专题4.6 对数-重难点题型检测
【人教A版2019】
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2022·全国·高三专题练习）计算：（ ）
A．10 B．1 C．2 D．
2．（3分）（2022·全国·高一课时练习）有以下四个结论，其中正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．
3．（3分）（2022·全国·高一单元测试）若，则（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）（2021·陕西·高一期中）方程的解是（ ）
A．1 B．2 C．e D．0
5．（3分）（2022·全国·高一课时练习）若，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）（2021·湖南·高一开学考试）已知，，，，则下列等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）（2022·内蒙古包头·二模（理））在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为 ．已知星的星等是，星的星等是，则星与星的亮度的比值为（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）（2022·广西桂林·二模（理））若正数a、b满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2021·江苏·高一单元测试）方程的解为（ ）
A．10 B． C．1000 D．
10．（4分）（2022·全国·高一单元测试）下列运算中正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．
11．（4分）（2022·全国·高三专题练习）设a，b，c都是正数，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．（4分）（2022·全国·高一课时练习）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为，则下列说法正确的是（ ）
A．地震释放的能量为焦耳时，地震里氏震级为七级
B．八级地震释放的能量为七级地震释放的能量的6.3倍
C．八级地震释放的能量为六级地震释放的能量的1000倍
D．记地震里氏震级为，地震释放的能量为，则
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2022·广东·深圳市高级中学高三阶段练习）计算： .
14．（4分）（2022·浙江·永嘉中学高一竞赛）光线通过某种玻璃，强度损失.要使光线强度减弱为原来的，至少要通过 块这样的玻璃.（参考数据：，.）
15．（4分）（2021·上海市行知中学高三开学考试）已知实数满足：，则 ．
16．（4分）（2022·全国·高一课时练习）已知，，则的值为 ．
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2021·上海松江·高一期末）解方程:;
18．（6分）（2022·全国·高一课时练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
19．（8分）（2022·全国·高一课时练习）已知，（，且）．
(1)求的值；
(2)若，，且，求的值．
20．（8分）（2021·江苏·高一单元测试）（1）计算：；
（2）若a，b分别是方程的两个实根，求的值.
21．（8分）（2022·全国·高一课时练习）求解下列问题：
(1)证明：．
(2)已知，且．
求证：．
22．（8分）（2022·全国·高一课时练习）数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算．
(1)对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，在数学发展史上是伟大的成就．对数运算性质的推导有很多方法．请同学们根据所学知识推导如下的对数运算性质：如果，且，，那么；
(2)计算的值；
(3)因为，所以的位数为4（一个自然数数位的个数，叫作位数）．请你运用所学过的对数运算的知识，判断的位数．（注：）专题4.6 对数-重难点题型检测
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2022·全国·高三专题练习）计算：（ ）
A．10 B．1 C．2 D．
【解题思路】应用对数的运算性质求值即可.
【解答过程】.
故选：B.
2．（3分）（2022·全国·高一课时练习）有以下四个结论，其中正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．
【解题思路】根据对数的性质，逐项判断，即可得出结果.
【解答过程】因为，，所以A错误，B正确；若，则，故C错误；，而没有意义，故D错误．
故选：B.
3．（3分）（2022·全国·高一单元测试）若，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】求出，代入化简即得解.
【解答过程】解：由题得，
所以．
故选：A．
4．（3分）（2021·陕西·高一期中）方程的解是（ ）
A．1 B．2 C．e D．0
【解题思路】利用指数与对数的转化即可得到结果.
【解答过程】∵，
∴，
∴.
故选：B.
5．（3分）（2022·全国·高一课时练习）若，，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先换底，然后由对数运算性质可得.
【解答过程】.
故选：B.
6．（3分）（2021·湖南·高一开学考试）已知，，，，则下列等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据对数运算法则，以及指对互化，即可判断选项.
【解答过程】，两式相除得，又，所以.
故选：B.
7．（3分）（2022·内蒙古包头·二模（理））在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为 ．已知星的星等是，星的星等是，则星与星的亮度的比值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据题意，运用代入法，结合对数与指数的互化公式进行求解即可.
【解答过程】因为，星的星等是，星的星等是，
所以，
故选：A.
8．（3分）（2022·广西桂林·二模（理））若正数a、b满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】令，将对数式转化为指数式，利用指数幂的运算法则即可求解.
【解答过程】解：令，
则，
所以 .
故选：A.
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2021·江苏·高一单元测试）方程的解为（ ）
A．10 B． C．1000 D．
【解题思路】对两边取以10为底的对数，根据对数的运算性质，计算化简，即可得答案.
【解答过程】对两边取以10为底的对数，得，即，
解得或，所以或．
故选：BC．
10．（4分）（2022·全国·高一单元测试）下列运算中正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．
【解题思路】根据换底公式判断A，将根式化成分数指数幂，再根据幂的运算法则计算B，根据指数幂的运算法则判断C，根据对数的性质判断D.
【解答过程】解：对于选项A，由换底公式可得，故A不正确；
对于选项B，，故B正确；
对于选项C，设 ，两边分别平方可得，因为，所以，故，故C不正确；
对于选项D，，故D正确．
故选：BD．
11．（4分）（2022·全国·高三专题练习）设a，b，c都是正数，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】设，根据指数与对数的关系，利用换底公式及指数幂的运算法则，逐一验证四个选项得答案．
【解答过程】解：设，则，，，
所以
，
即，所以，所以，故D正确；
由，所以，故A正确，B错误；
因为，，
又，所以，即，故C正确；
故选：ACD.
12．（4分）（2022·全国·高一课时练习）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为，则下列说法正确的是（ ）
A．地震释放的能量为焦耳时，地震里氏震级为七级
B．八级地震释放的能量为七级地震释放的能量的6.3倍
C．八级地震释放的能量为六级地震释放的能量的1000倍
D．记地震里氏震级为，地震释放的能量为，则
【解题思路】根据已知条件及对数运算性质即可求解.
【解答过程】对于A，当时，由题意得，解得，即地震里氏震级为七级．故A正确；
对于B, 八级地震即时，由，解得，所以．故B不正确；
对于C，六级地震即时，由，解得，所以，即八级地震释放的能量为六级地震释放的能量的1000倍．故C正确；
对于D，由题意得，则．故D正确.
故选：ACD.
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2022·广东·深圳市高级中学高三阶段练习）计算： 3 .
【解题思路】利用指数幂及对数的运算性质化简求值即可.
【解答过程】原式.
故答案为：3.
14．（4分）（2022·浙江·永嘉中学高一竞赛）光线通过某种玻璃，强度损失.要使光线强度减弱为原来的，至少要通过 16 块这样的玻璃.（参考数据：，.）
【解题思路】设至少要通过块这样的玻璃，则根据题意可得，然后两边取对数化简可求得结果.
【解答过程】设至少要通过块这样的玻璃，则，
即，
故要使光线强度减弱为原来的，至少要通过块这样的玻璃.
故答案为：16.
15．（4分）（2021·上海市行知中学高三开学考试）已知实数满足：，则 ．
【解题思路】由已知指数式化为对数式求出的值，再由对数的运算性质求出.
【解答过程】因为，所以，
则．
故答案为：.
16．（4分）（2022·全国·高一课时练习）已知，，则的值为 2022 ．
【解题思路】化简计算得，即得解.
【解答过程】解： .
.
所以
故答案为：2022.
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2021·上海松江·高一期末）解方程:;
【解题思路】利用对数的运算法则得到，由此利用对数的性质列出不等式组，能求出方程的解．
【解答过程】解：，
，
，
解得．
18．（6分）（2022·全国·高一课时练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【解题思路】（1）利用对数相加相减的运算法则求解即可；
（2）提公因式，逐步化简即可求解；
（3）逐步将原式化成只含和形式.
【解答过程】解：（1）
方法一：（直接运算）原式．
方法二：（拆项后运算）原式
．
（2）
原式
．
（3）
原式
．
19．（8分）（2022·全国·高一课时练习）已知，（，且）．
(1)求的值；
(2)若，，且，求的值．
【解题思路】（1）根据指数与对数的关系将对数式化为指数式，再根据指数的运算法则计算可得；
（2）根据对数的运算求出，再根据乘法公式求出，即可得解.
【解答过程】（1）
解：由，得，，
因此．
（2）
解：∵，∴，即，因此，
于是，
由知，从而，
∴．
20．（8分）（2021·江苏·高一单元测试）（1）计算：；
（2）若a，b分别是方程的两个实根，求的值.
【解题思路】（1）根据指数幂运算法则以及对数运算法则化简求值；
（2）先根据韦达定理得，，再根据对数运算法则化简所求式子，最后代入求结果.
【解答过程】（1）原式
（2）根据题意，是方程的两个实根
由韦达定理得，
原式
.
21．（8分）（2022·全国·高一课时练习）求解下列问题：
(1)证明：．
(2)已知，且．
求证：．
【解题思路】（1）结合换底公式以及对数运算证得等式成立.
（2）令，结合指数运算，通过证明等式左边右边 来证得等式成立.
【解答过程】解：（1）
左边右边
（2）
令，则，，，
所以 ，
，
所以 ．
22．（8分）（2022·全国·高一课时练习）数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算．
(1)对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，在数学发展史上是伟大的成就．对数运算性质的推导有很多方法．请同学们根据所学知识推导如下的对数运算性质：如果，且，，那么；
(2)计算的值；
(3)因为，所以的位数为4（一个自然数数位的个数，叫作位数）．请你运用所学过的对数运算的知识，判断的位数．（注：）
【解题思路】(1)根据指数与对数之间的转换证明即可；
(2)根据对数的运算性质将真数转化为指数幂的形式再化简求值，亦可通过换底公式化简求值；
(3)通过对数的运算公式分析的值的范围进而确定其位数.
【解答过程】解：（1）
方法一：设，所以，
所以，
所以．
方法二：设，所以，所以，
所以，所以，
所以．
方法三：因为，，
所以，所以．
（2）
方法一：．
方法二：根据换底公式可得
．
（3）
方法一：设，，
所以，
所以，
所以，
所以，
因为，所以，
所以的位数为6689．
方法二：设，所以，
所以，所以，
所以，
因为，所以N的位数为6689，即的位数为6689．
