专题4.8 对数函数-重难点题型检测
【人教A版2019】
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2022·全国·高一课时练习）下列函数是对数函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）（2022·北京东城·高二期末）若函数的图象过点，则（ ）
A．3 B．1 C．-1 D．-3
3．（3分）（2022·广东·高一期中）函数定义域为（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）（2022·河南·高三阶段练习（文））设，，，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）（2023·全国·高三专题练习）已知（且，且），则函数与的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）（2022·全国·高三专题练习）已知函数，给出下述论述，其中正确的是（ ）
A．当时，的定义域为
B．一定有最小值
C．当时，的定义域为
D．若在区间上单调递增，则实数的取值范围是
7．（3分）（2022·广东·高三阶段练习）已知奇函数在上单调递增，且，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）（2022·浙江高一期中）声强级Li（单位：dB）为声强I（单位：）之间的关系是：，其中指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈．人能承受的最大声强为，对应的声强级为120dB，称为痛阈．某歌唱家唱歌时，声强级范围为[70，80]（单位：dB），下列选项中错误的是（ ）
A．闻阈的声强级为0dB
B．此歌唱家唱歌时的声强范围（单位：）
C．如果声强变为原来的2倍，对应声强级也变为原来的2倍
D．声强级增加10dB，则声强变为原来的10倍
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022·浙江省高一期末）已知，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
10．（4分）（2022·河南·高二阶段练习）已知函数，下列说法中正确的是（ ）
A．若的定义域为R，则
B．若的值域为R，则或
C．若，则的单调减区间为
D．若在上单调递减，则
11．（4分）（2022·河北高一期末）已知函数，且的图象过两点，则下列函数图象（部分）正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（4分）（2022·全国·高一单元测试）已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A．若函数的定义域为，则实数的取值范围是
B．若函数的值域为，则实数
C．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是
D．若，则不等式的解集为
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2022·四川省模拟预测（文））设，，，则a，b，c大小关系为 .
14．（4分）（2022·全国·高一专题练习）不等式的解集为 .
15．（4分）（2022·全国·高一课时练习）2021年8月30日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京开幕．研讨会聚焦于5G的持续创新和演进、信息通信的未来技术前瞻与发展、信息通信技术与其他前沿科技的融合创新．香农公式是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫作信噪比．若不改变信道带宽W，而将信噪比从11提升至499，则最大信息传递速率C大约会提升到原来的 倍（结果保留1位小数）．（参考数据：，）
16．（4分）（2022·全国·高一专题练习）关于函数有以下4个结论：
①该函数是偶函数；
②定义域为；
③递增区间为；
④最小值为；
其中正确结论的序号是 ．
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2022·全国·高一课时练习）解关于的不等式：（，且）．
18．（6分）（2022·全国·高一专题练习）比较下列各组中两个值的大小．
(1)，；
(2)，；
19．（8分）（2022·湖南·高一课时练习）对于函数与．
(1)若，你能在直角坐标系中画出它们的大致图象吗？你发现了什么？
(2)若，你能在直角坐标系中画出它们的大致图象吗？你发现了什么？
20．（8分）（2022·全国·高一单元测试）已知函数
(1)求函数的定义域；
(2)判断并证明函数的奇偶性；
(3)求不等式的解集.
21．（8分）（2022·河南·高一期末）有一种候鸟每年都按一定的路线迁陟，飞往繁殖地产卵．科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数，单位是，其中表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差．（参考数据：，，）
(1)若=3，候鸟每分钟的耗氧量为8100个单位时，它的飞行速度是多少？
(2)若=6，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？
(3)若雄鸟的飞行速度为，雌鸟的飞行速度为，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？
22．（8分）（2022·山东·高一阶段练习）已知函数 （ 且 ）．
(1)当 时，解不等式 ；
(2)，，求实数的取值范围；
(3)在（2）的条件下，是否存在 ，使 在区间 上的值域是 ？若存在，求实数 的取值范围；若不存在，试说明理由．专题4.8 对数函数-重难点题型检测
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2022·全国·高一课时练习）下列函数是对数函数的是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据对数函数的概念即得.
【解答过程】因为函数(且)为对数函数，
所以ABC均为对数型复合函数，而D是底数为自然常数的对数函数.
故选：D.
2．（3分）（2022·北京东城·高二期末）若函数的图象过点，则（ ）
A．3 B．1 C．-1 D．-3
【解题思路】因为函数图象过一点，代入该点的坐标解方程即得解.
【解答过程】解：由已知得，所以，解得：，
故选：A．
3．（3分）（2022·广东·高一期中）函数定义域为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用根号下的数大于等于0，对数真数大于0，解得函数的定义域.
【解答过程】由题意可得：，解得，
故选：B.
4．（3分）（2022·河南·高三阶段练习（文））设，，，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据对数运算可将化为和，由、可比较出大小关系.
【解答过程】，，；
，，；
.
故选：C.
5．（3分）（2023·全国·高三专题练习）已知（且，且），则函数与的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由对数的运算性质可得ab＝1，讨论a，b的范围，结合指数函数和对数函数的图像的单调性，即可得到答案．
【解答过程】，即为，即有ab＝1.
当a＞1时，0＜b＜1，
函数与均为减函数，四个图像均不满足
当0＜a＜1时，b＞1，
函数数与均为增函数，排除ACD
在同一坐标系中的图像可能是B，
故选：B．
6．（3分）（2022·全国·高三专题练习）已知函数，给出下述论述，其中正确的是（ ）
A．当时，的定义域为
B．一定有最小值
C．当时，的定义域为
D．若在区间上单调递增，则实数的取值范围是
【解题思路】对于AC:直接求出定义域，即可判断；
对于B:取特殊情况，a=0时，值域为R，否定结论；
对于D:取特殊情况，a=-4时否定结论.
【解答过程】对A，当时，解有，故A正确；
对B，当时，，此时，，
此时值域为，故B错误；
对C，由A，的定义域为，故C错误；
对D，若在区间上单调递增，此时在上单调递增，所以对称轴，解得，但当时，在处无定义，故D错误.
故选：A.
7．（3分）（2022·广东·高三阶段练习）已知奇函数在上单调递增，且，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用奇偶性改变自变量的符号，利用单调性脱掉函数记号，即可求解
【解答过程】因为为奇函数，所以，
所以原不等式可化为，
即，因为单调递增，且，
所以，解得.
故选：C.
8．（3分）（2022·浙江高一期中）声强级Li（单位：dB）为声强I（单位：）之间的关系是：，其中指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈．人能承受的最大声强为，对应的声强级为120dB，称为痛阈．某歌唱家唱歌时，声强级范围为[70，80]（单位：dB），下列选项中错误的是（ ）
A．闻阈的声强级为0dB
B．此歌唱家唱歌时的声强范围（单位：）
C．如果声强变为原来的2倍，对应声强级也变为原来的2倍
D．声强级增加10dB，则声强变为原来的10倍
【解题思路】根据题设可得，令 求声强级判断A；将、代入求声强范围判断B；对对应声强级作商、对应声强作商判断C、D.
【解答过程】由题意，则 ，故，
当 时，dB，A正确；
若 ，即，则 ；若 ，即，则 ，故歌唱家唱歌时的声强范围（单位：），B正确；
将对应的声强级作商为，C错误；
将对应声强作商为，D正确.
故选：C.
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022·浙江省高一期末）已知，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用对数函数单调性比较大小即可.
【解答过程】因为为单调递增函数，所以，又因为，所以
故选：BC.
10．（4分）（2022·河南·高二阶段练习）已知函数，下列说法中正确的是（ ）
A．若的定义域为R，则
B．若的值域为R，则或
C．若，则的单调减区间为
D．若在上单调递减，则
【解题思路】根据函数的知识对选项逐一判断
【解答过程】对于A，若的定义域为R，则在R上恒成立，所以，所以，所以A错误；
对于B，若的值域为R，则，所以或，所以B正确：
对于C，若，则，函数的定义域为，设，即求函数的减区间，由复合函数的单调性原理得函数的单减区间为，所以C错误；
对于D，若在上单调递减，则且，所以，所以D正确．
故选：BD.
11．（4分）（2022·河北高一期末）已知函数，且的图象过两点，则下列函数图象（部分）正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据给定条件，求出常数a，b的值，再逐项分析即可判断作答.
【解答过程】由函数的图象过两点，则有，解得，
对于A，函数的图象过点，点，A正确；
对于B，函数的图象过点，点，B正确；
对于C，函数的图象不过点，C不正确；
对于D，函数的图象过点，点，D正确.
故选：ABD.
12．（4分）（2022·全国·高一单元测试）已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A．若函数的定义域为，则实数的取值范围是
B．若函数的值域为，则实数
C．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是
D．若，则不等式的解集为
【解题思路】函数的定义域为等价于恒成立，由此即可列出不等式组，即可求出实数的取值范围；
若函数的值域为等价于的最小值为，由此可列出方程，即可求出实数的值；
若函数在区间上为增函数等价于函数在区间上为增函数且恒成立，由此即可列出不等式组，即可求出实数的取值范围；
若，，即可解出不等式；即可选出答案.
【解答过程】对于A，因为的定义域为，所以恒成立，则，解得，故A正确；
对于B，因为的值域为，所以的最小值为，所以，解得，故B错误；
对于C，因为函数在区间上为增函数，
所以当m=0时，，符合题意；
当时，，解得；所以，故C正确；
对于D，当m=0时，，由，可得，解得，故D错误.
故选：AC.
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2022·四川省模拟预测（文））设，，，则a，b，c大小关系为 .
【解题思路】根据对数的运算及对数函数的单调性，结合指数的运算即可求解.
【解答过程】由题意可知， ，
，
当时，在上单调递增，
因为，即.
，所以.
故答案为：.
14．（4分）（2022·全国·高一专题练习）不等式的解集为 .
【解题思路】运用对数函数的单调性，及二次不等式的解法，即得.
【解答过程】由，可得，
所以，
解得：或，
不等式的解集为.
故答案为：.
15．（4分）（2022·全国·高一课时练习）2021年8月30日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京开幕．研讨会聚焦于5G的持续创新和演进、信息通信的未来技术前瞻与发展、信息通信技术与其他前沿科技的融合创新．香农公式是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫作信噪比．若不改变信道带宽W，而将信噪比从11提升至499，则最大信息传递速率C大约会提升到原来的 2.5 倍（结果保留1位小数）．（参考数据：，）
【解题思路】设提升前最大信息传递速率为，提升后最大信息传递速率为，根据题意求出，再利用指数、对数的运算性质化简计算即可
【解答过程】设提升前最大信息传递速率为，提升后最大信息传递速率为，则由题意可知，，，
所以，
所以最大信息传递速率C会提升到原来的2.5倍．
故答案为：.
16．（4分）（2022·全国·高一专题练习）关于函数有以下4个结论：
①该函数是偶函数；
②定义域为；
③递增区间为；
④最小值为；
其中正确结论的序号是 ③④ ．
【解题思路】利用函数有意义求得定义域，得②错误；利用偶函数定义得①错误，然后利用复合函数的单调性得③正确，当时函数取最小值为，故④正确.
【解答过程】函数的定义域为，故②错误；
，故不是偶函数，故①错误；
令，则，
由的单调递增区间为；
为增函数，故函数的递增区间为，故③正确；
当时函数取最小值为，故④正确；
故正确结论的序号是：③④．
故答案为：③④.
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2022·全国·高一课时练习）解关于的不等式：（，且）．
【解题思路】分成进行讨论，结合对数函数的单调性及定义域即可列出关于的不等式，进而即得.
【解答过程】当时，原不等式等价于，即，
解得，
所以当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式等价于，即，
解得，
所以当时，原不等式的解集为；
综上，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为．
18．（6分）（2022·全国·高一专题练习）比较下列各组中两个值的大小．
(1)，；
(2)，；
【解题思路】利用对数函数的单调性比较大小即可.
【解答过程】(1)
解：由于对数函数在上单调递增，得：.
(2)
解：由对数函数在上单调递增，在上单调递减，
得，
即：.
19．（8分）（2022·湖南·高一课时练习）对于函数与．
(1)若，你能在直角坐标系中画出它们的大致图象吗？你发现了什么？
(2)若，你能在直角坐标系中画出它们的大致图象吗？你发现了什么？
【解题思路】（1）根据对数函数的性质作答；
（2）根据对数函数的性质作答．
【解答过程】(1)
图象如图：
图象都过点，函数都是单调递减，在直线右侧，底数越小，越靠近轴；
(2)
图象都过点，函数都是单调递增，在直线右侧，底数越大，越靠近轴．
20．（8分）（2022·全国·高一单元测试）已知函数
(1)求函数的定义域；
(2)判断并证明函数的奇偶性；
(3)求不等式的解集.
【解题思路】（1）由对数的真数大于零，解不等式组可求得答案，
（2）利用奇偶性的定义判断，
（3）利用对数函数的性质直接解不等式即可.
【解答过程】（1）
由，得，
所以函数的定义域为，
（2）
函数为奇函数，证明如下：
因为函数的定义域为，所以定义域关于原点对称，
因为，
所以为奇函数，
（3）
由，得，
所以，
因为在定义域内为减函数，
所以，解得，
所以不等式的解集为.
21．（8分）（2022·河南·高一期末）有一种候鸟每年都按一定的路线迁陟，飞往繁殖地产卵．科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数，单位是，其中表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差．（参考数据：，，）
(1)若=3，候鸟每分钟的耗氧量为8100个单位时，它的飞行速度是多少？
(2)若=6，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？
(3)若雄鸟的飞行速度为，雌鸟的飞行速度为，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？
【解题思路】（1）直接代入求值即可，其中要注意对数的运算；
（2）还是代入求值即可；
（3）代入后得两个方程，此时我们不需要解出、 ，只要求出它们的比值即可，所以由对数的运算性质，让两式相减，就可求得．
【解答过程】(1)
解：因为候鸟的飞行速度可以表示为函数，
所以将，代入函数式可得：
故此时候鸟飞行速度为
(2)
解：因为候鸟的飞行速度可以表示为函数，
将，代入函数式可得：
即
所以于是．
故候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为555个单位．
(3)
解：设雄鸟每分钟的耗氧量为，雌鸟每分钟的耗氧量为，
依题意可得：
，两式相减可得：，于是．
故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的9倍．
22．（8分）（2022·山东·高一阶段练习）已知函数 （ 且 ）．
(1)当 时，解不等式 ；
(2)，，求实数的取值范围；
(3)在（2）的条件下，是否存在 ，使 在区间 上的值域是 ？若存在，求实数 的取值范围；若不存在，试说明理由．
【解题思路】（1）先求定义域，然后根据单调性解不等式可得；
（2）将问题转化为最值问题，然后分和，利用单调性求解即可；
（3）利用单调性得到和满足的方程，然后构造函数，由判别式列式求解可得.
【解答过程】（1）
时， ，
由 ，解得 ，即函数定义域为 ，
因为 ，即 ，
所以 6，
即 ，解得或 ，
又，所以不等式 的解集为 ．
（2）
， ，即 成立，
又
函数 在 上为增函数，
①若 ，则 ，所以 ，
即 ，
则 ，解得 或 ．又 ，所以 ．
②若 ，则 ，所以 ，
即 ，
则 ，解得 ，又 ，所以 ．
综上 的取值范围为
（3）
假设存在，满足题意，由（2）知 ，
所以在 上是减函数，则 ，
所以 ，
即，是方程 的大于的两个不等实根，
设 ，其对称轴为 ，由题意得 ，解得或
又 ，所以．
综上，不存在满足题意的实数，．
