专题4.9 函数的应用（二）-重难点题型精讲
1．函数的零点
(1)函数零点的概念：对于一般函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.即函数的零
点就是使函数值为零的自变量的值.
(2)函数的零点与方程的解的关系
函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解，也就是函数y=f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标.所以方程f(x)=0有实数解函数y=f(x)有零点函数y=f(x)的图象与x轴有公共点.
(3)几种常见函数的零点
①二次函数的零点
一元二次方程+bx+c=0(a≠0)的实数根也称为函数y=+bx+c(a≠0)的零点.
②正比例函数y=kx(k≠0)仅有一个零点0.
③一次函数y=kx+b(k≠0)仅有一个零点.
④反比例函数y=(k≠0)没有零点.
⑤指数函数y=(a>0,且a≠1)没有零点.
⑥对数函数y=(a>0,且a≠1)仅有一个零点1.
⑦幂函数y=,当a>0时,仅有一个零点0;当a≤0时,没有零点.
2．函数零点存在定理
(1)函数零点存在定理：
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的解.
(2)函数零点存在定理的几何意义：
在闭区间[a,b]上有连续不断的曲线y=f(x)，且曲线的起始点(a,f(a))与终点(b,f(b))分别在x轴的两侧，则连续曲线与x轴至少有一个交点.
3．二分法
(1)二分法的定义：
对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，
使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
(2)区间的中点：一般地，我们把x=称为区间(a,b)的中点.
(3)用二分法求方程的近似解：
用二分法求方程的近似解：先找一个包含根的区间，然后多次将包含根的区间一分为二，直至根落在
要求的区间内，即用区间中点将区间(a,b)一分为二，从而得到两个区间(a,)和(,b)，其中一个区间一定包含根，如若f(a)<0，f()>0，我们便知区间(a, )包含根，如图，不断重复上述步骤，根最终落在要求的区间内.
(4)用二分法求函数零点的近似值的步骤
给定精确度，用二分法求函数y=f(x)零点的近似值的一般步骤如下：
1.确定零点的初始区间[a,b]，验证f(a)f(b)<0.
2.求区间(a,b)的中点c.
3.计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：
(1)若f(c)=0(此时=c)，则c就是函数的零点；
(2)若f(a)f(c)<0(此时∈(a,c))，则令b=c；
(3)若f(c)f(b)<0(此时∈(c,b))，则令a=c.
4.判断是否达到精确度：若|a-b|<，则得到零点近似值a(或b)；
否则重复步骤2~4.
【题型1 求函数的零点】
【方法点拨】
(1)代数法：根据零点的定义，解方程f(x)=0，它的实数根就是函数y=f(x)的零点.
(2)几何法或性质法：若方程f(x)=0的解不易求出，可以根据函数y=f(x)的性质及图象求出零点.例如，已知
f(x)是定义在R上的减函数，且f(x)为奇函数，求f(x)的零点；因为f(x)是奇函数，那么由奇函数的性质可
知f(0)=0，因为f(x)是定义在R上的减函数，所以不存在其他的x使f(x)=0，从而y=f(x)的零点是0.
【例1】（2022·全国·高一课时练习）函数的零点为（ ）
A．10 B．9 C．（10，0） D．（9，0）
【解题思路】令，解对数方程，求出x＝10.
【解答过程】令，即，所以，因此x＝10，所以函数的零点为10，
故选：A.
【变式1-1】（2022·全国·高一课时练习）若是函数的一个零点，则的另一个零点为（ ）
A．1 B．2 C．（1，0） D．（2，0）
【解题思路】由是函数的一个零点，可得值，再利用韦达定理列方程解出的另一个零点．
【解答过程】因为是函数的一个零点，所以，解得．设另一个零点为，则，解得，所以的另一个零点为1．
故选：A．
【变式1-2】（2022·河北·高一开学考试）函数的零点为（ ）
A．（1，0） B．（1，3）
C．1和3 D．（1，0）和（3，0）
【解题思路】令，即可得到方程，解得即可；
【解答过程】解：令，解得或，所以函数的零点为：1和3.
故选：C．
【变式1-3】（2021·全国·高一课时练习）函数的零点与函数的零点之差的绝对值不超过，则可以是（ ）．
A． B．
C． D．
【解题思路】根据题意，画出函数与函数的图像，得到的零点在区间上，结合选择中的函数，求得相应的零点，即可求解.
【解答过程】由题意，函数，令，则，
画出函数与函数的图像，如图所示，
当时，，
可得的零点在区间上，
对于A中，函数，令，解得；
对于B中，函数，令，解得；
对于C中，函数，令，解得；
对于D中，函数，令，解得.
故选：A.
【题型2 函数零点存在定理的应用】
【方法点拨】
确定函数的零点(方程的根)所在的区间时，通常利用函数零点存在定理将问题转化为判断区间的两个端点对
应的函数值是否异号.
【例2】（2022·内蒙古·高一阶段练习（文））函数的零点所在区间是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先判断出函数的单调性，然后得出的函数符号，从而得出答案
【解答过程】由在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在上单调递减，
又，
所以由零点存在定理可得函数在(3，4)之间存在零点，
故选：C.
【变式2-1】（2022·全国·模拟预测（文））函数在上的零点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解题思路】由函数的单调性与零点存在性定理判断
【解答过程】易得函数在上单调递增，
又，所以，
故函数在上有唯一的零点，
故选：B.
【变式2-2】（2022·天津·模拟预测）函数的零点所在的大致区间是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可.
【解答过程】解：的定义域为，
又与在上单调递增，
所以在上单调递增，
又，，，
所以，所以在上存在唯一的零点.
故选：C.
【变式2-3】（2022·河南·高二期末（理））若函数在区间和上各有一个零点，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用零点存在定理列不等式组，即可求解.
【解答过程】因为函数在区间和上各有一个零点，且函数的图像开口向下，
所以，
解得，
所以实数k的取值范围是.
故选：A.
【题型3 利用图象交点来处理函数零点（方程的根）问题】
【方法点拨】
函数零点问题可看成与函数图象有关的问题的行生与升华，研究此类问题除二分法外，多采用数形结合法，
把方程的根的问题转化为两函数图象的交点问题，解题时要准确把握各类函数的性质，画出函数简图，准
确找到交点所在的位置.
【例3】（2022·江西·高三阶段练习（文））函数的零点个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解题思路】当时，将函数的零点个数转化为函数与函数，在上的交点个数，利用数形结合即得；当时，解方程，即得.
【解答过程】当时，，
则函数的零点个数为函数与函数，的交点个数，
作出两个函数的图象如下图所示，
由图可知，当时，函数的零点有两个，
当时，，可得或(舍去)
即当时，函数的零点有一个；
综上，函数的零点有三个.
故选：C.
【变式3-1】（2022·四川·高二阶段练习（文））已知函数，若函数有四个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】将问题转化为方程有四个不等实根，令，可知有两个不等实根，结合与和有四个不同交点可得，由二次函数根的分布可构造不等式组求得结果.
【解答过程】有四个零点等价于方程有四个不等实根；
作出图象如下图所示，
令，则需有两个不等实根，
即，解得：；
要使有四个零点，则需与和有四个不同交点，
在图象中平移直线和，要使与和有四个不同交点，则需，，
，解得：；
综上所述：实数的取值范围为.
故选：A.
【变式3-2】（2022·河南·高三阶段练习（文））已知函数若关于的方程有4个不同的实根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】画出的图象，根据并讨论t研究其实根的分布情况，将问题化为在内有两个不同的零点，结合二次函数性质求参数范围.
【解答过程】如图，画出的图象，设
结合图象知：当或时有且仅有1个实根；当时有2个实根；
问题转化为在内有两个不同的零点，
从而，解得.
故选：D.
【变式3-3】（2022·江苏·高三阶段练习）已知是定义在R上的奇函数，且是偶函数，当时，．若关于的方程有5个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据题意和函数的奇偶性求出函数的周期，利用函数奇偶性求出函数分别在、、、时的解析式，作出函数与的图象，结合图象即可得出结果.
【解答过程】因为是偶函数，所以函数的对称轴为，而是定义在R上的奇函数，
所以有，因此有，所以，因此函数的周期为，
设，
易知是偶函数，且当时，，
所以，
因此有：
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
作出函数的图象如下图所示：
关于x的方程有5个不同的实根，
等价于函数的图象与直线有5个不同的交点，
当直线过点时，有6个交点，此时，
当直线过点时，有4个交点，此时，
所以当时，函数的图象与直线有5个不同的交点
故选：B.
【题型4 用二分法确定函数零点（方程的根）所在的区间】
【方法点拨】
根据二分法的步骤进行求解，即可确定.
【例4】（2021·全国·高一课前预习）方程在区间上的根必定在（ ）
A．上 B．上 C．上 D．上
【解题思路】设，运用二分法，依次计算，，，，的值，再利用零点的存在性定理，即可得解.
【解答过程】解析：设，
则，，
因为且，所以函数在上必有零点.
又因为且，所以函数在上必有零点.
又因为且，所以函数在上必有零点.
即方程的根必在上.
故选：D.
【变式4-1】（2021·四川省高一阶段练习）用二分法求函数的零点，可以取的初始区间是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据二分法求函数零点的条件，结合即可判断和选择.
【解答过程】因为是单调增函数，故是单调增函数，其零点至多有一个；
又，故用二分法求其零点，可以取得初始区间是.
故选：B.
【变式4-2】（2022·新疆昌吉·高一期末）在用“二分法”求函数零点近似值时，若第一次所取区间为，则第三次所取区间可能是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据二分法求函数零点的步骤，结合已知条件进行分析，即可判断.
【解答过程】第一次所取区间为，则第二次所取区间可能是；
第三次所取的区间可能是.
故选：.
【变式4-3】（2021·湖北·高一阶段练习）在用二分法求方程3x+3x﹣8=0在（1，2）内近似根的过程中，已经得到，则方程的根落在区间（ ）
A．（1，1.25） B．（1.25，1.5） C．（1.5，2） D．不能确定
【解题思路】根据零点存在性定理即可确定零点所在区间.
【解答过程】∵f（1）<0，f（1.5）>0，
∴在区间（1，1.5）内函数=3x+3x﹣8存在一个零点
又∵f（1.5）>0，f（1.25）<0，
∴在区间（1.25，1.5）内函数=3x+3x﹣8存在一个零点，
由此可得方程的根落在区间（1.25，1.5）内，
故选：B.
【题型5 用二分法求方程的近似解】
【方法点拨】
由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解，即对于求形如f(x)=g(x)的方程的
近似解，可以通过移项转化为求形如F(x)=f(x)-g(x)=0的方程的近似解，然后按照用二分法求函数F(x)零点
近似值的步骤求解.
【例5】（2022·全国·高一课时练习）若函数在区间内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算，列表如下：
x 1 1.5 1.25 1.375 1.3125
－1 0.875 －0.2969 0.2246 －0.05151
则方程的一个近似根（误差不超过0.05）为（ ）
A．1.375 B．1.34375 C．1.3125 D．1.25
【解题思路】由零点存在性定理即可求解.
【解答过程】因为，，且为连续函数，所以由零点存在定理知区间（1.3125，1.375）内存在零点，又，所以取此区间中点与零点的距离不超过区间长度之半，故也不超过0.05，又，所有方程的一个近似根（误差不超过0.05）为1.34375.
故选：B.
【变式5-1】（2022·全国·高一课时练习）若函数的部分函数值如下，那么方程的一个近似根（精确到0.1）可以是（ ）
A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5
【解题思路】根据题干中所给的函数值，利用二分法求方程的近似解即可.
【解答过程】解：因为，，且1.375与1.4375精确到0.1的近似值都为1.4，
所以原方程的一个近似根为1.4．
故选：C.
【变式5-2】（2021·广东·高一阶段练习）若函数的一个零点（正数）附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程的一个近似解（精确度0.04）为（ ）
A．1.5 B．1.25 C．1.375 D．1.4375
【解题思路】根据零点存在定理判断求解．
【解答过程】由表格结合零点存在定理知零点在上，区间长度为0.03125，满足精度要求，观察各选项，只有D中值1.4375是该区间的一个端点，可以作为近似解，
故选：D．
【变式5-3】（2023·全国·高三专题练习）函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：
那么方程的一个近似解（精确度为0.1）为（ ）
A．1.5 B．1.25 C．1.41 D．1.44
【解题思路】根据二分法的定义和精确度的要求分析判断即可
【解答过程】由所给数据可知，函数在区间内有一个根，
因为，，
所以根在内，
因为，所以不满足精确度，
继续取区间中点，
因为 ，，
所以根在区间，
因为，所以不满足精确度，
继续取区间中点，
因为，，
所以根在区间内，
因为满足精确度，
因为，所以根在内，
所以方程的一个近似解为，
故选：C.
【题型6 用二分法求函数的近似值】
【方法点拨】
用二分法求函数零点的近似值的步骤往往比较烦琐，一般借助表格，利用表格可以清晰地表示逐步缩小零
点所在区间的过程，有时也利用数轴来表示这一过程.
【例6】（2022·陕西·模拟预测（理））某同学用二分法求函数的零点时，计算出如下结果：，，下列说法正确的有（ ）
A．是满足精度为的近似值.
B．是满足精度为的近似值
C．是满足精度为的近似值
D．是满足精度为的近似值
【解题思路】根据二分法基本原理满足判断即可.
【解答过程】，又
A错误；
，又，
满足精度为的近似值在内，则B正确，D错误；
， C错误.
故选：B.
【变式6-1】（2022·全国·高一课时练习）用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【解题思路】根据函数零点的存在性定理可知零点，结合对二分法的理解即可得出结果.
【解答过程】因为，
由零点存在性知：零点，
根据二分法，第二次应计算，即，
故选：D.
【变式6-2】（2022·湖北省高一期末）已知函数的部分函数值如下表所示
那么函数的一个零点的近似值（精确度为）为（ ）A． B． C． D．
【解题思路】根据给定条件直接判断函数的单调性，再结合零点存在性定理判断作答.
【解答过程】函数在R上单调递增，
由数表知：，
由零点存在性定义知，函数的零点在区间内，
所以函数的一个零点的近似值为.
故选：B.
【变式6-3】（2021·全国·高一专题练习）用二分法求函数的一个正实数零点时，经计算，，，，则函数的一个精确到的正实数零点的近似值为（ ）
A． B． C． D．
【解答过程】由题意根据函数零点的判定定理可得，函数零点所在的区间为，从而得出结论．
【解题思路】解：由题意根据函数零点的判定定理可得，函数零点所在的区间为，
则函数的一个精确度为的正实数零点的近似值可以为，
故选：C．专题4.9 函数的应用（二）-重难点题型精讲
1．函数的零点
(1)函数零点的概念：对于一般函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.即函数的零
点就是使函数值为零的自变量的值.
(2)函数的零点与方程的解的关系
函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解，也就是函数y=f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标.所以方程f(x)=0有实数解函数y=f(x)有零点函数y=f(x)的图象与x轴有公共点.
(3)几种常见函数的零点
①二次函数的零点
一元二次方程+bx+c=0(a≠0)的实数根也称为函数y=+bx+c(a≠0)的零点.
②正比例函数y=kx(k≠0)仅有一个零点0.
③一次函数y=kx+b(k≠0)仅有一个零点.
④反比例函数y=(k≠0)没有零点.
⑤指数函数y=(a>0,且a≠1)没有零点.
⑥对数函数y=(a>0,且a≠1)仅有一个零点1.
⑦幂函数y=,当a>0时,仅有一个零点0;当a≤0时,没有零点.
2．函数零点存在定理
(1)函数零点存在定理：
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的解.
(2)函数零点存在定理的几何意义：
在闭区间[a,b]上有连续不断的曲线y=f(x)，且曲线的起始点(a,f(a))与终点(b,f(b))分别在x轴的两侧，则连续曲线与x轴至少有一个交点.
3．二分法
(1)二分法的定义：
对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，
使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
(2)区间的中点：一般地，我们把x=称为区间(a,b)的中点.
(3)用二分法求方程的近似解：
用二分法求方程的近似解：先找一个包含根的区间，然后多次将包含根的区间一分为二，直至根落在
要求的区间内，即用区间中点将区间(a,b)一分为二，从而得到两个区间(a,)和(,b)，其中一个区间一定包含根，如若f(a)<0，f()>0，我们便知区间(a, )包含根，如图，不断重复上述步骤，根最终落在要求的区间内.
(4)用二分法求函数零点的近似值的步骤
给定精确度，用二分法求函数y=f(x)零点的近似值的一般步骤如下：
1.确定零点的初始区间[a,b]，验证f(a)f(b)<0.
2.求区间(a,b)的中点c.
3.计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：
(1)若f(c)=0(此时=c)，则c就是函数的零点；
(2)若f(a)f(c)<0(此时∈(a,c))，则令b=c；
(3)若f(c)f(b)<0(此时∈(c,b))，则令a=c.
4.判断是否达到精确度：若|a-b|<，则得到零点近似值a(或b)；
否则重复步骤2~4.
【题型1 求函数的零点】
【方法点拨】
(1)代数法：根据零点的定义，解方程f(x)=0，它的实数根就是函数y=f(x)的零点.
(2)几何法或性质法：若方程f(x)=0的解不易求出，可以根据函数y=f(x)的性质及图象求出零点.例如，已知
f(x)是定义在R上的减函数，且f(x)为奇函数，求f(x)的零点；因为f(x)是奇函数，那么由奇函数的性质可
知f(0)=0，因为f(x)是定义在R上的减函数，所以不存在其他的x使f(x)=0，从而y=f(x)的零点是0.
【例1】（2022·全国·高一课时练习）函数的零点为（ ）
A．10 B．9 C．（10，0） D．（9，0）
【变式1-1】（2022·全国·高一课时练习）若是函数的一个零点，则的另一个零点为（ ）
A．1 B．2 C．（1，0） D．（2，0）
【变式1-2】（2022·河北·高一开学考试）函数的零点为（ ）
A．（1，0） B．（1，3）
C．1和3 D．（1，0）和（3，0）
【变式1-3】（2021·全国·高一课时练习）函数的零点与函数的零点之差的绝对值不超过，则可以是（ ）．
A． B．
C． D．
【题型2 函数零点存在定理的应用】
【方法点拨】
确定函数的零点(方程的根)所在的区间时，通常利用函数零点存在定理将问题转化为判断区间的两个端点对
应的函数值是否异号.
【例2】（2022·内蒙古·高一阶段练习（文））函数的零点所在区间是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2022·全国·模拟预测（文））函数在上的零点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式2-2】（2022·天津·模拟预测）函数的零点所在的大致区间是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-3】（2022·河南·高二期末（理））若函数在区间和上各有一个零点，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型3 利用图象交点来处理函数零点（方程的根）问题】
【方法点拨】
函数零点问题可看成与函数图象有关的问题的行生与升华，研究此类问题除二分法外，多采用数形结合法，
把方程的根的问题转化为两函数图象的交点问题，解题时要准确把握各类函数的性质，画出函数简图，准
确找到交点所在的位置.
【例3】（2022·江西·高三阶段练习（文））函数的零点个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式3-1】（2022·四川·高二阶段练习（文））已知函数，若函数有四个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2022·河南·高三阶段练习（文））已知函数若关于的方程有4个不同的实根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（2022·江苏·高三阶段练习）已知是定义在R上的奇函数，且是偶函数，当时，．若关于的方程有5个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型4 用二分法确定函数零点（方程的根）所在的区间】
【方法点拨】
根据二分法的步骤进行求解，即可确定.
【例4】（2021·全国·高一课前预习）方程在区间上的根必定在（ ）
A．上 B．上 C．上 D．上
【变式4-1】（2021·四川省高一阶段练习）用二分法求函数的零点，可以取的初始区间是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2022·新疆昌吉·高一期末）在用“二分法”求函数零点近似值时，若第一次所取区间为，则第三次所取区间可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（2021·湖北·高一阶段练习）在用二分法求方程3x+3x﹣8=0在（1，2）内近似根的过程中，已经得到，则方程的根落在区间（ ）
A．（1，1.25） B．（1.25，1.5） C．（1.5，2） D．不能确定
【题型5 用二分法求方程的近似解】
【方法点拨】
由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解，即对于求形如f(x)=g(x)的方程的
近似解，可以通过移项转化为求形如F(x)=f(x)-g(x)=0的方程的近似解，然后按照用二分法求函数F(x)零点
近似值的步骤求解.
【例5】（2022·全国·高一课时练习）若函数在区间内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算，列表如下：
x 1 1.5 1.25 1.375 1.3125
－1 0.875 －0.2969 0.2246 －0.05151
则方程的一个近似根（误差不超过0.05）为（ ）
A．1.375 B．1.34375 C．1.3125 D．1.25
【变式5-1】（2022·全国·高一课时练习）若函数的部分函数值如下，那么方程的一个近似根（精确到0.1）可以是（ ）
A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5
【变式5-2】（2021·广东·高一阶段练习）若函数的一个零点（正数）附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程的一个近似解（精确度0.04）为（ ）
A．1.5 B．1.25 C．1.375 D．1.4375
【变式5-3】（2023·全国·高三专题练习）函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：
那么方程的一个近似解（精确度为0.1）为（ ）
A．1.5 B．1.25 C．1.41 D．1.44
【题型6 用二分法求函数的近似值】
【方法点拨】
用二分法求函数零点的近似值的步骤往往比较烦琐，一般借助表格，利用表格可以清晰地表示逐步缩小零
点所在区间的过程，有时也利用数轴来表示这一过程.
【例6】（2022·陕西·模拟预测（理））某同学用二分法求函数的零点时，计算出如下结果：，，下列说法正确的有（ ）
A．是满足精度为的近似值.
B．是满足精度为的近似值
C．是满足精度为的近似值
D．是满足精度为的近似值
【变式6-1】（2022·全国·高一课时练习）用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式6-2】（2022·湖北省高一期末）已知函数的部分函数值如下表所示
那么函数的一个零点的近似值（精确度为）为（ ）A． B． C． D．
【变式6-3】（2021·全国·高一专题练习）用二分法求函数的一个正实数零点时，经计算，，，，则函数的一个精确到的正实数零点的近似值为（ ）
A． B． C． D．
