专题4.7 对数函数-重难点题型精讲
1．对数函数的定义
(1)对数函数的定义：一般地，函数y= (a>0,且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0,+
).
(2)判断一个函数是对数函数的依据：
①形如y=；②底数a满足a>0，且a≠1；③真数是x；④定义域为(0,+).
例如:y=是对数函数，而y=(x+1)，y=都不是对数函数.
2．对数函数的图象与性质
对数函数y= (a>0,且a≠1,x>0)的图象和性质如下表所示：
3．底数a对对数函数图象的影响
(1)底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”.
当a>1时，对数函数的图象“上升”;
当0
(2)函数y=与y= (a>0,且a≠1)的图象关于x轴对称.
(3)底数的大小决定了图象相对位置的高低：
无论是a>1还是0①上下比较：在直线x=1的右侧,a>1时,a越大,图象越靠近x轴;0②左右比较：比较图象与直线y=1的交点,交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大.
4．反函数
比较幂值大小的方法：
【题型1 对数（型）函数的定义域与值域】
【方法点拨】
根据对数函数的定义，结合具体条件，进行求解即可.
【例1】（2022·广东·高一阶段练习）函数y＝＋lg(5－3x)的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2022·浙江·高二学业考试）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2022·山西运城·高二期末）已知函数，则的值域为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【题型2 对数式的大小比较】
【方法点拨】
比较对数值的大小，主要依据对数函数的单调性，同底时可直接利用相应的对数函数比较大小；不同底时，
可借助中间量进行比较.
【例2】（2022·黑龙江·高三开学考试）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2022·陕西·高三阶段练习（文））已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2022·河南·高三阶段练习（理））若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-3】（2022·贵州·高三阶段练习（理））设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【题型3 解对数不等式】
【方法点拨】
对数不等式的三种考查类型：
(1)形如m>n的不等式，借助y=x的单调性求解.
(2)形如m>b的不等式，应将b化成以a为底数的对数式的形式(b=)，再借助y=x的单调性
求解.
(3)形如 > (f(x),g(x)>0且不等于1,a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，
或利用函数图象求解.
【例3】（2022·全国·高一课时练习）已知函数，，则不等式的解集为（ ）
A． B．（3，4） C．（2，5） D．
【变式3-1】（2022·云南楚雄·高二期末）已知函数的图象与的图象关于轴对称，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2022·四川自贡·高一期末）已知是定义在R上的奇函数，在区间上为增函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【题型4 对数函数的图象及应用】
【方法点拨】
①对数函数图象的识别：对于所给函数解析式，研究函数的单调性、特殊值等，利用排除法，得出正确的
函数图象.
②对数函数图象的应用：对于与对数函数、对数型函数有关的函数的作图问题，一般宜用变换作图法作图，
这样有利于从整体上把握函数的性质，从而利用对数函数的图象来比较大小、解不等式、求最值等.
【例4】（2022·广东·高三阶段练习）函数的图像是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-1】（2022·浙江·高一期中）函数的图像的大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-2】（2022·全国·高一课时练习）如图所示的曲线是对数函数，，，的图象，则a，b，c，d，1的大小关系为（ ）
A．b>a>1>c>d B．a>b>1>c>d C．b>a>1>d>c D．a>b>1>d>c
【变式4-3】（2022·全国·高一课时练习）已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【题型5 对数型复合函数性质的应用】
【方法点拨】
借助对数函数的图象和性质来研究对数型复合函数的性质，再结合具体问题，进行求解即可.
【例5】（2022·陕西·高三阶段练习（文））已知函数（，且）.
(1)当时，求的单调性.
(2)是否存在实数，使得在上取得最大值2 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【变式5-1】（2022·甘肃·高三阶段练习（文））已知函数.
(1)求该函数的定义域；
(2)求该函数的单调区间及值域.
【变式5-2】（2022·海南·高一期末）已知函数．
(1)求的单调区间及最大值．
(2)设函数，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
【变式5-3】（2022·江苏·高三开学考试）已知函数．
(1)若，求函数的定义域．
(2)若函数的值域为R，求实数m的取值范围．
(3)若函数在区间上是增函数，求实数m的取值范围．
【题型6 对数函数的实际应用】
【方法点拨】
从实际问题出发，建立对数（型）函数模型，借助对数函数的图象和性质进行解题，注意要满足实际条件.
【例6】（2021·全国·高一专题练习）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．记鲑鱼的游速为V(m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，研究中发现V与log3成正比，且当Q＝900时，V＝1.
（1）求出V关于Q的函数解析式；
（2）计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量的单位数．
【变式6-1】（2022·全国·高一课时练习）近年来，我国在航天领域取得了巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术．据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度v（单位：m/s）．其中（单位m/s）是喷流相对速度，m（单位：kg）是火箭（除推进剂外）的质量，M（单位：kg）是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”，已知A型火箭的喷流相对速度为2000m/s．
参考数据：，．
(1)当总质比为230时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；
(2)经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度增加500 m/s，记此时在材料更新和技术改进前的总质比为T，求不小于T的最小整数？
【变式6-2】（2022·全国·高二课时练习）每年红嘴鸥都从西伯利亚飞越数千公里来到美丽的昆明过冬，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数，单位是，其中x表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，常数x0表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差.（结果保留到整数位.参考数据：lg5≈0.70，31.4≈4.66）
(1)若x0=5，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位.
(2)若雄鸟的飞行速度为1.3，雌鸟的飞行速度为0.8，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍.
【变式6-3】（2022·全国·高一课时练习）学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，每天能用于锻炼的课余时间有90分钟，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分与当天锻炼时间（单位：分）的函数关系，要求及图示如下：（1）函数是区间上的增函数；（2）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；（3）每天运动时间为30分钟时，当天得分为3分；（4）每天最多得分不超过6分.现有三个函数模型①，
②，③供选择.
(1)请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由，再根据所给信息求出函数的解析式；
(2)求每天得分不少于4.5分，至少需要锻炼多少分钟.（注：，结果保留整数）专题4.7 对数函数-重难点题型精讲
1．对数函数的定义
(1)对数函数的定义：一般地，函数y= (a>0,且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0,+
).
(2)判断一个函数是对数函数的依据：
①形如y=；②底数a满足a>0，且a≠1；③真数是x；④定义域为(0,+).
例如:y=是对数函数，而y=(x+1)，y=都不是对数函数.
2．对数函数的图象与性质
对数函数y= (a>0,且a≠1,x>0)的图象和性质如下表所示：
3．底数a对对数函数图象的影响
(1)底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”.
当a>1时，对数函数的图象“上升”;
当0(2)函数y=与y= (a>0,且a≠1)的图象关于x轴对称.
(3)底数的大小决定了图象相对位置的高低：
无论是a>1还是0①上下比较：在直线x=1的右侧,a>1时,a越大,图象越靠近x轴;0②左右比较：比较图象与直线y=1的交点,交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大.
4．反函数
比较幂值大小的方法：
【题型1 对数（型）函数的定义域与值域】
【方法点拨】
根据对数函数的定义，结合具体条件，进行求解即可.
【例1】（2022·广东·高一阶段练习）函数y＝＋lg(5－3x)的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据对数函数、根式的性质列不等式求函数定义域.
【解答过程】由题设，，可得.
所以函数定义域为.
故选：B.
【变式1-1】（2022·浙江·高二学业考试）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据对数的真数大于零，得到一元二次不等式，即可求解.
【解答过程】解：由题可知，即，解得或.
故函数的定义域为.
故选：D.
【变式1-2】（2022·山西运城·高二期末）已知函数，则的值域为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】首先求出的范围，然后可得答案.
【解答过程】因为，所以，所以，
故选：D.
【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由的值域为可得的值域为.
【解答过程】由对数函数的值域为，向右平移2个单位得函数的值域为，
则的值域为，
故选：A.
【题型2 对数式的大小比较】
【方法点拨】
比较对数值的大小，主要依据对数函数的单调性，同底时可直接利用相应的对数函数比较大小；不同底时，
可借助中间量进行比较.
【例2】（2022·黑龙江·高三开学考试）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据对数恒等式，运算法则以及对数函数的单调性即可判断．
【解答过程】因为，，，而，，所以．
故选：B．
【变式2-1】（2022·陕西·高三阶段练习（文））已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据指数函数、对数函数的单调性分别求出a，b，c的取值范围，即可求解.
【解答过程】因为，
，
，
所以.
故选：B.
【变式2-2】（2022·河南·高三阶段练习（理））若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据指数函数、对数函数的性质判断即可.
【解答过程】因为，，，
所以.
故选：D.
【变式2-3】（2022·贵州·高三阶段练习（理））设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据指对数的性质判断大小关系即可.
【解答过程】由，
所以.
故选：D.
【题型3 解对数不等式】
【方法点拨】
对数不等式的三种考查类型：
(1)形如m>n的不等式，借助y=x的单调性求解.
(2)形如m>b的不等式，应将b化成以a为底数的对数式的形式(b=)，再借助y=x的单调性
求解.
(3)形如 > (f(x),g(x)>0且不等于1,a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，
或利用函数图象求解.
【例3】（2022·全国·高一课时练习）已知函数，，则不等式的解集为（ ）
A． B．（3，4） C．（2，5） D．
【解题思路】根据，可得方程，进而解得，再列出不等式，可得，根据对数函数的单调性和定义域可得：，可得答案.
【解答过程】由题意得，，解得，
所以，所以.
因为，所以，
即，从而，解得 .
故不等式的解集为.
故选：A.
【变式3-1】（2022·云南楚雄·高二期末）已知函数的图象与的图象关于轴对称，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由与 关于x轴对称得到的解析式，又由的单调性得到不等式，从而解出范围.
【解答过程】已知函数的图象与 的图象关于x轴对称，
所以，
又 是上的增函数，
所以，解得.
故选：B.
【变式3-2】（2022·四川自贡·高一期末）已知是定义在R上的奇函数，在区间上为增函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由奇函数知，再结合单调性及得，解不等式即可.
【解答过程】由题意知：，又在区间上为增函数，当时，，
当时，，由可得，解得.
故选：C.
【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用函数为奇函数，将不等式转化为，再利用函数的单调性求解.
【解答过程】因为函数为奇函数，
所以，又，，
所以不等式，可化为，
即，
又因为在上单调递增，
所以在R上单调递增，
所以，
解得.
故选：D.
【题型4 对数函数的图象及应用】
【方法点拨】
①对数函数图象的识别：对于所给函数解析式，研究函数的单调性、特殊值等，利用排除法，得出正确的
函数图象.
②对数函数图象的应用：对于与对数函数、对数型函数有关的函数的作图问题，一般宜用变换作图法作图，
这样有利于从整体上把握函数的性质，从而利用对数函数的图象来比较大小、解不等式、求最值等.
【例4】（2022·广东·高三阶段练习）函数的图像是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由函数的图象与轴的交点是结合函数的平移变换得函数的图象与轴的公共点是，即可求解.
【解答过程】由于函数的图象可由函数的图象左移一个单位而得到，函数的图象与轴的交点是，
故函数的图象与轴的交点是，即函数的图象与轴的公共点是，显然四个选项只有A选项满足.
故选：A.
【变式4-1】（2022·浙江·高一期中）函数的图像的大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】求解函数的零点，根据排除法判断即可
【解答过程】求可得或，解得或，排除BCD；
故选：A.
【变式4-2】（2022·全国·高一课时练习）如图所示的曲线是对数函数，，，的图象，则a，b，c，d，1的大小关系为（ ）
A．b>a>1>c>d B．a>b>1>c>d C．b>a>1>d>c D．a>b>1>d>c
【解题思路】根据对数函数的图象性质即可求解.
【解答过程】由图可知a>1，b>1，0a>1>d>c．
故选：C．
【变式4-3】（2022·全国·高一课时练习）已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【解题思路】根据函数图象及对数函数的性质可求解.
【解答过程】因为函数为减函数，所以
又因为函数图象与轴的交点在正半轴，所以，即
又因为函数图象与轴有交点，所以，所以，
故选：D.
【题型5 对数型复合函数性质的应用】
【方法点拨】
借助对数函数的图象和性质来研究对数型复合函数的性质，再结合具体问题，进行求解即可.
【例5】（2022·陕西·高三阶段练习（文））已知函数（，且）.
(1)当时，求的单调性.
(2)是否存在实数，使得在上取得最大值2 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【解题思路】（1）先求出函数的定义域，再利用换元法求解函数的单调区间，
（2）令，则由，得的值域为，然后分，求函数的最大值，使其等于2，列方程可求出的值.
【解答过程】（1）
由题意可得解得，即的定义域为.
当时，.
令（），则，
对称轴为，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
因为在定义域内递增，
所以在上单调递增，上单调递减.
（2）
，
令，
因为，
所以的值域为.
当时，在上的最大值是，
则，即，解得；
当时，在上的最大值是，
则，即，解得.
综上，的值为或.
【变式5-1】（2022·甘肃·高三阶段练习（文））已知函数.
(1)求该函数的定义域；
(2)求该函数的单调区间及值域.
【解题思路】（1）令，解不等式即可求得定义域；
（2）根据复合函数单调性的判断方法可确定的单调区间；利用二次函数最值的求法可求得，结合对数函数单调性可求得值域.
【解答过程】（1）
由得：，的定义域为.
（2）
令，在上单调递增；在上单调递减；
又在上单调递减，
的单调递增区间为；单调递减区间为，
，，
的值域为.
【变式5-2】（2022·海南·高一期末）已知函数．
(1)求的单调区间及最大值．
(2)设函数，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
【解题思路】（1）首先确定的定义域，将其整理为，利用复合函数单调性的判断方法得到单调性，结合单调性可求得最值；
（2）根据对数函数单调性可将恒成立不等式转化为，采用分离变量法可得，结合对勾函数单调性可求得，由此可得结果.
【解答过程】(1)
由得：，的定义域为；
，
令，则在上单调递增，在上单调递减，
又在定义域内单调递增，
由复合函数单调性可知：的单调递增区间为，单调递减区间为；
由单调性可知：.
(2)
在上恒成立，，
即，在上恒成立，
；
令，则在上单调递增，在上单调递减，
，，即实数的取值范围为.
【变式5-3】（2022·江苏·高三开学考试）已知函数．
(1)若，求函数的定义域．
(2)若函数的值域为R，求实数m的取值范围．
(3)若函数在区间上是增函数，求实数m的取值范围．
【解题思路】（1）由对数的性质有求解集，即可得定义域.
（2）由题设是值域的子集，根据二次函数的性质有即可求m的范围.
（3）首先根据二次函数、对数函数的性质判断复合函数的单调区间，再由已知区间的单调性有，即可求m的范围.
【解答过程】（1）
由题设，，则或，
所以函数定义域为.
（2）
由函数的值域为R，则是值域的子集，
所以，即.
（3）
由在上递减，在上递增，而在定义域上递减，
所以在上递增，在上递减，
又在上是增函数，故，可得.
【题型6 对数函数的实际应用】
【方法点拨】
从实际问题出发，建立对数（型）函数模型，借助对数函数的图象和性质进行解题，注意要满足实际条件.
【例6】（2021·全国·高一专题练习）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．记鲑鱼的游速为V(m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，研究中发现V与log3成正比，且当Q＝900时，V＝1.
（1）求出V关于Q的函数解析式；
（2）计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量的单位数．
【解题思路】（1）根据成正比的性质，结合代入法进行求解即可；
（2）利用代入法，结合对数与指数式互化公式进行求解即可.
【解答过程】解：（1）设V＝k·log3，
∵当Q＝900时，V＝1，∴1＝k·log3，
∴k＝，∴V关于Q的函数解析式为;
（2）令V＝1.5，则，∴Q＝2 700，
即一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量为2700个单位．
【变式6-1】（2022·全国·高一课时练习）近年来，我国在航天领域取得了巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术．据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度v（单位：m/s）．其中（单位m/s）是喷流相对速度，m（单位：kg）是火箭（除推进剂外）的质量，M（单位：kg）是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”，已知A型火箭的喷流相对速度为2000m/s．
参考数据：，．
(1)当总质比为230时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；
(2)经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度增加500 m/s，记此时在材料更新和技术改进前的总质比为T，求不小于T的最小整数？
【解题思路】（1）运用代入法直接求解即可；
（2）根据题意列出不等式，结合对数的运算性质和已知题中所给的参考数据进行求解即可.
【解答过程】(1)
当总质比为230时，，
即A型火箭的最大速度为.
(2)
A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，所以A型火箭的喷流相对速度为，总质比为，
由题意得：
，
因为，所以，
即，所以不小于T的最小整数为45．
【变式6-2】（2022·全国·高二课时练习）每年红嘴鸥都从西伯利亚飞越数千公里来到美丽的昆明过冬，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数，单位是，其中x表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，常数x0表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差.（结果保留到整数位.参考数据：lg5≈0.70，31.4≈4.66）
(1)若x0=5，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位.
(2)若雄鸟的飞行速度为1.3，雌鸟的飞行速度为0.8，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍.
【解题思路】（1）将，代入函数解析式，求出的值即可答案；（2）设出雄鸟每分钟的耗氧量和雌鸟每分钟耗氧量，得到方程组，两式相减后得到，得到答案.
【解答过程】（1）
将，代入函数，得：，
因为，所以，所以，所以.
答：候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量约为466个单位.
（2）
设雄鸟每分钟的耗氧量为，雌鸟每分钟耗氧量为，由题意可得：
，
两式相减可得：，所以，即，
答：此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的3倍.
【变式6-3】（2022·全国·高一课时练习）学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，每天能用于锻炼的课余时间有90分钟，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分与当天锻炼时间（单位：分）的函数关系，要求及图示如下：（1）函数是区间上的增函数；（2）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；（3）每天运动时间为30分钟时，当天得分为3分；（4）每天最多得分不超过6分.现有三个函数模型①，
②，③供选择.
(1)请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由，再根据所给信息求出函数的解析式；
(2)求每天得分不少于4.5分，至少需要锻炼多少分钟.（注：，结果保留整数）
【解题思路】（1）根据图像和函数性质选择模型，再将（0，0），（30，3）代入求解系数即可.
（2）将代入解析式即可.
【解答过程】（1）
第一步：分析题中每个模型的特点
对于模型一，当时，匀速增长；
对于模型二，当时，先慢后快增长；
对于模型三，当时，先快后慢增长.
第二步：根据题中材料和题图选择合适的函数模型
从题图看应选择先快后慢增长的函数模型，故选.
第三步：把题图中的两点代入选好的模型中，得到函数解析式
将（0，0），（30，3）代入解析式得到，即，
解得，即.
第四步：验证模型是否合适
当时，，
满足每天得分最高不超过6分的条件.
所以函数的解析式为.
（2）
由，得，
得，得，
所以每天得分不少于4.5分，至少需要运动55分钟.