x B ”的充分不必要条件，
∴集合 A为集合B的真子集，…………………………………………………………………7 分
m 3 4,
∴ ………………………………………………………………………………9 分 2
m + 3 4,
解得m 1，…………………………………………………………………………………11 分
当m = 1时，B ={x | 4 x 4}，不符合题意，
∴m ( , 1) . ………………………………………………………………………………12 分
19．（12分）
摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可
以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最高点距离地面高度为 130 米，转盘直径为 120
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{#{QQABRQCAggggABBAAQhCAwG4CAMQkAGAAKoGBEAEsAAACAFABAA=}#}
米，开启后按逆时针方向匀速旋转，每 30 分钟转一圈．已知游客在座舱转到距离地面最近
的位置进舱，设游客距离地面的高度 h（单位：米）关于进舱时间 t （单位：分钟）的函数
关系式为 h(t) = Asin( t + ) +b（其中 A 0， 0， ( π,π)）．
第 19 题图
(1) 求 h(t) ；
(2) 在摩天轮转动的一圈内，有多长时间游客相对于地面的高度不小于 100 米？
解：(1) ∵摩天轮 30 分钟转一圈，
2π π
∴周期T = 30，∴角速度 = = ． …………………………………………………1 分
30 15
以摩天轮在底面上的投影所在直线为 x轴，过摩天轮的中心且垂直 x轴的直线为 y 轴建立直
角坐标系，由摩天轮最高点距离地面高度为 130 米，转盘直径为 120 米，得摩天轮半径为
60 米，即振幅 A = 60 ， …………………………………………………2 分
摩天轮中心距地面高度为 70 米，即b = 70 ， …………………………3 分
π
由题意， t = 0时在最低点，∴初相为 = ， ……………………………4 分
2
π π
∴ h关于 t 的函数关系式为 h(t) = 60sin( t ) + 70 ．……………………………………6 分
15 2
π π 1
(2) 令 h(t) 100 ，即 sin( t ) ， t [0,30]， ……………………………………8 分
15 2 2
π π π 5π
由正弦函数图象知 ( t ) [ , ]， ………………………………………………10分
15 2 6 6
解得 t [10,20]，即在摩天轮转动的一圈内，游客相对于地面的高度不小于 100 米的时间为
10 分钟． ……………………………………………………………………………………12分
20．（12分）
1
已知函数 f (x) = x + .
x
(1) 试判断 f (x) 在区间[1,+ ) 上的单调性，并用定义法证明；
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{#{QQABRQCAggggABBAAQhCAwG4CAMQkAGAAKoGBEAEsAAACAFABAA=}#}
(2) 设 t 0，求解关于 t 的不等式 f (t2 t + 2) + f ( t 2) 0 .
1
解：(1) f (x) = x + 在区间[1,+ ) 上的单调递增， ……………………………………1分
x
任取1 x1 x2 ， ………………………………………………………………………………2分
1 1
则 f (x ) f (x ………………………………………………3分 1 2 ) = (x1 + ) (x2 + )
x1 x2
(x x )(1 x x )
= 1 2 1 2 ， …………………………………………………4分
x1x2
∵ 1 x1 x2 ，
∴ x1 x2 0， x1x2 0 ，且1 x1x2 0，
∴ f (x1) f (x2 ) 0，∴ f (x1) f (x2 )，
∴ f (x) 在区间[1,+ ) 上单调递增. ………………………………………………………5 分
(2) 易知 f (x) 的定义域为D = ( ,0) (0,+ ) ， ……………………………………6分
则 x D ，都有 x D ，
1 1
∴ f ( x) = x + = (x + ) = f (x) ，
x x
∴ f (x) 为奇函数， ………………………………………………………………………8分
∵ f (t2 t + 2) + f ( t 2) 0，
∴ f (t2 t + 2) f (t + 2)， ………………………………………………………………9分
1 7
∵ t 0， t2 t + 2 = (t )2 + 1， t + 2 1且 f (x) 在区间[1,+ ) 上单调递增，
2 4
∴ t2 t + 2 t + 2 ， ……………………………………………………………………10分
∴ t(t 2) 0，且 t 0 ， …………………………………………………………………11分
∴ t (2,+ ) . …………………………………………………………………12分
21．（12分）
某企业为了提升全球竞争力，大力推进生产改革，从生产单一产品转型为生产多种产
品．已知 A，B为该企业生产的两种产品，现企业拟将 72 千万元资金全部投入 A，B 的生
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{#{QQABRQCAggggABBAAQhCAwG4CAMQkAGAAKoGBEAEsAAACAFABAA=}#}
4 x ,0 x 36, 1
产，记 A， B的利润分别为M ， N ．由市场调查可知，M = N = x ，
24, x 36， 2
其中 x（单位：千万元）为该产品的投入资金．
(1) 当 A的投入资金为 25 千万元时，求生产 A，B的总利润；
(2) 如何分配 A，B的投入资金，方可使得总利润最大，并求最大总利润．
解：设 A产品的投入资金为 x千万元时，生产 A，B的总利润为 f (x) （单位：千万元）.
(1) 当 A产品的投入资金为 25 千万元时，则B产品投入资金为 47 千万元，
1
则生产 A，B的总利润为： f (25) = 4 25 + 47 = 43.5（千万元）……………………4 分
2
(2) A产品的投入资金为 x千万元，B产品的投入资金为72 x千万元，
当 0 x 36 时，则36 72 x 72，
1 1
f (x) = 4 x + (72 x) = x + 4 x + 36 . …………………………………………6 分
2 2
1 1
令 t = x ，得0 t 6，则总利润为 g(t) = t2 + 4t +81= (t 4)2 + 44，
2 2
显然当 t＝4时，函数取得最大值 g(t) = 44 = f (16) ，即 A产品投入16 千万元，B 产品投入56
千万元时，总利润最大，最大利润为 44 千万元 ……………………………………8 分
当36 x 72时，则0 72 x 36 ，
1 1
∴ f (x) = 24 + (72 x) = x + 60， …………………………………………9 分
2 2
又 f (x) 在[36，57]上单调递减，
∴ f (x) f (36)＝42 .即此时总利润为 42 千万元. …………………………………11 分
又∵ 44 42 ，∴该公司 A产品投入16 千万元，B产品投入56千万元，总利润最大，最大
利润为 44 千万元. ………………………………………………………………12 分
22．（12 分）
1
已知函数 f (x) = k 2
x 1 + 2 x 2是偶函数， g(x) = x + 2x + 2
2
(1) 求函数 y = g(ln x) + 2k 的零点；
(2) 当 x [a,b]时，函数 g( f (x))与 f (x) 的值域相同，求b a 的最大值．
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解： x 1 x(1)∵ f (x) = k 2 + 2 ，∴ f ( x) = f (x)解得 k = 2 ，……………………………1 分
1 1
y = g(ln x) + 2k = (ln x)2 + 2(ln x) + 6 = (ln x + 2)(ln x 6) = 0， …………………2 分
2 2
1
令 (ln x + 2)(ln x 6) = 0，则 ln x = 2 ， ln x = 6 ，……………………………………3 分
2
即 x = e 2 ， x = e6 ， …………………………………………………………………………4 分
函数 y = g(ln x) + 2k 的零点为 e 2 ， e6 ．……………………………………………………5 分
(2) 设当 x [a,b]时，函数 f (x) 的值域为[m,n]
则函数 g( f (x))的值域也为[m,n]， ……………………………………………………6 分
令 t = f (x)， t = 2x + 2 x 2，
∵ g(t)在区间 (2,+ ) 上单调递减，
∴当 t [m,n]时， g(t) 的值域为[g(n), g(m)]， …………………………………………7 分
1
m
2 + 2m + 2 = n，
g(m) = n， 2 m = 2，
∴ 即 解得 …………………………………9 分
g(n) =m， 1 2 n = 4， n + 2n + 2 = m，
2
∴当 x [a,b]时， f (x) 的值域为[2,4]
由复合函数的单调性知， f (x) 在区间 (0,+ ) 上单调递增，
∵ f (x) = 2x + 2 x 是偶函数，
∴ f (x) 在区间 ( ,0) 上单调递减，………………………………………………………10 分
令 f (x) = 4，得 2x = 2+ 3 或 2x = 2 3
即 x = log2 (2 + 3) ，或 x = log2 (2 3) ，………………………………………………11 分
b a 的最大值为 log2 (2 + 3) log2 (2 3) = log2 (7 + 4 3) ，…………………………12 分
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