2018-2019学年数学北师大版八年级上册1.3《勾股定理的应用》同步训练
一、选择题
1.为迎接新年的到来,同学们做了许多拉花布置教室,准备召开新年晚会,小刘搬来一架高2.5米的木梯,准备把拉花挂到2.4米高的墙上,则梯脚与墙角距离应为( )
A.0.7米 B.0.8米 C.0.9米 D.1.0米
2.如图,将一根长为22cm的筷子,置于底面直径为5cm,高为12cm的圆柱形水杯中,设筷子露在杯子外面的长度为hcm,则h的取值范围是( ).
A.9cm≤h≤10cm B.10cm≤h≤11cm
C.12cm≤h≤13cm D.8cm≤h≤9cm
3.如图是一张直角三角形的纸片,两直角边AC=6cm、BC=8cm,现将△ABC折叠,使点B与点A重合,折痕为DE,则BE的长为( )
A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.10 cm
4.在一块平地上,张大爷家屋前9米远处有一颗大树,在一次强风中,这课大树从离地面6米处折断倒下,量得倒下部分的长是10米,大树倒下时能砸到张大爷的房子吗?( )
A.一定不会 B.可能会
C.一定会 D.以上答案都不对
5.(2016七上·新泰期末)已知蚂蚁从长、宽都是3,高是8的长方形纸箱的A点沿纸箱爬到B点,那么它所行的最短路线的长是( )
A.8 B.10 C.12 D.16
二、填空题
6.如图,长方体中,AB=12m,BC=2m,BB'=3m,一只蚂蚁从点A出发,以4cm/秒的速度沿长方体表面爬行到点C′,至少需要 分钟。
7.如图是一种“羊头”形图案,其作法是:从正方形①开始,以它的一边为斜边,向外作等腰直角三角形,然后再以其直角边为边,分别向外作正方形②和②′,…,依此类推,若正方形①的边长为64cm,则正方形⑦的边长为 cm。
8.如图,一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶,某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处,过了2s后,测得小汽车与车速检测仪间的距离为50m,则这辆小汽车的速度是 m/s.
9.如图,将长AB=5cm,宽AD=3cm的矩形纸片ABCD折叠,使点A与C重合,折痕为EF,则AE长为 cm.
10.如图:知:AM⊥MN,BN⊥MN,垂足分别为M,N,点C是MN上使AC+BC的值最小的点.若AM=3,BN=5,MN=15,则AC+BC= .
三、解答题
11.如图,在一棵树的10米高B处有两只猴子,其中一只爬下树走向离树20米的池塘C,而另一只爬到树顶D后直扑池塘C,结果两只猴子经过的距离相等,问这棵树有多高?
12.在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发,现有一C处需要爆破,已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米,与公路上另一停靠站B的距离为400米,且CA⊥CB,如图,为了安全起见,爆破点C周围半径250米范围内不得进入,问在进行爆破时,公路AB段是否有危险,是否而需要暂时封锁?请通过计算进行说明.
13.在印度数学家拜·什迦罗的著作中,记载了一个有趣的“荷花问题”平平湖水清可鉴,水上一尺生红莲;出泥不染亭亭立,忽被强风吹一边;渔人观看忙向前,花离原位五尺远;能算诸君请解题,湖水深浅知几何?请你用学过的数学知识回答这个问题。
14.如图,某地方政府决定在相距50km的A、B两站之间的公路旁E点,修建一个土特产加工基地,且使C、D两村到E点的距离相等,已知DA⊥AB于A,CB⊥AB于B,DA=30km,CB=20km,那么基地E应建在离A站多少千米的地方?
15.(2017八下·广州期中)台风是一种自然灾害,它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候,有极强的破坏力。如图,有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B,已知点 C为一海港,且点 C与直线 AB上两点A,B的距离分别为300km和400km,又 AB=500km,以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域。
(1)海港C受台风影响吗?为什么?
(2)若台风的速度为20km/h,台风影响该海港持续的时间有多长?
答案解析部分
1.【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解:梯脚与墙角距离: =0.7(米).
故答案为:A.
【分析】根据题意得到直角三角形,再由勾股定理求出梯脚与墙角的距离.
2.【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】设杯子中筷子长度为xcm,
∵将一根长为22cm的筷子,置于底面直径为5cm,高为12cm的圆柱形水杯中,
∴筷子露在杯子外面的长度最长为:在杯子中筷子最短是等于杯子的高;
筷子露在杯子外面的长度最短为:在杯子中筷子最长是等于杯子斜边长度,
∴当杯子中筷子最短是等于杯子的高时,x=12,则h最大值为:22-12=10cm,
当杯子中筷子最长时等于杯子斜边长度是:x= ,则h最小值为22-13=9cm;
∴9cm≤h≤10cm;
故答案为:A。
【分析】由题意知,当筷子垂直立于杯子中时,在杯子中筷子最短,露在杯子外面的长度最长,且长度最长=筷子的长度-杯子的高;;当筷子斜靠在杯子底部时,在杯子中筷子最长,露在杯子外面的长度最短,且长度最短=筷子的长度-杯子斜边长度,其中杯子斜边长度的平方=杯子高度的平方+杯子底面圆直径的平方;则筷子露在杯子外面的长度的取值范围可得。
3.【答案】B
【知识点】翻折变换(折叠问题)
【解析】【解答】解:∵△ABC是直角三角形,两直角边AC=6cm、BC=8cm,
∴AB= = =10cm,
∵△ADE由△BDE折叠而成,
∴AE=BE= AB= ×10=5cm.
故选:B.
【分析】先根据勾股定理求出AB的长,再由图形折叠的性质可知AE=BE,故可得出结论.
4.【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解:如图所示,
AB=10米,AC=6米,根据勾股定理得,
BC= = =8米<9米.
故答案为:A.
【分析】在直角三角形ABC中,由勾股定理可求得BC的长,再将BC的长与9米比较大小即可求解。
5.【答案】B
【知识点】平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】解:将点A和点B所在的两个面展开,
则矩形的长和宽分别为6和8,
故矩形对角线长AB==10,
即蚂蚁所行的最短路线长是10.
故选B.
【分析】根据”两点之间线段最短”,将点A和点B所在的两个面进行展开,展开为矩形,则AB为矩形的对角线,即蚂蚁所行的最短路线为AB.
6.【答案】3.25
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】将长方体展开,则从AC'为蚂蚁从A点到C'的最短路径。
根据勾股定理可得:AC'==13(m)=1300(cm)
则t=1300÷4=325(秒)=(分)
【分析】根据两点之间线段最短可得,点A到点C′的最短距离为长方体展开后的直角三角形ACC′的斜边AC′的长,用勾股定理可求得斜边AC′的长,再根据时间=路程速度即可求解。
7.【答案】8
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】根据图形以及等腰直角三角形的性质可得:正方形①的边长为64cm;正方形②的边长为32 cm;正方形③的边长为32cm;正方形④的边长为16 cm;正方形⑤的边长为16cm;正方形⑥的边长为8 cm;正方形⑦的边长为8cm.
【分析】由题意知,正方形①的边长为64cm;根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可求得正方形②的边长为32 cm;同理可得正方形③的边长为32cm;正方形⑦的边长为8cm.
8.【答案】20
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】在Rt△ABC中,AC=30m,AB=50m
据勾股定理可得:BC=
故小汽车的速度为v= =20m/s
【分析】要求这辆小汽车的速度,只须求得BC的长,再根据速度=路程时间即可求解。在Rt△ABC中,由勾股定理可求得AB的长,则问题得解。
9.【答案】3.4
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】根据矩形的性质可得:BC=AD=3cm,设AE=xcm,则BE=(5-x)cm,根据折叠图形的性质可得CE=AE=xcm,根据Rt△BCE的勾股定理可得: ,解得:x=3.4
【分析】设AE=xcm,根据矩形和折叠的性质可将BE和CE用含x的代数式表示,在直角三角形BCE中,由勾股定理可列方程求解。
10.【答案】17
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解:作A点关于直线MN的对称点A′,连接A′B交MN于C,
则AC+BC=A′C+BC=A′B,A′B就是AC+BC的最小值;
延长BN使ND=A′M,连接A′D,
∵AM⊥MN,BN⊥MN,
∴AA′∥BD,
∴四边形A′DNM是矩形,
∴ND=AM=3,A′D=MN=15,
∴BD=BN+ND=5+3=8,
∴A′B= =17,
∴AC+BC=17,
故答案为17.
【分析】由轴对称的性质可作辅助线,作A点关于直线MN的对称点A′,连接A′B交MN于C,延长BN使ND=A′M,连接A′D,则AC+BC=A′C+BC=A′B,根据两点之间线段最短可知A′B就是AC+BC的最小值;在直角三角形A′BD中,用勾股定理求得A′B的值即可。
11.【答案】解:设BD=x米,则AD=(10+x)米,CD=(30-x)米,
根据题意,得:
(30-x)2-(x+10)2=202,
解得x=5.
即树的高度是10+5=15米
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】在直角三角形ACD中,由勾股定理可得,列方程即可求解。
12.【答案】解:过C作CD⊥AB于D.根据BC=400米,AC=300米,∠ACB=90°,利用根据勾股定理有AB=500米.利用S△ABC= 得到CD=240米.再根据240米<250米可以判断有危险.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】过C作CD⊥AB于D。在直角三角形ABC中,用勾股定理可求得AB的长,再用面积法AB CD=BC AC可求得CD的长,将CD的长与半径250米比较大小即可求解。
13.【答案】解:设湖水深x尺,则荷叶杆长为(x+1)尺,
则根据勾股定理,得.x2+52=(x+1)2,
解得:x=12,
所以湖水深12尺
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】由勾股定理列方程即可求解。
14.【答案】解:设基地E应建在离站x千米的地方,则E=(50-x)千米在Rt△ADE中,根据勾股定理得:AD2+AE2=DE2在Rt△CEE中,根据勾股定理得:CB2+BE2=CE2∴202+(50-x)2=CE2又∵C、D两村到E点的距禽相等,∴DE=CE∴DE2=CE2解得x=20∴基地E应建在离A站多少20千米的地方。
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】在Rt△ADE和Rt△CEE中,用勾股定理分别将和表示出来,再根据CE=DE即可列方程求解。
15.【答案】(1)解:海港C受台风影响。 理由:如图,过点C作CD⊥AB于D,∵AC=300km,BC=400km,AB=500km,
∴AC2+BC2=AB2.
∴△ABC是直角三角形。
∴AC×BC=CD×AB
∴300×400=500×CD
∴CD= =240(km)
∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域,
∴海港C受到台风影响。
(2)解:当EC=250km,FC=250km时,正好影响C港口,
∵ED= =70(km),
∴EF=140km
∵台风的速度为20km/h,
∴140÷20=7(小时)
即台风影响该海港持续的时间为7小时.
【知识点】垂线段最短;勾股定理的应用
【解析】【分析】(1)根据垂线段最短解答此题。先利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形,再利用直角三角形的面积得出AC×BC=CD×AB,求出CD的长,比较CD的长与250的大小,进而得出海港C是否受台风影响。
(2)利用勾股定理求出ED以及EF的长,进而得出台风影响该海港持续的时间。
1 / 12018-2019学年数学北师大版八年级上册1.3《勾股定理的应用》同步训练
一、选择题
1.为迎接新年的到来,同学们做了许多拉花布置教室,准备召开新年晚会,小刘搬来一架高2.5米的木梯,准备把拉花挂到2.4米高的墙上,则梯脚与墙角距离应为( )
A.0.7米 B.0.8米 C.0.9米 D.1.0米
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解:梯脚与墙角距离: =0.7(米).
故答案为:A.
【分析】根据题意得到直角三角形,再由勾股定理求出梯脚与墙角的距离.
2.如图,将一根长为22cm的筷子,置于底面直径为5cm,高为12cm的圆柱形水杯中,设筷子露在杯子外面的长度为hcm,则h的取值范围是( ).
A.9cm≤h≤10cm B.10cm≤h≤11cm
C.12cm≤h≤13cm D.8cm≤h≤9cm
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】设杯子中筷子长度为xcm,
∵将一根长为22cm的筷子,置于底面直径为5cm,高为12cm的圆柱形水杯中,
∴筷子露在杯子外面的长度最长为:在杯子中筷子最短是等于杯子的高;
筷子露在杯子外面的长度最短为:在杯子中筷子最长是等于杯子斜边长度,
∴当杯子中筷子最短是等于杯子的高时,x=12,则h最大值为:22-12=10cm,
当杯子中筷子最长时等于杯子斜边长度是:x= ,则h最小值为22-13=9cm;
∴9cm≤h≤10cm;
故答案为:A。
【分析】由题意知,当筷子垂直立于杯子中时,在杯子中筷子最短,露在杯子外面的长度最长,且长度最长=筷子的长度-杯子的高;;当筷子斜靠在杯子底部时,在杯子中筷子最长,露在杯子外面的长度最短,且长度最短=筷子的长度-杯子斜边长度,其中杯子斜边长度的平方=杯子高度的平方+杯子底面圆直径的平方;则筷子露在杯子外面的长度的取值范围可得。
3.如图是一张直角三角形的纸片,两直角边AC=6cm、BC=8cm,现将△ABC折叠,使点B与点A重合,折痕为DE,则BE的长为( )
A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.10 cm
【答案】B
【知识点】翻折变换(折叠问题)
【解析】【解答】解:∵△ABC是直角三角形,两直角边AC=6cm、BC=8cm,
∴AB= = =10cm,
∵△ADE由△BDE折叠而成,
∴AE=BE= AB= ×10=5cm.
故选:B.
【分析】先根据勾股定理求出AB的长,再由图形折叠的性质可知AE=BE,故可得出结论.
4.在一块平地上,张大爷家屋前9米远处有一颗大树,在一次强风中,这课大树从离地面6米处折断倒下,量得倒下部分的长是10米,大树倒下时能砸到张大爷的房子吗?( )
A.一定不会 B.可能会
C.一定会 D.以上答案都不对
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解:如图所示,
AB=10米,AC=6米,根据勾股定理得,
BC= = =8米<9米.
故答案为:A.
【分析】在直角三角形ABC中,由勾股定理可求得BC的长,再将BC的长与9米比较大小即可求解。
5.(2016七上·新泰期末)已知蚂蚁从长、宽都是3,高是8的长方形纸箱的A点沿纸箱爬到B点,那么它所行的最短路线的长是( )
A.8 B.10 C.12 D.16
【答案】B
【知识点】平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】解:将点A和点B所在的两个面展开,
则矩形的长和宽分别为6和8,
故矩形对角线长AB==10,
即蚂蚁所行的最短路线长是10.
故选B.
【分析】根据”两点之间线段最短”,将点A和点B所在的两个面进行展开,展开为矩形,则AB为矩形的对角线,即蚂蚁所行的最短路线为AB.
二、填空题
6.如图,长方体中,AB=12m,BC=2m,BB'=3m,一只蚂蚁从点A出发,以4cm/秒的速度沿长方体表面爬行到点C′,至少需要 分钟。
【答案】3.25
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】将长方体展开,则从AC'为蚂蚁从A点到C'的最短路径。
根据勾股定理可得:AC'==13(m)=1300(cm)
则t=1300÷4=325(秒)=(分)
【分析】根据两点之间线段最短可得,点A到点C′的最短距离为长方体展开后的直角三角形ACC′的斜边AC′的长,用勾股定理可求得斜边AC′的长,再根据时间=路程速度即可求解。
7.如图是一种“羊头”形图案,其作法是:从正方形①开始,以它的一边为斜边,向外作等腰直角三角形,然后再以其直角边为边,分别向外作正方形②和②′,…,依此类推,若正方形①的边长为64cm,则正方形⑦的边长为 cm。
【答案】8
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】根据图形以及等腰直角三角形的性质可得:正方形①的边长为64cm;正方形②的边长为32 cm;正方形③的边长为32cm;正方形④的边长为16 cm;正方形⑤的边长为16cm;正方形⑥的边长为8 cm;正方形⑦的边长为8cm.
【分析】由题意知,正方形①的边长为64cm;根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可求得正方形②的边长为32 cm;同理可得正方形③的边长为32cm;正方形⑦的边长为8cm.
8.如图,一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶,某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处,过了2s后,测得小汽车与车速检测仪间的距离为50m,则这辆小汽车的速度是 m/s.
【答案】20
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】在Rt△ABC中,AC=30m,AB=50m
据勾股定理可得:BC=
故小汽车的速度为v= =20m/s
【分析】要求这辆小汽车的速度,只须求得BC的长,再根据速度=路程时间即可求解。在Rt△ABC中,由勾股定理可求得AB的长,则问题得解。
9.如图,将长AB=5cm,宽AD=3cm的矩形纸片ABCD折叠,使点A与C重合,折痕为EF,则AE长为 cm.
【答案】3.4
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】根据矩形的性质可得:BC=AD=3cm,设AE=xcm,则BE=(5-x)cm,根据折叠图形的性质可得CE=AE=xcm,根据Rt△BCE的勾股定理可得: ,解得:x=3.4
【分析】设AE=xcm,根据矩形和折叠的性质可将BE和CE用含x的代数式表示,在直角三角形BCE中,由勾股定理可列方程求解。
10.如图:知:AM⊥MN,BN⊥MN,垂足分别为M,N,点C是MN上使AC+BC的值最小的点.若AM=3,BN=5,MN=15,则AC+BC= .
【答案】17
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解:作A点关于直线MN的对称点A′,连接A′B交MN于C,
则AC+BC=A′C+BC=A′B,A′B就是AC+BC的最小值;
延长BN使ND=A′M,连接A′D,
∵AM⊥MN,BN⊥MN,
∴AA′∥BD,
∴四边形A′DNM是矩形,
∴ND=AM=3,A′D=MN=15,
∴BD=BN+ND=5+3=8,
∴A′B= =17,
∴AC+BC=17,
故答案为17.
【分析】由轴对称的性质可作辅助线,作A点关于直线MN的对称点A′,连接A′B交MN于C,延长BN使ND=A′M,连接A′D,则AC+BC=A′C+BC=A′B,根据两点之间线段最短可知A′B就是AC+BC的最小值;在直角三角形A′BD中,用勾股定理求得A′B的值即可。
三、解答题
11.如图,在一棵树的10米高B处有两只猴子,其中一只爬下树走向离树20米的池塘C,而另一只爬到树顶D后直扑池塘C,结果两只猴子经过的距离相等,问这棵树有多高?
【答案】解:设BD=x米,则AD=(10+x)米,CD=(30-x)米,
根据题意,得:
(30-x)2-(x+10)2=202,
解得x=5.
即树的高度是10+5=15米
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】在直角三角形ACD中,由勾股定理可得,列方程即可求解。
12.在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发,现有一C处需要爆破,已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米,与公路上另一停靠站B的距离为400米,且CA⊥CB,如图,为了安全起见,爆破点C周围半径250米范围内不得进入,问在进行爆破时,公路AB段是否有危险,是否而需要暂时封锁?请通过计算进行说明.
【答案】解:过C作CD⊥AB于D.根据BC=400米,AC=300米,∠ACB=90°,利用根据勾股定理有AB=500米.利用S△ABC= 得到CD=240米.再根据240米<250米可以判断有危险.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】过C作CD⊥AB于D。在直角三角形ABC中,用勾股定理可求得AB的长,再用面积法AB CD=BC AC可求得CD的长,将CD的长与半径250米比较大小即可求解。
13.在印度数学家拜·什迦罗的著作中,记载了一个有趣的“荷花问题”平平湖水清可鉴,水上一尺生红莲;出泥不染亭亭立,忽被强风吹一边;渔人观看忙向前,花离原位五尺远;能算诸君请解题,湖水深浅知几何?请你用学过的数学知识回答这个问题。
【答案】解:设湖水深x尺,则荷叶杆长为(x+1)尺,
则根据勾股定理,得.x2+52=(x+1)2,
解得:x=12,
所以湖水深12尺
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】由勾股定理列方程即可求解。
14.如图,某地方政府决定在相距50km的A、B两站之间的公路旁E点,修建一个土特产加工基地,且使C、D两村到E点的距离相等,已知DA⊥AB于A,CB⊥AB于B,DA=30km,CB=20km,那么基地E应建在离A站多少千米的地方?
【答案】解:设基地E应建在离站x千米的地方,则E=(50-x)千米在Rt△ADE中,根据勾股定理得:AD2+AE2=DE2在Rt△CEE中,根据勾股定理得:CB2+BE2=CE2∴202+(50-x)2=CE2又∵C、D两村到E点的距禽相等,∴DE=CE∴DE2=CE2解得x=20∴基地E应建在离A站多少20千米的地方。
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】在Rt△ADE和Rt△CEE中,用勾股定理分别将和表示出来,再根据CE=DE即可列方程求解。
15.(2017八下·广州期中)台风是一种自然灾害,它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候,有极强的破坏力。如图,有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B,已知点 C为一海港,且点 C与直线 AB上两点A,B的距离分别为300km和400km,又 AB=500km,以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域。
(1)海港C受台风影响吗?为什么?
(2)若台风的速度为20km/h,台风影响该海港持续的时间有多长?
【答案】(1)解:海港C受台风影响。 理由:如图,过点C作CD⊥AB于D,∵AC=300km,BC=400km,AB=500km,
∴AC2+BC2=AB2.
∴△ABC是直角三角形。
∴AC×BC=CD×AB
∴300×400=500×CD
∴CD= =240(km)
∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域,
∴海港C受到台风影响。
(2)解:当EC=250km,FC=250km时,正好影响C港口,
∵ED= =70(km),
∴EF=140km
∵台风的速度为20km/h,
∴140÷20=7(小时)
即台风影响该海港持续的时间为7小时.
【知识点】垂线段最短;勾股定理的应用
【解析】【分析】(1)根据垂线段最短解答此题。先利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形,再利用直角三角形的面积得出AC×BC=CD×AB,求出CD的长,比较CD的长与250的大小,进而得出海港C是否受台风影响。
(2)利用勾股定理求出ED以及EF的长,进而得出台风影响该海港持续的时间。
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