高中数学人教版 选修2-1（理科） 第一章 常用逻辑用语1.1.1 命题
一、选择题
1．下列语句中是命题的是（ ）
A．周期函数的和是周期函数吗 B．
C．梯形是不是平面图形呢 D．
2．“若 ，则 ”为真命题，那么 不能是（ ）
A． B． C． D．
3．下列命题是真命题的为（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
4．下列命题：① ；② ；
③ ，其中真命题有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．已知命题“非空集合 中的元素都是集合 中的元素”是假命题，
那么下列命题中真命题的个数为（ ）
① 中的元素都不是 中的元素 ② 中有不属于 的元素
③ 中有属于 的元素 ④ 中的元素不都是 中的元素
A． B． C． D．
6．命题“ 恒成立”是假命题，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． 或
C． 或 D． 或
7．下列命题为真命题的是（ ）
A．若 ，则 或
B．若 ，则 ∥
C． 在 方向上的投影为
D．若向量 与 同向，且 ，则
8．设 为两条不同的直线， 为两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（ ）
A．若 ， ，则
B．若 ， ，则
C．若 ， ，则
D．若 ， ，则
二、填空题
9．下列命题：①设 是非零实数，若 ，则 ；②若 则 ；③函数 的最小值是2.其中真命题的序号是 ．
10．下列命题中，所有真命题的序号是 ．
⑴函数 的图象一定过定点 ；
⑵函数 的定义域是 ，则函数 的定义域为 ；
⑶已知函数 在 上有零点，则实数 的取值范围是 ．
11．给出下列命题：
①半径为 ，圆心角的弧度数为 的扇形面积为 ；
②若 为锐角， ， ，则 或 ；
③函数 图象的一条对称轴是 .
其中真命题是 ．
三、解答题
12．把下列命题改写成“若 ，则 ”的形式，并判断命题的真假．
（1）周长相等的三角形面积相等；
（2）已知 为正整数，当 时， ， ；
（3）当 时， 且 且 ．
13．判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由．
（1）垂直于同一个平面的两个平面必平行吗？
（2）大角所对的边大于小角所对的边；
（3）若 是有理数，则 都是有理数.
14．判断“函数 有三个零点”是否为命题.若是命题，是真命题还是假命题 说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】A，C是疑问句，不是命题；D不能判断真假，不是命题.
故答案为：B.
【分析】利用命题的定义即可判断出．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由真值表得出复合命题的真假．
2．【答案】A
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】大于 的实数不一定大于 ，故答案为：A.
【分析】对于命题p，若其为真，则在x>a中，a应该大于2，据此即可判断．理解四种命题的概念，能根据定义准确、正确的写出四种命题，判断命题的真假要注意与其它考点的知识、方法相结合．
3．【答案】A
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】对于B，若 ，则 ，所以为假命题；对于C，若 ，则式子 不成立，所以为假命题；对于D，当 时，式子 不成立，所以为假命题，故答案为：A.【分析】逐一判断即可．命题的真假判断是本考点中试题的考查重点，对于原命题情况较复杂，真假不易判断的命题，常常转化为判断它的逆否命题的真假，这是对四种命题真假关系考查的主要方式．
4．【答案】A
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】①当 为偶数， 为负数时， ，所以①为假命题；②显然不正确；③左边为负，右边为正，是假命题,
故答案为：A
【分析】直接由基本不等式的性质逐一核对四个选项得答案．
5．【答案】B
【知识点】四种命题的真假关系；命题的真假判断与应用
【解析】【解答】因为命题“非空集合 中的元素都是集合 中的元素”是假命题，所以
中有不属于 的元素，也可能有属于 的元素，故②④为真命题.
故答案为：B.
【分析】先根据所给命题为假命题，判断出非空集合M中元素与集合P中元素的关系，进而判断所给命题的真假.
6．【答案】D
【知识点】四种命题的真假关系；命题的真假判断与应用；一元二次不等式
【解析】【解答】由题意可知存在 满足 成立，需满足 或 或 .
故答案为：D.
【分析】根据题目中所给的条件的特点，命题“ax2-2ax+3＞0恒成立”是假命题，利用其否定为真命题，即存在x∈R，使“ax2-2ax+3≤0，分类讨论即可．
7．【答案】B
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】易知A为假命题；∵ ，∴ ，∴ ，∴ ∥ ，故B为真命题； 在 方向上的投影为 ，故C为假命题；向量不能比较大小，D为假命题.故答案为：B.
【分析】利用有关结论一一判断即可.本题主要考查向量的夹角、模以及向量投影的定义及求解的方法等有关知识，解答关键在于要求熟练应用公式，属于中档题．
8．【答案】C
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】对于A，若 ， ，则 与 平行、相交或者异面，故A为假命题；
对于B，若 ， ，则 或者 ，故B为假命题；
对于C，若 ， ，则利用线面垂直的性质和线面平行的性质可
以判断 ，故C为真命题；对于D，若 ， ，则 与 平行或 与 相交或 ，故D为假命题.故答案为：C．
【分析】根据题目中所给的条件的特点，利用线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理对选项分别分析选择．
9．【答案】②
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】①若 ， ，则 ，故为假命题；
② ，由同号不等式取倒数法则，知 ，故为真命题；
③ ，等号成立的条件是 ，即 ， ，不成立，所以函数 的最小值不是2，故为假命题.
【分析】①欲判断的结论不成立，举出反例即可；
②由同号不等式取倒数法则，知②成立；
③利用基本不等式中等号成立的条件知函数的最小值不是2；
10．【答案】（3）
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】（1）中函数的图象过定点 ；（2）中 ， ， 的定义域为 ；（3）中函数 图象的对称轴为直线 ，所以函数 在 上递增，所以 ，可得实数 的取值范围是 .
【分析】求出函数图象经过的定点，判断（1）的正误；求出函数的定义域判断（2）的正误；利用零点判定定理判断（3）的正误．
11．【答案】③
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】对于命题①，扇形的面积 ，①为假命题；
对于命题②， ，
∴ ，因为 为锐角， ， ，
所以 ，②为假命题；对于命题③，令 ，则 ，当 时， ，③为真命题．
【分析】①利用扇形面积的计算公式计算后即可判断．
②利用和差公式．计算出tan（α+2β），进而判断出正误．
③把x＝代入函数表达式，看其函数值是否是最值，即可判断出正误.
12．【答案】（1）解：若两个三角形的周长相等，则这两个三角形的面积相等，假命题
（2）解：已知 为正整数，若 ，则 ， ，假命题
（3）解：若 ，则 且 且 ，假命题
【知识点】四种命题
【解析】【分析】分别确定每个命题的条件和结论然后改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．考查命题形式的改写以及命题真假的判断，比较基础．
13．【答案】（1）解：疑问句，没有对垂直于同一个平面的两个平面平行作出判断，不是命题
（2）解：是假命题，必须在同一个三角形或全等三角形中
（3）解：是假命题，如 ，
【知识点】四种命题
【解析】【分析】根据命题的定义分别判断．判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判断复合命题的真假．
14．【答案】解：函数 有三个零点是可以判断真假的陈述句，所以是命题，且是真命题.理由如下：函数 的零点即为方程 的实数根，也就是方程 的实数根，即函数 ， 图象的交点的横坐标,易知指数函数 的图象与抛物线 有三个交点，所以函数 有三个零点
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【分析】由命题的定义：判断真假的语句，判断它是不是是命题．然后把函数的零点问题转化为求两个函数y=2x，y=x2的图象的交点的问题，数形结合得答案．
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一、选择题
1．下列语句中是命题的是（ ）
A．周期函数的和是周期函数吗 B．
C．梯形是不是平面图形呢 D．
【答案】B
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】A，C是疑问句，不是命题；D不能判断真假，不是命题.
故答案为：B.
【分析】利用命题的定义即可判断出．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由真值表得出复合命题的真假．
2．“若 ，则 ”为真命题，那么 不能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】大于 的实数不一定大于 ，故答案为：A.
【分析】对于命题p，若其为真，则在x>a中，a应该大于2，据此即可判断．理解四种命题的概念，能根据定义准确、正确的写出四种命题，判断命题的真假要注意与其它考点的知识、方法相结合．
3．下列命题是真命题的为（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】A
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】对于B，若 ，则 ，所以为假命题；对于C，若 ，则式子 不成立，所以为假命题；对于D，当 时，式子 不成立，所以为假命题，故答案为：A.【分析】逐一判断即可．命题的真假判断是本考点中试题的考查重点，对于原命题情况较复杂，真假不易判断的命题，常常转化为判断它的逆否命题的真假，这是对四种命题真假关系考查的主要方式．
4．下列命题：① ；② ；
③ ，其中真命题有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】A
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】①当 为偶数， 为负数时， ，所以①为假命题；②显然不正确；③左边为负，右边为正，是假命题,
故答案为：A
【分析】直接由基本不等式的性质逐一核对四个选项得答案．
5．已知命题“非空集合 中的元素都是集合 中的元素”是假命题，
那么下列命题中真命题的个数为（ ）
① 中的元素都不是 中的元素 ② 中有不属于 的元素
③ 中有属于 的元素 ④ 中的元素不都是 中的元素
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】四种命题的真假关系；命题的真假判断与应用
【解析】【解答】因为命题“非空集合 中的元素都是集合 中的元素”是假命题，所以
中有不属于 的元素，也可能有属于 的元素，故②④为真命题.
故答案为：B.
【分析】先根据所给命题为假命题，判断出非空集合M中元素与集合P中元素的关系，进而判断所给命题的真假.
6．命题“ 恒成立”是假命题，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． 或
C． 或 D． 或
【答案】D
【知识点】四种命题的真假关系；命题的真假判断与应用；一元二次不等式
【解析】【解答】由题意可知存在 满足 成立，需满足 或 或 .
故答案为：D.
【分析】根据题目中所给的条件的特点，命题“ax2-2ax+3＞0恒成立”是假命题，利用其否定为真命题，即存在x∈R，使“ax2-2ax+3≤0，分类讨论即可．
7．下列命题为真命题的是（ ）
A．若 ，则 或
B．若 ，则 ∥
C． 在 方向上的投影为
D．若向量 与 同向，且 ，则
【答案】B
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】易知A为假命题；∵ ，∴ ，∴ ，∴ ∥ ，故B为真命题； 在 方向上的投影为 ，故C为假命题；向量不能比较大小，D为假命题.故答案为：B.
【分析】利用有关结论一一判断即可.本题主要考查向量的夹角、模以及向量投影的定义及求解的方法等有关知识，解答关键在于要求熟练应用公式，属于中档题．
8．设 为两条不同的直线， 为两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（ ）
A．若 ， ，则
B．若 ， ，则
C．若 ， ，则
D．若 ， ，则
【答案】C
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】对于A，若 ， ，则 与 平行、相交或者异面，故A为假命题；
对于B，若 ， ，则 或者 ，故B为假命题；
对于C，若 ， ，则利用线面垂直的性质和线面平行的性质可
以判断 ，故C为真命题；对于D，若 ， ，则 与 平行或 与 相交或 ，故D为假命题.故答案为：C．
【分析】根据题目中所给的条件的特点，利用线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理对选项分别分析选择．
二、填空题
9．下列命题：①设 是非零实数，若 ，则 ；②若 则 ；③函数 的最小值是2.其中真命题的序号是 ．
【答案】②
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】①若 ， ，则 ，故为假命题；
② ，由同号不等式取倒数法则，知 ，故为真命题；
③ ，等号成立的条件是 ，即 ， ，不成立，所以函数 的最小值不是2，故为假命题.
【分析】①欲判断的结论不成立，举出反例即可；
②由同号不等式取倒数法则，知②成立；
③利用基本不等式中等号成立的条件知函数的最小值不是2；
10．下列命题中，所有真命题的序号是 ．
⑴函数 的图象一定过定点 ；
⑵函数 的定义域是 ，则函数 的定义域为 ；
⑶已知函数 在 上有零点，则实数 的取值范围是 ．
【答案】（3）
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】（1）中函数的图象过定点 ；（2）中 ， ， 的定义域为 ；（3）中函数 图象的对称轴为直线 ，所以函数 在 上递增，所以 ，可得实数 的取值范围是 .
【分析】求出函数图象经过的定点，判断（1）的正误；求出函数的定义域判断（2）的正误；利用零点判定定理判断（3）的正误．
11．给出下列命题：
①半径为 ，圆心角的弧度数为 的扇形面积为 ；
②若 为锐角， ， ，则 或 ；
③函数 图象的一条对称轴是 .
其中真命题是 ．
【答案】③
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】对于命题①，扇形的面积 ，①为假命题；
对于命题②， ，
∴ ，因为 为锐角， ， ，
所以 ，②为假命题；对于命题③，令 ，则 ，当 时， ，③为真命题．
【分析】①利用扇形面积的计算公式计算后即可判断．
②利用和差公式．计算出tan（α+2β），进而判断出正误．
③把x＝代入函数表达式，看其函数值是否是最值，即可判断出正误.
三、解答题
12．把下列命题改写成“若 ，则 ”的形式，并判断命题的真假．
（1）周长相等的三角形面积相等；
（2）已知 为正整数，当 时， ， ；
（3）当 时， 且 且 ．
【答案】（1）解：若两个三角形的周长相等，则这两个三角形的面积相等，假命题
（2）解：已知 为正整数，若 ，则 ， ，假命题
（3）解：若 ，则 且 且 ，假命题
【知识点】四种命题
【解析】【分析】分别确定每个命题的条件和结论然后改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．考查命题形式的改写以及命题真假的判断，比较基础．
13．判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由．
（1）垂直于同一个平面的两个平面必平行吗？
（2）大角所对的边大于小角所对的边；
（3）若 是有理数，则 都是有理数.
【答案】（1）解：疑问句，没有对垂直于同一个平面的两个平面平行作出判断，不是命题
（2）解：是假命题，必须在同一个三角形或全等三角形中
（3）解：是假命题，如 ，
【知识点】四种命题
【解析】【分析】根据命题的定义分别判断．判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判断复合命题的真假．
14．判断“函数 有三个零点”是否为命题.若是命题，是真命题还是假命题 说明理由.
【答案】解：函数 有三个零点是可以判断真假的陈述句，所以是命题，且是真命题.理由如下：函数 的零点即为方程 的实数根，也就是方程 的实数根，即函数 ， 图象的交点的横坐标,易知指数函数 的图象与抛物线 有三个交点，所以函数 有三个零点
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【分析】由命题的定义：判断真假的语句，判断它是不是是命题．然后把函数的零点问题转化为求两个函数y=2x，y=x2的图象的交点的问题，数形结合得答案．
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