专题4.4 指数函数-重难点题型检测
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2021秋 红岗区校级期末）下列各函数中，是指数函数的是（ ）
A．y＝（﹣3）x B．y＝﹣3x C．y＝3x﹣1 D．y＝（）x
【解题思路】根据指数函数的定义，结合选项判断即可．
【解答过程】解：根据指数函数的定义：形如y＝ax（a＞0，且a≠1）的函数叫做指数函数，
结合选项从而可判断选项D正确．
故选：D．
2．（3分）（2021秋 湖州期中）某地国民生产总值每年平均比上一年增长7%，专家预测经过x年可能增长到原来的y倍，则函数y＝f（x）的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由题意可知y＝1.07x（x≥0），由指数函数的单调性即可选出正确结果．
【解答过程】解：由题意可得y＝（1+7%）x＝1.07x（x≥0），
由指数函数的单调性和图像可知，y＝1.07x在[0，+∞）上单调递增，且过点（0，1），
故选：A．
3．（3分）（2021秋 裕安区校级月考）若函数f（x）＝（a﹣1） ax是指数函数，则f（）的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣2 D．2
【解题思路】由指数函数的定义可求出a的值，得到函数f（x）的解析式，从而求出f（）的值．
【解答过程】解：∵函数f（x）＝（a﹣1） ax是指数函数，
∴1，∴a＝4，
∴f（x）＝4x，
∴f（）2，
故选：B．
4．（3分）（2022秋 绥滨县校级期中）函数y＝ax﹣2（a＞0且a≠1，﹣1≤x≤1）的值域是，则实数a＝（ ）
A．3 B． C．3或 D．或
【解题思路】当a＞0且a≠1时，函数为指数型函数，它的单调性与底数a的大小有关，需要分情况进行讨论解决．当a＞1时，函数y＝ax﹣2（a＞0且a≠1，﹣1≤x≤1）是增函数；当0＜a＜1时，函数y＝ax﹣2（a＞0且a≠1，﹣1≤x≤1）是减函数．由此结合条件建立关于a的方程组，解之即可求得答案．
【解答过程】解：当a＞1时，函数y＝ax﹣2（a＞0且a≠1，﹣1≤x≤1）是增函数，
∵值域是[a﹣1﹣2，a﹣2]，∴ a＝3；
当0＜a＜1时，函数y＝ax﹣2（a＞0且a≠1，﹣1≤x≤1）是减函数，
∵值域是[a﹣2，a﹣1﹣2]，∴ ．
综上所述，可得实数a＝3或
故选：C．
5．（3分）（2021秋 姜堰区校级期中）已知，，将a，b，c按照从小到大的顺序排列为（ ）
A．c，b，a B．b，a，c C．c，a，b D．b，c，a
【解题思路】结合指数函数的单调性即可比较函数值的大小．
【解答过程】解：a＝（）﹣0.3＝（）0.3∈（0，1），c＝（）∈（0，1）且（）0.3＞（），b＝1.10.7＞1，
所以b＞a＞c．
故选：C．
6．（3分）（2021秋 平罗县校级期中）如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图像，则下列结论正确的是（ ）
A．0＜a＜b＜1＜c＜d B．0＜b＜a＜1＜d＜c
C．1＜a＜b＜c＜d D．0＜a＜b＜1＜d＜c
【解题思路】作直线x＝1，根据直线x＝1与四个指数函数图像交点的纵坐标即可判断出a，b，c，d的大小关系．
【解答过程】解：作直线x＝1与四个指数函数图像交点的坐标分别为（1，a），（1，b），（1，c），（1，d），
由图像可知纵坐标的大小关系为0＜b＜a＜1＜d＜c，
故选：B．
7．（3分）（2021春 昌吉州期末）若函数在（1，3）上是增函数，则关于x的不等式ax﹣1＞1的解集为（ ）
A．{x|x＞1} B．{x|x＜1} C．{x|x＞0} D．{x|x＜0}
【解题思路】根据二次函数的单调性以及复合函数的单调性求出x的范围即可．
【解答过程】解：y＝2x2﹣3x+1的对称轴是x，开口向上，
故函数在（1，3）递增，
而f（x）在（1，3）递增，
根据复合函数同增异减的原则，a＞1，
则ax﹣1＞1＝a0，故x﹣1＞0，解得：x＞1，
故选：A．
8．（3分）（2021秋 自贡期末）函数1对于定义域内任意x1，x2（x1≠x2），下述四个结论中．
①f（0）＝2；
②f（x1）f（x2）＝f（x1+x2）；
③；
④0．
其中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【解题思路】直接把x＝0代入f（x）解析式可判断①的正误，利用有理数指数幂的运算性质可判断②的正误，由基本不等式可判断③的正误，由指数函数y的单调性可判断④的正误．
【解答过程】解：对于①，f（0）1＝2，故①正确，
对于②，∵f（x1）f（x2）＝[1][1]1，f（x1+x2）1，
∴f（x1）f（x2）≠f（x1+x2），故②错误，
对于③，由于0，0，且x1≠x2，
∴1
而1，
∴，故③正确，
对于④，由y为R上的减函数可得，0，故④正确，
故正确的个数是3个，
故选：B．
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2021秋 南关区校级期中）下列不等式中正确的有（ ）
A．30.7＞30.8 B．（）0.2＞（）0.3
C．20.2＜30.2 D．0.225
【解题思路】利用指数函数的单调性比较选项A，B，利用幂函数的单调性比较选项C，D．
【解答过程】解：对于选项A：因为函数y＝3x在R上单调递增，且0.7＜0.8，所以30.7＜0.30.8，故选项A错误，
对于选项B：因为函数y在R上单调递减，且0.2＜0.3，所以，故选项B正确，
对于选项C：因为函数y＝x0.2在（0，+∞）上单调递增，且2＜3，所以20.2＜30.2，故选项C正确，
对于选项D：因为，，且幂函数在（0，+∞）上单调递增，所以，故选项D正确，
故选：BCD．
10．（4分）（2021秋 沈阳期末）函数f（x）＝ax﹣b（a＞0且a≠1），图像经过二，三，四象限，则下列结论正确的是（ ）
A．0＜ab＜1 B．0＜ba＜1 C．ab＞1 D．ba＞1
【解题思路】根据指数函数图象特点分析可解决此题．
【解答过程】解：若函数f（x）＝ax﹣b（a＞0且a≠1）的图像经过二，三，四象限，则0＜a＜1且b＞1，
可知0＜ab＜1，ba＞1，∴AD对，BC错．
故选：AD．
11．（4分）（2021秋 运城月考）对于函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1），g（x）＝ax2﹣x，在同一直角坐标系下的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据指数函数的性质，分0＜a＜1和a＞1两种情况对各选项进行验证即可得到结论．
【解答过程】解：当a＞1时，f（x）＝ax是指数函数，单调递增，且图象过点（0，1），而g（x）＝ax2﹣x＝a（x）2，对称轴x1，故A正确，B错误，
当0＜a＜1时，f（x）＝ax是指数函数，单调递减，且图象过点（0，1），而g（x）＝ax2﹣x＝a（x）2，对称轴x，故D正确，C错误，
故选：AD．
12．（4分）（2021秋 石家庄期末）下列结论中，正确的是（ ）
A．函数y＝2x﹣1是指数函数
B．函数y＝ax2+1（a＞1）的值域是[1，+∞）
C．若am＞an（a＞0，a≠1），则m＞n
D．函数f（x）＝ax﹣2﹣3（a＞0，a≠1）的图象必过定点（2，﹣2）
【解题思路】A中，根据指数函数的定义判断函数y＝2x﹣1不是指数函数；
B中，根据二次函数的图象与性质，求出函数y＝ax2+1的值域；
C中，根据0＜a＜1时指数函数y＝ax单调递减，判断am＞an时m＜n；
D中，根据指数函数的图象与性质求出f（x）的图象过定点（2，﹣2）．
【解答过程】解：对于A，根据指数函数的定义是y＝ax，（其中a＞1且a≠1），x是自变量，判断函数y＝2x﹣1不是指数函数，选项A错误；
对于B，函数y＝ax2+1，当a＞1时，该函数的图象是抛物线，且开口向上，所以y＝ax2+1的值域是[1，+∞），选项B正确；
对于C，0＜a＜1时，指数函数y＝ax单调递减，由am＞an得m＜n，所以选项C错误；
对于D，函数f（x）＝ax﹣2﹣3中，令x﹣2＝0，x＝2，y＝f（2）＝1﹣3＝﹣2，f（x）的图象必过定点（2，﹣2），选项D正确．
故选：BD．
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2022春 兴庆区校级期末）函数的值域是 ．
【解题思路】由题意，利用指数函数的单调性，求得函数的值域．
【解答过程】解：∵函数 y在R上单调递减，﹣3≤x≤1，故当x＝1时，函数y取得最小值为；
当x＝﹣3时，函数y取得最大值为8，
故函数的值域是[，8]，
故答案为：．
14．（4分）（2022春 合肥期末）实数a＝0.50.6，b＝0.60.5，c＝20.5的大小关系为 c＞b＞a ．
【解题思路】由题意利用指数函数、幂函数的单调性，得出结论．
【解答过程】解：∵a＝0.50.6，b＝0.60.5，c＝20.5，
函数y＝x0.5 是（0，+∞）上的增函数，2＞0.6，∴c＞b．
∵y＝2x是R上的增函数，a＝0.50.6＝2﹣0.6，﹣0.6＜0.5，
∴a＜c，即c＞a．
∵y＝0.5x是R上的减函数，0.6＞0.5，∴0.50.6＜0.50.5＜0.60.5，∴a＜b．
综上可得，
故答案为：c＞b＞a．
15．（4分）若指数函数f（x）的图象过点（﹣2，4），则不等式的解集是 （﹣1，1） ．
【解题思路】设指数函数f（x）＝ax，由题意运用代入法可得a，即有（）x+2x，化简整理，结合指数函数的单调性，即可得到所求解集．
【解答过程】解：指数函数f（x）＝ax的图象过点（﹣2，4），
可得a﹣2＝4，
解得a，
不等式，
即为（）x+2x，
即为2 （2x）2﹣5 2x+2＜0，
化为2x＜2，
解得﹣1＜x＜1，
则原不等式的解集为（﹣1，1）．
故答案为：（﹣1，1）．
16．（4分）（2021秋 普宁市期末）已知a＞0且a≠1，函数f（x）＝ax﹣2﹣2的图像恒经过定点（m，n），正数b、c满足b+c＝m+n，则的最小值为 9 ．
【解题思路】先求出指数函数过定点（2，﹣1），得到b+c＝1，再利用基本不等式求最值即可．
【解答过程】解：令x﹣2＝0，则x＝2，y＝﹣1，∴函数f（x）＝ax﹣2﹣2的图像恒经过定点（2，﹣1），
∵函数f（x）＝ax﹣2﹣2的图像恒经过定点（m，n），
∴m＝2，n＝﹣1，∴b+c＝m+n＝1，
∴（）（b+c）5≥25＝9，
当且仅当，即b，c时取等号，
则的最小值为9，
故答案为：9．
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2021秋 阳春市校级月考）已知函数f（x）＝ax﹣1（x≥0）的图象经过点，其中a＞0，且a≠1．
（1）求a的值；
（2）求函数y＝f（x）（x≥3）的值域．
【解题思路】（1）代入点列方程即可求解；
（2）根据指数函数的单调性即可求值域．
【解答过程】解：（1）由，得；
（2）由（1）知，，∵x≥3，∴x﹣1≥2∴，即值域为．
18．（6分）（2022春 增城区期末）已知函数f（x）＝ax+b（a＞0，a≠1）．
（1）若f（x）图象过点（0，2），求b的值；
（2）若函数f（x）在区间[2，3]上的最大值比最小值大，求a的值．
【解题思路】（1）将点的坐标代入求出b的值；
（2）分0＜a＜1与a＞1两种情况，根据函数单调性表达出最大值和最小值，列出方程，求a的值．
【解答过程】解：（1）函数f（x）＝ax+b（a＞0，a≠1），f（x）图象过点（0，2），
∴f（0）＝a0+b＝1+b＝2，
解得b＝1；
（2）当0＜a＜1时，f（x）在区间[2，3]上单调递减，
此时f（x）max＝f（2）＝a2+1，f（x）min＝f（3）＝a3+1，
∴a2+1﹣（a3+1），解得a或a＝0（舍），
当a＞1时，f（x）在区间[2，3]上单调递增，
此时f（x）min＝f（2）＝a2+1，f（x）max＝f（3）＝a3+1，
∴，解得a或a＝0（舍），
综上，a的值为或．
19．（8分）（2022 永泰县校级开学）已知函数y＝（a﹣1）x是指数函数．
（1）该指数函数的图象经过点（2，4），求函数的表达式；
（2）解关于x的不等式：．
【解题思路】（1）把点（2，4）代入函数解析式，结合指数函数的定义可求a，进而可求函数解析式；
（2）结合指数函数的单调性即可求解．
【解答过程】解：（1）由题意得（a﹣1）2＝4且a﹣1＞0，
所以a﹣1＝2，
所以y＝2x；
（2）由于a﹣1＞0且a﹣1≠1，即a＞1且a≠2，原不等式可转化为|3x﹣4|＜3，
解得x，
故不等式的解集为{x|x}．
20．（8分）（2022春 凉州区期末）已知指数函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1），过点（2，4）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（2m﹣1）﹣f（m+3）＜0，求实数m的取值范围．
【解题思路】（Ⅰ）将点的坐标代入解析式，求出a的值，即可得到答案；
（Ⅱ）确定函数f（x）的单调性，然后将不等式变形为f（2m﹣1）＜f（m+3），利用单调性去掉“f”，求解即可．
【解答过程】解：（Ⅰ）指数函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1），过点（2，4），
则4＝a2，解得a＝2，
所以f（x）＝2x；
（Ⅱ）由①可知，f（x）＝2x，则f（x）在R上为单调递增函数，
不等式f（2m﹣1）﹣f（m+3）＜0，等价于f（2m﹣1）＜f（m+3），
所以2m﹣1＜m+3，解得m＜4，
所以实数m的取值范围为（﹣∞，4）．
21．（8分）（2021秋 五华区校级期中）已知函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）的图象经过点（2，）．
（1）求a的值；
（2）比较f（2）与f（b2+2）的大小；
（3）求函数f（x）（x≥0）的值域．
【解题思路】（1）代值计算即可，
（2）根据指数函数的单调性即可求出，
（3）根据指数函数的单调性和二次函数函数的性质即可求出．
【解答过程】解：（1）f（x）＝ax（a＞0且a≠1）的图象经过点（2，），
∴a2，
∴a．
（2）∵f（x）＝（）x在R上单调递减，
又2≤b2+2，
∴f（2）≥f（b2+2），
（3）∵x≥0，x2﹣2x≥﹣1，
∴（）﹣1＝3．
∴f（x）的值域为（0，3]．
22．（8分）（2021秋 攀枝花期末）某药物研究所开发了一种新药，根据大数据监测显示，病人按规定的剂量服药后，每毫升血液中含药量y（微克）与时间x（小时）之间的关系满足：前1小时内成正比例递增，1小时后按指数型函数y＝max﹣1（m，a为常数，且0＜a＜1）图象衰减．如图是病人按规定的剂量服用该药物后，每毫升血液中药物含量随时间变化的曲线．
（Ⅰ）当a时，求函数y＝f（x）的解析式，并求使得y≥1的x的取值范围；
（Ⅱ）研究人员按照M的值来评估该药的疗效，并测得M时此药有疗效．若病人某次服药后测得x＝3时每毫升血液中的含药量为y＝8，求此次服药有疗效的时长．
【解题思路】（Ⅰ）根据图像求出解析式；令y≥1直接解出x的取值范围；
（Ⅱ）先求出，得到，根据单调性计算出的解集即可．
【解答过程】解：（Ⅰ）当0≤x≤1时，y与x成正比例，设为y＝kx，则16＝k×1 k＝16；
所以m＝k＝16，当时，故，
当0≤x≤1时，令y≥1解得：，∴，
当x＞1时，令y≥1得：，∴1＜x≤3，
综上所述，使得y≥1的x的取值范围为：．
（Ⅱ）当x＝3时，y＝16a2＝8，解得．
所以，则，
令，解得x＝4，
由单调性可知的解集为x∈[0，4]，所以此次服药产生疗效的时长为4小时．专题4.4 指数函数-重难点题型检测
【人教A版2019】
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2021秋 红岗区校级期末）下列各函数中，是指数函数的是（ ）
A．y＝（﹣3）x B．y＝﹣3x C．y＝3x﹣1 D．y＝（）x
2．（3分）（2021秋 湖州期中）某地国民生产总值每年平均比上一年增长7%，专家预测经过x年可能增长到原来的y倍，则函数y＝f（x）的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）（2021秋 裕安区校级月考）若函数f（x）＝（a﹣1） ax是指数函数，则f（）的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣2 D．2
4．（3分）（2022秋 绥滨县校级期中）函数y＝ax﹣2（a＞0且a≠1，﹣1≤x≤1）的值域是，则实数a＝（ ）
A．3 B． C．3或 D．或
5．（3分）（2021秋 姜堰区校级期中）已知，，将a，b，c按照从小到大的顺序排列为（ ）
A．c，b，a B．b，a，c C．c，a，b D．b，c，a
6．（3分）（2021秋 平罗县校级期中）如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图像，则下列结论正确的是（ ）
A．0＜a＜b＜1＜c＜d B．0＜b＜a＜1＜d＜c
C．1＜a＜b＜c＜d D．0＜a＜b＜1＜d＜c
7．（3分）（2021春 昌吉州期末）若函数在（1，3）上是增函数，则关于x的不等式ax﹣1＞1的解集为（ ）
A．{x|x＞1} B．{x|x＜1} C．{x|x＞0} D．{x|x＜0}
8．（3分）（2021秋 自贡期末）函数1对于定义域内任意x1，x2（x1≠x2），下述四个结论中．
①f（0）＝2；
②f（x1）f（x2）＝f（x1+x2）；
③；
④0．
其中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2021秋 南关区校级期中）下列不等式中正确的有（ ）
A．30.7＞30.8 B．（）0.2＞（）0.3
C．20.2＜30.2 D．0.225
10．（4分）（2021秋 沈阳期末）函数f（x）＝ax﹣b（a＞0且a≠1），图像经过二，三，四象限，则下列结论正确的是（ ）
A．0＜ab＜1 B．0＜ba＜1 C．ab＞1 D．ba＞1
11．（4分）（2021秋 运城月考）对于函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1），g（x）＝ax2﹣x，在同一直角坐标系下的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
12．（4分）（2021秋 石家庄期末）下列结论中，正确的是（ ）
A．函数y＝2x﹣1是指数函数
B．函数y＝ax2+1（a＞1）的值域是[1，+∞）
C．若am＞an（a＞0，a≠1），则m＞n
D．函数f（x）＝ax﹣2﹣3（a＞0，a≠1）的图象必过定点（2，﹣2）
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2022春 兴庆区校级期末）函数的值域是 ．
14．（4分）（2022春 合肥期末）实数a＝0.50.6，b＝0.60.5，c＝20.5的大小关系为 ．
15．（4分）若指数函数f（x）的图象过点（﹣2，4），则不等式的解集是 ．
16．（4分）（2021秋 普宁市期末）已知a＞0且a≠1，函数f（x）＝ax﹣2﹣2的图像恒经过定点（m，n），正数b、c满足b+c＝m+n，则的最小值为 ．
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2021秋 阳春市校级月考）已知函数f（x）＝ax﹣1（x≥0）的图象经过点，其中a＞0，且a≠1．
（1）求a的值；
（2）求函数y＝f（x）（x≥3）的值域．
18．（6分）（2022春 增城区期末）已知函数f（x）＝ax+b（a＞0，a≠1）．
（1）若f（x）图象过点（0，2），求b的值；
（2）若函数f（x）在区间[2，3]上的最大值比最小值大，求a的值．
19．（8分）（2022 永泰县校级开学）已知函数y＝（a﹣1）x是指数函数．
（1）该指数函数的图象经过点（2，4），求函数的表达式；
（2）解关于x的不等式：．
20．（8分）（2022春 凉州区期末）已知指数函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1），过点（2，4）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（2m﹣1）﹣f（m+3）＜0，求实数m的取值范围．
21．（8分）（2021秋 五华区校级期中）已知函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）的图象经过点（2，）．
（1）求a的值；
（2）比较f（2）与f（b2+2）的大小；
（3）求函数f（x）（x≥0）的值域．
22．（8分）（2021秋 攀枝花期末）某药物研究所开发了一种新药，根据大数据监测显示，病人按规定的剂量服药后，每毫升血液中含药量y（微克）与时间x（小时）之间的关系满足：前1小时内成正比例递增，1小时后按指数型函数y＝max﹣1（m，a为常数，且0＜a＜1）图象衰减．如图是病人按规定的剂量服用该药物后，每毫升血液中药物含量随时间变化的曲线．
（Ⅰ）当a时，求函数y＝f（x）的解析式，并求使得y≥1的x的取值范围；
（Ⅱ）研究人员按照M的值来评估该药的疗效，并测得M时此药有疗效．若病人某次服药后测得x＝3时每毫升血液中的含药量为y＝8，求此次服药有疗效的时长．
