高中数学人教版 选修2-1（理科） 第一章 常用逻辑用语1.3 简单的逻辑联结词
一、选择题
1．若 是真命题， 是假命题，则（ ）
A． 是真命题 B． 是假命题
C． 是真命题 D． 是真命题
【答案】D
【知识点】复合命题；命题的真假判断与应用
【解析】【解答】由复合命题的真值表，可得 是真命题.
故答案为：D
【分析】根据题目中所给的条件的特点，结合复合命题的真假判断规则即可找出正确选项.判断复合命题的真假要根据真值表来判定．
2．若命题“ ”为假，且“ ”为假，则（ ）
A． 或 为假 B． 假
C． 真 D．不能判断 的真假
【答案】B
【知识点】复合命题；命题的真假判断与应用
【解析】【解答】命题“ ”为假，则 、 至少有一假．又由“ ”为假知， 为真，所以 为假．故答案为：B．
【分析】利用复合命题与简单命题真假之间的关系判断即可．
3．若命题 ，则 是（ ）
A． B． 或
C． D． 且
【答案】D
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】 是对结论的否定，显然选D.
故答案为：D
【分析】根据题目中所给的条件的特点，利用命题的否定形式即可得到答案，特别注意：或的否定是且；且的否定是或．
4．在一次跳高比赛前，甲、乙两名运动员各试跳了一次．设命题 表示“甲的试跳成绩超过2米”， 命题 表示“乙的试跳成绩超过2米”，则命题 表示（ ）
A．甲、乙恰有一人的试跳成绩没有超过2米
B．甲、乙至少有一人的试跳成绩没有超过2米
C．甲、乙两人的试跳成绩都没有超过2米
D．甲、乙至少有一人的试跳成绩超过2米
【答案】D
【知识点】复合命题
【解析】【解答】命题 为 “甲的试跳成绩超过2米或乙的试跳成绩超过2米”，所以 表示甲、乙至少有一人的试跳成绩超过2米.
故答案为：D.
【分析】根据命题p∨q的意义，即可得到结论．一般地，用连接词“或”把命题 和命题 连接起来，就得到一个新命题，记作pⅤq，读作“p或q”．
5．已知命题 ：若 ，则 ； ：“ ”是“ ”的必要不充分条件，则下列命题是真命题的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】充分条件；必要条件；充要条件
【解析】【解答】命题 ：若 ，则 ，是假命题，举反例：取 ； ：由 ，解得 ，因此“ ”是“ ”的必要不充分条件，是真命题．∴ 是假命题， 是真命题．
故答案为：B．
【分析】根据题目中所给的条件的特点，先判断命题p，q的真假，再利用复合真假的判定方法即可判断出正误．判断复合命题的真假要根据真值表来判定．
6．已知命题 ：函数 的图象恒过定点 ；命题 ：若函数 为偶函数，则 的图象关于直线 对称．下列命题为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】复合命题；命题的真假判断与应用
【解析】【解答】令 ，解得 ，所以函数 的图象恒过定点 ，所以 为真命题；函数 为偶函数，即 的图象关于 轴对称， 的图象可由 的图象整体向左平移一个单位得到，所以 的图象关于直线 对称，所以 为假命题，则 为真命题，故答案为：D．
【分析】复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再进一步进行判断，则答案可求．判断复合命题的真假要根据真值表来判定．
7．已知命题 ：在△ 中，“ ”是“ ”的充分不必要条件；命题 ：“ ”是“ ”的充分不必要条件，则下列选项中正确的是 （ ）
A． 真 假 B． 假 真
C．“ ”为假 D．“ ”为真
【答案】C
【知识点】充分条件；必要条件；充要条件
【解析】【解答】在△ 中， 等价于 ，根据正弦定理 可得， ，所以“ ”是“ ”的充分条件；反过来，在△ 中，若“ ”，则由正弦定理 可得， ，于是 ，则“ ”是“ ”的必要条件，故在△ABC中，“ ”是“ ”的充要条件，即命题 是假命题；若 ，则当满足 时， 不成立，故“ ”是“ ”的充分不必要条件是不正确的，故命题 是假命题．综上所述，可知“ ”为假命题，
故答案为：C.
【分析】根据充分条件和必要条件的定义集合复合命题之间的关系即可得到结论．充分条件：对于命题“若p则q”为真时，即如果p成立，那么q一定成立，记作“p q”，称p为q的充分条件．意义是说条件p充分保证了结论q的成立，换句话说要使结论q成立，具备条件p就够了当然q成立还有其他充分条件．
8．已知命题 ：函数 在 上单调递增；命题 ：关于 的不等式 对任意的 恒成立．若 为真命题， 为假命题，则实数 的取值范围为（ ）
A．( 1 ， 4 )
B．[ 2 ， 4 ]
C．( ∞ ， 1 ] ∪ ( 2 ， 4 )
D．( ∞ ， 1 ) ∪ ( 2 ， 4 )
【答案】C
【知识点】复合命题；命题的真假判断与应用
【解析】【解答】当命题 为真时，∵函数 图象的对称轴为直线 ，∴ ；
当命题 为真时，当 时，原不等式为 ，该不等式的解集不为 ，则这种情况不存在；
当 时，则有 解得 .
又∵ 为真， 为假，∴ 与 一真一假，若 真 假，则
解得 ；若 假 真，则 解得 .
综上所述， 的取值范围是 或 .
故答案为：C
【分析】根据二次函数的性质求出p为真时m的范围，根据恒成立时判别式△的关系求出q为真时m的范围．再根据复合命题的性质得到p，q一假一真，求出这两种情况下m的范围，最后求它们的并集．判断复合命题的真假要根据真值表来判定.
二、填空题
9．命题“ 的值不超过 ”看作“非 ”形式时， 为 ．
【答案】
【知识点】四种命题
【解析】【解答】不超过的否定为超过，所以原命题的否定为“ 的值超过 ”，即 ．故答案为 ．
【分析】根据题目中所给的条件的特点，原命题为“非p”形式，则原命题的否定即为p．
10．已知命题 ，命题 ，若 是 的充分不必要条件，则 的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】充分条件；必要条件；充要条件
【解析】【解答】解不等式可得命题 ， ，∵ 是 的充分不必要条件， ，∴ ，∴∴ ，所以 的取值范围为 .
【分析】分别求出p，q为真时的x的范围，根据q是p的充分不必要条件，得到关于a的不等式组，解之即可．
11．设命题 ：“已知函数 对一切 ， 恒成立”，命题 ：“不等式 有实数解”，若 且 为真命题，则实数 的取值范围为 .
【答案】( 3, 2]∪[2,3)
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】命题 为真命题时， 在 上恒成立，∴ ，即 ，命题 为真命题时， ，因为 且 为真命题，所以 假 真，即 或 ， ，故实数 的取值范围是 ．
【分析】由 p且q为真命题知，P假且q真．分别求出当p真,q真时，实数m的范围，进而确定m的取值范围．
三、解答题
12．已知命题 和命题 ．若“ 且 ”与“非 ”同时为假命题，求实数 的值．
【答案】解：非 为假命题，则 为真命题，又 且 为假命题，所以 为假命题，
即 且 ，得 ， ，
解得 ， 或
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【分析】由题意得 q 为真, p 为假，由此建立不等关系,能得到满足条件的x的值．判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判断复合命题的真假．
13．已知命题 方程 有两个不等的负根，命题 方程 无实根，若 为真， 为假，求 的取值范围.
【答案】解：方程 有两个不等的负根，则 解得 ，即
；方程 无实根，则 ，解得 ，即 .因为 为真，所以 、 至少有一个为真，又 为假，所以 、 至少有一个为假，因此， 、 两命题一真一假，即 为真， 为假或 为假， 为真．∴ 或 解得 或
【知识点】复合命题；命题的真假判断与应用
【解析】【分析】根据韦达定理（一元二次方程根与系数的关系）我们可以求出命题p和命题q为真时m的范围，根据p∨q为真，p∧q为假，则p，q一真一假，构造不等式组，即可求出满足条件的m的取值范围．其中根据韦达定理（一元二次方程根与系数的关系），是解答本题的关键．
14．设命题 ：函数 的值域为 ；命题 ：不等式 对一切 均成立．
（1）如果 是真命题，求实数 的取值范围；
（2）如果命题“ ”为真命题，“ ”为假命题，求实数 的取值范围．
【答案】（1）解：命题 是真命题，则有①当 时，符合题意；②当 时，有 ，因此所求实数 的取值范围
（2）解：命题 是真命题时，不等式 对一切 均成立，设 ，
令 ，则 ， ，当 时， ， .
命题“ ”为真命题，“ ”为假命题，则 一真一假，
①若 真 假，则 得 . ②若 假 真，则 得 .
综上，实数 的取值范围 或
【知识点】复合命题；命题的真假判断与应用
【解析】【分析】（1）对字母a进行分类讨论，结合二次函数的性质，列出不等式组求解a的范围即可．
（2）利用复合命题的真假判断 p , q 一真一假，建立不等式求解a的范围即可．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由真值表得出复合命题的真假．
1 / 1高中数学人教版 选修2-1（理科） 第一章 常用逻辑用语1.3 简单的逻辑联结词
一、选择题
1．若 是真命题， 是假命题，则（ ）
A． 是真命题 B． 是假命题
C． 是真命题 D． 是真命题
2．若命题“ ”为假，且“ ”为假，则（ ）
A． 或 为假 B． 假
C． 真 D．不能判断 的真假
3．若命题 ，则 是（ ）
A． B． 或
C． D． 且
4．在一次跳高比赛前，甲、乙两名运动员各试跳了一次．设命题 表示“甲的试跳成绩超过2米”， 命题 表示“乙的试跳成绩超过2米”，则命题 表示（ ）
A．甲、乙恰有一人的试跳成绩没有超过2米
B．甲、乙至少有一人的试跳成绩没有超过2米
C．甲、乙两人的试跳成绩都没有超过2米
D．甲、乙至少有一人的试跳成绩超过2米
5．已知命题 ：若 ，则 ； ：“ ”是“ ”的必要不充分条件，则下列命题是真命题的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知命题 ：函数 的图象恒过定点 ；命题 ：若函数 为偶函数，则 的图象关于直线 对称．下列命题为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
7．已知命题 ：在△ 中，“ ”是“ ”的充分不必要条件；命题 ：“ ”是“ ”的充分不必要条件，则下列选项中正确的是 （ ）
A． 真 假 B． 假 真
C．“ ”为假 D．“ ”为真
8．已知命题 ：函数 在 上单调递增；命题 ：关于 的不等式 对任意的 恒成立．若 为真命题， 为假命题，则实数 的取值范围为（ ）
A．( 1 ， 4 )
B．[ 2 ， 4 ]
C．( ∞ ， 1 ] ∪ ( 2 ， 4 )
D．( ∞ ， 1 ) ∪ ( 2 ， 4 )
二、填空题
9．命题“ 的值不超过 ”看作“非 ”形式时， 为 ．
10．已知命题 ，命题 ，若 是 的充分不必要条件，则 的取值范围为 ．
11．设命题 ：“已知函数 对一切 ， 恒成立”，命题 ：“不等式 有实数解”，若 且 为真命题，则实数 的取值范围为 .
三、解答题
12．已知命题 和命题 ．若“ 且 ”与“非 ”同时为假命题，求实数 的值．
13．已知命题 方程 有两个不等的负根，命题 方程 无实根，若 为真， 为假，求 的取值范围.
14．设命题 ：函数 的值域为 ；命题 ：不等式 对一切 均成立．
（1）如果 是真命题，求实数 的取值范围；
（2）如果命题“ ”为真命题，“ ”为假命题，求实数 的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】复合命题；命题的真假判断与应用
【解析】【解答】由复合命题的真值表，可得 是真命题.
故答案为：D
【分析】根据题目中所给的条件的特点，结合复合命题的真假判断规则即可找出正确选项.判断复合命题的真假要根据真值表来判定．
2．【答案】B
【知识点】复合命题；命题的真假判断与应用
【解析】【解答】命题“ ”为假，则 、 至少有一假．又由“ ”为假知， 为真，所以 为假．故答案为：B．
【分析】利用复合命题与简单命题真假之间的关系判断即可．
3．【答案】D
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】 是对结论的否定，显然选D.
故答案为：D
【分析】根据题目中所给的条件的特点，利用命题的否定形式即可得到答案，特别注意：或的否定是且；且的否定是或．
4．【答案】D
【知识点】复合命题
【解析】【解答】命题 为 “甲的试跳成绩超过2米或乙的试跳成绩超过2米”，所以 表示甲、乙至少有一人的试跳成绩超过2米.
故答案为：D.
【分析】根据命题p∨q的意义，即可得到结论．一般地，用连接词“或”把命题 和命题 连接起来，就得到一个新命题，记作pⅤq，读作“p或q”．
5．【答案】B
【知识点】充分条件；必要条件；充要条件
【解析】【解答】命题 ：若 ，则 ，是假命题，举反例：取 ； ：由 ，解得 ，因此“ ”是“ ”的必要不充分条件，是真命题．∴ 是假命题， 是真命题．
故答案为：B．
【分析】根据题目中所给的条件的特点，先判断命题p，q的真假，再利用复合真假的判定方法即可判断出正误．判断复合命题的真假要根据真值表来判定．
6．【答案】D
【知识点】复合命题；命题的真假判断与应用
【解析】【解答】令 ，解得 ，所以函数 的图象恒过定点 ，所以 为真命题；函数 为偶函数，即 的图象关于 轴对称， 的图象可由 的图象整体向左平移一个单位得到，所以 的图象关于直线 对称，所以 为假命题，则 为真命题，故答案为：D．
【分析】复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再进一步进行判断，则答案可求．判断复合命题的真假要根据真值表来判定．
7．【答案】C
【知识点】充分条件；必要条件；充要条件
【解析】【解答】在△ 中， 等价于 ，根据正弦定理 可得， ，所以“ ”是“ ”的充分条件；反过来，在△ 中，若“ ”，则由正弦定理 可得， ，于是 ，则“ ”是“ ”的必要条件，故在△ABC中，“ ”是“ ”的充要条件，即命题 是假命题；若 ，则当满足 时， 不成立，故“ ”是“ ”的充分不必要条件是不正确的，故命题 是假命题．综上所述，可知“ ”为假命题，
故答案为：C.
【分析】根据充分条件和必要条件的定义集合复合命题之间的关系即可得到结论．充分条件：对于命题“若p则q”为真时，即如果p成立，那么q一定成立，记作“p q”，称p为q的充分条件．意义是说条件p充分保证了结论q的成立，换句话说要使结论q成立，具备条件p就够了当然q成立还有其他充分条件．
8．【答案】C
【知识点】复合命题；命题的真假判断与应用
【解析】【解答】当命题 为真时，∵函数 图象的对称轴为直线 ，∴ ；
当命题 为真时，当 时，原不等式为 ，该不等式的解集不为 ，则这种情况不存在；
当 时，则有 解得 .
又∵ 为真， 为假，∴ 与 一真一假，若 真 假，则
解得 ；若 假 真，则 解得 .
综上所述， 的取值范围是 或 .
故答案为：C
【分析】根据二次函数的性质求出p为真时m的范围，根据恒成立时判别式△的关系求出q为真时m的范围．再根据复合命题的性质得到p，q一假一真，求出这两种情况下m的范围，最后求它们的并集．判断复合命题的真假要根据真值表来判定.
9．【答案】
【知识点】四种命题
【解析】【解答】不超过的否定为超过，所以原命题的否定为“ 的值超过 ”，即 ．故答案为 ．
【分析】根据题目中所给的条件的特点，原命题为“非p”形式，则原命题的否定即为p．
10．【答案】
【知识点】充分条件；必要条件；充要条件
【解析】【解答】解不等式可得命题 ， ，∵ 是 的充分不必要条件， ，∴ ，∴∴ ，所以 的取值范围为 .
【分析】分别求出p，q为真时的x的范围，根据q是p的充分不必要条件，得到关于a的不等式组，解之即可．
11．【答案】( 3, 2]∪[2,3)
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】命题 为真命题时， 在 上恒成立，∴ ，即 ，命题 为真命题时， ，因为 且 为真命题，所以 假 真，即 或 ， ，故实数 的取值范围是 ．
【分析】由 p且q为真命题知，P假且q真．分别求出当p真,q真时，实数m的范围，进而确定m的取值范围．
12．【答案】解：非 为假命题，则 为真命题，又 且 为假命题，所以 为假命题，
即 且 ，得 ， ，
解得 ， 或
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【分析】由题意得 q 为真, p 为假，由此建立不等关系,能得到满足条件的x的值．判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判断复合命题的真假．
13．【答案】解：方程 有两个不等的负根，则 解得 ，即
；方程 无实根，则 ，解得 ，即 .因为 为真，所以 、 至少有一个为真，又 为假，所以 、 至少有一个为假，因此， 、 两命题一真一假，即 为真， 为假或 为假， 为真．∴ 或 解得 或
【知识点】复合命题；命题的真假判断与应用
【解析】【分析】根据韦达定理（一元二次方程根与系数的关系）我们可以求出命题p和命题q为真时m的范围，根据p∨q为真，p∧q为假，则p，q一真一假，构造不等式组，即可求出满足条件的m的取值范围．其中根据韦达定理（一元二次方程根与系数的关系），是解答本题的关键．
14．【答案】（1）解：命题 是真命题，则有①当 时，符合题意；②当 时，有 ，因此所求实数 的取值范围
（2）解：命题 是真命题时，不等式 对一切 均成立，设 ，
令 ，则 ， ，当 时， ， .
命题“ ”为真命题，“ ”为假命题，则 一真一假，
①若 真 假，则 得 . ②若 假 真，则 得 .
综上，实数 的取值范围 或
【知识点】复合命题；命题的真假判断与应用
【解析】【分析】（1）对字母a进行分类讨论，结合二次函数的性质，列出不等式组求解a的范围即可．
（2）利用复合命题的真假判断 p , q 一真一假，建立不等式求解a的范围即可．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由真值表得出复合命题的真假．
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