专题4.5 对数-重难点题型精讲
1．对数的定义、性质与对数恒等式
(1)对数的定义：一般地，如果=N(a>0,且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
(2)对数的性质：
①=0，=1(a>0,且a≠1)，负数和0没有对数.
②对数恒等式：=N(N>0,a>0,且a≠1).
(3)对数与指数的关系：
根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当a>0，且a≠1时，=Nx=.
用图表示为：
2．常用对数与自然对数
3．对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0,N>0,n∈R，那么我们有：
4．对数的换底公式及其推论
(1)换底公式：设a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0，则=.
(2)换底公式的推论：
①=1(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1)；
② (a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,c>0,且c≠1,d>0)；
③(a>0,且a≠1,b>0,m≠0,n∈R).
5．对数的实际应用
在实际生活中，经常会遇到一些指数或对数运算的问题.求解对数的实际应用题时，一是要合理建立数学模型，寻找量与量之间的关系；二是要充分利用对数的性质以及式子两边取对数的方法求解.
对数运算在实际生产和科学研究中应用广泛，其应用问题大致可以分为两类：
(1)建立对数式，在此基础上进行一些实际求值，计算时要注意指数式与对数式的互化；
(2)建立指数函数型应用模型，再进行指数求值，此时往往将等式两边同时取对数进行计算.
【题型1 对数的运算性质的应用】
【方法点拨】
对数式化简或求值的常用方法和技巧：对于同底数的对数式，化简的常用方法是：
①“收”，即逆用对数的运算性质将同底对数的和(差)“收”成积(商)的对数，即把多个对数式转化为一个对数
式；
②“拆”，即正用对数的运算性质将对数式“拆”成较小真数的对数的和(差).
【例1】（2022·黑龙江哈尔滨·高三开学考试）求值（ ）
A．8 B．9 C．10 D．1
【变式1-1】（2022·天津·高考真题）化简的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）计算：（ ）
A．10 B．1 C．2 D．
【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）化简的值为（ ）
A． B． C． D．-1
【题型2 换底公式的应用】
【方法点拨】
利用换底公式进行化简求值的原则和技巧
(1)原则：化异底为同底；
(2)技巧：①技巧一：先利用对数运算法则及性质进行部分运算，最后再换成同底；
②技巧二：借助换底公式一次性统一换为常用对数（自然对数），再化简、通分、求值.
【例2】（2022·全国·高一课时练习）已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-1】（2022·全国·高三专题练习）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2022·安徽·安庆市高一期末）已知，，用，表示，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（2022·全国·高三专题练习）正实数a，b，c均不等于1，若loga（bc）+logbc＝5，logba+logcb＝3，则logca的值为（ ）
A． B． C． D．
【题型3 指数式与对数式的互化】
【方法点拨】
根据所给条件，利用指数式和对数式的转化法则进行互化即可.
【例3】（2021·全国·高一课时练习）下列对数式中，与指数式等价的是（ ）.
A． B． C． D．
【变式3-1】（2021·江苏·高一专题练习）已知loga2＝m，loga3＝n，则a2m＋n等于（ ）
A．5 B．7 C．10 D．12
【变式3-2】（2021·全国·高一专题练习）下列指数式与对数式的互化中不正确的是（ ）
A．e0=1与ln 1=0 B．log39=2与=3
C．=与log8=- D．log77=1与71=7
【变式3-3】（2022·湖南·高一课时练习）将转化为对数形式，正确的是（ ）
A．； B．；
C．； D．．
【题型4 指、对数方程的求解】
【方法点拨】
解指数方程：将指数方程中的看成一个整体，解（一元二次）方程，解出的值，求x.
解对数方程：对数方程主要有两种类型，第一种类型的对数方程两边都是对数式且底数相同，根据真数相
同转化为关于x的方程求解；第二种类型的对数方程可整理成关于的（一元二次）方程，解出的
值，求x.
【例4】（2022·安徽·合肥模拟）方程的解是（ ）
A．1 B．2 C．e D．3
【变式4-1】（2021·全国·高一专题练习）方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2021·全国·高一课时练习）方程4x－2x＋1－3＝0的解是（ ）．
A．log32 B． C．log23 D．
【变式4-3】（2022·陕西·高一阶段练习）如果方程的两根为、，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【题型5 带附加条件的指、对数问题】
【方法点拨】
带附加条件的指、对数问题主要是已知一些指数值、对数值或其等量关系，利用这些条件来表示所要求的
式子，解此类问题要充分利用指数、对数的转化，同时，还要注意整体思想的应用.
【例5】（2022·全国·高一课时练习）已知，（，且）．
(1)求的值；
(2)若，，且，求的值．
【变式5-1】（2022·天津市高二期末）计算下列各题：
(1)已知，求的值；
(2)求的值.
【变式5-2】（2022·辽宁·高一开学考试）已知，，计算下列式子的值：
(1)；
(2).
【变式5-3】（2021·徐州市期末）（1）已知，求的值 ；
（2）已知，分别求，，的值.
【题型6 对数的实际应用】
【方法点拨】
对数运算在实际生产和科学研究中应用广泛，其应用问题大致可以分为两类：
(1)建立对数式，在此基础上进行一些实际求值，计算时要注意指数式与对数式的互化；
(2)建立指数函数型应用模型，再进行指数求值，此时往往将等式两边同时取对数进行计算.
【例6】（2022·广东汕头·高三阶段练习）核酸检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阀值时，DNA的数量X与扩增次数n满足，其中为DNA的初始数量，p为扩增效率.已知某被测标本DNA扩增12次后，数量变为原来的1000倍，则扩增效率p约为（ ）（参考数据：）
A．22.2% B．43.8% C．56.2% D．77.8%
【变式6-1】（2022·四川绵阳·高二期末（文））酒驾是严重危害交通安全的违法行为．根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量在20～80mg之间为酒后驾车，80mg及以上为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了2.4mg/mL，且在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时20%的速度减少，若他想要在不违法的情况下驾驶汽车，则至少需经过的小时数约为（ ）
（参考数据：，）
A．12 B．11 C．10 D．9
【变式6-2】（2022·河南安阳·高三开学考试（理））香农定理是所有通信制式最基本的原理，它可以用香农公式来表示，其中C是信道支持的最大速度或者叫信道容量，B是信道的带宽（Hz），S是平均信号功率（W），N是平均噪声功率（W）.已知平均信号功率为1000W，平均噪声功率为10W，在不改变平均噪声功率和信道带宽的前提下，要使信道容量增加到原来的2倍，则平均信号功率需要增加到原来的（ ）
A．1.2倍 B．12倍 C．102倍 D．1002倍
【变式6-3】（2022·陕西·长安一中高一期末）牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间t分钟后的温度T满足，h称为半衰期，其中是环境温度．若℃，现有一杯80℃的热水降至75℃大约用时1分钟，那么水温从75℃降至55℃，大约还需要（参考数据：，，）（ ）
A．3.5分钟 B．4.5分钟 C．5.5分钟 D．6.5分钟专题4.5 对数-重难点题型精讲
1．对数的定义、性质与对数恒等式
(1)对数的定义：一般地，如果=N(a>0,且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
(2)对数的性质：
①=0，=1(a>0,且a≠1)，负数和0没有对数.
②对数恒等式：=N(N>0,a>0,且a≠1).
(3)对数与指数的关系：
根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当a>0，且a≠1时，=Nx=.
用图表示为：
2．常用对数与自然对数
3．对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0,N>0,n∈R，那么我们有：
4．对数的换底公式及其推论
(1)换底公式：设a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0，则=.
(2)换底公式的推论：
①=1(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1)；
② (a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,c>0,且c≠1,d>0)；
③(a>0,且a≠1,b>0,m≠0,n∈R).
5．对数的实际应用
在实际生活中，经常会遇到一些指数或对数运算的问题.求解对数的实际应用题时，一是要合理建立数学模型，寻找量与量之间的关系；二是要充分利用对数的性质以及式子两边取对数的方法求解.
对数运算在实际生产和科学研究中应用广泛，其应用问题大致可以分为两类：
(1)建立对数式，在此基础上进行一些实际求值，计算时要注意指数式与对数式的互化；
(2)建立指数函数型应用模型，再进行指数求值，此时往往将等式两边同时取对数进行计算.
【题型1 对数的运算性质的应用】
【方法点拨】
对数式化简或求值的常用方法和技巧：对于同底数的对数式，化简的常用方法是：
①“收”，即逆用对数的运算性质将同底对数的和(差)“收”成积(商)的对数，即把多个对数式转化为一个对数
式；
②“拆”，即正用对数的运算性质将对数式“拆”成较小真数的对数的和(差).
【例1】（2022·黑龙江哈尔滨·高三开学考试）求值（ ）
A．8 B．9 C．10 D．1
【解题思路】根据对数运算公式和指数运算公式计算即可.
【解答过程】因为，
，
所以，
故选：B.
【变式1-1】（2022·天津·高考真题）化简的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【解题思路】根据对数的性质可求代数式的值.
【解答过程】原式
，
故选：B.
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）计算：（ ）
A．10 B．1 C．2 D．
【解题思路】应用对数的运算性质求值即可.
【解答过程】.
故选：B.
【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）化简的值为（ ）
A． B． C． D．-1
【解题思路】运用对数的运算性质即可求解.
【解答过程】解析：
故选：A.
【题型2 换底公式的应用】
【方法点拨】
利用换底公式进行化简求值的原则和技巧
(1)原则：化异底为同底；
(2)技巧：①技巧一：先利用对数运算法则及性质进行部分运算，最后再换成同底；
②技巧二：借助换底公式一次性统一换为常用对数（自然对数），再化简、通分、求值.
【例2】（2022·全国·高一课时练习）已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】利用对数的运算法则及性质进行运算可得答案．
【解答过程】因为，，所以
．
故选：D.
【变式2-1】（2022·全国·高三专题练习）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由换底公式和对数运算法则进行化简计算.
【解答过程】由换底公式得：， ，其中，，故
故选：C.
【变式2-2】（2022·安徽·安庆市高一期末）已知，，用，表示，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用换底公式即可求解.
【解答过程】由题意知，
故选:D．
【变式2-3】（2022·全国·高三专题练习）正实数a，b，c均不等于1，若loga（bc）+logbc＝5，logba+logcb＝3，则logca的值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用对数的运算性质以及换底公式将等式logabc+logbc＝5化简变形，即可得到答案．
【解答过程】5＝loga（bc）+logbc＝logab+logac+logbc，
5，
5，
5，
5，
解得．
故选：A．
【题型3 指数式与对数式的互化】
【方法点拨】
根据所给条件，利用指数式和对数式的转化法则进行互化即可.
【例3】（2021·全国·高一课时练习）下列对数式中，与指数式等价的是（ ）.
A． B． C． D．
【解题思路】根据指数式和对数式的关系即可得出.
【解答过程】根据指数式和对数式的关系,等价于.
故选：C.
【变式3-1】（2021·江苏·高一专题练习）已知loga2＝m，loga3＝n，则a2m＋n等于（ ）
A．5 B．7 C．10 D．12
【解题思路】对数式改写为指数式，再由幂的运算法则计算．
【解答过程】解：∵am＝2，an＝3，∴a2m＋n＝a2m·an＝(am)2·an＝12．
故选：D．
【变式3-2】（2021·全国·高一专题练习）下列指数式与对数式的互化中不正确的是（ ）
A．e0=1与ln 1=0 B．log39=2与=3
C．=与log8=- D．log77=1与71=7
【解题思路】利用指对互化公式进行互化，得出结果.
【解答过程】对于A，e0=1可化为0=loge1=ln 1，所以A中互化正确；
对于B，log39=2可化为32=9，所以B中互化不正确；
对于C，=可化为log8=-，所以C中互化正确；
对于D，log77=1可化为71=7，所以D中互化正确.
故选：B.
【变式3-3】（2022·湖南·高一课时练习）将转化为对数形式，正确的是（ ）
A．； B．；
C．； D．．
【解题思路】根据指数式和对数式间的互化公式求解即可．
【解答过程】根据对数的定义和．
故选：C．
【题型4 指、对数方程的求解】
【方法点拨】
解指数方程：将指数方程中的看成一个整体，解（一元二次）方程，解出的值，求x.
解对数方程：对数方程主要有两种类型，第一种类型的对数方程两边都是对数式且底数相同，根据真数相
同转化为关于x的方程求解；第二种类型的对数方程可整理成关于的（一元二次）方程，解出的
值，求x.
【例4】（2022·安徽·合肥模拟）方程的解是（ ）
A．1 B．2 C．e D．3
【解题思路】利用指数与对数的转化即可得到结果.
【解答过程】∵，∴，∴.
故选：D.
【变式4-1】（2021·全国·高一专题练习）方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】把对数式化为指数式即可得出．
【解答过程】方程，化为：x．
故选：D．
【变式4-2】（2021·全国·高一课时练习）方程4x－2x＋1－3＝0的解是（ ）．
A．log32 B． C．log23 D．
【解题思路】结合指数运算化简已知条件，求得，再求得.
【解答过程】方程4x－2x＋1－3＝0可化为(2x)2－2·2x－3＝0，即(2x－3)(2x＋1)＝0，∵2x>0，∴2x＝3，∴x＝log23.
故选：C.
【变式4-3】（2022·陕西·高一阶段练习）如果方程的两根为、，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用根与系数的关系和对数的运算性质直接求得.
【解答过程】由题意知，、是一元二次方程的两根，
依据根与系数的关系得，，∴.
故选：A.
【题型5 带附加条件的指、对数问题】
【方法点拨】
带附加条件的指、对数问题主要是已知一些指数值、对数值或其等量关系，利用这些条件来表示所要求的
式子，解此类问题要充分利用指数、对数的转化，同时，还要注意整体思想的应用.
【例5】（2022·全国·高一课时练习）已知，（，且）．
(1)求的值；
(2)若，，且，求的值．
【解题思路】（1）根据指数与对数的关系将对数式化为指数式，再根据指数的运算法则计算可得；
（2）根据对数的运算求出，再根据乘法公式求出，即可得解.
【解答过程】（1）
解：由，得，，
因此．
（2）
解：∵，∴，即，因此，
于是，
由知，从而，
∴．
【变式5-1】（2022·天津市高二期末）计算下列各题：
(1)已知，求的值；
(2)求的值.
【解题思路】（1）根据指数和对数的关系，将指数式化为对数式，再根据换底公式及对数的运算性质计算可得；
（2）根据换底公式及对数的运算性质计算可得；
【解答过程】(1)
解：因为，所以、，
所以，，
所以；
(2)
解：
.
【变式5-2】（2022·辽宁·高一开学考试）已知，，计算下列式子的值：
(1)；
(2).
【解题思路】（1）根据指数的运算化简求值即可；
（2）根据对数的运算性质及换底公式求解即可.
【解答过程】(1)
由可得，
.
(2)
,
,
.
【变式5-3】（2021·徐州市期末）（1）已知，求的值 ；
（2）已知，分别求，，的值.
【解题思路】（1）利用对数式的运算化简后，变形即可得出或，再结合要是对数式有意义即可得出答案.
（2）将等式两边平方即可求处；先算出的值，即可求出的值；利用立方和公式可得，由此即可求出答案.
【解答过程】（1）要使对数式有意义，必须满足.
在此前提下，原等式可化为.
从而，即.
因为，上式等号两边同除以，得.
解得或
当时，，不合题意，故舍去；
当时，，符合题意，故的值是4.
（2）将两边平方，得，
得；
.
由知，从而，故=3；
.
【题型6 对数的实际应用】
【方法点拨】
对数运算在实际生产和科学研究中应用广泛，其应用问题大致可以分为两类：
(1)建立对数式，在此基础上进行一些实际求值，计算时要注意指数式与对数式的互化；
(2)建立指数函数型应用模型，再进行指数求值，此时往往将等式两边同时取对数进行计算.
【例6】（2022·广东汕头·高三阶段练习）核酸检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阀值时，DNA的数量X与扩增次数n满足，其中为DNA的初始数量，p为扩增效率.已知某被测标本DNA扩增12次后，数量变为原来的1000倍，则扩增效率p约为（ ）（参考数据：）
A．22.2% B．43.8% C．56.2% D．77.8%
【解题思路】由题意，代入关系式，根据对数的运算性质及指数与对数的关系计算可得．
【解答过程】解：由题意知，，
即，
即，
所以，解得．
故选：D．
【变式6-1】（2022·四川绵阳·高二期末（文））酒驾是严重危害交通安全的违法行为．根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量在20～80mg之间为酒后驾车，80mg及以上为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了2.4mg/mL，且在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时20%的速度减少，若他想要在不违法的情况下驾驶汽车，则至少需经过的小时数约为（ ）
（参考数据：，）
A．12 B．11 C．10 D．9
【解题思路】由题意，应用对数的运算性质求的范围，即可得结果.
【解答过程】由题设，想要在不违法的情况下驾驶汽车，则酒精含量小于，
令小时后，，则小时，
所以想要在不违法的情况下驾驶汽车，则至少需经过的小时数约为11小时.
故选：B.
【变式6-2】（2022·河南安阳·高三开学考试（理））香农定理是所有通信制式最基本的原理，它可以用香农公式来表示，其中C是信道支持的最大速度或者叫信道容量，B是信道的带宽（Hz），S是平均信号功率（W），N是平均噪声功率（W）.已知平均信号功率为1000W，平均噪声功率为10W，在不改变平均噪声功率和信道带宽的前提下，要使信道容量增加到原来的2倍，则平均信号功率需要增加到原来的（ ）
A．1.2倍 B．12倍 C．102倍 D．1002倍
【解题思路】根据题意解对数方程即可得解．
【解答过程】由题意可得，，则在信道容量未增加时，信道容量为，当信道容量增加到原来的2倍时，，则，即，解得，则平均信号功率需要增加到原来的102倍.
故选：C．
【变式6-3】（2022·陕西·长安一中高一期末）牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间t分钟后的温度T满足，h称为半衰期，其中是环境温度．若℃，现有一杯80℃的热水降至75℃大约用时1分钟，那么水温从75℃降至55℃，大约还需要（参考数据：，，）（ ）
A．3.5分钟 B．4.5分钟 C．5.5分钟 D．6.5分钟
【解题思路】根据已知条件代入公式计算可得，再把该值代入，利用对数的运算性质及换底公式即可求解.
【解答过程】解：由题意，℃，由一杯80℃的热水降至75℃大约用时1分钟，可得，
所以，
又水温从75℃降至55℃，所以，即，
所以，
所以，
所以水温从75℃降至55℃，大约还需要分钟.
故选：C.
