高 2023级数学科期末考试试题
（考试时间：150分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己
的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1. 集合 A x 1 x 5, x N 的子集的个数为（ D ）
A. 3 B. 4 C. 7 D. 8
2. 已知命题 p : x R , x2 x 1 0，则 p（ A ）
A. x R， x2 x 1 0 B. x R ， x2 x 1 0
C. x R， x2 x 1 0 D. x R ， x2 x 1 0
3 f (x) m2 2．已知函数 m 1 xm 2m 2是幂函数，且在 (0, )上递增，则实数m （ B ）
A．2 B． 1 C．4 D．2或 1
4．若关于 x不等式 ax2 bx c 0的解集为[ 2,3]，则关于 x不等式 cx2 bx a 0的解集为
（ C ）
1 1
A．[ 1 1 , ] B．[ , ]2 3 3 2
C． ( ,
1
] [1U , ) D． (
1
, ]U [1 , )
2 3 3 2
5．已知函数 f(x)＝a2x－6＋3(a>0 且 a≠1)的图象经过定点 A，且点 A 在角θ的终边上，则
sin θ－cos θ
等于( D )
sin θ＋cos θ
A．－1 B．0 C．7 D.1
7 7
3
6．已知函数 f x 2x 2 ，则其图象大致是（ B ）x 1
{#{QQABJQKAogiIABBAAQhCAwGICgKQkBGAAAoGQFAMoAIASRFABAA=}#}
A． B． C． D．
7．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的
扇形制作而成，设扇形的面积为 S 1 ，圆面中剩余部分的面积为 S2，当 S 1与 S2 的比值为
5 1
时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为（ A ）
2
A． (3 5) B． ( 5 1)
C． ( 5 1) D． ( 5 2)
y
8. 若两个正实数 x，y满足 4x y 2xy，且不等式 x m2 m有解，则实数 m的取
4
值范围是（ D ）
A. 1 m 2 B. m 2或m 1
C. 2 m 1 D. m 1或m>2
二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求，全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分．
9．如图，A，B是单位圆上的两个质点，点 B 的坐标为(1，0)，∠BOA＝60°，质点 A 以 1 rad/s
的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点 B 以 2 rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆
上运动，则（ ABD ）
A．经过 1 s后，∠BOA的弧度数为 ＋3
3
7
B．经过 s后，扇形 AOB的弧长为
12 12
C．经过 6 s后，扇形 AOB的面积为 3
5
D．经过 s后，A，B在单位圆上第一次相遇
9
10. 如图，二次函数 y ax2 bx c(a 0)的图象与 x轴交于 A B两点，与 y轴交于点 C，
且OC 2OB，则下列结论正确的为（ CD ）
A. abc 0 B. a b c 0
c
C. ac 2b 4 0 D. OA OB
a
{#{QQABJQKAogiIABBAAQhCAwGICgKQkBGAAAoGQFAMoAIASRFABAA=}#}
11. 下列说法不正确的是( ABC )
A 1．存在 x∈R，使得 1－cos3x＝log2
10
B．函数 y＝sin 2xcos 2x的最小正周期为π
cos 2(x C．函数 y＝ )的一个对称中心为 ( ,0)
3 3
D．若角α的终边经过点(cos(－3)，sin(－3))，则角α是第三象限角
12．已知连续函数 f (x)满足：① x, y R，则有 f x y f x f y 1，②当 x 0时，
f (x) 1，③ f (1) 2，则以下说法中正确的是（ ABD ）
A． f 0 1 B． f (x)在 3,3 上的最大值是 10
C． f 4x 4 f x 2 4 D 2．不等式 f 3x 2 f x f 3x 4的解集为 x | x 1
3
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．
13. 已知 sin α＝cos 2α，α∈ ( , )，则 tan α 3＝ － . .
2 3
14 f (x 1) 2, 1 ．已知函数 f (x)的定义域为[ 1,1]则 y 的定义域为
x2 2x 3
15．已知关于 x x2的方程 m 1 x 4m2 0的两根分别在区间 0，1 ， 1，2 内，则实数m的
1
取值范围为 0， ．
4
x2 2ax 12, x 1
16．已知函数 f (x)
4 ，若 f (x)的最小值为 f (1)，则实数 a的取值范围是
x a ,x 1 x
[3, ) .
四、解答题：本题共 6小题，共 70分．第 17题 10分，其他每题 12分，解答应写出文字说
明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分 10分）已知函数 f(x)＝sin （2x )＋2sin2x.
6
(1)求 f(x)的最小正周期；
(2)当 x 5 ∈[ , ]时，求 f(x)的值域.
3 6
【解析】 (1)f(x)＝ sin 2xcos π－ cos 2xsin π＋ 1－ cos 2x 3＝ sin 2x 3－ cos 2x＋ 1＝
6 6 2 2
(2x 3sin )＋1 2π，∴T＝ ＝π，即 f(x)的最小正周期为π.
3 2
{#{QQABJQKAogiIABBAAQhCAwGICgKQkBGAAAoGQFAMoAIASRFABAA=}#}
[ , 5 ] π [ , 4 (2) x 2x ] 3∵ ∈ ，∴ － ∈ ，∴－ ≤sin (2x )≤1，
3 6 3 3 3 2 3
1 1
∴－ ≤ 3sin (2x )＋1≤ 3＋1，∴f(x)的值域为[ , 3 1] .
2 3 2
A x | 3x 118 12 2 B x | x2．（本小题满分 分）设 ， a 6 x 6a 0 ，命题 p : x A，
x 3
命题 q : x B
(1)当a 8时，试判断命题 p是命题 q的什么条件？
(2)求 a的取值范围，使命题 p是命题 q的必要不充分条件.
A x 3x 1 【解析】（1） 2x 3
{x|x 5或 x 3}，
当 a 8时，
B x | x2 a 6 x 6a 0 {x|x2 14x+48≤0} {x|6≤x≤8}，
∵命题 p：x A，命题 q：x B，则 B真包含于 A，
∴命题 p是命题 q的必要不充分条件．
（2）∵A {x|x 5或 x 3}，
B x | x2 a 6 x 6a 0 x | x 6 x a 0
命题 p是命题 q的必要不充分条件，则 B真包含于 A
①当 a 6，即 a 6时，此时 B＝{x|6≤x≤ a}，命题成立；
②当 a＝6，即 a＝ 6时，此时 B＝{6}，命题成立；
③当 a 6，即 a 6时，此时 B＝{ a≤x≤6}，故有 a＞3，解得
6 a 3.
综上所述，a的取值范围是{a|a 3}.
19.（本小题满分 12分） 已知函数 f(x)＝2cos2x＋2 3sin x·cos x.
(1) f(x) 0 求 在 ， 内的单调区间； 2
(2)若 f 11＝ ，α∈ 0
， ，求 cos α的值．
2 5 3
【解析】(1)因为 f(x)＝2cos2x＋2 3sin xcos x
＝1＋cos 2x＋ 3sin 2x
＝1＋2sin (2x )，
6
{#{QQABJQKAogiIABBAAQhCAwGICgKQkBGAAAoGQFAMoAIASRFABAA=}#}
x 7 [0, ]， 2x [ , ]
2 6 6 6
2x [ , ]时增， 2x 7
[ ， ]时减，所以 f(x)在[0, ]增，在[ ， ]减
6 6 2 6 2 6 6 6 2
f(x) 所以 在 0， 内的单调增区间为[0, ]，单调减区间为[ ， ]。 2 6 6 2
(2) f 11 3 4由 ( ) ＝ ，α∈ (0 5 ， )
，得 sin ( )＝ ，cos5 ( )
＝ ，
2 3 6 6 5
所以 cos α＝cos[( ) ]＝cos (
π
) cos ＋sin
π 4 3＋3
( ) sin ＝ .
6 6 6 6 6 6 10
20. （本小题满分 12分）去年以来新冠肆虐，我国在党中央的领导下迅速控制住新冠疫情，
但完全消除新冠的威胁仍需要长期的努力.某医疗企业为了配合国家的防疫战略，决定投入
90 n n N 10n2 5n 万元再上一套生产设备，预计使用该设备后前 年的支出成本为 万
元，每年的销售收入 95万元.
（1）估计该设备从第几年开始实现总盈利；
（2）使用若干年后对该设备处理的方案有两种：
方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以 20万元的价格处理；
方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以60万元的价格处理；
总盈利额
问哪种方案较为合理？并说明理由.（注：年平均盈利额 ）
年数
解（1）该设备到第 n n N 年的总盈利额 y 95n 10n2 5n 90 10n2 100n 90
由题意可得： 10n2 100n 90 0，解得1 n 9∵ n N
故该设备从第 2年开始实现总盈利.
（2）方案二较合理，理由如下：
方案一：由（1）可得：当 n 5时，总盈利额达到最大值 10 52 100 5 90 160万元，
故总利润160 20 180万元；
y 10n2 100n 90 9
方案二：平均盈利额 10 n n n n
100，
n 9
9
∵ 2 n 9 6，当且仅当n ，即 n 3时等号成立，
n n n
∴当 n 3时，年平均盈利额达到最大值 10 6 100 40万元，
{#{QQABJQKAogiIABBAAQhCAwGICgKQkBGAAAoGQFAMoAIASRFABAA=}#}
故总利润 40 3 60 180万元；
虽然两种方案总利润相等，但方案二用时最少，故方案二较合理.
ax b
21.
1 4
（本小题满分 12分）已知函数 f (x) 2 在 x 1,1 为奇函数，且 f x 1 2 3
(1)求a，b值；
(2)判断函数 f (x)在 1,1 的单调性，并用定义证明；
t
(3)解关于 t的不等式 f ( 1) f (t) 0
2
【解析】（1） f x 在 x 1,1 f 0 b为奇函数， 0，解得：b 0，
1
1
f 1
a b
2 4又 1 ，解得： a 2， 2 1 3
4
故 a 2,b 0，经检验满足题设.
2x
（2）当 a 2,b 0时， f x ，
x2 1
f x 2x 2x 2 2 f x x 1 x 1
当 a 2,b 0时函数 f (x)
ax b
2 在 x 1,1 为奇函数，x 1
由 f 0 0 f 1 4， ，判断函数 f (x)在 1,1 为单调递减，
2 3
证明： x1, x2 1，1 且x2 x1，
2 x x 22x 2x 1 2 x1 x2x 2 x f (x1) f (x2 ) 1 2 1 2 ，x 2 21 1 x2 1 x 2 1 x 21 2 1
2 x x
f (x ) f (x ) 2 1
1 x1x2
1 2 x 21 1 x 22 1 ，
1 x1 x2 1， x2 x1 0,1 x2x1 0, x 21 1 x 21 1 0，
f (x2 ) f (x1)， 函数 f (x)在 1,1 为单调递减，
t
（3）则 f ( 1) f (t) 0 f (
t
1) f t ，
2 2
f x 在 x 1,1 t为奇函数， f ( 1) f t ，
2
又函数 f (x)在 1,1 为单调递减，
{#{QQABJQKAogiIABBAAQhCAwGICgKQkBGAAAoGQFAMoAIASRFABAA=}#}
t
1 1 1
2 4 t 0 2
1 t 1 1 t 1 , t 0
3
t 2 1 t t
2 3
2
t的不等式的解集为 ，0
3
22. （本小题满分 12分）已知二次函数 y ax2 bx c， a 0
2
（1）若 y 0的解集为 x 3 x 4 ，求关于 x的不等式bx 2ax c 3b 0的解集；
b2
（2）若不等式 y 2ax b对 x R 恒成立，求 的最大值.
a2 c2
解(1)因为 y ax2 bx c 0的解集为 x 3 x 4 ，
所以 a<0且方程 ax2 bx c 0的解为 3,4，
b
则 1, c 12，所以b a,c 12a，
a a
2
则不等式bx 2ax c 3b 0 2即为 ax 2ax 12a 3a 0，
即 x2 2x 15 0，解得 3 x 5，
2
所以关于 x的不等式bx 2ax c 3b 0的解集为 x 3 x 5 ；
(2)因为不等式 y 2ax b对 x R 恒成立，
2
所以不等式 ax b 2a x c b 0对 x R 恒成立，
a 0 a 0
所以 ，所以 ，
Δ b 2a
2
4a c b 0 b2 4a2 4ac 0
a 0
即 2 2，
0 b 4ac 4a
所以 4ac 4a2
c
0，所以 c a 0，则 1，
a
4c 4c
b2 4ac 4a2 4 4a c a 4 t 1
故 a2 c2
a2 2
c 2 ，令 t , t 1c ，则 2
2
a c t 1
，
1 a
1 a
{#{QQABJQKAogiIABBAAQhCAwGICgKQkBGAAAoGQFAMoAIASRFABAA=}#}
4c
4
a 4 t 1
当 t 1时， 2 2 0c t 1 ，1
a
4c 4
a 4 t 1 4 4
当 t 1时， t 1 0，则 c 2
t2 1 t 2 1 t 1 21 2 t 1 2
a t 1 t 1
4 4 4
2 2 2 2 t 1 2 2 t 1 2 2 2 2 2 ，t 1 t 1
当且仅当 t 1 2 ，即 t 2 1时取等号，t 1
4ac 4a 2 b2
所以 的最大值为 2 2 2，所以 的最大值为2 2 2 2 2 2 2 .a c a c
{#{QQABJQKAogiIABBAAQhCAwGICgKQkBGAAAoGQFAMoAIASRFABAA=}#}高 2023级数学科期末考试试题
（考试时间：150分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己
的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1. 集合 A x 1 x 5, x N 的子集的个数为（ ）
A. 3 B. 4 C. 7 D. 8
2. 已知命题 p : x R , x2 x 1 0，则 p（ ）
A. x R， x2 x 1 0 B. x R ， x2 x 1 0
C. x R， x2 x 1 0 D. x R ， x2 x 1 0
3．已知函数 f (x) 2 2m m 1 xm 2m 2是幂函数，且在 (0, )上递增，则实数m （ ）
A．2 B． 1 C．4 D．2或 1
4．若关于 x不等式 ax2 bx c 0的解集为[ 2,3]，则关于 x不等式 cx2 bx a 0的解集为
（ ）
1 1
A 1 1．[ , ] B．[ , ]2 3 3 2
1 1 1
C． ( , ]U [ , ) D． ( , ]U [
1 , )
2 3 3 2
5．已知函数 f(x)＝a2x－6＋3(a>0 且 a≠1)的图象经过定点 A，且点 A 在角θ的终边上，则
sin θ－cos θ
等于( )
sin θ＋cos θ
A．－1 B．0 C．7 D.1
7 7
3
6 2x．已知函数 f x 2 ，则其图象大致是（ ）x 1
1
{#{QQABJQKAogiIABBAAQhCAwGICgKQkBGAAAoGQFAMoAIASRFABAA=}#}
A． B． C． D．
7．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的
扇形制作而成，设扇形的面积为 S 1 ，圆面中剩余部分的面积为 S2，当 S 1与 S2 的比值为
5 1
时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为（ ）
2
A． (3 5) B． ( 5 1)
C． ( 5 1) D． ( 5 2)
y
8. 若两个正实数 x，y满足 4x y 2xy 2，且不等式 x m m有解，则实数 m的取
4
值范围是（ ）
A. 1 m 2 B. m 2或m 1
C. 2 m 1 D. m 1或m>2
二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求，全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分．
9．如图，A，B是单位圆上的两个质点，点 B 的坐标为(1，0)，∠BOA＝60°，质点 A 以 1 rad/s
的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点 B 以 2 rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆
上运动，则（ ）
A．经过 1 s后，∠BOA的弧度数为 ＋3
3
7
B．经过 s后，扇形 AOB的弧长为
12 12
C．经过 6 s后，扇形 AOB的面积为 3
5
D．经过 s后，A，B在单位圆上第一次相遇
9
10. 如图，二次函数 y ax2 bx c(a 0)的图象与 x轴交于 A B两点，与 y轴交于点 C，
且OC 2OB，则下列结论正确的为（ ）
A. abc 0 B. a b c 0
C. ac 2b 4 0 D. OA OB
c
a
2
{#{QQABJQKAogiIABBAAQhCAwGICgKQkBGAAAoGQFAMoAIASRFABAA=}#}
11. 下列说法不正确的是( )
A．存在 x∈R，使得 1 cos3x log 1－ ＝ 2
10
B．函数 y＝sin 2xcos 2x的最小正周期为π
cos 2(x C．函数 y＝ )的一个对称中心为 ( ,0)
3 3
D．若角α的终边经过点(cos(－3)，sin(－3))，则角α是第三象限角
12．已知连续函数 f (x)满足：① x, y R，则有 f x y f x f y 1，②当 x 0时，
f (x) 1，③ f (1) 2，则以下说法中正确的是（ ）
A． f 0 1 B． f (x)在 3,3 上的最大值是 10
C． f 4x 4 f x 4 D．不等式 f 3x2 2 f x f 3x 2 4 的解集为 x | x 1
3
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．
13. 已知 sin α＝cos 2α ，α∈ ( , )，则 tan α＝ .
2
14 f (x 1)．已知函数 f (x)的定义域为[ 1,1]则 y 的定义域为
x2 2x 3
15 2．已知关于 x的方程 x m 1 x 4m2 0的两根分别在区间 0，1 ， 1，2 内，则实数m的
取值范围为 ．
x2 2ax 12, x 1
16．已知函数 f (x) 4 ，若 f (x)的最小值为 f (1)，则实数 a的取值范围
x a ,x 1 x
是 .
四、解答题：本题共 6小题，共 70分．第 17题 10分，其他每题 12分，解答应写出文字说
明、证明过程或演算步骤．
17 ．（本小题满分 10分）已知函数 f(x)＝sin（2x )＋2sin2x.
6
(1)求 f(x)的最小正周期；(2)当 x [ , 5 ∈ ]时，求 f(x)的值域.
3 6
3x 1
18 ．（本小题满分 12分）设 A x | 2 ，B x | x2 a 6 x 6a 0 ，命题 p : x A，
x 3
命题 q : x B
(1)当a 8时，试判断命题 p是命题 q的什么条件？
(2)求 a的取值范围，使命题 p是命题 q的必要不充分条件.
3
{#{QQABJQKAogiIABBAAQhCAwGICgKQkBGAAAoGQFAMoAIASRFABAA=}#}
19.（本小题满分 12分） 已知函数 f(x)＝2cos2x＋2 3sin x·cos x.
(1)求 f(x) 在 0
， 内的单调区间； 2
(2) f 11若 ＝ ，α∈
0 ， ，求 cos α的值．
2 5 3
20. （本小题满分 12分）去年以来新冠肆虐，我国在党中央的领导下迅速控制住新冠疫情，
但完全消除新冠的威胁仍需要长期的努力.某医疗企业为了配合国家的防疫战略，决定投入
90万元再上一套生产设备，预计使用该设备后前 n n N 2年的支出成本为 10n 5n 万元，
每年的销售收入 95万元.
（1）估计该设备从第几年开始实现总盈利；
（2）使用若干年后对该设备处理的方案有两种：
方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以 20万元的价格处理；
方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以60万元的价格处理；
总盈利额
问哪种方案较为合理？并说明理由.（注：年平均盈利额 ）
年数
ax b 1 4
21.（本小题满分 12分）已知函数 f (x) 2 在 x 1,1
为奇函数，且 f
x 1 2
3
(1)求a，b值；
(2)判断函数 f (x)在 1,1 的单调性，并用定义证明；
t
(3)解关于 t的不等式 f ( 1) f (t) 0
2
22. （本小题满分 12分）已知二次函数 y ax2 bx c，a 0
（1）若 y 0的解集为 x 3 x 4 2，求关于 x的不等式bx 2ax c 3b 0的解集；
2
（2）若不等式 y 2ax b对 x R b恒成立，求 的最大值.
a2 c2
4
{#{QQABJQKAogiIABBAAQhCAwGICgKQkBGAAAoGQFAMoAIASRFABAA=}#}
