2017-2018学年北师大版数学九年级下册同步训练：3.8 圆内接正多边形
一、选择题
1．正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O的半径是（ ）
A． B．2 C．2 D．2
2．下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
3．已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：
将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…在这样连续6次旋转的过程中，点B，M间的距离可能是（ ）
A．1.4 B．1.1 C．0.8 D．0.5
4．若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为（ ）
A． B．2 C． D．1
5．以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．
6．下列说法正确的是（ ）
A．圆内接正六边形的边长与该圆的半径相等
B．在平面直角坐标系中，不同的坐标可以表示同一点
C．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）一定有实数根
D．将△ABC绕A点按顺时针方向旋转60°得△ADE，则△ABC与△ADE不全等
7．如图，正方形ABCD内接于半径为2的⊙O，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π+1 B．π+2 C．π﹣1 D．π﹣2
8．如图，正五边形ABCDE的边长为2，连结AC、AD、BE，BE分别与AC和AD相交于点F、G，连结DF，给出下列结论：①∠FDG=18°；②FG=3﹣ ；③（S四边形CDEF）2=9+2 ；④DF2﹣DG2=7﹣2 ．其中结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2017·石家庄模拟）如图，在平面直角坐标系中，边长为6的正六边形ABCDEF的对称中心与原点O重合，点A在x轴上，点B在反比例函数y= 位于第一象限的图象上，则k的值为（ ）
A．9 B．9 C．3 D．3
10．周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、S4、S6间的大小关系是（ ）
A．S3＞S4＞S6 B．S6＞S4＞S3 C．S6＞S3＞S4 D．S4＞S6＞S3
二、填空题
11．如图，⊙O的内接正五边形ABCDE的对角线AD与BE相交于点G，AE=2，则EG的长是 ．
12．如图，P、Q分别是⊙O的内接正五边形的边AB、BC上的点，BP=CQ，则∠POQ= ．
13．如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1，它的六条对角线又围成一个正六边形A2B2C2D2E2F2，如此继续下去，则正六边形A4B4C4D4E4F4的面积是 ．
14．如图，有一个边长不定的正方形ABCD，它的两个相对的顶点A，C分别在边长为1的正六边形一组平行的对边上，另外两个顶点B，D在正六边形内部（包括边界），则正方形边长a的取值范围是 ．
15．如图，在边长为2的正八边形中，把其不相邻的四条边均向两边延长相交成一个四边形ABCD，则四边形ABCD的周长是 ．
16．半径为2的圆内接正三角形，正四边形，正六边形的边心距之比为 ．
三、解答题
17．如图，⊙O半径为4cm，其内接正六边形ABCDEF，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，QE，PE，BQ．设运动时间为t（s）．
（1）求证：四边形PEQB为平行四边形；
（2）填空：
①当t= s时，四边形PBQE为菱形；
②当t= s时，四边形PBQE为矩形．
18．如图，正五边形ABCDE中．
（1）AC与BE相交于P，求证：四边形PEDC为菱形；
（2）延长DC、AE交于M点，连BM交CE于N，求证：CN=EP；
（3）若正五边形边长为2，直接写出AD的长为 ．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接OB，OC，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=BC，
∵正六边形的周长是12，
∴BC=2，
∴⊙O的半径是2，
故答案为：B．
【分析】根据正六边形的中心角为60°，因此连接OB，OC，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可证得△OBC是等边三角形，得出正六边形的边长和半径相等，再根据正六边形的周长求出它的边长，即可得出答案。
2．【答案】A
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵正三角形一条边所对的圆心角是360°÷3=120°，
正方形一条边所对的圆心角是360°÷4=90°，
正五边形一条边所对的圆心角是360°÷5=72°，
正六边形一条边所对的圆心角是360°÷6=60°，
∴一条边所对的圆心角最大的图形是正三角形，
故答案为：A．
【分析】根据已知分别求出正三角形、正方形、正五边形、正六边形的中心角，然后比较大小即可作出判断。
3．【答案】C
【知识点】圆内接正多边形；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，
在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，
观察图象可知点B，M间的距离大于等于2﹣ 小于等于1，
故答案为：C．
【分析】如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，观察图象可知点B，M间的距离大于等于2-小于等于1，即可得出答案。
4．【答案】C
【知识点】切线的性质；圆内接正多边形；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示，连接OA、OE，
∵AB是小圆的切线，
∴OE⊥AB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AE=OE，
∴△AOE是等腰直角三角形，
∴OE= OA= ．
故答案为：C．
【分析】连接OA、OE，根据切线的性质及正多边形的性质证出△AOE是等腰直角三角形，再根据解直角三角形就可求出OE的长。
5．【答案】A
【知识点】勾股定理；圆内接正多边形；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图1，
∵OC=2，
∴OD=2×sin30°=1；
如图2，
∵OB=2，
∴OE=2×sin45°= ；
如图3，
∵OA=2，
∴OD=2×cos30°= ，
则该三角形的三边分别为：1， ， ，
∵（1）2+（ ）2=（ ）2，
∴该三角形是直角三角形，
∴该三角形的面积是： ×1× = ．
故答案为：A．
【分析】根据内接正三角形、正方形、正六边形是特殊内角的正多边形，可构造直角三角形分别求出边心距的长，由勾股定理逆定理证明该三角形是直角三角形，进而可得其面积。
6．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；用坐标表示地理位置；圆内接正多边形；旋转的性质
【解析】【解答】解：
如图∠AOB= =60°，OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA，
∴圆内接正六边形的边长与该圆的半径相等，A正确；
在平面直角坐标系中，不同的坐标可以表示不同一点，B错误；
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）不一定有实数根，C错误；
根据旋转变换的性质可知，将△ABC绕A点按顺时针方向旋转60°得△ADE，则△ABC与△ADE全等，D错误；
故答案为：A．
【分析】根据正六边形的性质，它的边长和半径相等，可对A作出判断；在平面直角坐标系中，不同的坐标表示的点不同，可对B作出判断；一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）不一定有实数根，可对C作出判断；旋转前后的两个图形是全等形，可对D作出判断，即可得出答案。
7．【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：连接AO，DO，
∵ABCD是正方形，
∴∠AOD=90°，
AD= =2 ，
圆内接正方形的边长为2 ，所以阴影部分的面积= [4π﹣（2 ）2]=（π﹣2）cm2．
故答案为：D．
【分析】根据正方形的性质得出△AOD是等腰直角三角形，利用勾股定理求出AD的长，根据阴影部分的面积=（圆的面积-正方形的面积），计算即可得出答案。
8．【答案】B
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；菱形的判定与性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：①∵五方形ABCDE是正五边形，
∴AB=BC，∠ABC=180°﹣ =108°，
∴∠BAC=∠ACB=36°，
∴∠ACD=108°﹣36°=72°，
同理得：∠ADE=36°，
∵∠BAE=108°，AB=AE，
∴∠ABE=36°，
∴∠CBF=108°﹣36°=72°，
∴BC=FC，
∵BC=CD，
∴CD=CF，
∴∠CDF=∠CFD= =54°，
∴∠FDG=∠CDE﹣∠CDF﹣∠ADE=108°﹣54°﹣36°=18°；
所以①正确；
②∵∠ABE=∠ACB=36°，∠BAC=∠BAF，
∴△ABF∽△ACB，
∴ ，
∴AB ED=AC EG，
∵AB=ED=2，AC=BE=BG+EF﹣FG=2AB﹣FG=4﹣FG，EG=BG﹣FG=2﹣FG，
∴22=（2﹣FG）（4﹣FG），
∴FG=3+ ＞2（舍），FG=3﹣ ；
所以②正确；
③如图1，
∵∠EBC=72°，∠BCD=108°，
∴∠EBC+∠BCD=180°，
∴EF∥CD，
∵EF=CD=2，
∴四边形CDEF是平行四边形，
过D作DM⊥EG于M，
∵DG=DE，
∴EM=MG= EG= （EF﹣FG）= （2﹣3+ ）= ，
由勾股定理得：DM= = = ，
∴（S四边形CDEF）2=EF2 DM2=4× =10+2 ；
所以③不正确；
④如图2，连接EC，
∵EF=ED，
∴ CDEF是菱形，
∴FD⊥EC，
∵EC=BE=4﹣FG=4﹣（3﹣ ）=1+ ，
∴S四边形CDEF= FD EC=2× ，
×FD×（1+ ）= ，
FD2=10﹣2 ，
∴DF2﹣DG2=10﹣2 ﹣4=6﹣2 ，
所以④不正确；
本题正确的有两个，
故答案为：B．
【分析】①根据正五边形的性质证明△ABC，△ABE，△ADE是等腰三角形，求出∠ABC，∠ACB，∠BCD，∠CDE及∠ADE的度数，再证明CD=CF，根据等边对等角得出∠CDF=∠CFD=54°，然后根据∠FDG=∠CDE﹣∠CDF﹣∠ADE，计算即可求出∠FDG的度数，可对①作出判断；②先利用相似三角形的判定证明△ABF∽△ACB，得出AB ED=AC EG，建立方程求出FG的长，就可对②作出判断；③先根据已知证明四边形CDEF是平行四边形，过D作DM⊥EG于M，求出EM的长，再利用勾股定理求出DM的长，然后求出（S四边形CDEF）2的值，可对③作出判断；④根据菱形的判断方法证明 CDEF是菱形，得出FD⊥EC，求出EC的长，再根据菱形的面积公式建立方程求出FD2的长，然后求出DF2﹣DG2即可，就可对④作出判断；即可得出答案。
9．【答案】B
【知识点】圆内接正多边形；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：
连接OB，过B作BG⊥OA于G，
∵ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=60°，
∵OB=OA，
∴△AOB是等边三角形，
∴OB=OA=AB=6，
∵BG⊥OA，
∴∠BGO=90°，
∴∠OBG=30°，
∴OG= OB=3，由勾股定理得：BG=3 ，
即B的坐标是（3，3 ），
∵B点在反比例函数y= 上，
∴k=3×3 =9 ，
故选B．
【分析】连接OB，过B作BG⊥OA于G，得出等边三角形OBA，求出OB，求出OG、BG，得出B的坐标，即可去除答案．
10．【答案】B
【知识点】勾股定理；圆内接正多边形；解直角三角形
【解析】【解答】解：设正六边形的边长为a，如图所示，
则正△ABC的边长为2a，正方形ABCD的边长为 ．
如图（1），过A作AD⊥BC，D为垂足；
∵△ABC是等边三角形，BC=2a，
∴BD=a，由勾股定理得，AD= = = a，
∴S3=S△ABC= BC AD= ×2a× a= a2≈1.73a2．
如图（2），
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB= ，
∴S4=S□ABCD=AB2= × = a2≈2.25a2．
如图（3），过O作OG⊥BC，G为垂足，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC= =60°，
∴∠BOG=30°，OG= = = a．
∴S△BOC= × a×a= a2，
∴S6=6S△BOC=6× a= a2≈2.59a2．
∵2.59a2＞2.25a2＞1.73a2．
∴S6＞S4＞S3．
故答案为：B．
【分析】根据正六边形的边长和半径相等，因此设正六边形的边长为a，再根据正六边形、正三角形、正方形的周长相等，用含a的代数式分别表示出正三角形和正方形的边长，然后分别求正六边形、正三角形、正方形的面积，比较它们的面积大小，即可得出答案。
11．【答案】 ﹣1
【知识点】等腰三角形的性质；圆内接正多边形；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：在⊙O的内接正五边形ABCDE中，设EG=x，
易知：∠AEB=∠ABE=∠EAG=36°，
∠BAG=∠AGB=72°，
∴AB=BG=AE=2，
∵∠AEG=∠AEB，∠EAG=∠EBA，
∴△AEG∽△BEA，
∴AE2=EG EB，
∴22=x（x+2），
解得x=﹣1+ 或﹣1﹣ ，
∴EG= ﹣1，
故答案为 ﹣1．
【分析】根据已知先证明AB=BG=AE=2；∠AEG=∠AEB，∠EAG=∠EBA，根据相似三角形的判定证明△AEG∽△BEA，再根据相似三角形的性质得出AE2=EG EB，建立方程求解，即可得出EG的长。
12．【答案】72°
【知识点】全等三角形的判定与性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接OA、OB、OC，
∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴∠AOB=∠BOC=72°，
∵OA=OB，OB=OC，
∴∠OBA=∠OCB=54°，
在△OBP和△OCQ中，
，
∴△OBP≌△OCQ，
∴∠BOP=∠COQ，
∵∠AOB=∠AOP+∠BOP，∠BOC=∠BOQ+∠QOC，
∴∠BOP=∠QOC，
∵∠POQ=∠BOP+∠BOQ，∠BOC=∠BOQ+∠QOC，
∴∠POQ=∠BOC=72°．
故答案为：72°．
【分析】连接OA、OB、OC，根据正五边形的性质得出∠AOB=∠BOCOA=OB，OB=OC，可证明∠OBA=∠OCB，再证明△OBP≌△OCQ，得出∠BOP=∠COQ，再证明∠POQ=∠BOC，即可得出答案。
13．【答案】
【知识点】圆内接正多边形；相似多边形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：由正六边形的性质得：∠A1B1B2=90°，∠B1A1B2=30°，A1A2=A2B2，
∴B1B2= A1B1= ，
∴A2B2= A1B2=B1B2= ，
∵正六边形A1B1C1D1E1F1∽正六边形A2B2C2D2E2F2，
∴正六边形A2B2C2D2E2F2的面积：正六边形A1B1C1D1E1F1的面积=（ ）2= ，
∵正六边形A1B1C1D1E1F1的面积=6× ×1× = ，
∴正六边形A2B2C2D2E2F2的面积= × = ，
同理：正六边形A4B4C4D4E4F4的面积=（ ）3× = ；
故答案为： ．
【分析】由正六边形的性质得：∠A1B1B2=90°，∠B1A1B2=30°，A1A2=A2B2，利用锐角三角函数的定义求出B1B2的长，根据A2B2=B1B2，得出A2B2的长，再根据正六边形A1B1C1D1E1F1∽正六边形A2B2C2D2E2F2，得出两个正六边形的面积之比，再求出正六边形A1B1C1D1E1F1的面积，就可得出正六边形A2B2C2D2E2F2的面积，根据其规律可求出正六边形A4B4C4D4E4F4的面积,。
14．【答案】 ≤a≤3﹣
【知识点】勾股定理；圆内接正多边形；锐角三角函数的定义；解直角三角形
【解析】【解答】解：①当正方形ABCD的对角线AC在正六边形一组平行的对边的中点上时，
正方形边长a的值最小，AC是正方形的对角线，
∴AC=A′D= ，
∴a= ，
②当正方形ABCD的四个顶点都在正六边形的边上时，正方形边长a的值最大，AC是正方形的对角线AC，
设A′（t， ）时，正方形的边长最大，
∵OB′⊥OA′，
∴B′（﹣ ，t），
设直线MN的解析式为y=kx+b，M（﹣1，0），N（﹣ ，﹣ ），
∴ ，
∴ ，
∴直线MN的解析式为y=﹣ x﹣ ，
将B′（﹣ ，t）代入得t= ﹣ ，
此时，A′B′取最大值，
∴a= =3﹣ ，
∴正方形边长a的取值范围是： ≤a≤3﹣ ，
故答案为： ≤a≤3﹣ ．
【分析】①当正方形ABCD的对角线AC在正六边形一组平行的对边的中点上时，正方形边长a的值最小，AC是正方形的对角线，先利用锐角三角函数的定义求出AC的长，再根据勾股定理求出正方形的边长a；②当正方形ABCD的四个顶点都在正六边形的边上时，正方形边长a的值最大，AC是正方形的对角线AC，设点设A′（t， ）时，正方形的边长最大，根据OB′⊥OA′，表示出点B′（﹣ ，t），从而可得出点M、N的坐标，求出直线MN的函数解析式，再将点B′的坐标代入直线MN的函数解析式，求出t的值，然后利用勾股定理求出a的值，即可得到a的取值范围。
15．【答案】8+8
【知识点】勾股定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：由题意可得，
AD=2+ ×2=2+2 ，
∴四边形ABCD的周长是：4×（2+2 ）=8+8 ，
故答案为：8+8 ．
【分析】根据题意结合图形可知正八边形外的四个三角形是等腰直角三角形，利用勾股定理求出等腰直角三角形的直角边的长，再求出AD的长，从而可求出四边形ABCD的周长。
16．【答案】1： ：
【知识点】圆内接正多边形；解直角三角形
【解析】【解答】解：由题意可得，
正三角形的边心距是：2×sin30°=2× =1，
正四边形的边心距是：2×sin45°=2× ，
正六边形的边心距是：2×sin60°=2× ，
∴半径为2的圆内接正三角形，正四边形，正六边形的边心距之比为：1： ： ，
故答案为：1： ： ．
【分析】先利用解直角三角形分别求出正三角形、正四边形、正六边形的边心距，再求出它们的边心距之比即可。
17．【答案】（1）证明：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，∴AB=BC=CD=DE=EF=FA，∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠DEF=∠F，
∵点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，
∴AP=DQ=t，PF=QC=4﹣t，
在△ABP和△DEQ中，
，
∴△ABP≌△DEQ（SAS），
∴BP=EQ，同理可证PE=QB，
∴四边形PEQB是平行四边形
（2）2；0或4
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；圆内接正多边形
【解析】【解答】（2）解：①当PA=PF，QC=QD时，四边形PBEQ是菱形时，此时t=2s．
②当t=0时，∠EPF=∠PEF=30°，
∴∠BPE=120°﹣30°=90°，
∴此时四边形PBQE是矩形．
当t=4时，同法可知∠BPE=90°，此时四边形PBQE是矩形．
综上所述，t=0s或4s时，四边形PBQE是矩形．
故答案为2s，0s或4s．
【分析】（1）根据正六边形的性质得出AB=DE，∠A=∠D,再根据点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，得出AP=DQ，就可证明△ABP≌△DEQ，可得BP=EQ，同理PE=BQ，由此即可证明结论。
（2）①当PA=PF，QC=QD时，四边形PBEQ是菱形时，此时t=2s；
②当t=0时，∠EPF=∠PEF=30°，得出∠BPE=90°，可证明此时四边形PBQE是矩形．当t=4时，同法可知∠BPE=90°，此时四边形PBQE是矩形，即可得出答案。
18．【答案】（1）证明：如图1中，∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠BCD=∠BAE=108°，
∵AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB=36°，∴∠CBE=72°，∴∠DCB+∠CBE=180°，∴CD∥BE，同法可证，AC∥DE，∴∴四边形PEDC是平行四边形，
∵CD=DE，
∴四边形PEDC是菱形
（2）证明：如图2中，连接AN．
∵∠MCA=∠MAC=72°，
∴MC=MA，
∵BC=BA，
∴BM垂直平分线段AC，
∴NC=NA，∴∠NCA=∠NAC=∠CEP=36°，∵∠PAE=∠NEA=72°，∴∠PEA=∠NAE=36°，
∵AE=EA，
∴△PAE≌△NEA，∴AN=PE，
∴CN=PE
（3） +1
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；圆内接正多边形；相似三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】（3）解：如图3中．在AD上取一点W，使得AW=WE．设AW=x．
∵∠A=∠D=∠AEW=36°，
∴∠DWE=∠DEW=72°，
∴DW=DE=2，
∵∠A=∠A，∠AEW=∠D，
∴△AWE∽△AED，
∴AE2=AW AD，
∴22=x（x+2），
解得x= ﹣1，
∴AD=2+x= +1，
故答案为 +1
【分析】（1）根据正五边形的性质及等腰三角形的性质求出∠DCB和∠CBE的度数，就可证明∠DCB+∠CBE=180°，可得CD∥BE，同法可证AC∥ED，由此根据菱形的判定即可证明。
（2）如图2中，连接AN，先根据MC=MA，BC=BA得出BM垂直平分线段AC，得出CN=AN，再证明△PAE≌△NEA，即可解决问题。
（3）如图3中．在AD上取一点W，使得AW=WE．设AW=x，相聚已知条件证明△AWE∽△AED，可得AE2=AW AD，构建方程即可解决问题。
1 / 12017-2018学年北师大版数学九年级下册同步训练：3.8 圆内接正多边形
一、选择题
1．正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O的半径是（ ）
A． B．2 C．2 D．2
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接OB，OC，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=BC，
∵正六边形的周长是12，
∴BC=2，
∴⊙O的半径是2，
故答案为：B．
【分析】根据正六边形的中心角为60°，因此连接OB，OC，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可证得△OBC是等边三角形，得出正六边形的边长和半径相等，再根据正六边形的周长求出它的边长，即可得出答案。
2．下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
【答案】A
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵正三角形一条边所对的圆心角是360°÷3=120°，
正方形一条边所对的圆心角是360°÷4=90°，
正五边形一条边所对的圆心角是360°÷5=72°，
正六边形一条边所对的圆心角是360°÷6=60°，
∴一条边所对的圆心角最大的图形是正三角形，
故答案为：A．
【分析】根据已知分别求出正三角形、正方形、正五边形、正六边形的中心角，然后比较大小即可作出判断。
3．已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：
将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…在这样连续6次旋转的过程中，点B，M间的距离可能是（ ）
A．1.4 B．1.1 C．0.8 D．0.5
【答案】C
【知识点】圆内接正多边形；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，
在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，
观察图象可知点B，M间的距离大于等于2﹣ 小于等于1，
故答案为：C．
【分析】如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，观察图象可知点B，M间的距离大于等于2-小于等于1，即可得出答案。
4．若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】C
【知识点】切线的性质；圆内接正多边形；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示，连接OA、OE，
∵AB是小圆的切线，
∴OE⊥AB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AE=OE，
∴△AOE是等腰直角三角形，
∴OE= OA= ．
故答案为：C．
【分析】连接OA、OE，根据切线的性质及正多边形的性质证出△AOE是等腰直角三角形，再根据解直角三角形就可求出OE的长。
5．以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；圆内接正多边形；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图1，
∵OC=2，
∴OD=2×sin30°=1；
如图2，
∵OB=2，
∴OE=2×sin45°= ；
如图3，
∵OA=2，
∴OD=2×cos30°= ，
则该三角形的三边分别为：1， ， ，
∵（1）2+（ ）2=（ ）2，
∴该三角形是直角三角形，
∴该三角形的面积是： ×1× = ．
故答案为：A．
【分析】根据内接正三角形、正方形、正六边形是特殊内角的正多边形，可构造直角三角形分别求出边心距的长，由勾股定理逆定理证明该三角形是直角三角形，进而可得其面积。
6．下列说法正确的是（ ）
A．圆内接正六边形的边长与该圆的半径相等
B．在平面直角坐标系中，不同的坐标可以表示同一点
C．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）一定有实数根
D．将△ABC绕A点按顺时针方向旋转60°得△ADE，则△ABC与△ADE不全等
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；用坐标表示地理位置；圆内接正多边形；旋转的性质
【解析】【解答】解：
如图∠AOB= =60°，OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA，
∴圆内接正六边形的边长与该圆的半径相等，A正确；
在平面直角坐标系中，不同的坐标可以表示不同一点，B错误；
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）不一定有实数根，C错误；
根据旋转变换的性质可知，将△ABC绕A点按顺时针方向旋转60°得△ADE，则△ABC与△ADE全等，D错误；
故答案为：A．
【分析】根据正六边形的性质，它的边长和半径相等，可对A作出判断；在平面直角坐标系中，不同的坐标表示的点不同，可对B作出判断；一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）不一定有实数根，可对C作出判断；旋转前后的两个图形是全等形，可对D作出判断，即可得出答案。
7．如图，正方形ABCD内接于半径为2的⊙O，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π+1 B．π+2 C．π﹣1 D．π﹣2
【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：连接AO，DO，
∵ABCD是正方形，
∴∠AOD=90°，
AD= =2 ，
圆内接正方形的边长为2 ，所以阴影部分的面积= [4π﹣（2 ）2]=（π﹣2）cm2．
故答案为：D．
【分析】根据正方形的性质得出△AOD是等腰直角三角形，利用勾股定理求出AD的长，根据阴影部分的面积=（圆的面积-正方形的面积），计算即可得出答案。
8．如图，正五边形ABCDE的边长为2，连结AC、AD、BE，BE分别与AC和AD相交于点F、G，连结DF，给出下列结论：①∠FDG=18°；②FG=3﹣ ；③（S四边形CDEF）2=9+2 ；④DF2﹣DG2=7﹣2 ．其中结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；菱形的判定与性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：①∵五方形ABCDE是正五边形，
∴AB=BC，∠ABC=180°﹣ =108°，
∴∠BAC=∠ACB=36°，
∴∠ACD=108°﹣36°=72°，
同理得：∠ADE=36°，
∵∠BAE=108°，AB=AE，
∴∠ABE=36°，
∴∠CBF=108°﹣36°=72°，
∴BC=FC，
∵BC=CD，
∴CD=CF，
∴∠CDF=∠CFD= =54°，
∴∠FDG=∠CDE﹣∠CDF﹣∠ADE=108°﹣54°﹣36°=18°；
所以①正确；
②∵∠ABE=∠ACB=36°，∠BAC=∠BAF，
∴△ABF∽△ACB，
∴ ，
∴AB ED=AC EG，
∵AB=ED=2，AC=BE=BG+EF﹣FG=2AB﹣FG=4﹣FG，EG=BG﹣FG=2﹣FG，
∴22=（2﹣FG）（4﹣FG），
∴FG=3+ ＞2（舍），FG=3﹣ ；
所以②正确；
③如图1，
∵∠EBC=72°，∠BCD=108°，
∴∠EBC+∠BCD=180°，
∴EF∥CD，
∵EF=CD=2，
∴四边形CDEF是平行四边形，
过D作DM⊥EG于M，
∵DG=DE，
∴EM=MG= EG= （EF﹣FG）= （2﹣3+ ）= ，
由勾股定理得：DM= = = ，
∴（S四边形CDEF）2=EF2 DM2=4× =10+2 ；
所以③不正确；
④如图2，连接EC，
∵EF=ED，
∴ CDEF是菱形，
∴FD⊥EC，
∵EC=BE=4﹣FG=4﹣（3﹣ ）=1+ ，
∴S四边形CDEF= FD EC=2× ，
×FD×（1+ ）= ，
FD2=10﹣2 ，
∴DF2﹣DG2=10﹣2 ﹣4=6﹣2 ，
所以④不正确；
本题正确的有两个，
故答案为：B．
【分析】①根据正五边形的性质证明△ABC，△ABE，△ADE是等腰三角形，求出∠ABC，∠ACB，∠BCD，∠CDE及∠ADE的度数，再证明CD=CF，根据等边对等角得出∠CDF=∠CFD=54°，然后根据∠FDG=∠CDE﹣∠CDF﹣∠ADE，计算即可求出∠FDG的度数，可对①作出判断；②先利用相似三角形的判定证明△ABF∽△ACB，得出AB ED=AC EG，建立方程求出FG的长，就可对②作出判断；③先根据已知证明四边形CDEF是平行四边形，过D作DM⊥EG于M，求出EM的长，再利用勾股定理求出DM的长，然后求出（S四边形CDEF）2的值，可对③作出判断；④根据菱形的判断方法证明 CDEF是菱形，得出FD⊥EC，求出EC的长，再根据菱形的面积公式建立方程求出FD2的长，然后求出DF2﹣DG2即可，就可对④作出判断；即可得出答案。
9．（2017·石家庄模拟）如图，在平面直角坐标系中，边长为6的正六边形ABCDEF的对称中心与原点O重合，点A在x轴上，点B在反比例函数y= 位于第一象限的图象上，则k的值为（ ）
A．9 B．9 C．3 D．3
【答案】B
【知识点】圆内接正多边形；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：
连接OB，过B作BG⊥OA于G，
∵ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=60°，
∵OB=OA，
∴△AOB是等边三角形，
∴OB=OA=AB=6，
∵BG⊥OA，
∴∠BGO=90°，
∴∠OBG=30°，
∴OG= OB=3，由勾股定理得：BG=3 ，
即B的坐标是（3，3 ），
∵B点在反比例函数y= 上，
∴k=3×3 =9 ，
故选B．
【分析】连接OB，过B作BG⊥OA于G，得出等边三角形OBA，求出OB，求出OG、BG，得出B的坐标，即可去除答案．
10．周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、S4、S6间的大小关系是（ ）
A．S3＞S4＞S6 B．S6＞S4＞S3 C．S6＞S3＞S4 D．S4＞S6＞S3
【答案】B
【知识点】勾股定理；圆内接正多边形；解直角三角形
【解析】【解答】解：设正六边形的边长为a，如图所示，
则正△ABC的边长为2a，正方形ABCD的边长为 ．
如图（1），过A作AD⊥BC，D为垂足；
∵△ABC是等边三角形，BC=2a，
∴BD=a，由勾股定理得，AD= = = a，
∴S3=S△ABC= BC AD= ×2a× a= a2≈1.73a2．
如图（2），
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB= ，
∴S4=S□ABCD=AB2= × = a2≈2.25a2．
如图（3），过O作OG⊥BC，G为垂足，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC= =60°，
∴∠BOG=30°，OG= = = a．
∴S△BOC= × a×a= a2，
∴S6=6S△BOC=6× a= a2≈2.59a2．
∵2.59a2＞2.25a2＞1.73a2．
∴S6＞S4＞S3．
故答案为：B．
【分析】根据正六边形的边长和半径相等，因此设正六边形的边长为a，再根据正六边形、正三角形、正方形的周长相等，用含a的代数式分别表示出正三角形和正方形的边长，然后分别求正六边形、正三角形、正方形的面积，比较它们的面积大小，即可得出答案。
二、填空题
11．如图，⊙O的内接正五边形ABCDE的对角线AD与BE相交于点G，AE=2，则EG的长是 ．
【答案】 ﹣1
【知识点】等腰三角形的性质；圆内接正多边形；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：在⊙O的内接正五边形ABCDE中，设EG=x，
易知：∠AEB=∠ABE=∠EAG=36°，
∠BAG=∠AGB=72°，
∴AB=BG=AE=2，
∵∠AEG=∠AEB，∠EAG=∠EBA，
∴△AEG∽△BEA，
∴AE2=EG EB，
∴22=x（x+2），
解得x=﹣1+ 或﹣1﹣ ，
∴EG= ﹣1，
故答案为 ﹣1．
【分析】根据已知先证明AB=BG=AE=2；∠AEG=∠AEB，∠EAG=∠EBA，根据相似三角形的判定证明△AEG∽△BEA，再根据相似三角形的性质得出AE2=EG EB，建立方程求解，即可得出EG的长。
12．如图，P、Q分别是⊙O的内接正五边形的边AB、BC上的点，BP=CQ，则∠POQ= ．
【答案】72°
【知识点】全等三角形的判定与性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接OA、OB、OC，
∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴∠AOB=∠BOC=72°，
∵OA=OB，OB=OC，
∴∠OBA=∠OCB=54°，
在△OBP和△OCQ中，
，
∴△OBP≌△OCQ，
∴∠BOP=∠COQ，
∵∠AOB=∠AOP+∠BOP，∠BOC=∠BOQ+∠QOC，
∴∠BOP=∠QOC，
∵∠POQ=∠BOP+∠BOQ，∠BOC=∠BOQ+∠QOC，
∴∠POQ=∠BOC=72°．
故答案为：72°．
【分析】连接OA、OB、OC，根据正五边形的性质得出∠AOB=∠BOCOA=OB，OB=OC，可证明∠OBA=∠OCB，再证明△OBP≌△OCQ，得出∠BOP=∠COQ，再证明∠POQ=∠BOC，即可得出答案。
13．如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1，它的六条对角线又围成一个正六边形A2B2C2D2E2F2，如此继续下去，则正六边形A4B4C4D4E4F4的面积是 ．
【答案】
【知识点】圆内接正多边形；相似多边形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：由正六边形的性质得：∠A1B1B2=90°，∠B1A1B2=30°，A1A2=A2B2，
∴B1B2= A1B1= ，
∴A2B2= A1B2=B1B2= ，
∵正六边形A1B1C1D1E1F1∽正六边形A2B2C2D2E2F2，
∴正六边形A2B2C2D2E2F2的面积：正六边形A1B1C1D1E1F1的面积=（ ）2= ，
∵正六边形A1B1C1D1E1F1的面积=6× ×1× = ，
∴正六边形A2B2C2D2E2F2的面积= × = ，
同理：正六边形A4B4C4D4E4F4的面积=（ ）3× = ；
故答案为： ．
【分析】由正六边形的性质得：∠A1B1B2=90°，∠B1A1B2=30°，A1A2=A2B2，利用锐角三角函数的定义求出B1B2的长，根据A2B2=B1B2，得出A2B2的长，再根据正六边形A1B1C1D1E1F1∽正六边形A2B2C2D2E2F2，得出两个正六边形的面积之比，再求出正六边形A1B1C1D1E1F1的面积，就可得出正六边形A2B2C2D2E2F2的面积，根据其规律可求出正六边形A4B4C4D4E4F4的面积,。
14．如图，有一个边长不定的正方形ABCD，它的两个相对的顶点A，C分别在边长为1的正六边形一组平行的对边上，另外两个顶点B，D在正六边形内部（包括边界），则正方形边长a的取值范围是 ．
【答案】 ≤a≤3﹣
【知识点】勾股定理；圆内接正多边形；锐角三角函数的定义；解直角三角形
【解析】【解答】解：①当正方形ABCD的对角线AC在正六边形一组平行的对边的中点上时，
正方形边长a的值最小，AC是正方形的对角线，
∴AC=A′D= ，
∴a= ，
②当正方形ABCD的四个顶点都在正六边形的边上时，正方形边长a的值最大，AC是正方形的对角线AC，
设A′（t， ）时，正方形的边长最大，
∵OB′⊥OA′，
∴B′（﹣ ，t），
设直线MN的解析式为y=kx+b，M（﹣1，0），N（﹣ ，﹣ ），
∴ ，
∴ ，
∴直线MN的解析式为y=﹣ x﹣ ，
将B′（﹣ ，t）代入得t= ﹣ ，
此时，A′B′取最大值，
∴a= =3﹣ ，
∴正方形边长a的取值范围是： ≤a≤3﹣ ，
故答案为： ≤a≤3﹣ ．
【分析】①当正方形ABCD的对角线AC在正六边形一组平行的对边的中点上时，正方形边长a的值最小，AC是正方形的对角线，先利用锐角三角函数的定义求出AC的长，再根据勾股定理求出正方形的边长a；②当正方形ABCD的四个顶点都在正六边形的边上时，正方形边长a的值最大，AC是正方形的对角线AC，设点设A′（t， ）时，正方形的边长最大，根据OB′⊥OA′，表示出点B′（﹣ ，t），从而可得出点M、N的坐标，求出直线MN的函数解析式，再将点B′的坐标代入直线MN的函数解析式，求出t的值，然后利用勾股定理求出a的值，即可得到a的取值范围。
15．如图，在边长为2的正八边形中，把其不相邻的四条边均向两边延长相交成一个四边形ABCD，则四边形ABCD的周长是 ．
【答案】8+8
【知识点】勾股定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：由题意可得，
AD=2+ ×2=2+2 ，
∴四边形ABCD的周长是：4×（2+2 ）=8+8 ，
故答案为：8+8 ．
【分析】根据题意结合图形可知正八边形外的四个三角形是等腰直角三角形，利用勾股定理求出等腰直角三角形的直角边的长，再求出AD的长，从而可求出四边形ABCD的周长。
16．半径为2的圆内接正三角形，正四边形，正六边形的边心距之比为 ．
【答案】1： ：
【知识点】圆内接正多边形；解直角三角形
【解析】【解答】解：由题意可得，
正三角形的边心距是：2×sin30°=2× =1，
正四边形的边心距是：2×sin45°=2× ，
正六边形的边心距是：2×sin60°=2× ，
∴半径为2的圆内接正三角形，正四边形，正六边形的边心距之比为：1： ： ，
故答案为：1： ： ．
【分析】先利用解直角三角形分别求出正三角形、正四边形、正六边形的边心距，再求出它们的边心距之比即可。
三、解答题
17．如图，⊙O半径为4cm，其内接正六边形ABCDEF，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，QE，PE，BQ．设运动时间为t（s）．
（1）求证：四边形PEQB为平行四边形；
（2）填空：
①当t= s时，四边形PBQE为菱形；
②当t= s时，四边形PBQE为矩形．
【答案】（1）证明：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，∴AB=BC=CD=DE=EF=FA，∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠DEF=∠F，
∵点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，
∴AP=DQ=t，PF=QC=4﹣t，
在△ABP和△DEQ中，
，
∴△ABP≌△DEQ（SAS），
∴BP=EQ，同理可证PE=QB，
∴四边形PEQB是平行四边形
（2）2；0或4
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；圆内接正多边形
【解析】【解答】（2）解：①当PA=PF，QC=QD时，四边形PBEQ是菱形时，此时t=2s．
②当t=0时，∠EPF=∠PEF=30°，
∴∠BPE=120°﹣30°=90°，
∴此时四边形PBQE是矩形．
当t=4时，同法可知∠BPE=90°，此时四边形PBQE是矩形．
综上所述，t=0s或4s时，四边形PBQE是矩形．
故答案为2s，0s或4s．
【分析】（1）根据正六边形的性质得出AB=DE，∠A=∠D,再根据点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，得出AP=DQ，就可证明△ABP≌△DEQ，可得BP=EQ，同理PE=BQ，由此即可证明结论。
（2）①当PA=PF，QC=QD时，四边形PBEQ是菱形时，此时t=2s；
②当t=0时，∠EPF=∠PEF=30°，得出∠BPE=90°，可证明此时四边形PBQE是矩形．当t=4时，同法可知∠BPE=90°，此时四边形PBQE是矩形，即可得出答案。
18．如图，正五边形ABCDE中．
（1）AC与BE相交于P，求证：四边形PEDC为菱形；
（2）延长DC、AE交于M点，连BM交CE于N，求证：CN=EP；
（3）若正五边形边长为2，直接写出AD的长为 ．
【答案】（1）证明：如图1中，∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠BCD=∠BAE=108°，
∵AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB=36°，∴∠CBE=72°，∴∠DCB+∠CBE=180°，∴CD∥BE，同法可证，AC∥DE，∴∴四边形PEDC是平行四边形，
∵CD=DE，
∴四边形PEDC是菱形
（2）证明：如图2中，连接AN．
∵∠MCA=∠MAC=72°，
∴MC=MA，
∵BC=BA，
∴BM垂直平分线段AC，
∴NC=NA，∴∠NCA=∠NAC=∠CEP=36°，∵∠PAE=∠NEA=72°，∴∠PEA=∠NAE=36°，
∵AE=EA，
∴△PAE≌△NEA，∴AN=PE，
∴CN=PE
（3） +1
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；圆内接正多边形；相似三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】（3）解：如图3中．在AD上取一点W，使得AW=WE．设AW=x．
∵∠A=∠D=∠AEW=36°，
∴∠DWE=∠DEW=72°，
∴DW=DE=2，
∵∠A=∠A，∠AEW=∠D，
∴△AWE∽△AED，
∴AE2=AW AD，
∴22=x（x+2），
解得x= ﹣1，
∴AD=2+x= +1，
故答案为 +1
【分析】（1）根据正五边形的性质及等腰三角形的性质求出∠DCB和∠CBE的度数，就可证明∠DCB+∠CBE=180°，可得CD∥BE，同法可证AC∥ED，由此根据菱形的判定即可证明。
（2）如图2中，连接AN，先根据MC=MA，BC=BA得出BM垂直平分线段AC，得出CN=AN，再证明△PAE≌△NEA，即可解决问题。
（3）如图3中．在AD上取一点W，使得AW=WE．设AW=x，相聚已知条件证明△AWE∽△AED，可得AE2=AW AD，构建方程即可解决问题。
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