2018-2019学年数学北师大版八年级上册1.3《勾股定理的应用》同步训练
一、选择题
1．为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小刘搬来一架高2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角距离应为（ ）
A．0.7米 B．0.8米 C．0.9米 D．1.0米
2．如图，将一根长为22cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是（ ）．
A．9cm≤h≤10cm B．10cm≤h≤11cm
C．12cm≤h≤13cm D．8cm≤h≤9cm
3．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm、BC=8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（ ）
A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．10 cm
4．在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一颗大树，在一次强风中，这课大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米，大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？（ ）
A．一定不会 B．可能会
C．一定会 D．以上答案都不对
5．（2016七上·新泰期末）已知蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方形纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
二、填空题
6．如图，长方体中，AB=12m，BC=2m，BB'=3m，一只蚂蚁从点A出发，以4cm/秒的速度沿长方体表面爬行到点C′，至少需要 分钟。
7．如图是一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②′，…，依此类推，若正方形①的边长为64cm，则正方形⑦的边长为 cm。
8．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为50m，则这辆小汽车的速度是 m/s．
9．如图，将长AB=5cm，宽AD=3cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与C重合，折痕为EF，则AE长为 cm．
10．如图：知：AM⊥MN，BN⊥MN，垂足分别为M，N，点C是MN上使AC+BC的值最小的点．若AM=3，BN=5，MN=15，则AC+BC= ．
三、解答题
11．如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘C，而另一只爬到树顶D后直扑池塘C，结果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？
12．在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破，已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上另一停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB，如图，为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险，是否而需要暂时封锁？请通过计算进行说明．
13．在印度数学家拜·什迦罗的著作中，记载了一个有趣的“荷花问题”平平湖水清可鉴，水上一尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位五尺远；能算诸君请解题，湖水深浅知几何？请你用学过的数学知识回答这个问题。
14．如图，某地方政府决定在相距50km的A、B两站之间的公路旁E点，修建一个土特产加工基地，且使C、D两村到E点的距离相等，已知DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，DA=30km，CB=20km，那么基地E应建在离A站多少千米的地方？
15．（2017八下·广州期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力。如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点 C为一海港，且点 C与直线 AB上两点A,B的距离分别为300km和400km，又 AB=500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域。
（1）海港C受台风影响吗？为什么？
（2）若台风的速度为20km/h，台风影响该海港持续的时间有多长？
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：梯脚与墙角距离： =0.7（米）．
故答案为：A．
【分析】根据题意得到直角三角形，再由勾股定理求出梯脚与墙角的距离.
2．【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】设杯子中筷子长度为xcm，
∵将一根长为22cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，
∴筷子露在杯子外面的长度最长为：在杯子中筷子最短是等于杯子的高；
筷子露在杯子外面的长度最短为：在杯子中筷子最长是等于杯子斜边长度，
∴当杯子中筷子最短是等于杯子的高时，x=12，则h最大值为：22-12=10cm，
当杯子中筷子最长时等于杯子斜边长度是：x= ，则h最小值为22-13=9cm；
∴9cm≤h≤10cm；
故答案为：A。
【分析】由题意知，当筷子垂直立于杯子中时，在杯子中筷子最短，露在杯子外面的长度最长，且长度最长=筷子的长度-杯子的高；；当筷子斜靠在杯子底部时，在杯子中筷子最长，露在杯子外面的长度最短，且长度最短=筷子的长度-杯子斜边长度，其中杯子斜边长度的平方=杯子高度的平方+杯子底面圆直径的平方；则筷子露在杯子外面的长度的取值范围可得。
3．【答案】B
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵△ABC是直角三角形，两直角边AC=6cm、BC=8cm，
∴AB= = =10cm，
∵△ADE由△BDE折叠而成，
∴AE=BE= AB= ×10=5cm．
故选：B．
【分析】先根据勾股定理求出AB的长，再由图形折叠的性质可知AE=BE，故可得出结论．
4．【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图所示，
AB=10米，AC=6米，根据勾股定理得，
BC= = =8米＜9米．
故答案为：A．
【分析】在直角三角形ABC中，由勾股定理可求得BC的长，再将BC的长与9米比较大小即可求解。
5．【答案】B
【知识点】平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】解：将点A和点B所在的两个面展开，
则矩形的长和宽分别为6和8，
故矩形对角线长AB==10，
即蚂蚁所行的最短路线长是10．
故选B．
【分析】根据”两点之间线段最短”，将点A和点B所在的两个面进行展开，展开为矩形，则AB为矩形的对角线，即蚂蚁所行的最短路线为AB．
6．【答案】3.25
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】将长方体展开，则从AC'为蚂蚁从A点到C'的最短路径。
根据勾股定理可得：AC'==13(m)=1300(cm)
则t=1300÷4=325（秒）=（分）
【分析】根据两点之间线段最短可得，点A到点C′的最短距离为长方体展开后的直角三角形ACC′的斜边AC′的长，用勾股定理可求得斜边AC′的长，再根据时间=路程速度即可求解。
7．【答案】8
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】根据图形以及等腰直角三角形的性质可得：正方形①的边长为64cm；正方形②的边长为32 cm；正方形③的边长为32cm；正方形④的边长为16 cm；正方形⑤的边长为16cm；正方形⑥的边长为8 cm；正方形⑦的边长为8cm.
【分析】由题意知，正方形①的边长为64cm；根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可求得正方形②的边长为32 cm；同理可得正方形③的边长为32cm；正方形⑦的边长为8cm.
8．【答案】20
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】在Rt△ABC中，AC=30m，AB=50m
据勾股定理可得：BC=
故小汽车的速度为v= =20m/s
【分析】要求这辆小汽车的速度，只须求得BC的长，再根据速度=路程时间即可求解。在Rt△ABC中，由勾股定理可求得AB的长，则问题得解。
9．【答案】3.4
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】根据矩形的性质可得：BC=AD=3cm，设AE=xcm，则BE=(5－x)cm，根据折叠图形的性质可得CE=AE=xcm，根据Rt△BCE的勾股定理可得： ，解得：x=3.4
【分析】设AE=xcm，根据矩形和折叠的性质可将BE和CE用含x的代数式表示，在直角三角形BCE中，由勾股定理可列方程求解。
10．【答案】17
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：作A点关于直线MN的对称点A′，连接A′B交MN于C，
则AC+BC=A′C+BC=A′B，A′B就是AC+BC的最小值；
延长BN使ND=A′M，连接A′D，
∵AM⊥MN，BN⊥MN，
∴AA′∥BD，
∴四边形A′DNM是矩形，
∴ND=AM=3，A′D=MN=15，
∴BD=BN+ND=5+3=8，
∴A′B= =17，
∴AC+BC=17，
故答案为17．
【分析】由轴对称的性质可作辅助线，作A点关于直线MN的对称点A′，连接A′B交MN于C，延长BN使ND=A′M，连接A′D，则AC+BC=A′C+BC=A′B，根据两点之间线段最短可知A′B就是AC+BC的最小值；在直角三角形A′BD中，用勾股定理求得A′B的值即可。
11．【答案】解：设BD=x米，则AD=（10+x）米，CD=（30-x）米，
根据题意，得：
（30-x）2-（x+10）2=202，
解得x=5．
即树的高度是10+5=15米
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】在直角三角形ACD中，由勾股定理可得，列方程即可求解。
12．【答案】解：过C作CD⊥AB于D．根据BC=400米，AC=300米，∠ACB=90°，利用根据勾股定理有AB=500米．利用S△ABC= 得到CD=240米．再根据240米＜250米可以判断有危险．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】过C作CD⊥AB于D。在直角三角形ABC中，用勾股定理可求得AB的长，再用面积法AB CD=BC AC可求得CD的长，将CD的长与半径250米比较大小即可求解。
13．【答案】解：设湖水深x尺，则荷叶杆长为（x+1）尺，
则根据勾股定理，得．x2+52=（x+1）2，
解得：x=12，
所以湖水深12尺
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】由勾股定理列方程即可求解。
14．【答案】解：设基地E应建在离站x千米的地方，则E=(50-x)千米在Rt△ADE中，根据勾股定理得：AD2+AE2=DE2在Rt△CEE中，根据勾股定理得：CB2+BE2=CE2∴202+(50-x)2=CE2又∵C、D两村到E点的距禽相等，∴DE=CE∴DE2=CE2解得x=20∴基地E应建在离A站多少20千米的地方。
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】在Rt△ADE和Rt△CEE中，用勾股定理分别将和表示出来，再根据CE=DE即可列方程求解。
15．【答案】（1）解：海港C受台风影响。 理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，∵AC=300km，BC=400km，AB=500km，
∴AC2+BC2=AB2.
∴△ABC是直角三角形。
∴AC×BC=CD×AB
∴300×400=500×CD
∴CD= =240（km）
∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，
∴海港C受到台风影响。
（2）解：当EC=250km，FC=250km时，正好影响C港口，
∵ED= =70(km),
∴EF=140km
∵台风的速度为20km/h，
∴140÷20=7（小时）
即台风影响该海港持续的时间为7小时.
【知识点】垂线段最短；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）根据垂线段最短解答此题。先利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，再利用直角三角形的面积得出AC×BC=CD×AB，求出CD的长，比较CD的长与250的大小，进而得出海港C是否受台风影响。
（2）利用勾股定理求出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间。
1 / 12018-2019学年数学北师大版八年级上册1.3《勾股定理的应用》同步训练
一、选择题
1．为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小刘搬来一架高2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角距离应为（ ）
A．0.7米 B．0.8米 C．0.9米 D．1.0米
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：梯脚与墙角距离： =0.7（米）．
故答案为：A．
【分析】根据题意得到直角三角形，再由勾股定理求出梯脚与墙角的距离.
2．如图，将一根长为22cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是（ ）．
A．9cm≤h≤10cm B．10cm≤h≤11cm
C．12cm≤h≤13cm D．8cm≤h≤9cm
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】设杯子中筷子长度为xcm，
∵将一根长为22cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，
∴筷子露在杯子外面的长度最长为：在杯子中筷子最短是等于杯子的高；
筷子露在杯子外面的长度最短为：在杯子中筷子最长是等于杯子斜边长度，
∴当杯子中筷子最短是等于杯子的高时，x=12，则h最大值为：22-12=10cm，
当杯子中筷子最长时等于杯子斜边长度是：x= ，则h最小值为22-13=9cm；
∴9cm≤h≤10cm；
故答案为：A。
【分析】由题意知，当筷子垂直立于杯子中时，在杯子中筷子最短，露在杯子外面的长度最长，且长度最长=筷子的长度-杯子的高；；当筷子斜靠在杯子底部时，在杯子中筷子最长，露在杯子外面的长度最短，且长度最短=筷子的长度-杯子斜边长度，其中杯子斜边长度的平方=杯子高度的平方+杯子底面圆直径的平方；则筷子露在杯子外面的长度的取值范围可得。
3．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm、BC=8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（ ）
A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．10 cm
【答案】B
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵△ABC是直角三角形，两直角边AC=6cm、BC=8cm，
∴AB= = =10cm，
∵△ADE由△BDE折叠而成，
∴AE=BE= AB= ×10=5cm．
故选：B．
【分析】先根据勾股定理求出AB的长，再由图形折叠的性质可知AE=BE，故可得出结论．
4．在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一颗大树，在一次强风中，这课大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米，大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？（ ）
A．一定不会 B．可能会
C．一定会 D．以上答案都不对
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图所示，
AB=10米，AC=6米，根据勾股定理得，
BC= = =8米＜9米．
故答案为：A．
【分析】在直角三角形ABC中，由勾股定理可求得BC的长，再将BC的长与9米比较大小即可求解。
5．（2016七上·新泰期末）已知蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方形纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
【答案】B
【知识点】平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】解：将点A和点B所在的两个面展开，
则矩形的长和宽分别为6和8，
故矩形对角线长AB==10，
即蚂蚁所行的最短路线长是10．
故选B．
【分析】根据”两点之间线段最短”，将点A和点B所在的两个面进行展开，展开为矩形，则AB为矩形的对角线，即蚂蚁所行的最短路线为AB．
二、填空题
6．如图，长方体中，AB=12m，BC=2m，BB'=3m，一只蚂蚁从点A出发，以4cm/秒的速度沿长方体表面爬行到点C′，至少需要 分钟。
【答案】3.25
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】将长方体展开，则从AC'为蚂蚁从A点到C'的最短路径。
根据勾股定理可得：AC'==13(m)=1300(cm)
则t=1300÷4=325（秒）=（分）
【分析】根据两点之间线段最短可得，点A到点C′的最短距离为长方体展开后的直角三角形ACC′的斜边AC′的长，用勾股定理可求得斜边AC′的长，再根据时间=路程速度即可求解。
7．如图是一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②′，…，依此类推，若正方形①的边长为64cm，则正方形⑦的边长为 cm。
【答案】8
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】根据图形以及等腰直角三角形的性质可得：正方形①的边长为64cm；正方形②的边长为32 cm；正方形③的边长为32cm；正方形④的边长为16 cm；正方形⑤的边长为16cm；正方形⑥的边长为8 cm；正方形⑦的边长为8cm.
【分析】由题意知，正方形①的边长为64cm；根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可求得正方形②的边长为32 cm；同理可得正方形③的边长为32cm；正方形⑦的边长为8cm.
8．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为50m，则这辆小汽车的速度是 m/s．
【答案】20
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】在Rt△ABC中，AC=30m，AB=50m
据勾股定理可得：BC=
故小汽车的速度为v= =20m/s
【分析】要求这辆小汽车的速度，只须求得BC的长，再根据速度=路程时间即可求解。在Rt△ABC中，由勾股定理可求得AB的长，则问题得解。
9．如图，将长AB=5cm，宽AD=3cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与C重合，折痕为EF，则AE长为 cm．
【答案】3.4
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】根据矩形的性质可得：BC=AD=3cm，设AE=xcm，则BE=(5－x)cm，根据折叠图形的性质可得CE=AE=xcm，根据Rt△BCE的勾股定理可得： ，解得：x=3.4
【分析】设AE=xcm，根据矩形和折叠的性质可将BE和CE用含x的代数式表示，在直角三角形BCE中，由勾股定理可列方程求解。
10．如图：知：AM⊥MN，BN⊥MN，垂足分别为M，N，点C是MN上使AC+BC的值最小的点．若AM=3，BN=5，MN=15，则AC+BC= ．
【答案】17
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：作A点关于直线MN的对称点A′，连接A′B交MN于C，
则AC+BC=A′C+BC=A′B，A′B就是AC+BC的最小值；
延长BN使ND=A′M，连接A′D，
∵AM⊥MN，BN⊥MN，
∴AA′∥BD，
∴四边形A′DNM是矩形，
∴ND=AM=3，A′D=MN=15，
∴BD=BN+ND=5+3=8，
∴A′B= =17，
∴AC+BC=17，
故答案为17．
【分析】由轴对称的性质可作辅助线，作A点关于直线MN的对称点A′，连接A′B交MN于C，延长BN使ND=A′M，连接A′D，则AC+BC=A′C+BC=A′B，根据两点之间线段最短可知A′B就是AC+BC的最小值；在直角三角形A′BD中，用勾股定理求得A′B的值即可。
三、解答题
11．如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘C，而另一只爬到树顶D后直扑池塘C，结果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？
【答案】解：设BD=x米，则AD=（10+x）米，CD=（30-x）米，
根据题意，得：
（30-x）2-（x+10）2=202，
解得x=5．
即树的高度是10+5=15米
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】在直角三角形ACD中，由勾股定理可得，列方程即可求解。
12．在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破，已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上另一停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB，如图，为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险，是否而需要暂时封锁？请通过计算进行说明．
【答案】解：过C作CD⊥AB于D．根据BC=400米，AC=300米，∠ACB=90°，利用根据勾股定理有AB=500米．利用S△ABC= 得到CD=240米．再根据240米＜250米可以判断有危险．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】过C作CD⊥AB于D。在直角三角形ABC中，用勾股定理可求得AB的长，再用面积法AB CD=BC AC可求得CD的长，将CD的长与半径250米比较大小即可求解。
13．在印度数学家拜·什迦罗的著作中，记载了一个有趣的“荷花问题”平平湖水清可鉴，水上一尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位五尺远；能算诸君请解题，湖水深浅知几何？请你用学过的数学知识回答这个问题。
【答案】解：设湖水深x尺，则荷叶杆长为（x+1）尺，
则根据勾股定理，得．x2+52=（x+1）2，
解得：x=12，
所以湖水深12尺
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】由勾股定理列方程即可求解。
14．如图，某地方政府决定在相距50km的A、B两站之间的公路旁E点，修建一个土特产加工基地，且使C、D两村到E点的距离相等，已知DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，DA=30km，CB=20km，那么基地E应建在离A站多少千米的地方？
【答案】解：设基地E应建在离站x千米的地方，则E=(50-x)千米在Rt△ADE中，根据勾股定理得：AD2+AE2=DE2在Rt△CEE中，根据勾股定理得：CB2+BE2=CE2∴202+(50-x)2=CE2又∵C、D两村到E点的距禽相等，∴DE=CE∴DE2=CE2解得x=20∴基地E应建在离A站多少20千米的地方。
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】在Rt△ADE和Rt△CEE中，用勾股定理分别将和表示出来，再根据CE=DE即可列方程求解。
15．（2017八下·广州期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力。如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点 C为一海港，且点 C与直线 AB上两点A,B的距离分别为300km和400km，又 AB=500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域。
（1）海港C受台风影响吗？为什么？
（2）若台风的速度为20km/h，台风影响该海港持续的时间有多长？
【答案】（1）解：海港C受台风影响。 理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，∵AC=300km，BC=400km，AB=500km，
∴AC2+BC2=AB2.
∴△ABC是直角三角形。
∴AC×BC=CD×AB
∴300×400=500×CD
∴CD= =240（km）
∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，
∴海港C受到台风影响。
（2）解：当EC=250km，FC=250km时，正好影响C港口，
∵ED= =70(km),
∴EF=140km
∵台风的速度为20km/h，
∴140÷20=7（小时）
即台风影响该海港持续的时间为7小时.
【知识点】垂线段最短；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）根据垂线段最短解答此题。先利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，再利用直角三角形的面积得出AC×BC=CD×AB，求出CD的长，比较CD的长与250的大小，进而得出海港C是否受台风影响。
（2）利用勾股定理求出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间。
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