四川省凉山州2023-2024学年高二上学期期末检测数学试卷(无答案)

凉山州2023-2024学年度上期期末检测试卷
高二数学
全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确。
2.选择题使用2B铅笔涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
3.考试结束后，将答题卡收回。
第I卷（选择题 共60分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）
1.直线的一个方向向量是（ ）
A. B. C. D.
2.“牛角栱”是凉山彝族民房檐枋装饰艺术中的重要特色之一，如图，已知牛角栱外侧弧线部分为抛物线的一部分，宽度，高度根据图中的坐标系，则这条抛物线方程为（ ）
A. B. C. D.
3.等差数列中，，，则的值为（ ）
A.18 B.20 C.22 D.24
4.经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线方程为（ ）
A. B. C. D.
5.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如.在不大于10的素数中，选两个不同的数，和为偶数的概率为（ ）
A. B. C. D.
6.已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，，，则直线与所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
7.过点的直线与圆交于，两点，则当弦长最短时的面积为（ ）
A. B. C. D.
8.空间四边形中，点在上，且，为中点，则等于（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9.下列结论正确的是（ ）
A.若向量，，，则，，共面
B.已知平面，不重合，平面和平面的一个法向量均为，则
C.若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则
D.若向量，，则在上的投影向量为
10.已知正方体的棱长为1，则下列说法正确的是（ ）
A.直线与所成的角为
B.点与平面的距离为
C.平面与平面所成的角为
D.直线与平面所成的角为
11.已知等比数列的公比为，，，数列的前项和为，则（ ）
A. B.
C.数列是等比数列 D.
12.我们把离心率为的双曲线叫做理想双曲线，若双曲线是理想双曲线，左右顶点分别为，，虚轴 点为，，右焦点为，离心率为，则（ ）
A.当时，
B.当时，则到渐近线的距离为
C.
D.的外接圆的面积为
第II卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.）
13.过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为______.
14.已知点，，，则点到直线的距离为______.
15.记为等差数列的前项和，若，则______.
16.这抛物线的焦点作圆的两条切线，切点分别为，，若为等边三角形，则的值为______.
三、解答题（本大题共6小题、共计70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程）
17.（10分）已知直线.
（1）求证：直线经过一个定点；
（2）若直线交轴的正半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程.
18.（12分）为参加凉山州第八届“学宪法讲宪法”演讲比赛，某校组织选拔活动，通过两轮比赛最终决定参加州级比赛人选，已知甲同学晋级第二轮的概率为，乙同学晋级第二轮的概率为.若甲、乙能进入第二轮，在第二轮比赛中甲、两人能胜出的概率均为.假设甲、乙第一轮是否晋级和在第二轮中能否胜出互不影响.
（1）若甲、乙有且只有一人能晋级第二轮的概率为，求的值；
（2）在（1）的条件下，求甲、乙两人中有且只有一人能参加州级比赛的概率.
19.（12分）三棱柱中，为中点，.设，，
（1）试用，，表示向量；
（2）若，，求的长.
20.（12分）已知数列满足，.
（1）证明：为等比数列；
（2）求的前项和.
21.（12分）如图为直三棱柱，，，设为的中点.
（1）证明；
（2）求二面角的正弦值.
22.（12分）已知椭圆的离心率是，点在上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过直线上一点作椭圆的切线，切点为，，证明：直线过定点.