贵州省铜仁市2023-2024学年高二上学期1月期末质量监测数学试题（含答案）

铜仁市2023—2024学年第一学期期末质量监测试卷
高二数学
本试卷共4页，22题.全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题辿出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.若数列的前五项分别为，，，，，则下列最有可能是其通项公式的是（ ）
A. B. C. D.
2.已知直线：和圆：，若点在圆上运动，则其到直线的最短距离为（ ）
A. B. C. D.
3.在空间直角坐标系中，若对应点，，若关于平面的对称点为，则（ ）
A.2 B. C.5 D.
4.如图，在四面体中，点是棱上的点，且，点是棱的中点.若，其中，，为实数，则的值是（ ）
A. B. C. D.
5.已知椭圆：（）的离心率为，点是上一点，，分別是两个焦点，则的面积为（ ）
A. B. C.16 D.32
6.与圆：及圆：都外切的圆的圆心在（ ）
A.双曲线上 B.椭圆上 C.抛物线上 D.双曲线的一支上
7.若为等差数列，，，，，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.充要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
8.已知椭圆：（）与双曲线：（）共焦点，，过引直线与双曲线左、右两支分别交于点，，过作，垂足为，且（为坐标原点），若，则与的离心率之和为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9.已知直线：与直线：，其中，则下列命题正确的是（ ）
A.若，则或或 B.若，则或
C.直线和直线均与圆相切 D.直线和直线的斜率一定都存在
10.以下四个命题为真命题的是（ ）
A.已知的周长为6，且，，则动点的轨迹方程为（）
B.若直线的方向向量为，是直线上的定点，为直线外一点，且，则点到直线的距离为
C.等比数列中，若，，则
D.若圆：与圆：（）恰有三条公切线，则
11.著名的冰雹猜想，又称角谷猜想，它是指任何一个正整数，若是奇数，则先乘以3再加上1；如果是偶数，就除以2.这样经过若干次变换后，最终一定得1，若是数列或中的项，则下列说法正确的是（ ）
A.若，则需要4次变换得到1
B.若，则需要7次变换得到1
C.中的项变换成1的次数一定少于中的项变换成1的次数
D.存在正整数，使得与的变换次数相同
12.在棱长为1的正方体中，为平面上一动点，下列说法正确的有（ ）
A.若点在线段上，则平面
B.存在无数多个点，使得平面平面
C.将以边所在直线为轴旋转一周，在旋转过程中，三棱锥的体积为定值
D.若，则点的轨迹为抛物线
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知，，若，则______.
14.设为数列的前项和，若，，则______.
15.圆与圆的公共弦长为______.
16.已知抛物线：，且过焦点的直线与抛物线交于、两点，若以为直径的圆与轴交于和两点，则直线的方程为______.
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（10分）在下列三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答.
①垂直于直线；②平行于直线；③截距相等.
问题：直线经过两条直线和的交点，且______.
（1）求直线的方程；
（2）直线不过坐标原点，且与轴和轴分别交于、两点，求的面积.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
18.（12分）已知圆心为的圆经过点，直线：.
（1）求圆的方程；
（2）写出直线恒过定点的坐标，并求直线被圆所截得的弦长最短时的值及最短弦长.
19.（12分）如图，是抛物线型拱桥，当水面在时，水面宽16米，拱桥顶部离水面8米.
（1）当拱顶离水面2米时，水面宽多少米？
（2）现有一艘船，可近似为长方体的船体高4.2米，吃水深2.7米（即水上部分高1.5米），船体宽为12米，前后长为80米，若河水足够深，要使这艘船能安全通过，则水面宽度至少应为多少米？（计算结果保留至小数点后一位，参考数据：）
20.（12分）已知数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
21.（12分）长方体中，，是对角线上一动点（不含端点），是的中点.
（1）若，求三棱锥体积；
（2）平面与平面所成角的余弦值，求与平面所成角的余弦值.
22.（12分）已知椭圆的焦点坐标，且过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线与椭圆交于，两点，且，关于原点的对称点分别为，，若是一个与无关的常数，求此时的常数及四边形面积的最大值.
铜仁市2023—2024学年第一学期期末质量监测试卷
答案
一、单选
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A C A A D C B
二、多选
题号 9 10 11 12
答案 AC AD ABD AB
三、填空题
13.4 14.27 15. 16.
四、解答题
17.解：（1）由，解得交点坐标为.
选①，垂直于直线
设直线的方程为：，其过点，则，
即，故直线的方程为.
选②，平行于直线，
设直线的方程为：，其过点，则，
即，故直线的方程为.
选③，截距相等，
当直线经过原点时，，符合题意；
当直线不过原点时，设为，其经过点，
故，即.得直线：.
故直线的方程为或（或）.
（2）由（1）知选①时，直线的方程为，
可知其在轴和轴的交点分别为，
故.
选②时，直线的方程为，
可知其在轴和轴的交点分别为，
故.
选③时，直线的方程为，
可知其在轴和轴的交点分别为，.
故.
18.解：（1）∵圆的半径，
∴圆的方程为.
（2）∵直线的方程为，∴定点的坐标为.
∵，∴点在圆的内部，故直线恒与圆相交.
又圆心到直线的距离
∴被圆截得的弦长为，
当取得最大值2时，弦长有最小值，最小值为，此时.
19.解：（1）如图建立平面直角坐标系，设抛物线型拱桥的方程为（）
由题意，可知抛物线经过点，代入抛物线方程可得，即得，
所以抛物线方程为.
当拱顶离水面2米时，即，代入抛物线方程可得，即水面宽为8米.
（2）由于船体宽12米，则当船体恰好能通过时，
令米，代入抛物线方程中，则，解得米，
拱顶与船顶的最近距离为4.5米.
又因船在水面上部分高为1.5米，故拱顶离水面6米.
在抛物线方程中，令，则，
故，所以水面宽度至少应为13.9米.
20.解：（1）当时，.
当时，.
又因时，满足，所以（）
（2）（）
，①
，②
将①②两式相减得
所以.
21.解：以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标轴，
则，，，.
设，由题意设，
即，则，所以.
（1）因为，解得.
所以.
.
（2）由长方体可知平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为
则，
令，则，，则，
由题意得：，解得：或（舍），
则，，
设与平面所成角为，则
，.
所以与平面所成角余弦值为.
22.解：（1）点到椭圆两焦点的距离和为，.
又，故，故椭圆方程为.
（2）依题意，可得四边形为平行四边形，
故，
设，，则
，
由，消掉可得，
可得，
，
∴
.
若上式与无关，故，.故此时常数为28.
此时，，
，
而原点到的距离，四边形的面积
，
此时，满足成立.