数学答案
BB CD A ACA 9ACD 10ACD 11CD 12.ABD.
13. 14. 15. 16.
7.因为，所以当时，；
当时，；
当时，；
当时，．
所以．
8.依题意有OAPB四点共圆，设点P坐标为，则该圆的方程为：，
将两圆方程：与相减，得切点所在直线方程为
，解得，因为，所以
9.，
，
为以6为周期的数列，且，
而，被6除的余数只能为，
所以的值只能为，，
10.因为，所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面，又为线段上动点，所以到平面距离为定值，故三棱锥体积为定值，当点与重合时，，故A正确；
因为，故与所成角等价于与所成角，为等边三角形，所以异面直线成角为，故B项错误；
以方向为轴，方向为轴，方向为轴建立空间直角坐标系，
则，，，
设平面的法向量为，则，即，令，得，故，设直线与面所成角为，
则，故C项正确；
P为中点时成立
11.对于A，若A与B相互独立，则，
所以，故A对；
对于B，因为，，则，
因为，所以事件与B相互独立， 故B对；
对于C，若A与B互斥，则，故C错；
对于D，若B发生时A一定发生，则，则，故D错.
12.因为圆的圆心为，半径，
对于选项A：因为，可知点在圆内，
可得圆心到过点的直线的距离，
所以，故A正确；
对于选项B：设，则，
可得，
以为圆心，为半径的圆的方程为，
整理得，
由题意可知：直线为圆与圆的公共弦所在的直线，
可得，整理得，
令，解得，所以直线必过定点，故B正确；
对于选项C：圆的圆心，半径为，则，
若圆与圆有且仅有两条公切线，所以两圆相交，
则，即，解得，
所以实数的取值范围为，故C 错误；
对于选项D：因为圆心到直线的距离，
作且与的距离均为，如下图所示：
由图可知此时到的距离均为，
所以圆上有4个点到直线的距离等于1，故D正确；
15.圆：与圆：的方程相减，
可得，即直线的方程为.
圆：的圆心为，半径，
点到直线的距离，
则圆上的动点到直线距离的最大值为，
16.由题意得，设直线的方程为，设点、.
由消去得，，
由韦达定理可得①，②.
又，即，
所以，，③.
将③代入①得④，将③代入②得⑤，
再由④⑤解得，故直线的斜率为.
又抛物线的焦点是双曲线的右焦点，
，所以，直线的方程即为.
由双曲线的左焦点到直线的距离，解得，即，
又，，即，
又，所以，双曲线的离心率.
17.（1）设的中点为，则．
由圆的性质，得，所以，得.
所以线段的垂直平分线的方程是.
（2）设圆的标准方程为，其中，半径为，
由（1）得直线的方程为，
由圆的性质，圆心在直线上，化简得，
所以圆心，，
所以圆的标准方程为.
18（1）设直线方程为，联立，得
，故
，故，
则，
故线段AB的中点坐标为，一定在直线上
（2）
，
， 故为定值
19.（1）记“甲家庭回答正确这道题”“乙家庭回答正确这道题”“丙家庭回答正确这道题”分别为事件A，B，C，
则，，，
即，，
所以，．
所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率为和.
（2）有0个家庭回答正确的概率
，
有1个家庭回答正确的概率
，
所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率．
20（1）因为平面，所以
又为菱形，所以,，所以平面
平面，所以平面平面
（2）如图，和是全等的等边三角形，过点作的垂线，即轴，与的交点即线段的中点，以为原点,所在直线为轴,轴建立空间直角坐标系，则,,
从而
，
因为平面,所以平面的一个法向量为．
设平面的法向量为,由得
取，即
设与的夹角为，则二面角大小与相等从而，得
从而，即．
21.（1）对于，
当n=1时，由.
当，有，此时，
所以数列是首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）知，，所以.
所以当n=1时，；
当，有，
经检验，对n=1也成立.
所以.
所以.
所以
.
22.（1）仁寿县实验中学2023-2024学年高二上学期1月期末检测数学 试题
第Ⅰ卷
一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若直线的倾斜角为，则（ ）
A. B. C. D.
2.椭圆的长轴长为（ ）
A. B. C. D.
3. 记等差数列的前项和为，若，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
4. 某次乒乓球单打比赛在甲、乙两人之间进行.比赛采取三局两胜制，即先胜两局的一方获得比赛的胜利，比赛结束.根据以往的数据分析，每局比赛甲胜出的概率都为，比赛不设平局，各局比赛的胜负互不影响.这次比赛甲获胜的概率为（ ）
A. B. C. D.
5.如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，
点分别为的中点.则点到平面的距离为（ ）
A B. C. D.
6. 如果椭圆和双曲线的离心率互为倒数，那么就称这组椭圆与双曲线互为“有缘曲线”．已知椭圆的方程为，中心在原点、焦点在轴上的双曲线是椭圆的“有缘曲线”，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
7. 定义表示不超过最大整数，例如：．若，数列的前项和为，则（ ）
A. 64 B. 70 C. 77 D. 84
8. 数学美的表现形式多种多样，我们称离心率（其中）的椭圆为黄金椭圆，现有一个黄金椭圆方程为，若以原点为圆心，短轴长为直径作为黄金椭圆上除顶点外任意一点，过作的两条切线，切点分别为，直线与轴分别交于两点，则（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分.在每小题有多项符合题目要求）
9. 在数列中，为的前项和，则的值可以为（ ）
A. 0 B. 3 C. 4 D. 5
10. 如图，棱长为2的正方体中，为线段上动点（包括端点）.则以下结论正确的为（ ）
A. 三棱锥体积为定值
B. 异面直线成角为
C. 直线与面所成角的正弦值
D. 存在点使得
11. 已知事件A、B发生的概率分别为，，则下列说法不正确的是（ ）
A.若A与B相互独立，则 B.若，则事件与B相互独立
C.若A与B互斥，则 D.若B发生时A一定发生，则
12. 已知圆下列说法正确的是（ ）
A. 过点作直线与圆交于两点，则范围为
B. 过直线上任意一点作圆的切线，切点分别为则直线必过定点
C. 圆与圆有且仅有两条公切线，则实数的取值范围为
D. 圆上有4个点到直线的距离等于1
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 如图，在三棱锥中，D是的中点，若，，
，则等于____________.
14.已知公差不为零等差数列满足，且，，成等比数列．设为数列的前项和，
则数列的前项和为
15.已知圆：与圆：相交于、两点，则圆：的动点到直线距离的最大值为__________ .
16. 已知抛物线的焦点是双曲线的右焦点，过点作直线与抛物线交于、两点，且，双曲线的左焦点到直线的距离大于，则双曲线的离心率的取值范围是___________.
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17. 已知圆的圆心在轴上，且经过点．
（1）求线段的垂直平分线方程；
（2）求圆的标准方程；
18. 已知斜率为2的直线交抛物线于、两点，求证：
（1）线段AB的中点在一条定直线上
（2） 为定值（O为坐标原点，、分别为直线OA、OB斜率）
19. 为了纪念2017年在德国波恩举行联合国气候大会，某社区举办《“环保我参与”有奖问答比赛》活动．某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是．若各家庭回答是否正确互不影响．
（1）求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；
（2）求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率．
20. 已知四棱锥中，平面，底面是边长为的菱形，，．
（1）求证：平面平面；
（2）设与交于点，为中点，
若二面角正切值为，求的值．
21. 已知数列的前n项和为，且满．
（1）求证数列是等比数列．
（2）若数列满足求数列的前n项和．
22.已知为椭圆的右焦点，分别为其左、右顶点，过点作直线与椭圆交于两点（不与重合），记直线的斜率分别为
（1）证明：为定值
（2）若线段的中点为，过点做垂直于的直线交轴于点，试求的取值范围
