按秘密级事项管理★启用前
2023—2024 学年第一学期期末学业水平检测
高一数学试题参考答案及评分标准
2024 年 01月
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
题型 一、单项选择题 二、多项选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B B C B A B C D CD AB BD BC
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
1
13. - a ； 14． ； 15. 3 ； 16. 0 .
2
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. (本小题满分 10 分)
如图所示，将一矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛 AMPN，要
求 B 点在 AM 上，D 点在 AN 上，且对角线 MN 过 C 点，已知 AB 3米，AD 4
米 .
高一数学答案 第 1 页 共 8 页
{#{QQABAQIEggiIAAAAAQgCEwGoCACQkBEACCoOhEAIMAIASRNABAA=}#}
（Ⅰ）要使矩形 AMPN 的面积大于 50 平方米，则 DN 的长应在什么范
围？
（Ⅱ）当 DN 的长为多少米时，矩形花坛 AMPN 的面积最小？并求出最
小值 .
解: （Ⅰ）设 DN 的长为 x x 0 米，则 AN x 4米 ----------------1分
DN DC
AN AM
3 x 4
AM ----------------------------------- 2分
x
2
3 x 4
SAMPN AN AM ---------------------------- 3分
x
由矩形 AMPN 的面积大于50得：
2
3 x 4
50 -------------------------------- 4 分
x
又 x 0，得：3x2 26x 48 0，
高一数学答案 第 2 页 共 8 页
{#{QQABAQIEggiIAAAAAQgCEwGoCACQkBEACCoOhEAIMAIASRNABAA=}#}
8
解得：0 x 或 x 6 ---------------------------- 5分
3
8
即 DN 长的取值范围为： 0, 6, ------------------ 6分
3
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：矩形花坛 AMPN 的面积为：
3(x 4)2 3x2 24x 48 48 48
y 3x 24 2 3x 24 48 ---- 8分
x x x x
48
当且仅当3x ，
x
即 x 4时，矩形花坛 AMPN 的面积取得最小值 48 ------------------- 9分
故 DN 的长为 4米时，矩形 AMPN 的面积最小，最小值为 48平方米------ 10分
18. (本小题满分 12 分)
（Ⅰ）已知 p∈R,试比较（ 2p+1)(p-3) 与 (p-6)(p+3)+10 的大小 .
3
（Ⅱ）已知命题 p: > 1,命题 q:x 2-5 mx+4 m 2≤0,其中 m∈R .
2
当 m>0 时 ,若 q 是 p 的必要不充分条件，求实数 m 的取值范围 .
解: （Ⅰ）∵ （ 2p+1)(p-3) - [ (p-6)(p+3)+10}]---------------------1 分
2
= p -2p+5 ---------------------------------------- 2 分
2
= (p-1) + 4 >0 --------------------------------------- 4 分
∴ （ 2p+1)(p-3) > (p-6)(p+3)+10 ----------------------5 分
3
（Ⅱ） ∵ > 1
2
3 2 5
∴ - = > 0 ---------------------------------- 6 分
2 2 2
∴ (x-2)(x-5) < 0 --------------------------------- 7 分
高一数学答案 第 3 页 共 8 页
{#{QQABAQIEggiIAAAAAQgCEwGoCACQkBEACCoOhEAIMAIASRNABAA=}#}
命题 p 对应不等式的解集为{x∣2 x 5}； -------------------8 分
2 2
又 x -5mx+4m ≤ 0
∴ (x-m)(x-4m) ≤ 0
当m 0时，不等式的解集为：{ x | m ≤ x ≤ 4m} ----------9 分
∴ 命题 q 对应不等式的解集为: { x | m ≤ x ≤ 4m} -------10 分
当 m>0 时 .若 q 是 p 的必要不充分条件 ,
即：{x∣2 x 5}是{ x | m ≤ x ≤ 4m}的真子集，
2 ≥ ,
∴ { ----------------------------------------------- 11 分
5 ≤ 4 ,
5 5
∴ ≤ m ≤ 2 ,即 m ∈ [ ， 2]. -------------------------12 分
4 4
19. (本小题满分 12 分)
2x 1 b
已知定义域为 R 的函数 f (x) x 是奇函数 . 2 a
（Ⅰ）求函数 f (x) 的解析式；
2 2
（Ⅱ）已知 g(x) | x |，若 t，m ∈ R，不等式 f (t 2t) f (2t k) g(m)恒
成立，求实数 k 的取值范围 .
2x 1 b
解：（Ⅰ）∵ f (x) 是定义域为 R 的奇函数，
2x a
∴ f (0) 0， f ( 1) f (1)，-------------------------------- 1 分
2 b
即 0， ----------------- --- ------------2 分
1 a
1 b 22 b
，------------ -------- -------- - ---3 分
2 1 a 2 a
解得b 2， a 1， ----------------- --- ------------4 分
高一数学答案 第 4 页 共 8 页
{#{QQABAQIEggiIAAAAAQgCEwGoCACQkBEACCoOhEAIMAIASRNABAA=}#}
2x 1 2
此时 f (x) ，
2x 1
2 x 1 2 2x 1 2 2 2x 2 2x 1 2
f ( x) f (x) 0，符合题意，
2 x 1 2x 1 2x 1 2x 1
2x 1 2
∴ f (x) . ------------------- -------- -------- - ----5 分
2x 1
（Ⅱ）∵ g(x) | x |，
∴ g(x) 0， --------------------- -------- -------- - ------------ ----6 分 min
∵ t，m ∈ R，不等式 f t2 2t f 2t2 k g(m) 恒成立，
∴ 2 2t R，不等式 f t 2t f 2t k 0恒成立， ---------------7 分
∴ t R，不等式 f t2 2t f 2t2 k f 2t2 k 恒成立，----8 分
2x 1 2 4
又 f (x) 2 ，
2x 1 2x 1
∴ 易知 f (x) 在 R 上单调递减， ----------------- ------------ -------- --9 分
2 2 2
∴ t R， t 2t 2t k ，即3t 2t k 0， ---------------- ---10 分
1 1
∴ 4 12k 0，解得 k ，即 k ∈ [-∞ ，- ] . - - - ------- ---- --12 分
3 3
20. (本小题满分 12 分）
已知 f(x) = 2 ,a∈ R .
（Ⅰ）当 a 1时，解不等式 f x 1；
高一数学答案 第 5 页 共 8 页
{#{QQABAQIEggiIAAAAAQgCEwGoCACQkBEACCoOhEAIMAIASRNABAA=}#}
1
（Ⅱ）设 a > 0，若对任意 t ,1 ，函数 f(x )在区间 t,t 1 上的最大值与
2
最小值的差不超过 1，求 a 的取值范围 .
解：（Ⅰ）当 a 1时， f(x) = 2 1 ---------------------------1 分
若 f x 1，则 2 1 > 1
∴ 1 > 2 ---------------------------------------------- 2 分
∴ > 1 --------------------------------------------------- 3 分
∴ 0∴ 不等式 f x 1的解集为（0 ， 1）. ------------------------5 分
（Ⅱ）因为 f(x)在 (0, )上单调递减，所以函数 f(x)在区间 t,t 1 上的最大值
与最小值的差为 f t f (t 1)， -------------------------------------------- 6 分
1 1
∴ f (t) f (t 1) log2 a log2 a 1 ----------7 分
t t 1
2 1
即at (a 1)t 1 0 对任意 t ,1 恒成立 ------------------8 分
2
∵a 0
2 1
∴ y at (a 1)t 1在 t ,1 上单调递增 -----------------9 分
2
2 1 1 3 1
∴ y at (a 1)t 1 a (a 1) 1= a
4 2 4 2
高一数学答案 第 6 页 共 8 页
{#{QQABAQIEggiIAAAAAQgCEwGoCACQkBEACCoOhEAIMAIASRNABAA=}#}
3
即 a - ≥ 0 ------------------------------------------ 10 分
4 2
2
∴ a ≥ ---------------------------------------------------- 11 分
3
2
∴ a 的取值范围是 [ ， +∞） . ------------------------------- 12 分
3
21. (本小题满分 12 分)
x
已知函数 f (x) 2 ， g(x) log2 x .
3 3
（Ⅰ）若 x0 是方程 f (x) x 的根，证明
x
2 0 是方程 g(x) x 的根；
2 2
5 5
（Ⅱ）设方程 f ( x 1) x， g(x 1) x的根分别是 x1 ， x2 ，求 x1 x2的2 2
值 .
3
解：（Ⅰ）证明：∵ x 是方程 f (x) x0 的根，
2
x 30
∴ 2 x0， ------------------- ----- ------------ ----1 分
2
3 x0
即 x0 2 ， --------------------- - ------------ ------2 分
2
3
g x0 x x2 log 02 2 x0 2 0 ， ------------- -------- -----4 分
2
3
x
∴ 2 0 是方程 g(x) x 的根. ------------- ------------ -5 分
2
x 1 5 5
（Ⅱ）由题意知，方程 2 x ， log2 (x 1) x 的根分别是 x1 ， x2 ， 2 2
2x 1
3 3
即方程 (x 1)，log2 (x 1) (x 1)的根分别为 x1 ，x2 ，----6 分 2 2
令 t x 1，
高一数学答案 第 7 页 共 8 页
{#{QQABAQIEggiIAAAAAQgCEwGoCACQkBEACCoOhEAIMAIASRNABAA=}#}
3 3
则方程 2
t t ， log2 t t 的根分别为 t1 x1 1， t2 x2 1，-----7 分
2 2
t 3
由（Ⅰ）知 t 是方程 2 t 的根， 1 2
则 2t
3
1 是方程 log2 t t 的根. ------------------ ------ ------------ ----8 分
2
3 t
令 h(t) log2 t t ，则 2 1 是 h(t) 的零点，
2
又因为 h(t) 是 (0, ) 上的增函数，
t
因此 2 1 是 h(t) 的唯一零点， ----------------- --- ------------ -------- ----10 分
3 t
即 2t1 是方程 log 2 1 t2 t t 的唯一根，即 2 ， --------------- -------11 分
2
t 3
∴ t1 t2 t 2
1
1 ，
2
3 3 7
即 x1 1 x2 1 ，故 x1 x2 2 . ------------------ -------12 分
2 2 2
22.(本小题满分 12分)
2
已知函数 f(x) = x -2ax +9 .
（Ⅰ）当 a 0时，设 g(x) = f(2 )，证明：函数 g (x)在 R 上单调递增；
（Ⅱ）若 x [1,2]， f 2x 0恒成立，求实数 a 的取值范围；
（Ⅲ）若函数 f (x) 在 ( 3,9)上有两个零点，求实数 a 的取值范围 .
x x x
解：（Ⅰ）证明： g(x) f 2 4 2a 2 9，
任取 x ， ，且 ， --------------------- - ------------ --1 分 1 x2 R x1 x2
高一数学答案 第 8 页 共 8 页
{#{QQABAQIEggiIAAAAAQgCEwGoCACQkBEACCoOhEAIMAIASRNABAA=}#}
则 g x g x x2 x x x 2 1 4 2a 2 2 9 4 1 2a 2 1 9
x x x x 4 1 4 1 2a 2 2 2 1
x2 x1 x2 x x x 2 2 2 2 1 2a 2 1 2 1
x x 2 2 2 1 x2 2 x 2 1 2a ， ------------------- ----- ---2 分
∵ 函数 y 2x 在 R 上单调递增，
x x
∴ 2 1 > 2 2， 即 2 2 2 1 0 ，
x x
又 2 2 2 1 0 ， a 0，
∴ 2 1 + 2 2 - 2a > 0 ,
∴ (2 1 - 2 2 ) (2 1 + 2 2 - 2a ) > 0 , ------------------------ -----3 分
∴ g( 2 ) - g( ) > 0 ,
∴ g( 2 ) > g( )
∴ 函数 g (x)在 R 上单调递增. --------------------- -------- ----4 分
x
（Ⅱ）设 t 2 (1 x 2) ，则 2 t 4，
x [1,2]， f 2x 0恒成立，
即 t [2,4]， t2 2at 9 0恒成立， -------------- -------- ----- ---5 分
9
即 2a t (t [2,4])， ------------------ -------- -------- - -------- 6 分
t
9
令 h(t) t (t [2,4]) ，
t
易得 h(t) 在[2,3]上单调递减，在[3, 4]上单调递增， ------------ ---7 分
13 25
又 h(2) ， h(4) ，
2 4
13
∴h(t)的最大值为 ，
2
3 13
∴2a ≥ ，即 a ，
2 4
高一数学答案 第 9 页 共 8 页
{#{QQABAQIEggiIAAAAAQgCEwGoCACQkBEACCoOhEAIMAIASRNABAA=}#}
13
∴实数 a 的取值范围为 , . ------------- ---- ------------ ----8 分
4
（Ⅲ）若函数 f (x) 在 ( 3,9)上有两个零点且 f (x) x2 2ax 9 的图象的对称轴为
直线 x a，
3 < < 9,
4 2 36 > 0,
∴ { --------------- -------10 分 3 > 0,
9 > 0,
解得3 a 5 . ------------- -------- -------- - ------------ -11 分
∴ 实数 a 的取值范围为 (3,5) . ------------------ ------------ -----12 分
高一数学答案 第 10 页 共 8 页
{#{QQABAQIEggiIAAAAAQgCEwGoCACQkBEACCoOhEAIMAIASRNABAA=}#}按秘密级事项管理★启用前
2023—2024 学年第一学期期末学业水平检测
高一数学试题 （2019 人教 A 版必修 1）
2024 年 01月
本试卷共 8 页，22 小题，满分 150 分.考试用时 120 分钟.
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座
位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案
信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区
域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔
和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合 A x, y x y 3 ，集合 B x, y x y 1 ，则 A B =
A． {2,1} B． { 2,1 } C． {x 2, y 1} D． 2,1
2．下列函数中为相同函数的是
高一数学 第 1 页 共 8 页
{#{QQABAQIEggiIAAAAAQgCEwGoCACQkBEACCoOhEAIMAIASRNABAA=}#}
A． f (x) (x 1)2 , g(x) x 1 B． f (x) x 1, g(t) t 1
x2
C． f (x) x2 1, g(x) x 1 x 1 D． f (x) x, g(x)
x
2
3．已知命题 P: x ∈ R , x + x + a < 0 .若命题 P 是假命题，则实数 a 的取值范
围是
1 1 1 1
A． ,0 , B． ,0 , C． , D． ,
4 4 4 4
4．下列说法中，正确的是
a b
A．若 a b， c d ，则 ac >bd B．若 ，则 a b
c2 c2
C．若 ac bc ，则 a b D． a b， c d ，则 a- c >b- d
2 2
5．已知点 ( , ) 在幂函数 y = f ( x )的图象上，则 f ( x )的表达式
2 4
3 x 2 1
A． f (x) x B． f (x) C． f (x) x D． f (x) ( )x
3 2
6． “ x 2 ”是 “ x 2 ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
x
7. 设 f(x)＝ 3 ＋ 3x－ 8，用二分法求方程近似解的过程中得 f(1)<0，f(1.5)>0，
f(1.25)<0，则据此可得该方程的零点所在区间是
A． (1, 1.25) B． (1.5, 2) C． (1.25, 1.5) D．不能确定
高一数学 第 2 页 共 8 页
{#{QQABAQIEggiIAAAAAQgCEwGoCACQkBEACCoOhEAIMAIASRNABAA=}#}
x2 x 2 , x a
8．设函数 f (x) 是定义在 R 上的增函数，则实数 a 的取值
ax 6, x a
范围是
A． 2, B． 0,3 C． 2,3 D． 2,4
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9．满 足 M {a 1 , a 2 , a 3 , a 4 },且 M∩{ a 1 , a 2 , a 3 } = {a 1 , a 2 }的 集 合 M
可 能 是
A． a1,a2 ,a3,a4 B． a1,a2 ,a3 C． a1,a2 ,a4 D． a1,a2
10．下列命题正确的是
A． x 0， x2 2x 3 0 B． x 0 ，都有 | x | x
C． x R， 2 * 2x x D． n N ， 2n 5n 2能被 2 整除是假命题
11．函数 y f (x)的图象如图所示，则以下描述正确的是
A．函数 f x 的定义域为 4,4
B．函数 f x 的值域为 [0, )
C．此函数在定义域内是增函数
D．对于任意的 y (5, )，
都有唯一的自变量 x 与之对应 .
12．已知不等式ax2 bx c 0的解集为{x | m x n}，其中m 0，则以下选项正确
的有
高一数学 第 3 页 共 8 页
{#{QQABAQIEggiIAAAAAQgCEwGoCACQkBEACCoOhEAIMAIASRNABAA=}#}
1 1
A．c 0 2 B．cx bx a 0的解集为{x | x }
n m
1 1
C．a 0 2 D．cx bx a 0的解集为{x | x 或x }
n m
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13. 化简 a a2 .
1 1
14．已知正数 x ， y 满足 x y 5，则 的最小值为 .
x 1 y 2
15. 研究表明，函数 g(x) f (x a) b 为奇函数时，函数 y = f ( x )的图象关
3 2
于点 P(a , b )成中心对称 .若函数 f ( x ) = x -3 x 的图象对称中心为 P(a , b )，
那么 a - b = .
16. 有一个六个面分别标上数字 1、 2、 3、 4、 5、 6 的正方体，甲、乙、丙
三位同学从不同的角度观察的结果如图所示 .如果记 2 的对面的数字为 m，3
的对面的数字为 n，则方程 mx 1 n的解 x 满足 k < x < k + 1, k 为整数 .
则 k .
高一数学 第 4 页 共 8 页
{#{QQABAQIEggiIAAAAAQgCEwGoCACQkBEACCoOhEAIMAIASRNABAA=}#}
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. (本小题满分 10 分)
如图所示，将一矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛 AMPN，要
求 B 点在 AM 上，D 点在 AN 上，且对角线 MN 过 C 点，已知 AB 3米，AD 4
米 .
（Ⅰ）要使矩形 AMPN 的面积大于 50 平方米，则 DN 的长应在什么范
围？
（Ⅱ）当 DN 的长为多少米时，矩形花坛 AMPN 的面积最小？并求出最
小值 .
18. (本小题满分 12 分)
（Ⅰ）已知 p∈R,试比较（ 2p+1)(p-3) 与 (p-6)(p+3)+10 的大小 .
3
（Ⅱ）已知命题 p: > 1,命题 q:x 2-5 mx+4 m 2≤0,其中 m∈R .
2
当 m>0 时 ,若 q 是 p 的必要不充分条件，求实数 m 的取值范围 .
高一数学 第 5 页 共 8 页
{#{QQABAQIEggiIAAAAAQgCEwGoCACQkBEACCoOhEAIMAIASRNABAA=}#}
19. (本小题满分 12 分)
2x 1 b
已知定义域为 R 的函数 f (x) x 是奇函数 . 2 a
（Ⅰ）求函数 f (x) 的解析式；
2 2
（Ⅱ）已知 g(x) | x |，若 t，m ∈ R，不等式 f (t 2t) f (2t k) g(m)恒
成立，求实数 k 的取值范围 .
20. (本小题满分 12 分）
已知 f(x) = 2 ,a∈ R .
（Ⅰ）当 a 1时，解不等式 f x 1；
1
（Ⅱ）设 a > 0，若对任意 t ,1 ，函数 f(x )在区间 t,t 1 上的最大值与
2
最小值的差不超过 1，求 a 的取值范围 .
高一数学 第 6 页 共 8 页
{#{QQABAQIEggiIAAAAAQgCEwGoCACQkBEACCoOhEAIMAIASRNABAA=}#}
21. (本小题满分 12 分)
已知函数 f (x) 2
x
， g(x) log2 x .
3 3
x
（Ⅰ）若 x0 是方程 f (x) x 的根，证明 2 0 是方程 g(x) x 的根；
2 2
5 5
（Ⅱ）设方程 f ( x 1) x， g(x 1) x的根分别是 x1 x2 ，求 x1 x2的
2 2 ，
值 .
高一数学 第 7 页 共 8 页
{#{QQABAQIEggiIAAAAAQgCEwGoCACQkBEACCoOhEAIMAIASRNABAA=}#}
22.(本小题满分 12分)
2
已知函数 f(x) = x -2ax +9 .
（Ⅰ）当 a 0时，设 g(x) = f(2 )，证明：函数 g (x)在 R 上单调递增；
（Ⅱ）若 x [1,2]， f 2x 0恒成立，求实数 a 的取值范围；
（Ⅲ）若函数 f (x) 在 ( 3,9)上有两个零点，求实数 a 的取值范围 .
高一数学 第 8 页 共 8 页
{#{QQABAQIEggiIAAAAAQgCEwGoCACQkBEACCoOhEAIMAIASRNABAA=}#}
