专题4.1 指数-重难点题型精讲
1．根式
(1)n次方根的定义与性质
(2)根式的定义与性质
2．分数指数幂
注：分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂是根式的一种新的写法，不可理解为个a相乘.在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已.
3．有理数指数幂的运算
(1)规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数r，s，均有下面的运算性质：
①(a>0,r,s∈Q)；
②(a>0,r,s∈Q)；
③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).
(2)指数幂的几个常用结论：
①当a>0时，>0；
②当a≠0时，=1，而当a=0时，无意义；
③若(a>0,且a≠1)，则r=s；
④乘法公式仍适用于分数指数幂.
4．无理数指数幂及实数指数幂
(1)无理数指数幂
一般地，无理数指数幂(a>0,是无理数)是一个确定的实数.这样，我们就将指数幂(a>0)中指数x
的取值范围从整数逐步拓展到了实数.
(2)实数指数幂的运算性质：
整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，区别只有指数的取值范围不同.
【题型1 根式与分数指数幂的互化】
【方法点拨】
根据根式与分数指数幂的互化运算法则，进行计算即可.
【例1】（2022 扬中市校级开学）下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是（ ）
A．（x≠0）
B．
C．（xy≠0）
D．（y＜0）
【解题思路】由已知结合二次根式与分数指数幂的相互转化分别检验各选项即可判断．
【解答过程】解：x，A错误；
，B错误；
（），C正确；
，D错误．
故选：C．
【变式1-1】（2022 茂名模拟）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据指数幂的运算法则化简判断即可．
【解答过程】解：对于A：，故A不成立；
对于B：（x＞0），故B成立；
对于C：，故C不成立；
对于D：[]，x＜0，故D不成立．
故选：B．
【变式1-2】（2021秋 电白区期中）下列根式中，分数指数幂的互化，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】利用根式与分数指数幂的关系得出A（x＞0），，（x＞0），，从而选出答案．
【解答过程】解：A．（x＞0）故A错；
B. 故B错；
C.（x＞0）故C正确；
D.故D错
故选：C．
【变式1-3】（2021秋 水磨沟区校级月考）下列根式与分数指数幂的互化，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据有理数指数幂与根式互化的运算性质对应各个选项逐个化简即可．
【解答过程】解：选项A：由运算性质可得：），故A错误；
选项B：因为x≤0，所以，故B错误，
选项C：x，（x＞0），故C正确，
选项D：x，（x≠0），故D错误，
故选：C．
【题型2 指数式的化简】
【方法点拨】
利用指数幂的运算性质，进行化简计算即可．
【例2】（2021秋 惠阳区校级月考）（1）0﹣（1﹣0.5﹣2）的值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据指数幂的运算性质即可求出．
【解答过程】解：原式＝1﹣（1﹣4）÷（）2＝1+3．
故选：D．
【变式2-1】（2021秋 杭州期中）（ ）
A． B． C． D．32
【解题思路】利用有理数指数幂的运算性质求解．
【解答过程】解：原式2﹣1＝31，
故选：C．
【变式2-2】（2021秋 龙湖区校级期末）设a＞0，b＞0，化简的结果是（ ）
A． B． C． D．﹣3a
【解题思路】利用有理数指数幂的性质进行运算即可．
【解答过程】解：abab3a．
故选：D．
【变式2-3】（2021秋 秦淮区校级月考）计算的值为（ ）
A． B．e C．e2 D．2
【解题思路】根据指数幂的运算性质计算即可．
【解答过程】解：原式1﹣1+ee，
故选：B．
【题型3 根据指数式求参】
【方法点拨】
根据所给的指数关系式，利用指数幂的运算性质，化简求解参数的值.
【例3】（2021秋 海陵区校级月考）已知x7＝5，则x的值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据根式性质计算即可．
【解答过程】解：由根式的定义知x7＝5，则．
故选：B．
【变式3-1】（2021 广东学业考试）已知4，则x等于（ ）
A． B．±8 C． D．
【解题思路】把已知等式变形，可得，进一步得到，则x值可求．
【解答过程】解：由4，得，即，
∴，得x．
故选：A．
【变式3-2】（2022秋 诸暨市校级月考）若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．R
【解题思路】先对进行化简，然后根据绝对值方程|m|＝﹣m则m≤0进行求解即可．
【解答过程】解：∵，
∴|2a﹣1|＝1﹣2a
则2a﹣1≤0解得a
故选：B．
【变式3-3】（2021秋 聊城期中）若，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，3） B．（﹣∞，] C．[，+∞） D．（，+∞）
【解题思路】根据，以及|a|可得．
【解答过程】解：∵||，
∴1﹣3a≥0，∴a．
故选：B．
【题型4 指数式的给条件求值问题】
【方法点拨】
利用指数幂的运算性质解决带有附加条件的求值问题，一般有三种思路：
(1)将条件中的式子用待求式表示出来，进而代入化简得出结论.
(2)当直接代入不易求解时，可以从总体上把握已知,式和所求式的特点，从而快速巧妙求解.一般先利用平方
差、立方和(差)以及完全平方公式及其变形进行化简，再用整体代入法来求值.
(3)适当应用换元法，能使公式的使用更清晰，过程更简洁.
【例4】（2021秋 昌吉州期末）已知a4，则等于（ ）
A．2 B． C． D．±
【解题思路】推导出（）2＝a2，由此能求出的值．
【解答过程】解：∵a4，
∴（）2＝a2＝4﹣2＝2，
∴．
故选：D．
【变式4-1】（2022 长沙县校级开学）若0＜a＜1，b＞0，且ab﹣a﹣b＝﹣2，则ab+a﹣b的值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据题意，由ab﹣a﹣b＝﹣2变形可得（ab﹣a﹣b）2＝a2b+a﹣2b﹣2＝4，由此求出a2b+a﹣2b的值，又由（ab+a﹣b）2＝a2b+a﹣2b+2，变形计算可得答案．
【解答过程】解：根据题意，ab﹣a﹣b＝﹣2，则（ab﹣a﹣b）2＝a2b+a﹣2b﹣2＝4，则有a2b+a﹣2b＝6，
又由（ab+a﹣b）2＝a2b+a﹣2b+2＝6+2＝8，则有ab+a﹣b＝±2，
又由0＜a＜1，b＞0，ab+a﹣b＞0，则有ab+a﹣b＝2，
故选：A．
【变式4-2】（2021秋 泉山区校级月考）已知10m＝2，10n＝3，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用指数幂的运算性质即可得出．
【解答过程】解：∵10m＝2，10n＝3，
∴10n33，
故选：D．
【变式4-3】（2021秋 瓯海区校级月考）已知实数a，b满足，则a+b＝（ ）
A．﹣1 B．1 C．±1 D．0
【解题思路】设m＝a，n＝b，则mn＝1，化简a，所以a，同理b，进而可求出a+b的值．
【解答过程】解：∵实数a，b满足，∴与（b）互为倒数，
设m＝a，n＝b，
则（a）a，
所以m（a）＝2a，则a，
同理可得b，
因为mn＝1，所以n，m，
所以a，b，
所以a+b0，
故选：D．
【题型5 指数幂等式及幂的方程问题】
【方法点拨】
指数方程常见的类型有：(1) f(x)=g(x)；(2)=0.
其中类型(1)利用同底法解，类型(2)利用换元法解.
【例5】（2021秋 兴庆区校级期末）方程的解是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1
【解题思路】利用指数的运算性质即可解出．
【解答过程】解：∵方程，∴3x﹣1＝3﹣2，∴x﹣1＝﹣2，∴x＝﹣1，因此方程的解是x＝﹣1．
故选：B．
【变式5-1】（2021 阎良区校级自主招生）方程5x﹣1 103x＝8x的解集是（ ）
A．{1，4} B．{} C．{1，} D．{4，}
【解题思路】先把103x转化为53x23x，8x＝23x，然后再化简求值即可．
【解答过程】解：原方程可化为：5x﹣153x23x＝23x，即54x﹣1＝1，解得：x．
故选：B．
【变式5-2】（2022春 汪清县校级月考）方程4x﹣1的解为（ ）
A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．1
【解题思路】由4x﹣14﹣2，得x﹣1＝﹣2，由此能求出方程4x﹣1的解．
【解答过程】解：∵4x﹣14﹣2，
∴x﹣1＝﹣2，
∴x＝﹣1．
故选：C．
【变式5-3】（2021秋 青浦区期末）方程4x﹣10 2x+16＝0的解集是 {1，3} ．
【解题思路】利用换元法将方程转化为一元二次方程进行求解即可．
【解答过程】解：由4x﹣10 2x+16＝0得（2x）2﹣10 2x+16＝0，
设t＝2x，则t＞0，
则原方程等价为t2﹣10t+16＝0，即（t﹣2）（t﹣8）＝0，
解得t＝2或t＝8．
由t＝2x＝2，解得x＝1．
由t＝2x＝8，解得x＝3．
故方程的解集为{1，3}．
故答案为：{1，3}．
【题型6 指数幂等式的证明】
【方法点拨】
指数幂等式的证明中，设辅助参数是对数学问题的“层次性”的深刻认识的体现，是把复杂问题转化为两个或多个基本问题的重要分析方法.
【例6】已知a＞0且a≠1，（2a）m＝a，（3a）m＝2a，求证：（）mn＝2n．
【解题思路】由，得到（）m＝2，由此能证明（）mn＝2n．
【解答过程】证明：∵a＞0且a≠1，（2a）m＝a，（3a）m＝2a，
∴，
∴（）m＝2，
∴（）mn＝[（）m]n＝2n．
∴（）mn＝2n．
【变式6-1】已知，求证：3k2+2＝2m2．
【解题思路】由，化为2|m|2+3k2，两边平方整理利用完全平方公式即可得出．
【解答过程】证明：∵，
∴2|m|2+3k2，
两边平方可得：4m2（3k2+2﹣m2）＝（2+3k2）2，
化为（3k2+2﹣2m2）2＝0，
∴3k2+2＝2m2．
【变式6-2】已知：a＞0，b＞0，且ab＝ba，求证：（）．
【解题思路】根据分式指数幂的定义和运算法则进行证明即可．
【解答过程】证明：要证明：（）．
只要证明，
即证明（）a＝aa﹣b，
即，
即证明ba＝ab，成立，
∵ab＝ba成立，
∴：（）．
【变式6-3】已知ax3＝by3＝cz3，且1，求证：（ax2+by2+cz2）．
【解题思路】设ax3＝by3＝cz3＝t3，则t（）＝t，再推导出（ax2+by2+cz2）t．由此能证明（ax2+by2+cz2）．
【解答过程】证明：∵ax3＝by3＝cz3，且1，
∴设ax3＝by3＝cz3＝t3，∴a，b，c，
∵t（）＝t，
（ax2+by2+cz2）t．
∴（ax2+by2+cz2）．专题4.1 指数-重难点题型精讲
1．根式
(1)n次方根的定义与性质
(2)根式的定义与性质
2．分数指数幂
注：分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂是根式的一种新的写法，不可理解为个a相乘.在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已.
3．有理数指数幂的运算
(1)规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数r，s，均有下面的运算性质：
①(a>0,r,s∈Q)；
②(a>0,r,s∈Q)；
③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).
(2)指数幂的几个常用结论：
①当a>0时，>0；
②当a≠0时，=1，而当a=0时，无意义；
③若(a>0,且a≠1)，则r=s；
④乘法公式仍适用于分数指数幂.
4．无理数指数幂及实数指数幂
(1)无理数指数幂
一般地，无理数指数幂(a>0,是无理数)是一个确定的实数.这样，我们就将指数幂(a>0)中指数x
的取值范围从整数逐步拓展到了实数.
(2)实数指数幂的运算性质：
整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，区别只有指数的取值范围不同.
【题型1 根式与分数指数幂的互化】
【方法点拨】
根据根式与分数指数幂的互化运算法则，进行计算即可.
【例1】（2022 扬中市校级开学）下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是（ ）
A．（x≠0）
B．
C．（xy≠0）
D．（y＜0）
【变式1-1】（2022 茂名模拟）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（2021秋 电白区期中）下列根式中，分数指数幂的互化，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】（2021秋 水磨沟区校级月考）下列根式与分数指数幂的互化，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【题型2 指数式的化简】
【方法点拨】
利用指数幂的运算性质，进行化简计算即可．
【例2】（2021秋 惠阳区校级月考）（1）0﹣（1﹣0.5﹣2）的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2021秋 杭州期中）（ ）
A． B． C． D．32
【变式2-2】（2021秋 龙湖区校级期末）设a＞0，b＞0，化简的结果是（ ）
A． B． C． D．﹣3a
【变式2-3】（2021秋 秦淮区校级月考）计算的值为（ ）
A． B．e C．e2 D．2
【题型3 根据指数式求参】
【方法点拨】
根据所给的指数关系式，利用指数幂的运算性质，化简求解参数的值.
【例3】（2021秋 海陵区校级月考）已知x7＝5，则x的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2021 广东学业考试）已知4，则x等于（ ）
A． B．±8 C． D．
【变式3-2】（2022秋 诸暨市校级月考）若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．R
【变式3-3】（2021秋 聊城期中）若，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，3） B．（﹣∞，] C．[，+∞） D．（，+∞）
【题型4 指数式的给条件求值问题】
【方法点拨】
利用指数幂的运算性质解决带有附加条件的求值问题，一般有三种思路：
(1)将条件中的式子用待求式表示出来，进而代入化简得出结论.
(2)当直接代入不易求解时，可以从总体上把握已知,式和所求式的特点，从而快速巧妙求解.一般先利用平方
差、立方和(差)以及完全平方公式及其变形进行化简，再用整体代入法来求值.
(3)适当应用换元法，能使公式的使用更清晰，过程更简洁.
【例4】（2021秋 昌吉州期末）已知a4，则等于（ ）
A．2 B． C． D．±
【变式4-1】（2022 长沙县校级开学）若0＜a＜1，b＞0，且ab﹣a﹣b＝﹣2，则ab+a﹣b的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2021秋 泉山区校级月考）已知10m＝2，10n＝3，则（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（2021秋 瓯海区校级月考）已知实数a，b满足，则a+b＝（ ）
A．﹣1 B．1 C．±1 D．0
【题型5 指数幂等式及幂的方程问题】
【方法点拨】
指数方程常见的类型有：(1) f(x)=g(x)；(2)=0.
其中类型(1)利用同底法解，类型(2)利用换元法解.
【例5】（2021秋 兴庆区校级期末）方程的解是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1
【变式5-1】（2021 阎良区校级自主招生）方程5x﹣1 103x＝8x的解集是（ ）
A．{1，4} B．{} C．{1，} D．{4，}
【变式5-2】（2022春 汪清县校级月考）方程4x﹣1的解为（ ）
A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．1
【变式5-3】（2021秋 青浦区期末）方程4x﹣10 2x+16＝0的解集是 ．
【题型6 指数幂等式的证明】
【方法点拨】
指数幂等式的证明中，设辅助参数是对数学问题的“层次性”的深刻认识的体现，是把复杂问题转化为两个或多个基本问题的重要分析方法.
【例6】已知a＞0且a≠1，（2a）m＝a，（3a）m＝2a，求证：（）mn＝2n．
【变式6-1】已知，求证：3k2+2＝2m2．
【变式6-2】已知：a＞0，b＞0，且ab＝ba，求证：（）．
【变式6-3】已知ax3＝by3＝cz3，且1，求证：（ax2+by2+cz2）．
